Как найти токи в треугольнике сопротивлений

П

Рис. 3. 11. 3.12.

ри соединении треугольником (рис.
4.11.) каждая фаза приемника подключена
к двум линейным проводам, поэтому каждое
фазное напряжение равно соответствующему
линейному напряжению.

Таким образом,
соединение треугольником следует
применять тогда, когда каждая фаза
трехфазного приемника рассчитана на
напряжение, равное номинальному линейному
напряжению сети.

Рис. 4.11.

Фазные токи
,,в общем случае не равны линейным токам,,и могут быть найдены по следующим
соотношениям:

,
,.

Линейные токи
,,могут быть определены через значения
фазных токов. Из первого закона Кирхгофа
запишем:

,
,.

Использую указанные
соотношения и имея векторы фазных токов,
можно построить векторную диаграмму
линейных токов (рис. 4.12.).

При симметричной
нагрузке соединением «треугольник»
равны в отдельности активные и полные
реактивные сопротивления всех фаз
,

Однако, как правило,
однофазные приемники подключаются не
одновременно. Нагрузку можно считать
симметричной лишь тогда, когда включены
все приемники. Для каждой фазы могут
быть использованы все методы расчета,
рассмотренные ранее применительно к
однофазной цепи с одним источником.
Зная, например, фазные напряжения и
сопротивления, можно по закону Ома найти
фазные токи по формулам
,,

При симметричной
нагрузке,
,-фазные токи равны друг другу и сдвинуты
по фазе относительно соответствующих
фазных напряжений на одинаковые углы.

В

Рис. 3. 13.

екторная диаграмма фазных напряжений
и токов на рис. 4.13. показывает, что при
симметричной нагрузке векторы фазных
токов равны по величине и сдвинуты по
фазе относительно друг друга на угол.

Векторы линейных
токов
изображают результирующими векторов
фазных токов, как показано на рис. 4.13.
Из векторной диаграммы следует, что_.

Рис. 4.13.

Такое же соотношение
существует между любыми другими фазными
и линейными токами. Поэтому можно
написать, что при симметричной нагрузке

_.

Зная фазные
напряжения, токи и углы сдвига фаз между
ними, либо токи и сопротивления, можно
найти фазные мощности. Например, мощности
фазы АВ будут равны

Таким же путем
находим мощности фаз ВС и СА. В силу
равенства напряжений, токов, углов
сдвига фаз и сопротивлений при симметричной
нагрузке
,,.

При симметричной
нагрузке активная Р,
реактивная Q
и полная S
мощности трехфазного приемника
,,

.

В качестве
номинальных напряжений и токов трехфазных
приемников указываются обычно линейные
напряжения и токи. Учитывая это, мощности
трехфазных приемников желательно также
выражать через линейные напряжения и
токи
,,_.

4.6. Несимметричные нагрузки при соединении треугольником

Несимметричной
нагрузкой считают такую, при которой
активное или реактивное сопротивление
хотя бы одной из фаз не равно сопротивлениям
других фаз (рис. 4.14.) r_AB
= r_BC
= r_C;
X_AB=X_BC≠X
_CA.
В таком
случае при несимметричной нагрузке Z_AB
≠ Z_BC
≠ Z_CA.

Фазные токи, углы
сдвига фаз между фазными напряжениями
и токами, а также мощности могут быть
определены по формулам

,
,

Так как,
а при несимметричной нагрузкеZ_AB
≠ Z_BC
≠ Z_CA,
то.

Рис. 4.14.

Углы сдвига фаз
между фазными токами и напряжениями
зависят от величины и характера
сопротивлений фаз и могут быть определены
следующим образом
;;.

Т.о., при несимметричной
нагрузке фазные токи, углы сдвига фаз
и фазные мощности в общем случае
различные.

Зная фазные
напряжения, токи и углы сдвига фаз между
ними, либо токи и сопротивления, можно
найти фазные мощности. Например, мощности
фазы AB

Активные и реактивные
мощности приемника
;
.

Векторная диаграмма
при несимметричной нагрузке для случая,
когда в фазе AB
имеется активное сопротивление, в фазе
BC
– активное и индуктивное сопротивления,
фазе CA
– активное и емкостное сопротивления,
приведена на рис. 4.15. Построение векторов
линейных токов произведено в соответствии
с выражениями
,
,.

Если
кроме фазных токов, требуется определить
линейные токи, то их можно так же
определить по векторной диаграмме, не
прибегая к решению задачи в комплексной
форме.

