Как найти траекторию движения точки физика

Траектория движения в физике, теория и онлайн калькуляторы

Траектория движения

Определение и основные понятия траектории движения

Во многих задачах интерес представлю не только перемещения материальных точек в пространстве, но и траектории их движения.

В зависимости от формы траектории механическое движение можно разделить на:

• прямолинейное движение, траекторией движения точки в этом случае является прямая линия;
• и криволинейное перемещение (траектория – кривая линия).

Форма траектории зависит от выбора системы отсчета. В разных системах отсчета траектории могут быть представлены разными линиями, могут быть прямыми и кривыми.

При движении точки с постоянным ускорением, которое описывает уравнение:

[overline{r}left(tright)={overline{r}}_0+{overline{v}}_0t+frac{overline{a}t^2}{2}left(1right),]

(где $overline{r}left(tright)$ – радиус-вектор точки в момент времени $t$; ${overline{v}}_0$ – начальная скорость движения точки; $overline{a}$ – ускорение точки,) траектория движения представляет собой плоскую кривую, что означает все точки этой кривой находятся в одной плоскости. Положение этой плоскости в пространстве задают векторы ускорения и начальной скорости. Ориентацию координатных осей чаще всего выбирают так, чтобы плоскость движения совпадала с одной из координатных плоскостей. В этом случае векторное уравнение (1) можно свести к двум скалярным уравнениям.

Уравнение траектории движения

Рассмотрим свободное движение тела около поверхности Земли. Начало координат разместим в точке бросания тела (рис.1). Оси координат направим так, как изображено на рис.1.

Тогда уравнение движения тела (1) в проекциях на координатные оси декартовой системы координат принимает вид системы из двух уравнений:

[left{ begin{array}{c}
x=v_0t{cos alpha left(2right), } \
y=v_0t{sin alpha }-frac{gt^2}{2}left(3right). end{array}
right.]

Для того чтобы получить уравнение траектории движения тела ($y=y(x)$) следует исключить время движения тела из уравнений (2) и (3). Выразим из уравнения (2) $t$ и подставим его в выражение (3), получим:

[t=frac{x}{v_0{cos alpha }}; y=v_0frac{x}{v_0{cos alpha }}{sin alpha }-frac{g}{2}{left(frac{x}{v_0{cos alpha }}right)}^2to y=x tg alpha -frac{gx^2}{2v^2_0{cos}^2alpha }left(4right).]

Выражение (4) это уравнение параболы, проходящей через начало координат. Ее верви направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ меньше нуля.

Вершина этой параболы находится в точке с координатами:

[left{ begin{array}{c}
x=frac{v^2_0{sin alpha {cos alpha } }}{g} \
y=frac{v^2_0{sin}^2alpha }{2g} end{array}
right.left(5right).]

Найти координаты вершины траектории можно при помощи известных правил исследования функций на экстремум. Так, положение максимума функции $y(x)$ определяют, приравнивая к нулю первую производную ($frac{dy}{dx}$) от нее по $x$.

Обратимость движения

Из представления о траектории можно конкретизировать смысл обратимости механического движения.

Пусть частица движется в силовом поле таком, что ее ускорение в любой точке обладает определенной величиной, не зависящей от скорости. Как будет двигаться эта частица, если, в какой то точке ее траектории направление скорости заменить противоположным? С точки зрения математики это эквивалентно замене $t $ на $-t$ для всех уравнений. Уравнение траектории время не содержит, получается, что частица будет перемещаться «вспять» по той же самой траектории. При этом отрезки времени между любыми точками траектории будут одинаковы при прямом и обратном движении. Всякой точке траектории ставится в соответствие определенное значение величины скорости независимо от направления движения по данной траектории. Данные свойства наглядны в колебательных движениях маятника.

Все сказанное выше справедливо тогда, когда можно пренебречь любым сопротивлением движению. Обратимость движения существует, когда выполняется закон сохранения механической энергии.

Параметры траектории движения

Положение точек системы отсчета можно определять при помощи разных способов. В соответствии с этими способами описывают и движение точки или тела:

• Координатная форма описания движения. Выбирается система координат, в ней положение точки характеризуют тремя координатами (в трехмерном пространстве). Это могут быть координаты $x_1=x,x_2=y,x_3=z$, в декартовой системе координат. $x_1=rho ,x_2=varphi ,x_3= z$ в цилиндрической системе и т.д. При перемещении точки координаты являются функциями времени. Описать движение точки – это значит указать эти функции:

[x_1=x_1left(tright);; x_2=x_2left(tright);; x_3=x_3left(tright)left(6right).]

• При описании движения в векторной форме положение материальной точки задает радиус-вектор ($overline{r}$) по отношению к точке, которую принимают начальной. В этом случае вводят точку (тело) отсчета. При перемещении точки вектор $overline{r}$ постоянно изменяется. Конец этого вектора описывает траекторию. Движение задает выражение:

[overline{r}=overline{r}left(tright)left(7right).]

• Третьим способом описания движения является описание с помощью параметров траектории.

Путь – это скалярная величина, равная длине траектории.

