Как найти ток ветви источниками тока

Содержание:

Метод контурных токов:

Контурным током называют условный ток, протекающий внутри независимого контура.

Напомним, что контуры называются независимыми (подробнее см. разд. 2.1), если они отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (ветвью). Направление отсчёта контурного тока выбирается произвольно и независимо от выбора направлений отсчётов контурных токов в других контурах. В отличие от метода токов ветвей, рассмотренного в лекции 4, данный метод позволяет уменьшить число уравнений, описывающих схему, до величины, равной числу

Предварительно покажем, что при известных контурных токах можно найти токи всех ветвей, а потому и напряжения на всех элементах цепи. Действительно, ток в любом элементе (ветви) определяется по первому закону Кирхгофа (ЗТК) как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих в этом элементе. Например, при выбранных в удлинителе (рис. 5.3) направлениях отсчётов токов элементов и контурных токов имеем:

Зная токи, протекающие в элементах, можно по закону Ома определить напряжения на каждом из них.

Определение:

Метод анализа колебаний в электрических цепях, в котором неизвестными, подлежащими определению, являются контурные токи, называется методом контурных токов.

Составление контурных уравнений

При составлении системы контурных уравнений воспользуемся вторым законом Кирхгофа и будем полагать, что (рис. 5.4):

При этих условиях, выбранных независимых контурах и заданных направлениях отсчётов контурных токов запишем уравнение для первого контура (см. рис. 5.4) согласно второму закону Кирхгофа:

    (5.5)

Выразим напряжения на элементах 1-го контура через токи ветвей по закону Ома:

или в общем виде:

   (5.6)

Подставим (5.6) в (5.5)

        (5.7)

и выразим токи ветвей через контурные токи, нумерация которых осуществляется римскими цифрами и прямыми латинскими буквами. Из рис. 5.4 видно, что:

Произведём замену токов ветвей в выражении (5.7) через соотношения (5.8):

Умножим полученное уравнение на-1, раскроем скобки, приведём подобные члены и перенесём в правую часть известные значения напряжений источников; после выполнения этих действий контурное уравнение принимает вид

Подобное уравнение можно было бы составить и для любого другого контура, поэтому полученный результат позволяет сделать обобщающие выводы:

Аналогично записываются узловые уравнения для всех других контуров цепи, в результате чего образуется система контурных уравнений вида:

          (5.9)

где:

Система контурных уравнений (5.9) составлена относительно неизвестных контурных токов и записана в канонической форме, а именно:

• контурные ЭДС, как свободные члены, записываются в правых частях уравнений;
• неизвестные контурные токи записываются в левых частях уравнений с последовательно возрастающими индексами;
• уравнения располагаются в соответствии с порядковыми номерами контуров.

Пример 5.2.

Записать систему контурных уравнений для удлинителя (рис. 5.3).

Решение. Предварительно найдём собственные и взаимные сопротивления трёх контуров:

 I контура:

•    собственное сопротивление
•    взаимные сопротивления: со вторым контуром с третьим контуром

II контура:

•    собственное сопротивление
•    взаимные сопротивления: с первым контуром с третьим контуром

III контура:

•    собственное сопротивление
•    взаимные сопротивления: с первым контуром с третьим контуром 

Заметим, что:

Теперь можно записать систему контурных уравнений, руководствуясь указанными ранее правилами:

 

Особенности составления контурных уравнений

Рассмотренные ранее цепи не содержали независимых источников тока, поэтому количество контурных уравнений согласно (5.4) равно количеству независимых контуров. Однако цепь может иметь несколько источников токов. В этом случае следует выбрать такое дерево цепи, при котором источники токов входили бы в число соединительных элементов. Тогда через каждый источник тока будет проходить ток только одного контура, который равен задающему току источника. Поэтому уменьшается как число неизвестных контурных токов, так и число контурных уравнений. Следовательно, если цепь содержит источников тока, то известно контурных токов, а число контурных уравнений оказывается равным

       (5.10)

Пример 5.3.

Записать систему контурных уравнений для цепи, схема которой изображена на рис. 5.5.

Решение. Цепь содержит два источника тока: в первом и четвёртом контурах, где контурные токи совпадают с токами источников:

поэтому достаточно записать только два контурных уравнения — для второго и третьего контуров.

В уравнении для третьего контура отсутствует слагаемое, содержащее ток поскольку взаимное сопротивление этого контура с четвёртым равно нулю, т. е. между этими контурами нет никакой связи.

Важно:
метод контурных токов применяют в тех случаях, когда число контурных уравнений меньше числа узловых уравнений, а также при анализе колебаний в линейных электрических цепях произвольной конфигурации, содержащих все виды элементов.

Решение системы контурных (узловых) уравнений

Решение системы контурных (узловых) уравнений состоит в нахождении неизвестных контурных токов (узловых напряжений) для последующего вычислением токов и напряжений на элементах цепи. Если параметры цепи (сопротивления, проводимости, токи источников токов, ЭДС источников напряжений) заданы численно, то решение систем осуществляется с помощью специальных пакетов программ математического моделирования, например, Matlab или Matcad.

Основные понятия теории определителей

При теоретическом анализе удобнее использовать методы теории определителей, позволяющие записать решения в компактной форме. Прежде чем обращаться к этим методам, дадим основные понятия теории определителей.

        (5.11)

Стоящее в знаменателях полученных дробей выражение  называется определителем (детерминантом) второго порядка и записывается в виде

           (5.13)

где вертикальные чёрточки являются знаком определителя. С помощью этого обозначения формулы (5.13) можно записать в виде

         (5.14)

где — определитель, полученный из определителя системы заменой столбца коэффициентов при -ой неизвестной столбцом свободных членов.

Из соотношений (5.14) следует: каждая из неизвестных и   равна дроби, у которой в знаменателе стоит определитель системы а в числителе — определитель  и  соответственно, полученный из определителя системы подстановкой столбца свободных членов вместо столбца коэффициентов при данной неизвестной.

Подобным образом решается система уравнений любого порядка. Остаётся выяснить, как вычислять определители, если их порядок больше двух.

Рассмотрим вычисление определителя на примере системы третьего порядка:

решение которой приводит к дробям вида (5.12), где в знаменателе оказывается выражение

          (5.15)

называемое определителем третьего порядка и обозначаемое

           (5.16)

по которой можно вычислять значение определителя третьего порядка. Нетрудно видеть, что правая часть равенства состоит из суммы произведений коэффициентов (элементов) первой строки и определителей второго порядка с нужными знаками. Эти определители называются минорами и получаются из исходного определителя вычёркиванием первой строки и соответствующего данному элементу столбца. Например, минор относительно элемента получается вычёркиванием первой строки и первого столбца (рис. 5.6, а), минор относительно элемента получается вычёркиванием первой строки и первого столбца (рис. 5.6, б). Таким образом, получено разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки.

Подобные разложения можно произвести относительно элементов любой строки, предварительно записав соответствующие миноры.

Определение:

Минором  относительно -ой строки и -ro столбца (относительно элемента аи) называется определитель, получаемый из исходного определителя, если в последнем вычеркнуть -ю строку и -ый столбец.

Знак минора определяется по формуле или же по мнемоническому правилу: для левого верхнего элемента всегда берётся “+”, а для других элементов — в шахматном порядке по схеме, представленной на рис. 5.7.

Определение:

Алгебраическим дополнением относительно к-ой строки и 1-го столбца (относительно элемента ) называется минор, взятый с нужным знаком по правилу  ,  т. е.

    (5.18)

Из сказанного следует: определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь из рядов (строки или столбца) на алгебраические дополнения этих элементов.

При вычислении определителей больших порядков их предварительно разлагают на алгебраические дополнения. Отметим также, что подобно (5.14) для любой системы, у которой имеет место формула для вычисления -ой неизвестной (формула, или правило Крамера)

       (5.19)

т. е. каждая -ая неизвестная равна дроби, у которой в знаменателе стоит определитель системы, а в числителе — определитель, полученный из определителя системы подстановкой столбца свободных членов вместо столбца коэффициентов при -ой неизвестной.

Габриэль Крамер (1704—1752) — швейцарский математик, заложивший в 1750 г. основы теории определителей.
 

Применение теории определителей для решения контурных (узловых) уравнений

Применяя методы теории определителей к системе контурных уравнений (5.9), по формуле Крамера находим решение для первого контурного тока

где

        (5.20)

представляет собой определитель системы контурных уравнений (5.9), а

находится из определителя (5.20) при замене в нём первого столбца свободными членами. Заметим, что определитель (5.20) является симметричным относительно главной диагонали, поскольку при

Разлагая определитель на алгебраические дополнения по элементам первого столбца, получаем выражение для первого контурного тока

    (5.21)

Аналогичное решение можно найти и для L-го контурного тока, разлагая определитель на алгебраические дополнения по элементам 1-го столбца:

        (5.22)

Полученное общее решение (5.22) системы контурных уравнений (5.9) показывает, что реакция в виде токов в электрической цепи представляет собой сумму реакций, вызываемых каждым из воздействий в отдельности в предположении, что все другие источники отсутствуют. Этот факт является следствием линейности электрической цепи, описываемой системой линейных уравнений, и составляет содержание принципа наложения.

