Как найти толщину стенки полого шара

Ну слушайте… Задачка на уровне шестого класса. Ну может восьмого, поскольку требуется знание не только закона Архимеда, но и формулы объёма шара…

Значит, берём материал плотностью ρ (для меди, если мне не изменяет память, это 8,9). Берём шар внешним диаметром D и внутренним – d. Объём материала стенок, стало быть, – 4π/3*(D³-d³), что, надеюсь, объяснений не требует. Вес, соответственно, 4ρπ/3*(D³-8d³). Чтобы шар плавал, этот вес должен быть равен (или меньше) весу воды того же “диаметра”, значит, граничное значение для внутреннего диаметра определяется из условия ρ(D³-d³)= ρ’D³ (ρ’ = 1 есть плотность воды). Откуда внутренний диаметр равен D*кубический корень из (1-1/ρ). Не штука убедиться, что толщина стенок тут будет зависеть от диаметра шара, причём прямо пропорционально. И коэффициент пропорциональности равен [1-кубических корння из (1-1/ρ)]/2. Чем больше ρ (= чем плотнее материал стенки), тем ближе подкоренное выражение к 0, что вполне логично (для материала бесконечной плотности потребовалась бы стенка нулевой толщины). С другой стороны, если ρ=1 (плотность материала стенок равна плотности воды), получаем толщину стенки, равную D/2, что тоже логично (толщина стенки равна радиусу шара, то есть для внутненней полости места нет. Да и не надо).

Для меди этот коэффициент примерно равен 0,0195 – толщина стенки должна составлять примерно 1/50 (прописью: ОДНУ ПЯТИДЕСЯТУЮ) диаметра шара.

Масса полой детали

Никогда не устану повторять, что масса тела — это его объем , умноженный на плотность его материала (см. таблицы плотностей):

Однако, в случае полой или пустотелой детали мы будем иметь дело не с объемом ее тела, а с объемом ее стенок. Объем стенок полой детали проще всего представить как разность объемов двух сплошных тел: с внешними размерами и с внутренними (из полного объема тела вычитается объем внутренней пустоты).
Формулы для объема сплошных тел можно найти в статье «Масса сплошной детали».

Примечание. В приведенных ниже формулах все размеры измеряются в миллиметрах, а плотность — в граммах на кубический сантиметр.
Буквой обозначено отношение длины окружности к ее диаметру, составляющее примерно 3,14.

1. Масса трубки (полого цилиндра)

Объем стенок трубки: , где — внешний диаметр трубки, — длина трубки, — толщина стенки.
После упрощения получаем формулу для объема:
Тогда масса трубки:

2. Масса полого (пустотелого) шара

Объем стенок шара: , где — внешний диаметр шара, — толщина стенки.
Тогда масса:

3. Масса полого сегмента шара

Объем стенок сегмента шара: , где — внешний диаметр основания сегмента, — высота сегмента, — толщина стенки*.
После упрощения получаем формулу для объема:
Тогда масса:

4. Масса полого усеченного конуса

Объем стенок круглого усеченного конуса: , где — внешний диаметр большего основания, — внешний диаметр меньшего основания, — высота конуса, — толщина стенки*.
После упрощения получаем формулу для объема:
Тогда масса:

5. Масса полой усеченной пирамиды

Для простоты рассмотрим усеченную пирамиду с квадратным основанием. Объем ее стенок: , где — внешний размер большего основания, — внешний размер меньшего основания, — высота пирамиды, — толщина стенки*.
После упрощения получаем формулу для объема:
Тогда масса:

* в данном случае — это не вполне толщина стенки. Строго говоря, мы имеем тут дело с двумя величинами: та , что стоит в формулах за скобкой, это точно толщина стенки, а та , которую мы отнимаем от внешнего размера тела, чтобы получить его внутренний размер, — это толщина стенки, деленная на косинус угла наклона образующей. Но в большинстве случаев толщина стенки не превышает нескольких процентов от размеров тела, и ошибкой можно пренебречь. Однако, для толстостенных деталей это обстоятельство нужно учитывать.