Рис. 4.15.

О

Рис. 3. 15.

тключение нагрузки одной из фаз
можно считать частным случаем
несимметричной нагрузки, при которой
сопротивление отключенной фазы равно
бесконечности. Так при отключении фазыCA
сопротивление Z
_CA
= ∞. При этом, ток
;
фазные токи,
а также углыφ_AB,
φ _BC
не изменятся, а линейные токи
уменьшатся и будут равны
,
_.

          

Методы расчета резисторных схем постоянного тока

3. Преобразование и расчет цепей с помощью перехода «звезда» — «треугольник»

Рассматриваемый метод основан на том, что сложную схему, имеющую три вывода (узла), можно заменить другой, с тем же числом выводов (узлов). Замену следует произвести так, чтобы сопротивление участка между двумя любыми выводами новой схемы было таким же, как у прежней. В результате получится цепь, сопротивление которой эквивалентно сопротивлению данной по условию. Общее сопротивление обеих цепей будет одинаковым. Однако, поскольку в результате такого преобразования изменяются токи внутри цепи, такую замену можно проводить только в тех случаях, когда не надо находить распределение токов.

Подобные преобразования широко известны для случая двух выводов. Так, например, два резистора сопротивлениями R₁ и R₂, включенные последовательно, можно заменить одним резистором сопротивлением R₁ + R₂. Если резисторы включены параллельно, то их можно заменить одним резистором сопротивлением

$frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$

И в этих случаях распределение токов в цепи (или в части цепи) претерпевает изменения. Рассмотрим более сложное преобразование схем, имеющих три вывода (трехполюсников). Иначе это называется преобразованием «звезды» (рис. а) в «треугольник» (рис. б), и наоборот.

Сопротивления резисторов в схеме «звезда» обозначаются с индексом точки, с которой соединен этот резистор, например, резистор r₁ соединен с точкой 1. В «треугольнике» индексы резисторов соответствуют точкам, между которыми они включены, например, резистор R₁₃ подключен к точкам 1 и 3. Как отмечено выше, чтобы заменить одну из этих схем другой, нужно получить такие соотношения между их сопротивлениями, чтобы эквивалентные сопротивления между любыми точками были одинаковы для обеих схем (при условии сохранения числа этих точек). Так, в «звезде» сопротивление между точками 1 и 2 равно r₁ + r₂, в «треугольнике»

$frac{R_{12}(R_{13} + R_{23})}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$,

следовательно, для того чтобы сопротивления между точками 1 и 2 были одинаковы для обеих схем, необходимо, чтобы выполнялось следующее равенство:

$r_1 + r_2 = frac{R_{12}(R_{13} + R_{23})}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$.

Аналогично для точек 2 и 3 и для точек 1 и 3:

$r_2 + r_3 = frac{R_{23}(R_{12} + R_{13})}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$,

$r_1 + r_3 = frac{R_{13}(R_{12} + R_{23})}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$.

Сложим все эти уравнения и, поделив обе части на 2, получим:

$r_1 + r_2 + r_3 = frac{R_{12}R_{13} + R_{12}R_{23} + R_{13}R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$.

Вычитая из этого уравнения поочередно предыдущие, получим:

$r_1 = frac{R_{12}R_{13}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$,

$r_2 = frac{R_{12}R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$,

$r_3 = frac{R_{13}R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$.

Эти выражения легко запомнить:

знаменатель в каждой формуле есть сумма сопротивлений всех резисторов «треугольника», а в числителе дважды повторяется индекс, стоящий слева:

$r_1 rightarrow R_{12}R_{13}, r_2 rightarrow R_{12}R_{23}, r_3 rightarrow R_{13}R_{23}$.

Аналогично получают и формулы обратного преобразования:

$R_{12} = frac{r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3}{r_3}$,

$R_{13} = frac{r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3}{r_2}$,

$R_{23} = frac{r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3}{r_1}$.

Последние выражения также легко запомнить и проверить:

числитель у всех уравнений один и тот же, а в знаменателе стоит сопротивление резистора с индексом, которого не достает в левой части выражения.

Этот метод представляет собой наиболее универсальный подход к решению практически всех типов задач на разветвленные цепи.

Задача 27. Определите сопротивление цепи АВ (рис.), если R₁ = R₅ = 1 Ом, R₂ = R₆ = 2 Ом, R₃ = R₇ = 3 Ом, R₄ = R₈ = 4 Ом.