Аналогичным образом рассчитывается система узловых уравнений (5.2).
 

Примеры использования теории определителей

Задача 5.1.

Цепь имеет единственный источник напряжения по отношению к которому сама цепь представляет собой пассивный резистивный двухполюсник (рис. 5.8). Требуется найти входное сопротивление двухполюсника.

Решение. Для удобства назовём контур, замыкающийся через источник, первым. Тогда из (5.21) следует

       (5.23)

и согласно закону Ома имеем

откуда получаем соотношение

     (5.24)

называемое входным сопротивлением двухполюсника. Оно представляет собой эквивалентное сопротивление пассивного резистивного двухполюсника.

Заметим, что в резистивном двухполюснике электрическая энергия может только рассеиваться, поэтому при выбранных на рис. 5.8 направлениях отсчёта тока и напряжения коэффициент в (5.23) представляет собой вещественное положительное число, что справедливо и для (5.24). Следовательно, любой резистивный двухполюсник ведёт себя подобно резистивному элементу, сопротивление которого равно входному сопротивлению двухполюсника.

Задача 5.2.

Найти ток в заданной ветви резистивной цепи (рис. 5.9), имеющей единственный источник напряжения в 

Решение. Такую цепь можно рассматривать как резистивный четырёхполюсник, в котором вновь для удобства обозначим контур, содержащий источник напряжения, первым (I), а контур, содержащий интересующую нас ветвь, вторым (II).

При выбранных направлениях отсчёта ЭДС источника и тока второго контура согласно (5.22) при получаем:

     (5.25)

где

 

представляет собой собственное сопротивление второго контура и потому эквивалентное сопротивление четырёхполюсника.

Метод контурных токов

При расчете сложных цепей методом узловых и контурных уравнений (по законам Кирхгофа) необходимо решать систему из большого количества уравнений, что значительно затрудняет вычисления.

Так, для схемы рис. 4.13 необходимо составить и рассчитать систему из 7-ми уравнений

Ту же задачу можно решить, записав только 4 уравнения по второму закону Кирхгофа, если воспользоваться методом контурных токов.

Суть метода состоит в том, что в схеме выделяют т независимых контуров, в каждом из которых произвольно направлены (см. пунктирные стрелки) контурные токи . Контурный ток — это расчетная величина, измерить которую невозможно.

Как видно из рис. 4.13, отдельные ветви схемы входят в два смежных контура. Действительный ток в такой ветви определяется алгебраической суммой контурных токов смежных контуров.

Таким образом

Для определения контурных токов составляют т уравнений по второму закону Кирхгофа. В каждое уравнение входит алгебраическая сумма ЭДС, включенных в данный контур (по одну сторону от знака равенства), и общее падение напряжения в данном контуре, созданное контурным током данного контура и контурными токами смежных контуров (по другую сторону знака равенства).

Для данной схемы (рис. 4.13) необходимо составить 4 уравнений. Со знаком «плюс» записываются ЭДС и падения напряжено разные стороны знака равенства), действующие в направлении контурного тока, со знаком «минус» — направленные проконтурного тока.

Система уравнений для схемы (рис. 4.13):

Решением системы уравнений вычисляются значения контур-токов, которые и определяют действительные токи в каждой и схемы (рис. 4.13).

Пример 4.11

Определить токи во всех участках сложной цепи (рис. 4.14), если:

Решение

Необходимо составить 3 уравнения по второму закону для определения контурных токов 1 (направление урных токов выбрано произвольно указано пунктирными линиями).

Подставляются числовые значения величин

Из уравнения (2) определяется ток

Значение тока (выражение (2′)) подставляется в уравнение (1):

То же значение тока подставляется в уравнение (3):

Из полученного уравнения (3) вычитается полученное уравнение (1). В результате получим

Откуда контурный ток

Из уравнения (3) определяется контурный ток

Из уравнения (2′) определяется ток

Вычисляются реальные токи в заданной цепи:

Проверяется правильность решения для 1 -го контура (рис. 4.14).

Решение правильное.

Такую же проверку можно произвести и для других контуров (2-го и 3-го):

Проверка показала правильность решения.

Определение метода контурных токов

Данный метод является фундаментальным и применим для расчета любых электрических цепей. Он базируется на уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа. В схеме выделяются независимые контуры, в каждом из них произвольно выбираются направления контурных токов и составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Для цепи по рис. 3.1 имеем:

Введем в полученную систему уравнений обобщенные параметры:

собственное сопротивление контура – сумма сопротивлений, входящих в состав контура, например, для первого контура:

смежные сопротивления – сопротивления на границах контуров, например,  сопротивление на границе первого и второго контуров, суммарная ЭДС, например, для первого контура:

Тогда система уравнений примет вид:

Используя матричный метод расчета, можем записать:

В уравнении (3.8) – главный определитель системы (3.7a), a  – алгебраическое дополнение для соответствующей контурной ЭДС. В ветвях, которые не граничат с другими контурами, реальные токи будут:

Токи ветвей, находящихся на границах контуров:

Справочный материал по методу контурных токов

Метод контурных токов является одним из основных методов расчета сложных электрических цепей, которым широко пользуются на практике. Этот метод заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются на основании второго закона Кирхгофа так называемые контурное токи, замыкающиеся в контурах.

На рис. 7-4 в виде примера показана двухконтурная электрическая цепь, в которой — контурные токи. Токи в сопротивлениях и равны соответствующим контурным токам; ток в сопротивлении являющемся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов так как эти токи направлены в ветви встречно*. При этом если положительное направление искомого тока в ветви принять совпадающим с направлением контурного тока то ток в ветви будет равен В противном случае он будет равен

Число уравнений, записываемых для контурных токов по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров, т. е. для электрической схемы с числом узлов q и числом ветвей р задача нахождения контурных токов сведется к решению системы р — q + I уравнений. Так, в схеме рис. 7-4 q = 2, р = 3; следовательно, число уравнений равно 3 — 2+1=2 (число независимых контуров). 

Следует отметить, что если положительное направление одного из контурных токов изменить на обратное, то ток в ветви будет равен сумме этих токов.

Условимся сумму комплексных сопротивлений, входящих в контур, называть собственным сопротивлением контура, а комплексное сопротивление, принадлежащее одновременно двум или нескольким контурам, — общим сопротивлением этих контуров.

Положительные направления контурных токов задаются произвольно. Направление обхода каждого контура принимается обычно совпадающим с выбранным положительным направлением контурного тока; поэтому при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа падение напряжения от данного контурного тока в собственном сопротивлении контура берется со знаком плюс. Падение напряжения от тока смежного контура в общем сопротивлении берется со знаком минус, если контурные токи в этом сопротивлении направлены встречно, как это, например, имеет место в схеме рис. 7-4, где направление обоих контурных токов выбрано по ходу часовой стрелки.

Для заданной электрической схемы с двумя независимыми контурами (рис. 7-4) могут быть записаны два уравнения по второму закону Кирхгофа, а именно:,

где — собственные сопротивления контуров 1 и 2; — общее сопротивление контуров 1 и 2 (знак минус в уравнениях обусловлен выбором положительных направлений контурных токов).

Если заданная электрическая схема содержит п независимых контуров, то на основании второго закона Кирхгофа получается система из п уравнений:

Здесь — контурная э. д. с. в контуре т. е. алгебраическая сумма э. д. с., действующих в данном контуре; э. д. с., совпадающие по направлению с направлением обхода, берутся со знаком плюс, а направленные встречно — со знаком минус;

— собственное сопротивление контура i;

— общее сопротивление контуров i и k. 

Индексы собственных и общих сопротивлений контуров заключены в скобки для отличия их от входных и передаточных сопротивлений, приводимых в последующих разделах книги.

В соответствии со сказанным ранее собственные сопротивления войдут со знаком плюс, поскольку обход, контура принимается совпадающим с положительным направлением контурного тока Общие сопротивления войдут со знаком минус, когда токи направлены в них встречно.

Решение уравнений (7-2) относительно искомых контурных токов может быть найдено с помощью определителей:

ит. д., где определитель системы

Согласно правилу разложения определителя по элементам столбца определитель равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения. Поэтому решение уравнений запишется в виде

 Определитель снабжен индексом z, так как его элементами являются комплексные сопротивления.

На практике во многих случаях решение системы уравнений (7-2) может быть выполнено более просто последовательным исключением неизвестных,

Здесь Дitl — алгебраическое дополнение элемента Z{lk) определителя системы, т. е. умноженный на (—1)‘+* минор элемента (минор образуется из определителя системы исключением из него i-й строки и столбца).

Сокращенно система уравнений (7-3) записывается в виде:

Первый индекс алгебраического дополнения i, обозначающий номер строки, вычеркиваемой в определителе системы, соответствует номеру контура, контурная э. д. с. которого умножается на данное алгебраическое дополнение. Второй индекс обозначающий номер столбца, вычеркиваемого в определителе системы, соответствует номеру контура, для которого вычисляется контурный ток.

Уравнения (7-2), выражающие второй закон Кирхгофа, записаны в предположении, что источниками электрической энергии служат источники э. д. с. При наличии в электрической схеме источников тока они могут быть заменены эквивалентными источниками э. д. с.

Если проводимости источников тока равны нулю, то целесообразно выбрать заданные токи в качестве контурных; тогда число неизвестных контурных токов и соответственно число уравнений сократятся на число заданных токов.

Если в заданной электрической схеме имеются параллельные ветви, то замена их эквивалентным комплексным сопротивлением сокращает число контуров (за счет тех, которые образованы параллельными ветвями).

Электрические цепи могут быть планарными или непланарными.

Планарная, или плоская, электрическая цепь может быть вычерчена на плоскости в виде схемы с непере-крещивающимися ветвями. В некоторых случаях пересечение ветвей в электрической схеме, являющееся результатом Принятого способа начертания схемы, устраняется при другом способе изображения данной планарной электрической цепи, как это, например, представлено на рис. 7-5.

Электрическая цепь, приведенная на рис. 7-5, а, планарна, так как имеющееся пересечение ветвей устранимо в соответствии с рис. 7-5, б.

Не планарная электрическая цепь не может быть вычерчена на плоскости в виде схемы с неперекрещиваю-щимися ветвями. Примером такой электрической цепи служит приведенная на рис. 7-5, в непланарная цепь, пересечение ветвей в которой не может быть устранено.

Если направление контурных токов во всех контурах планарной электрической цепи одинаково, например совпадает с ходом часовой стрелки, то общие сопротивления смежных контуров входят в систему уравнений (7-2) со знаком минус, так как контурные токи смежных контуров

направлены в общих ветвях встречно. Направление контурных токов по ходу часовой стрелки принимается во всех контурах, кроме внешнего, охватывающего всю схему. В последнем контурный ток направляется против часовой стрелки'(см. пример 7-2). Это правило, однако, не является обязательным.

В случае непланарной электрической цепи не представляется возможным иметь в общих ветвях только разности контурных токов, как это, например, видно из схемы рис. 7-5, в.

Пример 7-2. 

Пользуясь методом контурных токов, определить ток в диагонали бюстовой схемы рис. 7-6.

Выбранные положительные направления контурных токов указаны на схеме стрелками. Число уравнений, записываемых по второму закону Кирхгофа, равно трем (по числу независимых контуров):

Решение полученной системы уравнений относительно контурных токов дает:

где М имеет то же значение, что и в примере 7-1.

Искомый ток в диагонали мостовой схемы равен разности контурных токов:

что совпадает с полученным в примере 7-1 ответом.

Следует заметить, что если в заданной схеме контуры выбрать так, чтобы через ветвь проходил только один контурный ток, то искомый ток в ветви будет равен именно Рис. 7-6. Пример 7-2. этому контурному току, т, е.

задача сведется к нахождению только одного контурного тока (вместо двух).

3. ПРИМЕНЕНИЕ
МЕТОДА НАЛОЖЕНИЯ
К РАСЧЕТУ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
С ДВУМЯ И БОЛЕЕ ИСТОЧНИКАМИ
ЭНЕРГИИ

Если
цепь содержит несколько источников
энергии, то для расчета цепи можно
применить метод наложения, использующий
принцип независимости действия
источников. Использование метода
наложения дает возможность заменить
вычисления сложных цепей несколькими
относительно простыми цепями, в каждой
из которых действует один источник
энергии.

Задача 3.1

Методом
наложения определить токи во всех ветвях
цепи, схема которой приведена на рис. 3.1,
если задано
,
,
,
,
.

Рис. 3.1

Решение

1.
Произвольно выбираем положительные
направления токов в ветвях цепи (рис.
3.1). Определяем частичные токи от действия
каждого источника в отдельности.

2.
Частичные токи
,

и

от действия источника
,
при

(рис. 3.2):

,

,

.

Рис. 3.2
Рис. 3.3

,

,

.

4. Токи от действия
обоих источников в исходной схеме (рис.
3.1) определятся как алгебраическая сумма
частичных токов от действия каждого
источника в отдельности (см. рис. 3.2 и
3.3):

;

;   

.        

П
р и м е ч а н и е.
Частичный ток, совпадающий по направлению
с искомым (рис. 3.1), считается положительным,
а несовпадающий – отрицательным.
Отрицательное значение тока

указывает на то, что направление тока
противоположно указанному на рис. 3.1.

Задача 3.2

Используя
метод наложения, определить токи во
всех ветвях цепи , рис. 3.4, если задано
,
,

,
,
,
.

Рис. 3.4
Рис. 3.5

Решение

1. Принимаем за
положительные направления токов в
ветвях цепи направления, указанные на
рис. 3.4.

2.
Определяем частичные токи

от действия источника ЭДС
,
при

(рис. 3.5):

;  

;     

.

3.
Определяем частичные токи

от действия источника тока
,
при

(рис. 3.6). Приведем схему (рис. 3.6) к более
удобному для расчета виду (рис. 3.7).

Рис. 3.6
Рис. 3.7

; 

;                

;

;              

.               

4. Токи в исходной
схеме (рис. 3.4) от действия обоих источников
определим, как алгебраическую сумму
частичных токов (см. рис. 3.5 и 3.6)

;

;    

;

;    

.     

Задачи
для самостоятельного решения

Задача 3.3.
Методом
наложения определить токи в цепи (рис.
3.8), если задано
,
,
,
,
.

О т в е т:
,
.

Рис.
3.8 Рис. 3.9

Задача 3.4.
Методом наложения определить все токи
в цепи, схема которой приведена на рис.
3.9. Параметры элементов цепи заданы:
,
,
.

О т в е т:
,
,
,
.

Задача 3.5.
В схеме (рис.
3.10) методом наложения определить все
токи, если
,
,
,
,
,
.

О т в е т:  ,
,
,
,

,

.

Задача 3.6.
Для схемы цепи рис. 3.11, используя метод
наложения, определить все токи, если
,
,
,
,
,
.

О т в е т:
,
,
,
,

.

Рис.
3.10 Рис. 3.11

Задача 3.7.
Используя метод наложения, рассчитать
токи в схеме цепи рис. 3.12, если
,
,
,

,
,
,
.

О т в е т:
,
,
,
,

.

Рис. 3.12 Рис.
3.13

Задача 3.8.
Методом
наложения определить токи в ветвях цепи
(рис. 3.13), содержащих резистивные
сопротивления. Дано
,
,
,
,
,
.

О т в е т:
,
,
.

4. МЕТОД КОНТУРНЫХ
ТОКОВ

Задачу
расчета разветвленных цепей можно
значительно упростить, если воспользоваться
специальными методами расчета сложных
цепей. Одним из этих методов является
метод контурных токов. Метод контурных
токов можно определить как метод расчета,
в котором за неизвестные принимаются
токи контуров. Использование этого
метода позволяет сократить количество
составляемых уравнений по отношению к
расчету при непосредственном применении
законов Кирхгофа.

Задача 4.1

Методом
контурных токов рассчитать все токи в
ветвях схемы (рис.
4.1). Даны:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Выполнить проверку решения по второму
закону Кирхгофа.

Решение

1.
Цепь (рис. 4.1) содержит шесть ветвей (),
четыре узла ().
Ветви с источниками тока в цепи отсутствуют
().

Зададим произвольное
положительное направление токов в
ветвях схемы и обозначим их, как указано
на рис. 4.2.

2. Определим
достаточное количество уравнений для
расчета цепи по методу контурных токов:

.

Рис. 4.1
Рис. 4.2

Достаточное
количество контурных уравнений равно
трем. Выделим в схеме три независимых
контура, по которым замкнем контурные
токи
,

и

(рис. 4.2). Направление действия контурных
токов выберем по часовой стрелке.
Положительное направление обхода
контура совместим с направлением
контурного тока.

3. Система контурных
уравнений (уравнений по второму закону
Кирхгофа) имеет вид (рис. 4.2)

4. Выполним
подстановку числовых значений:

5. Решение полученной
системы уравнений выполним с помощью
определителей по методу Крамера:

,

,

.