Решение. Преобразуем «треугольники» R₁R₂R₈ и R₄R₅R₆ в эквивалентные «звезды». Схема примет иной вид (рис.).

Сопротивления $r_1, r_2, …, r_6$ найдем по формулам:

$r_1 = frac{R_1R_8}{R_1 + R_2 + R_8} = frac{4}{7}$ Ом;

$r_2 = frac{R_1R_2}{R_1 + R_2 + R_8} = frac{2}{7}$ Ом;

$r_3 = frac{R_2R_8}{R_1 + R_2 + R_8} = frac{8}{7}$ Ом;

$r_4 = frac{R_4R_6}{R_4 + R_5 + R_6} = frac{8}{7}$ Ом;

$r_5 = frac{R_5R_6}{R_4 + R_5 + R_6} = frac{2}{7}$ Ом;

$r_6 = frac{R_4R_5}{R_4 + R_5 + R_6} = frac{4}{7}$ Ом.

Теперь нет никаких препятствий для расчета схемы, которая состоит из последовательно и параллельно соединенных резисторов (рис.). После простых расчетов получим

$R_{AB} = frac{47}{14}$ Ом

---

1.1. Шаговый (рекуррентный) метод

1.2. Метод преобразования

1.3. Метод равнопотенциальных узлов

1.3.1. Метод исключения «пассивных» участков цепи

1.3.2. Метод объединения равнопотенциальных узлов

1.3.3. Метод разделения узлов

1.3.4. Метод расщепления ветвей

1.4.1 Расчет эквивалентных сопротивлений линейных бесконечных цепей

1.4.2. Расчет эквивалентных сопротивлений плоскостных бесконечных цепей

1.4.3. Расчет эквивалентных сопротивлений объемных бесконечных цепей

2. Расчет цепей по правилам Кирхгофа

3. Преобразование и расчет цепей с помощью перехода «звезда» — «треугольник»

Какую тут можно провести аналогию?

Несколько одинаковых дырок. Через них протечёт воды в столько раз больше, чем через одну дырку, сколько дырок имеется.

Так если сопротивление больше, то проводимость что?

меньше

Сформулируйте своими словами формулу сопротивления участка из нескольких параллельных сопротивлений, чтобы лучше её запомнить.

Надо умножить все сопротивления, и разделить на сумму произведений этих сопротивлений, но в каждом этом произведнии одного сопротивления не хватает. Вы, может быть, и получше сформулируете.

Смотрим на “звезду” на рис. 3. Допустим, мы знаем сопротивления между точками

A и B, то есть (R_a+R_b);

A и C, то есть (R_a+R_c);

B и C, то есть (R_b+R_c).

Чему будут равны сопротивления R_a,   R_b,   R_c ?

Сформулируйте своими словами формулу из рисунка 3-4, чтобы лучше её запомнить.

Чтобы найти сопротивление луча “звезды”, надо умножить сопротивления сторон “треугольника”, которые “прилегают” (“имеют ту же букву”), и разделить на сумму сопротивлений всех сторон “треугольника”.

Сформулируйте своими словами формулу из рисунка 4-3, чтобы лучше её запомнить.

Чтобы найти сопротивление стороны “треугольника”, надо сложить сопротивления соответствующих сторон “звезды” (у которых “те же буквы”), и ещё прибавить произведение тех же сторон “звезды”, делёное на оставшуюся сторону.

Из векторной диаграммы цепи с последовательным соединением имеем треугольник напряжений:

,
где cos j – коэффициент мощности, .

Согласно закону Ома ; ; .
Делим каждую сторону треугольника напряжений на ток и получаем треугольник сопротивлений:

;   ;
;    .
Умножаем каждую сторону треугольника напряжений на ток, и получаем треугольник мощностей:

;  ;   
;    ,
здесь P – активная мощность [Вт]; S – полная мощность, вырабатываемая источником [ВА]; Q – реактивная мощность [ВАр].
Коэффициент мощности показывает, насколько эффективно и рационально используется энергия. Р характеризует ту часть энергетического процесса, в которой электрическая  энергия потребляется приемником и преобразуется в другие виды энергии, т.е. в полезные дела. Q характеризует ту часть энергетического процесса, которая связана с изменением энергии электрического поля емкости или магнитного поля индуктивности. Реактивная мощность не совершает полезной работы, т.к. электрическая энергия не преобразуется в другие виды энергии.