Главный определитель
системы:

.

Дополнительные
определители:

,

,

.

6. Контурные токи:

,

,

.

7. Действительные
токи в ветвях схемы (рис. 4.2) определим
как алгебраическую сумму контурных
токов смежных контуров:

;                                         

;                                          

;

;                                       

;     

.        

8.
Проверку расчета выполним, составив
уравнение по второму закону Кирхгофа,
например для внешнего контура (рис.
4.2). Направление обхода контура по часовой
стрелке:

.

Подставляя в
уравнение числовые значения, получим

,

.

Задача 4.2

Для
схемы, рис. 4.3, пользуясь методом контурных
токов, определить все токи, если
,
,
,

,
,
,

.

Решение

1.
Схема (рис. 4.3) содержит шесть ветвей
(),
четыре узла ().
Одна ветвь содержит источник тока

().

Положительные
направления токов в ветвях схемы
обозначим в соответствии с рис. 4.4.

2. Достаточное
количество уравнений для расчета цепи
по методу контурных токов равно двум:

.

Независимые
контуры и направления протекания
контурных токов,

обозначены на рис. 4.4.

Рис. 4.3 Рис. 4.4

Для
ветви с источником тока

создадим третий контур с контурным
током

по направлению, совпадающему с направлением
источника (рис. 4.4).

Считаем,
что

является известным контурным током,
который будем учитывать только при
составлении уравнений независимых
контуров.

3. Система
уравнений, составленная по методу
контурных токов, будет иметь следующий
вид:

4. После
подстановки числовых значений параметров
цепи по­лучим

5. Решение
системы позволяет получить значения
контурных
токов:

,

.

6. Действительные
токи в ветвях (рис. 4.4) находим как
алгебраическую сумму контурных токов
смежных контуров:

;                                                         

;                                                        

;                

;

.                

Задача 4.3

Требуется
рассчитать токи в ветвях цепи (рис.
4.5), если
,
,
,
,
,
,
,
,
,,
.
Расчеты выполнить методом контурных
токов.

Рис.
4.5

Решение

1. Преобразуем цепь
(рис. 4.5) к виду, более удобному для
расчета, объединив в один узел узлы
равного потенциала (рис. 4.6).

Рис.
4.6

Цепь
(рис. 4.6) содержит восемь ветвей (),
четыре узла ().
две
ветви содержат источники тока
,

().

Зададимся
произвольным положительным направлением
токов в ветвях схемы и обозначим их, как
указано на рис. 4.6.

2.
Определим
достаточное количество уравнений,
которое равно трем:

.

Выделим
в схеме три независимых контура, по
которым замкнем контурные токи
,

и
.

Направление
контурных токов выберем по часовой
стрелке. Для ветвей с источниками тока
создадим два дополнительных контура с
контурным током
,
.
Направления дополнительных контурных
токов выберем так, чтобы они совпадали
с направлениями действия источников
тока

и
.

3. Система контурных
уравнений, записанных по второму закону
Кирхгофа относительно неизвестных
контурных токов, имеет вид

4. Приведем систему
к матричной форме:

.

5.
Подставив числовые значения параметров
элементов цепи, получим

.

6.
Решение матричной системы позволяет
определить контурные токи

,

,
.

7.
Определяем действительные токи в ветвях
схемы (рис. 4.6):

;                                     

;

;           

;    

;  

.                                      

Задачи
для самостоятельного решения

Задача 4.4.
Для цепи,
изображенной на схеме (рис. 4.7), требуется
определить контурные токи, указные на
ней, если
,
,
,
,
,
,
,
.

О т в е т:
,

.

Задача
4.5.
Требуется
рассчитать контурные токи, указные на
схеме
(рис. 4.8),
если
,
,
,
,
.

О т в е т:
,

.

Рис. 4.7
Рис. 4.8

Задача 4.6. Методом
контурных токов определить токи в ветвях
цепи (рис. 4.9).
Дано:
,
,
,
,
,
,
.
Положительные направления токов указаны
на схеме.

О т в е т:
,
,
,
,

.

Рис.
4.9 Рис. 4.10

Задача 4.7.
Методом
контурных токов определить токи в ветвях
цепи (рис. 4.10), если
,
,
,
,
,
,
.

О т в е т:
,
.

Задача 4.8.
Методом
контурных токов определить показания
амперметров, установленных в ветвях
цепи, схема которой приведена на
рис. 4.11. Дано:
,
,

,
,
,
.

О т в е т:
,
.

Задача 4.9.
Методом
контурных токов рассчитать указанные
в схеме (рис. 4.12) токи, если
,
,
,
,
,
,
,
.

О т в е т:
,
,
,
,

,
,
,
.

Рис. 4.11 Рис. 4.12

5. МЕТОД УЗЛОВЫХ
ПОТЕНЦИАЛОВ
(УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ)

Метод
узловых потенциалов – это метод расчета
электрических цепей, в котором за
неизвестные принимаются потенциалы
(напряжения) узлов схемы. Использование
метода позволяет сократить количество
составляемых уравнений по отношению
к расчету при непосредственном применении
законов Кирхгофа.

Задача 5.1

Определить
токи в ветвях цепи (рис. 5.1) методом
узловых потенциалов, если
,
,
,,
,
,
,
,
.

Решение

1.
Схема (рис. 5.1) содержит пять ветвей (),
три узла ().

2.
Достаточное количество уравнений для
расчета цепи по методу узловых потенциалов
определяется числом уравнений по первому
закону Кирхгофа и равно двум:

.

Примем
потенциал одного из узлов, например
узла 1 (рис. 5.2), равным нулю ().

Рис. 5.1 Рис. 5.2

3.
Расчетные уравнения для определения
потенциалов

и

(узел 2, 3) будут иметь вид

4. После подстановки
в систему числовых значений имеем

5.
Решая систему относительно неизвестных
потенциалов

и
,
находим

,

.

6.
Зададим произвольное направление токов
в ветвях схемы (рис. 5.2). По закону Ома
для участка цепи, считая, что ток направлен
от узла с большим потенциалом к узлу с
меньшим потенциалом, выражаем токи:

;

;

;

;

.

7.
Проверка решения. Проверку решения
выполним, составив уравнение по второму
закону Кирхгофа для внешнего контура:

.

Подставляя числовые
значения в уравнение, получим

,

.

Задача 5.2

Для
схемы, представленной на рис. 5.3, пользуясь
методом узловых потенциалов, определить
все токи. Дано:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.

Рис.
5.3

Решение

1.
Схема (рис. 5.3) содержит восемь ветвей
(),
из которых шесть ветвей с неизвестными
токами, четыре узла (),
две ветви с источниками тока ().

2. Достаточное
количество уравнений для расчета цепи
равно трем

.

Потенциал
узла 1 (рис. 5.4) примем равным нулю ().

Рис. 5.4

3.
Система уравнений для определения
потенциалов
,

и

(узлы 2, 3 и 4) согласно рис. 5.4 будет иметь
вид

4. Для расчета
приведем систему к матричной форме:

.

5. После подстановки
числовых значений получим

.

6. Решением матричного
уравнения будут потенциалы узлов

;

;

.

7. Зададим направление
токов в ветвях схемы, как указано на
рис. 5.4, и выразим токи:

;                

;                                    

;

;                   

;                                

.                     

8.
Проверка решения. Проверку решения
выполним по первому закону Кирхгофа,
например, для узла 1:

.

Задача 5.3

Методом
узловых потенциалов определить токи
во всех ветвях схемы, изображенной на
рис. 5.5. Заданы
,
,

,
,
,
,
.

Рис. 5.5
Рис. 5.6

Решение

1.
Схема (рис. 5.5) содержит семь ветвей (),
четыре узла (),
одну ветвь с источником тока ().

В
цепи имеется ветвь с источником ЭДС
,
не содержащая сопротивления (),
т.е. с нулевым сопротивлением.

2.
Общее число уравнений для расчета цепи
по методу узловых потенциалов при
наличии ветви с источником ЭДС, не
содержащей сопротивления, равно двум:

.

Примем
потенциал узла 1 (рис. 5.6) равным нулю
().

П
р и м е ч а н и е. Целесообразно
принять равным нулю потенциал одной из
узловых точек ветви с источником ЭДС с
нулевым сопротивлением.

Тогда
потенциал узла 2 имеет значение напряжения,
равное
,
т.е.

(рис. 5.6).

3.
Расчетные уравнения для потенциалов
оставшихся узловых точек (узлы 3, 4) будут
иметь следующий вид:

4. Подставив в
систему числовые значения, получим

5.
Решение системы относительно неизвестных
потенциалов позволяет получить

,

.

6. Зададим направления
токов в ветвях цепи, как указано на
рис.5.6. По закону Ома выразим токи:

;   

;        

;  

; 

.

Ток

в ветви с источником

найдем по первому закону Кирхгофа для
узла 1 (рис. 5.6):

.

7. Проверка решения.
По второму закону Кирхгофа для внешнего
контура цепи (рис. 5.6) запишем:

.

После подстановки
числовых значений получим

.

Задача 5.4

Вычислить
токи в
ветвях схемы (рис. 5.7), методом
узловых
потенциалов, если
,
,
,
,
,

,
.

Рис. 5.7
Рис. 5.8

Решение

1.
Схема (рис. 5.7) содержит четыре ветви
(),
два узла (),
одну ветвь с источником тока ().

Рассматривая
частный случай схемы с двумя узлами,
воспользуемся для расчета методом двух
узлов.

2.
Потенциал узла 2 (рис. 5.8) примем равным
нулю ().
Тогда напряжение между узлами 1 и 2 найдем
как

.

3.
Направление токов в ветвях цепи зададим
в соответствии с указанными на рис. 5.8,
тогда

;

;  

.                 

7.
Проверка
решения. По первому закону Кирхгофа для
узла 2 запишем:

.

Задача 5.5

Определить
показание вольтметра, установленного
в схеме (рис. 5.9), если
,
,
,
,
,
,
,
.
Внутреннее сопротивление вольтметра
принять равным
.
Расчет цепи выполнить по методу узловых
потенциалов.

Рис. 5.9

Решение

Показание
вольтметра определим как разность
потенциалов узловых точек 3 и 2 в местах
его подключения:
.

1.
Определим потенциалы

и

узловых точек 2 и 3. Схема содержит шесть
ветвей (),
четыре узла (),
одну ветвь с источником тока ().

2. Достаточное
количество уравнений для расчета цепи
методом узловых потенциалов равно трем:

.

Потенциал
узла 4 (рис. 5.9) примем равным нулю ().

3.
Система уравнений для определения
неизвестных потенциалов
,

и

узловых точек 1, 2 и 3 будет иметь вид

4. Приведем систему
к матричной форме:

.

5. Подставив в
систему числовые значения заданных
параметров элементов цепи, получим

.

6. Из решения системы
получим

,

.

7. Показания
вольтметра найдем как разность потенциалов
узловых точек 3 и 2:

.

Задачи
для самостоятельного решения

Задача 5.6.
Методом
узловых потенциалов рассчитать напряжения
узловых точек, указанных на схеме (рис.
5.10), и рассчитать все токи, если
,
,
,
,
,
,
,
.
Потенциал
узловой точки 1 принять равным нулю ().

О т в е т:
потенциалы узлов
,
,
;
токи
,
,
,
,
,
.

Рис. 5.10
Рис. 5.11

Задача 5.7.
Для схемы
(рис. 5.11), пользуясь методом узловых
потенциалов, определить все токи. Дано
,
,
,
,
,
.

О т в е т:
,
,
,
,
.

Задача 5.8.
Методом
узловых потенциалов найти токи в цепи,
схема которой изображена на рис. 5.12,
если
,
,
,
,
,
.

О т в е т:
,
,
,
,
,
.

Задача 5.9.
Для схемы, приведенной на рис. 5.13,
пользуясь методом узловых потенциалов,
определить все токи. Дано:
,
,
,
,
,
.

О т в е т:
,
,
,
.

Рис. 5.12 Рис.
5.13

Задача 5.10.
Методом узловых потенциалов найти токи
в схеме цепи (рис. 5.14), если
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Потенциал
узловой точки 4 принять равным нулю ().

О т в е т:
,
,
;
,
,

,

,

.

Рис. 5.14 Рис. 5.15

Задача 5.11.
Методом узловых потенциалов найти токи
в схеме (рис. 5.15). Дано
,
,
,
,
,
,
.

О т в е т:

,
,
,
.

Рис. 5.16 Рис.
5.17

Задача 5.12.
Определить
показания вольтметров, включенных в
схеме рис. 5.16, если
,
,
все
.
Расчет
выполнить методом узловых потенциалов.

О т в е т:
,
,
.

Задача 5.13.
Определить
показание вольтметра в схеме цепи
рис. 5.17, используя метод узловых
потенциалов. Дано:
,

,
,

,
,
,
,

.

О т в е т:
.

6. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО
ГЕНЕРАТОРА
(ЭКВИВАЛЕНТНОГО ИСТОЧНИКА)

Целесообразность
использования данного метода становится
очевидной, если расчет электрической
цепи сводится к определению тока только
одной ветви. В этом случае вся цепь
относительно ветви с интересующим током
заменяется эквивалентной схемой. Таким
образом, основной расчет сводится к
определению двух параметров эквивалентной
схемы – ЭДС и сопротивления эквивалентного
генератора.

Задача 6.1

Для
схемы цепи (рис. 6.1) методом эквивалентного
генератора найти ток ветви с сопротивлением
,
если
,
,

,
,
,
,
.

Решение

1.
Выделим ветвь с сопротивлением

и
обозначим
ток

(рис. 6.1).

2.
Всю цепь, рис. 6.1, относительно ветви с
сопротивлением

представим эквивалентным генератором
с источником ЭДС, равным
,
и сопротивлением

(рис. 6.2).

Рис. 6.1
Рис. 6.2

Согласно схеме
(рис. 6.2) интересующий ток в ветви
определится как

,

т.е.
решение задачи сводится к определению
двух параметров эквивалентного генератора

и
.

3.
Найдем ЭДС генератора. По определению

равно напряжению

между узловыми точками 1 и 2 разомкнутой
ветви с сопротивлением

(рис. 6.3).

Рис. 6.3
Рис. 6.4

Для
этого в схеме (рис. 6.3) определим токи

и
.
На основании законов Кирхгофа получим
систему

из которой найдем:

,

.

На
основании второго закона Кирхгофа для
указанного в схеме (рис. 6.3) направления
обхода контура получим

.

4.
Найдем сопротивление генератора. По
определению

равно входному сопротивлению

между узловыми точками 1 и 2 разомкнутой
ветви с

(рис. 6.3). Расчет сопротивления

производим при закороченных источниках
ЭДС
,

и разомкнутом источнике тока

(рис. 6.4).

.

5.
Окончательно определяем ток
:

.

Задача 6.2

Определить
методом эквивалентного генератора ток
в ветви с источником ЭДС

(рис. 6.5). Дано:
,
,
,

,
,
,
.

Рис. 6.5 Рис. 6.6

Решение

1.
Обозначим ток

в ветви с источником ЭДС

(рис. 6.5).

2.
Применив теорему об эквивалентном
генераторе, ток в ветви, имеющей
нулевое сопротивление, согласно схеме
(рис. 6.6), определится как

.

3.
Найдем ЭДС генератора. Разомкнем ветвь
с источником

(рис. 6.7) и найдем напряжение

между точками 1 и 2.

Предварительно
выполним расчет токов

и

в схеме (рис. 6.7).

Рис. 6.7 Рис. 6.8

Ток

в неразветвленной части схемы:

.

Токи

и

в разветвленной части схемы:

;

.

На
основании второго закона Кирхгофа для
обозначенного на схеме (рис. 6.7) контура
запишем:

,

откуда

.

4.
Найдем сопротивление генератора
,
которое равно входному сопротивлению

между точками 1 и 2 (рис. 6.8) (при замкнутых
источниках ЭДС
,
).

Преобразуем
треугольник сопротивлений
,

и

(рис.6.8) в эквивалентную звезду (рис.
6.9).

Рис. 6.9

Величины сопротивлений
эквивалентной звезды (рис. 6.9):

;

;

.

Согласно выполненным
преобразованиям окончательно получим
(рис. 6.9)

.

5.
Ток в ветви с источником

определится как

.

Задачи
для самостоятельного решения

Задача
6.3. Методом
эквивалентного генератора для схемы
(рис. 6.10) определить ток в ветви с
сопротивлением
.
Дано
,
,
,
,
,
.

О т в е т:

(,
).

Задача 6.4.
Для цепи
(рис. 6.11) методом эквивалентного генератора
определить ток в ветви с сопротивлением
,
если
,
,
,
,
.

О т в е т:

(,
).

Рис. 6.10 Рис.
6.11

Задача 6.5.
Определить
обозначенный в схеме (рис. 6.12) ток по
методу эквивалентного генератора, если
,
,
,
,

,
,
,

.

О т в е т:

(,
).

Задача 6.6.
Для схемы
(рис. 6.13) методом эквивалентного генератора
определить обозначенный в ветви ток,
если
,
,
,
,
,

.

О т в е т:

(,
).

Рис. 6.12
Рис. 6.13

Задача
6.7. Рассчитать
обозначенный в схеме (рис. 6.14) ток,
используя метод эквивалентного
генератора, если
,
,

,
,
,

.

О т в е т:

(,
).

Задача 6.8.
Для цепи
(рис. 6.15) методом эквивалентного генератора
определить ток в ветви с сопротивлением
,
если
,
,
,
,
,

,
,
,
.

О т в е т:

(,
).

Рис. 6.14
Рис. 6.15

7. ПРИМЕНЕНИЕ
ЭКВИВАЛЕНТНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРИ
РАСЧЕТАХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Расчет
сложных электрических цепей можно
упростить путем различных эквивалентных
преобразований активных участков схем,
содержащих ветви с идеальными источниками
ЭДС и тока. В частях схемы, не затронутых
преобразованиями, должно выполняться
условие неизменности напряжений и
токов ветвей. Упрощение расчета сводится,
как правило, к уменьшению числа ветвей
или узлов схемы и, в конечном счете, к
сокращению расчетных уравнений.

Задача 7.1

Для
цепи (рис. 7.1) требуется определить
показание вольтметра, если
,
,

,
,
.
Внутреннее сопротивление вольтметра
принять
.

Рис. 7.1
Рис. 7.2

Решение

1.
Преобразуем источники тока

и

(рис. 7.1) в эквивалентные источники ЭДС
,

(рис. 7.2).

2. Значения ЭДС
эквивалентных источников:

;

.

3.
Ток, протекающий в контуре (рис. 7.2),
найдем на основании второго закона
Кирхгофа:

,

откуда

.

4.
Показание вольтметра
,
установленного в схеме, будет
соответствовать напряжению

на сопротивлении
:

.

Задача 7.2

Методом
узловых потенциалов определить токи в
ветвях с сопротивлениями

и

схемы (рис. 7.3) , если
,
,
,
,
,
,
.

Рис. 7.3
Рис. 7.4 Рис. 7.5

Решение

1.
Чтобы
уменьшить число узлов расчетной схемы
и упростить расчет, преобразуем источник
тока

в эквивалентные источники ЭДС.

Включая
в узле 3 два равных и противоположно
направленных источника тока
,
получим эквивалентную схему (рис. 7.4).

После
преобразования источников тока в
эквивалентные источники ЭДС получим
эквивалентную схеме (рис.7.3) схему,
представленную на рис. 7.5.

2. Значения ЭДС
эквивалентных источников:

;

.

3.
Расчет токов преобразованной схемы
(рис. 7.5) выполним методом двух узлов.
Потенциал узловой точки 1 принимаем
равным нулю ().
Напряжение между узлами 3 и 1 найдем по
выражению

.

4. Интересующие в
схеме токи:

,

.

Задача 7.3

Определить
показание амперметра для схемы рис.
7.6, если
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.

Рис. 7.6
Рис. 7.7

Решение

1.
Для упрощения расчета воспользуемся
преобразованиями активных участков
схем с параллельными ветвями одной
эквивалентной.

2.
Эквивалентная ЭДС

и эквивалентное сопротивление

двух параллельных ветвей левой части
схемы (рис. 7.6):

,

.

3.
Эквивалентная ЭДС

и эквивалентное сопротивление

трех параллельных ветвей правой части
схемы (рис. 7.6):

,

.

4.
В результате выполненных преобразований
получаем эквивалентную схему, приведенную
на рис. 7.7. Показание амперметра определим,
составив выражение по второму закону
Кирхгофа для обозначенного в схеме
(рис. 7.7) контура:

,

откуда определим
показания амперметра:

.

Задача 7.4

Для
схемы рис. 7.8, используя метод узловых
потенциалов, определить все токи. Дано
,
,
,
,
,
.

Рис. 7.8
Рис. 7.9 Рис. 7.10

Решение

1.
Применение метода узловых потенциалов
к расчетной схеме рис. 7.8 затруднительно,
так как две ветви с источниками ЭДС
имеют бесконечно большую проводимость.
Указанное затруднение можно легко
обойти, если вынести одну из ЭДС за узел
и преобразовать цепь.

2.
Вынесем ЭДС

за узел 3. Для этого в ветвь с источником
ЭДС

внесем ЭДС
,
равную по значению и противоположную
по направлению
,
а в оставшиеся ветви, примыкающие к узлу
3, внесем дополнительные ЭДС
,
направленные к этому узлу (рис. 7.9).

Это
не окажет влияния на распределение
токов в схеме, так как внесенные ЭДС
взаимно компенсируются.

В
ветви с источниками ЭДС, включенной
между узлами 3 и 4, действуют одинаковые
по значению и противоположно направленные
ЭДС, их сумма равна нулю. Поэтому узлы
3 и 4 имеют одинаковый потенциал и их
можно закоротить и объединить (рис.
7.10).

3.
Примем потенциал узла 1 (рис. 7.10) равным
нулю (),
тогда потенциал узла 2 равен

()
и, следовательно, по методу узловых
потенциалов достаточно составить только
одно уравнение для потенциала ранее
объединенного узла 3:

.

4.
Решение уравнения позволяет определить
неизвестный потенциал узла 3:

.

Следовательно:
,
,
.

5.
В соответствии с заданными направлениями
токов в ветвях схемы (рис. 7.10), получим:

;  

;

;            

.            

Токи

и

в ветвях схемы с источниками ЭДС найдем,
составив уравнения по первому закону
Кирхгофа для узлов 3 и 2:

,

.

Задачи
для самостоятельного решения

Задача 7.5.
Определить
показание амперметра, установленного
в схеме (рис. 7.11), выполнив предварительно
преобразование источников тока в
источники ЭДС. Дано
,
,
,
,
,
.

О т в е т:
.

Задача 7.6.
Для схемы
(рис. 7.12) определить показание вольтметра,
выполнив предварительно преобразования
источников тока в источники ЭДС, если
,
,
,
,
,
.

О т в е т:
.

Рис. 7.11
Рис. 7.12

Задача 7.7.
Для схемы (рис. 7.13), определить показание
амперметра, если
,
,
,
,
,
,
.
Решение выполнить преобразованием
группы из трех параллельно соединенных
ветвей с источниками ЭДС одной
эквивалентной.

О т в е т:
.

Задача
7.8. Методом
узловых потенциалов определить все
токи в ветвях схемы (рис. 7.14), если
,
,
,
,
,
.

О т в е т:
,
,
,
,

,
.

Рис. 7.13 Рис.
7.14

8. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ
РАСЧЕТЫ
В ЦЕПЯХ ПОСТОЯННОГО ТОКА

При
выполнении энергетических расчетов в
электрических цепях постоянного тока
интересуют характеристики, связанные
с определением мощности, рассеиваемой
в сопротивлениях резисторов, условий
потребления максимальной мощности в
нагрузке, мощности источников напряжения
и тока и режимов их работы, баланса
мощностей, кпд
передачи энергии.

Задача 8.1

Для
цепи (рис. 8.1) требуется определить
режим работы каждого источника и
установить баланс мощностей, если
,

,
,
,
,
,
.

Решение

1.
Выполним расчет токов в ветвях схемы
по методу узловых потенциалов. Схема
(рис. 8.1) содержит пять ветвей (),
из которых четыре с неизвестными токами,
три узла ()
и одна ветвь с нулевым сопротивлением,
содержащая источник
–

().

Рис. 8.1

2. Общее число
расчетных уравнений равно одному

.

Потенциал
узловой точки 1 (рис. 8.2) примем равным
нулю ().
Тогда потенциал узловой точки 3 (рис. 8.2)
равен

().

Рис. 8.2

3.
Потенциал узловой точки 2 найдем на
основании уравнения, составленного для
:

.

4.
Решением уравнения относительно
неизвестного потенциала, с учетом того,
что
,
будет

.

5. Зададим
положительное направление токов в
ветвях схемы , как указано на рис. 8.2. По
закону Ома выразим токи:

;

;   

.                            

По
первому закону Кирхгофа для узла 3 найдем
:

.

6.
Определяем режимы работы источников
энергии. Отрицательный знак для тока

означает, что действительное направление
тока противоположно указанному на схеме
(рис. 8.2). Из этого следует, что источник

работает в режиме приемника (потребителя)
электрической энергии. Его мощность

.

Источники

и

генерируют электрическую энергию в
цепь, так как действительное направление
тока совпадает с направлением источников:

;    

.

Мощность источника
тока

.

Напряжение

на зажимах источника тока также можно
было принять равным напряжению узловой
точки 2, т.е.
.

Отрицательный
знак мощности означает, что источник
тока работает в режиме приемника
(потребителя) электрической энергии.

7. Уравнение баланса
мощностей

.

После подстановки
в уравнение числовых значений получим

;

.

Результаты
расчета показывают, что баланс мощностей
выполняется. Ошибка при расчетах
составляет.

.

Задача 8.2

Для
схемы (рис. 8.3) определить показание
ваттметра и убедиться в том, что оно
равно сумме мощностей, расходуемых во
всех резистивных сопротивлениях, если
,
,
,
,
,
.

Решение

1.
Выполним расчет всех токов в ветвях
схемы. Расчеты целесообразно выполнить
по методу узловых потенциалов.

Потенциал
узловой точки 1 (рис. 8.3) примем равным
нулю ().
Тогда потенциал узловой точки 3 равен
,
т.е. напряжению на входе цепи ().

Рис. 8.3

2.
Расчетные уравнения для определения
потенциалов

и

будут иметь вид

3. После подстановки
числовых значений получим

откуда
,
.

4. Находим токи в
ветвях схемы:

;

;    

;    

;           

.          

Ток
на входе цепи
.

5. Показание
ваттметра

,

где
.

6.
Суммарная мощность, расходуемая во всех
резистивных сопротивлениях:

.

На основании
выполненных расчетов следует тождество

.

Погрешность
при выполнении баланса вызвана заданной
перед расчетом точностью определения
токов в расчетной схеме.

Задача 8.3

Для
цепи (рис. 8.4) требуется определить
показания ваттметра для различных схем
включения измерительных обмоток. Дано:
,
,
,
,
,
,
.

Решение

1.
Выполним расчет токов в ветвях схемы
по методу двух узлов. Потенциал узловой
точки 1 примем равным нулю ().
Напряжение между узловыми точками 2 и
1 (рис. 8.4, а)

.

2. Токи в ветвях
цепи:

;

.

3.
Показание ваттметра, включенного по
схеме (рис. 8.4, а).
Напряжение, приложенное к измерительной
обмотке,
.

Ваттметр покажет
мощность:

.

4.
Показание ваттметра, включенного по
схеме (рис. 8.4, б).
Напряжение, приложенное к измерительной
обмотке, найдем по второму закону
Кирхгофа для указанного на схеме рис.
8.4, б
контура:

,

а
б

в
г

Рис. 8.4

откуда

.

Ваттметр покажет
мощность:

.

5.
Показание ваттметра, включенного по
схеме (рис. 8.4, в).
Напряжение, приложенное к измерительной
обмотке

,

откуда

.

Ваттметр покажет
мощность

.

6.
Показание ваттметра, включенного по
схеме (рис. 8.4, г).
Напряжение, приложенное к измерительной
обмотке

,

откуда

.

Ваттметр покажет
мощность

.

Задача 8.4

Для
цепи (рис. 8.5) определить ток в линейном
резисторе

при условии потребления в нем максимальной
мощности, определить максимально
возможную мощность

и построить зависимость
.
Известно:
,
,
,
,
,
,
,
.

Рис. 8.5 Рис. 8.6

Решение

1.
Применим теорему об эквивалентном
генераторе к схеме рис. 8.5 и рассчитаем
ток

в указанной ветви в соответствии с
приведенной схемой (рис. 8.6):

.

2.
Найдем ЭДС генератора. Разомкнем ветвь
с сопротивлением

(рис. 8.7) и определим напряжение между
точками 1 и 2 ().

Рис. 8.7 Рис. 8.8

Расчет
цепи (рис. 8.7) выполним по методу контурных
токов. Достаточное количество уравнений
равно двум:

.

Система контурных
уравнений будет иметь вид

Подставим в систему
уравнений числовые значения

Решение системы
позволяет получить

,

.

Действительное
значение интересующего тока
.

На
основании второго закона Кирхгофа
найдем напряжение

(рис. 8.7):

,

откуда

.

3.
Найдем сопротивление

генератора, равное сопротивлению цепи
относительно зажимов 1, 2 разомкнутой
ветви с сопротивлением

(рис. 8.8).

.

4.
Найдем сопротивление нагрузки.
Максимальная мощность выделится в
случае, если сопротивление нагрузки
,
т.е.
.
Данное утверждение следует из условия
выделения максимальной мощности в
нагрузке.

5.
Найдем ток

в нагрузке для случая
:

.

6.
Максимально возможная мощность, которая
выделится в нагрузке, составит

.

7.
Построим функциональную зависимость
.
Мощность, выделяемая в нагрузке при
изменении нагрузочного сопротивления,
будет определяться выражением

.

Результирующая
зависимость

при изменении сопротивления нагрузки
в установленных пределах

приведена на рис. 8.9.

Рис. 8.9

Задача 8.5

К
выходным зажимам двухпроводной линии
подключена нагрузка сопротивлением,
получающая питание от источника энергии
с ЭДС

и внутренним сопротивлением

по схеме рис. 8.10.
Определить КПД системы передачи
электрической энергии от источника в
нагрузку при условии выделения в
нагрузочном сопротивлении максимальной
мощности, если
,
сопротивление линии передачи
.

Рис.
8.10

Решение

1.
Определим ток
,
проходящий через сопротивление нагрузки
:

.

2. Рассчитаем
выделяемую в сопротивлении нагрузки
мощность

.

3.
Определим

при условии выделения в нагрузке
максимальной мощности. Для расчета

возьмем производную от

по

и приравняем ее нулю:

,

где

.

Из условия

получим

.

Как
известно, в схеме, эквивалентной заданной
(рис. 8.10), максимальная мощность выделится,
если сопротивление нагрузки

будет равно входному сопротивлению
цепи относительно зажимов разомкнутой
нагрузки и при закороченном источнике
ЭДС.

Согласно схеме
рис. 8.10 можно определить

.

Следовательно,
получено то же значение
,
но более простым способом исходя из
условия выделения максимальной мощности
в нагрузке.

4.
Подставляя найденное значение

в выражение для мощности, получим
значение максимальной мощности, которая
выделится в нагрузке:

.

5. Вычислим мощность,
доставляемую источником ЭДС в схему:

.

6. КПД системы
передачи электрической энергии

.

Задачи
для самостоятельного решения

Задача 8.5.
Определить
мощность, доставляемую источником тока
в схему (рис. 8.11), если
,
,
,
,
,

О т в е т:
.

Рис. 8.11
Рис. 8.12

Задача 8.6.
Для цепи
(рис. 8.12) определить режим работы
источников и проверить выполнение
баланса мощности, если
,
,
,
,
,
,
,
.

О т в е т:

– генераторный режим;

– ре­жим
приемника;

–
генераторный
режим;

–
режим
приемника; мощность всей цепи:
.

Задача 8.7.
Требуется определить показания
ваттметров, включенных по схеме (рис.
8.13), если
,
,
.

О т в е т:
,
,
.

Задача 8.8.
Определить резистивное сопротивление
нагрузки

в схеме, рис. 8.14, при котором в нагрузке
выделяется максимально возможная
мощность. Определить величину этой
мощности. Дано:
,
,
,
,
,
,
.

О т в е т:
,

.

Рис.
8.13 Рис. 8.14

Рис. 8.15 Рис. 8.16

Задача
8.9.
Определить показание ваттметра,
включенного по схеме,
рис.
8.15, если
,
,
,
,
,

,
,
,
,
.

О т в е т:
.

Задача 8.10.
Для цепи
(рис. 8.16) проверить выполнение баланса
мощности, если
,
,
,
,
,
,
.

О т в е т:
.

9. РАСЧЕТ
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Расчет
электростатических цепей с емкостью
на постоянном токе в установившемся
режиме сводится к определению напряжений
и зарядов отдельных конденсаторов.
Особенностью работы цепи с идеальной
емкостью на постоянном токе является
то, что в установившемся режиме токи
через конденсатор не протекают.

Задача 9.1

Конденсаторы
соединены по схеме (рис. 9.1) и подключены
к источнику постоянного напряжения
.
Определить общую емкость цепи относительно
зажимов с источником, заряд и напряжение
каждого
конденсатора, если
,
,
,

.

Решение

1.
Определяя общую емкость, воспользуемся
методом свертывания цепи. Конденсаторы

и

включены параллельно (рис. 9.1). Их общая
емкость равна

.

Рис. 9.1

Конденсаторы

и

включены последовательно:

.

Конденсаторы

и

включены параллельно. Общая емкость
цепи равна

.

2.
Заряды в параллельных ветвях распределятся
пропорционально емкостям отдельных
ветвей. Заряд конденсатора
:

.

Заряд
группы конденсаторов
:

.

Заряд

создает напряжения:

,

.

Заряды
конденсаторов
,

и

распределятся:

;   

;

.

Задача 9.2

Для
схемы, изображенной на рис. 9.2, требуется
определить за­ряды и напряжения на
конденсаторах, если
,
,
,
,
.

Рис. 9.2
Рис. 9.3

Решение

1.
На основании электростатической аналогии
получим зависимости, аналогичные законам
Кирхгофа путем замены токов

на заряды

и проводимостей

на емкости
.

Цепь
(рис. 9.2) содержит три ветви с емкостью
(),
два узла ().
Зададим произвольно направления
напряжений на конденсаторах (рис. 9.3).

2. Определим
достаточное количество уравнений для
расчета цепи по законам Кирхгофа.

По первому закону
Кирхгофа для зарядов:

.

По второму закону
Кирхгофа для напряжений:

.

Положительное
направление обхода контуров определим
в соответствии с заданными на рис. 9.3.

3.
Система уравнений по законам Кирхгофа
с учетом, что
,
так как токи по контурам не протекают:

Полагая,
что
,
представим систему в виде

4. Решение системы
получим в матричной форме:

.

5. После подстановки
числовых значений получим

.

6.
Решение матричной системы позволяет
определить заряды конденсаторов

,

,

.

Отрицательный
знак заряда

указывает на противоположную указанной
на рис. 9.3 полярность заряда
.

7. Напряжения на
конденсаторах:

;

; 

.

8. Проверка решения,
в соответствии с которой алгебраическая
сумма зарядов на обкладках конденсаторов,
присоединенных к узлу (рис. 9.3), должна
быть равна нулю:

.

Задача 9.3

Определить
напряжение каждого конденсатора и
энергию электрического поля всей цепи
(рис. 9.4). Дано
,
,
,

,
,
,
,
,
.

Рис. 9.4
Рис. 9.5

Решение

1. Расчет электрической
цепи (рис. 9.4) целесообразно выполнить
методом узловых потенциалов.

Цепь
(рис. 9.4) содержит шесть ветвей, каждая
из которых включает в себя емкостный
элемент (),
четыре узла ().

Зададим произвольно
положительное направление напряжений
на конденсаторах (рис. 9.5).

2. Достаточное
количество уравнений для расчета цепи
по методу узловых потенциалов равно
трем:

.

Обозначение
узлов в схеме выполним в соответствии
с рис. 9.5. Потенциал узла 1 примем равным
нулю ().

3.
Расчетные уравнения для определения
потенциалов
,

и

(узлы 2, 3 и 4) на основании формальной
аналогии между электрическими и
электростатическими цепями будут иметь
вид

4. Для расчета
приведем систему к матричной форме:

.

5.
После подстановки в систему числовых
значений и решения матричной системы
найдем

,

,

.

6. С учетом заданных
положительных направлений напряжений
на конденсаторах (рис. 9.5) получим:

;        

;

;           

;                                       

;                 

.                 

7. Энергия
электрического поля всей цепи будет
составлять сумму энергий электрического
поля каждого конденсатора:

.

8. Проверим
правильность решения. По второму закону
Кирхгофа для внешнего контура цепи
(рис. 9.5) запишем:

.

После подстановки
числовых значений получим

,

.

Задачи для
самостоятельного решения

Задача 9.4.
Для схемы
(рис. 9.6) определить общую емкость
конденсаторов, заряд и напряжение
каждого конденсатора, если
,
,
,

,
,
.

О т в е т:
,
,
,
,
,
,
,

,

.

Задача 9.5.
Для схемы (рис. 9.7) определить общую
емкость цепи относительно входных
зажимов источника ЭДС и энергию,
запасаемую в электрическом поле всей
цепи. Дано:
,
,
,
,
,
,
.

О т в е т:
,

.

Задача 9.6.
Для схемы
(рис. 9.8) требуется определить заряд,
напряжение каждого конденсатора и
энергию электрического поля всей цепи,
если
,
,
,
,
,
.

О т в е т:
,
,
,

,
,
,
,
,

.

Рис. 9.6
Рис. 9.7

Задача 9.7.
Конденсаторы соединены по схеме, как
показано на рис. 9.9. Определить напряжение,
приложенное к каждому конденсатору,
если
,
,
,
,
,
,
.

О т в е т:
,
,
,
,
.

Рис. 9.8 Рис. 9.9

Задача 9.8.
Определить заряды на конденсаторах,
включенных по схеме рис. 9.10, если
,
,
,

,
,
,
.

О т в е т:

,

,

,
.

Задача 9.9.
Найти заряд
конденсатора, включенного по схеме
рис. 9.11. Дано:
,
,
,
,
,
.

О т в е т:
.

Рис. 9.10
Рис. 9.11    

10. ПРИМЕНЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ПРОГРАММНОЙ СРЕДЫ
MathCAD
ДЛЯ РАСЧЕТА
ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
ПОСТОЯННОГО ТОКА

При
расчете электрических цепей возникает
задача решения систем алгебраических
уравнений. C
целью автоматизации и ускорения процесса
расчета рассмотрим основные приемы
решений систем линейных алгебраических
уравнений, описывающих состояние цепей,
с помощью математической программной
среды MathCAD.

Покажем
основные возможности этой среды для
решения практических задач.

Задача 10.1

Определить
токи в ветвях цепи (рис. 10.1) методом
непосредственного применения законов
Кирхгофа, если
,
,
,
,
,
,
,
.

Рис. 10.1

Решение

1.
Система уравнений, составленная по
законам Кирхгофа, для расчета цепи (рис.
10.1) имеет вид

2.
Приведем систему к матричной форме
записи:

.

3. После подстановки
числовых значений получим

.

4. Решение матричной
системы позволяет определить токи
ветвей:

,

,

,

.

5.
Решение системы линейных алгебраических
уравнений в MathCAD
различными
способами.

Способ
1. С помощью
определителей по формулам Крамера.

Пример
вычислительного блока, реализованного
в среде MathCAD:

Способ
2. С помощью
векторных и матричных операторов при
решении задач линейной алгебры.

Пример
вычислительного блока, реализованного
в среде MathCAD:

Способ
3. Решение
матричной системы с применением функции

.

Пример
вычислительного блока, реализованного
в среде MathCAD:

Решение
матричной системы с применением функции

в ином формате:

Способ
4. Решение
системы уравнений при помощи вычислительного
блока «».

Пример
вычислительного блока, реализованного
в среде MathCAD:

П
р и м е ч а н и е. В
качестве знака равенства в системе
линейных уравнений следует использовать
знак логического равенства панели
.

Задача 10.2

Определить
токи в ветвях схемы (рис. 10.2) методом
узловых потенциалов. Дано
,
,
,
,
,
,
,
.

Рис. 10.2

Решение

1.
Примем потенциал узловой точки 1 равным
нулю ().
Система расчетных уравнений для
определения потенциалов
,

и

будет иметь вид

2. Приведем систему
к матричной форме записи:

.

3.
Решение матричной системы получим в
MathCAD
при помощи векторных и матричных
операторов.

Пример
вычислительного блока, реализованного
в среде MathCAD:

В
результате решения получены токи:
,
,
,
,
.

Задача 10.3

Пользуясь
методом контурных токов, рассчитать
все токи в ветвях схемы (рис. 10.3), если
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.

Рис. 10.3

Решение

1. Система уравнений,
составленная по второму закону Кирхгофа
относительно контурных токов, имеет
вид

где

.

2.
Действительные токи в ветвях цепи
определятся как алгебраическая сумма
контурных токов смежных контуров:

;

;

;

;

.

3.
Решение системы линейных уравнений и
расчет действительных токов в ветвях
схемы получим в MathCAD
при помощи вычислительного блока «».

Пример
вычислительного блока, реализованного
в среде MathCAD:

В
результате решения в MathCAD
с помощью вычислительного блока «»
получены следующие значения токов:

;

;

; 

;

;

.

Метод контурных токов.Решение задач

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество это уменьшение количества уравнений до m – n +1, напоминаем что m – количество ветвей, а n  – количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.

Основные понятия

Контурный ток – это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура.  Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например  I₁₁, I₂₂ и тд.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

Контурная ЭДС – это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.

Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.

Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.

Выполняем все поэтапно.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I₁-I₆. 

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I₁₁,I₂₂,I₃₃. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

R₁₁=R₁+R₄+R₅=10+25+30= 65 Ом

R₂₂=R₂+R₄+R₆=15+25+35 = 75 Ом

R₃₃=R₃+R₅+R₆=20+30+35= 85 Ом

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R₄ принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

R₁₂=R₂₁=R₄=25 Ом

R₂₃=R₃₂=R₆=35 Ом

R₃₁=R₁₃=R₅=30 Ом

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом: 

Ток первого контура I₁₁, умножаем на собственное сопротивление R₁₁ этого же контура, а затем вычитаем ток I₂₂, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R₂₁ и ток I₃₃, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R₃₁. Данное выражение будет равняться ЭДС E₁ этого контура.  Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему: 

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.  

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус. 

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.

Например, через резистор R₄ протекает ток I₄, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

А для остальных

Так решаются задачи методом контурных токов. Надеемся что вам пригодится данный материал, удачи!

Рекомендуем – Метод двух узлов

Просмотров: 186336

Расчет разветвленной линейной электрической цепи постоянного тока с несколькими источниками электрической энергии