Если траектория задана, то задачу описания движения сводят к определению закона движения вдоль нее. При этом выбирается начальная точка траектории. Любая другая точка характеризуется расстоянием $s$ по траектории от начальной точки. В таком случае движение описывают выражением:

[s=sleft(tright)left(8right).]

Пусть по окружности радиуса R равномерно перемещается точка. Закон движения точки по окружности в рассматриваемом методе запишем как:

[s=Atleft(9right),]

где $s$ – путь точки по траектории; $t$ – время движения; $A$ – коэффициент пропорциональности. Известными являются окружность и точка начала движения. Отсчет положительных величин $s$ совпадает с направлением перемещения точки по траектории.

Знание траектории движения тела во многих случаях существенно упрощает процесс описания движения тела.

Примеры задач с решением

Читать дальше: ускорение тела.

Общие сведения

Под движением тела понимают процесс его перемещения из одной точки пространства в другую. Произошедшее действие исследуют относительно другого объекта или выбранных начальных координат. При этом положение вовсе не обязательно может изменяться сразу ко всем окружающим его телам. Например, стоящий человек на Земле находится в состоянии покоя по отношению к планете, но движется относительно Солнца.

В физике принято любое изменение определять в системе пространственных координат. За оси принимают перпендикулярные линии x, y, z. Совокупность данных, используемых для изучения движения, называют системой отсчёта.

Существует несколько видов механического перемещения (во времени) физической точки:

• равномерное и равноускоренно прямолинейное;
• по дуге;
• гармоническое колебание.

При движении тело проходит определённый путь. Описать его можно виртуальной линией, при этом она может быть как прямой, так и кривой. Именно она и называется траекторией движения. По сути, эта линия соединяет последовательно все положения точки в пространстве — от начальной до конечной. Длина отрезка является пройденным путём и считается векторной величиной.

Изменение радиус-вектора r (значения, задающего положение точки в пространстве относительно другого тела) описывает кинематический закон: r = r (t). В трёхмерных декартовых координатах его можно записать так: r = xe + ye + ze = (x, y, z). Вектор, построенный из начальной точки движущегося тела в расположение её в данный момент времени, то есть приращение радиус-вектора за определённый промежуток t, как раз и называют перемещением.

Результирующее движение же равно векторной сумме последовательных изменений положения. При прямолинейном перемещении вектор пути совпадает с соответствующим участком траектории, а модуль перестановки равняется пройденному расстоянию.

Время, за которое тело пройдёт по установленной траектории пути, называют скоростью. Фактически это быстрота изменения координаты. Физики, исследуя передвижение, изучают не только положение материальной точки в начальный и конечный момент времени, но и закон, по которому происходит перемещение. Другими словами, они определяют зависимость радиус-вектора от времени.

Горизонтальное перемещение

Пусть имеется тело, брошенное горизонтально поверхности. Высота падения равняется h, а начальная скорость V0. Здесь систему отсчёта удобно связать с Землёй. Объект будет передвигаться под действием силы тяжести. Остальными силами, например, сопротивлением воздуха, можно пренебречь. Тело перемещается в плоскости, содержащей вектора ускорения и свободного падения (g).

Таким образом, система начальных условий будет выглядеть так: x (t = 0) = 0; y (t = 0) = 0; v0x = v0; voy = 0. Вектор ускорения постоянный, поэтому a = g. Если тело представить как совокупность материальных точек, движущихся по одинаковому пути, то путь можно определить как сумму перемещений по прямым. Уравнение скорости примет вид: v (t) = v0 + gt. Об изменении положения можно сказать, что оно выполняется с постоянной скоростью и ускорением в горизонтальной плоскости, являясь равномерным. Значит, проекцию на оси ординаты и абсциссы можно записать как vx = v0; vy = -gt.

Скорость перемещения рассчитывают по формуле: V = √‎(V ² x + V² y). После подстановки полученных ранее выражений равенство примет вид: V = √‎(V ² 0 + g ² t ²). Отсюда следует, что уравнение для вектора движения материальной точки будет: s (t) = s0 + V0t + (g t ²) / 2, где: s0 — смещение тела, соответствующее начальному моменту времени.

Так как s0 = y (t = 0) = h0, то скалярные выражения для координат изменяющей положение частицы можно представить в виде системы: x = V0t; y = h0 — (gt² / 2). Перемещение происходит по прямой как отдельное движение в двух плоскостях, при этом из формулы следует, что изменение положения будет соответствовать правой половине направленной вниз параболы. Учитывая то, что время можно определить из отношения икса к начальной скорости (t = x /V0), можно записать окончательную формулу для вычисления траектории движения тела: y = h0 — (gx²) / (2²V0) .

Можно сделать вывод, что уравнение траектории не записывается через время, поэтому частица будет и перемещаться обратно по той же самой траектории. Временные отрезки между точками пути будут одинаковы как при прямом, так и при обратном движении.

Каждому положению соответствует определённое значение скорости, которое не зависит от направления перемещения. Нужно отметить, что наибольшей величиной в горизонтальной траектории полёта будет начальная точка.

Движение тела под углом

Свободное падение является частным случаем равноускоренного, то есть на перемещаемый объект действует только сила притяжения. Если физическая точка перемещается, то кривая, которая описывается её радиус-вектором, обозначает пройденный путь. Эту траекторию можно описать некоторой математической функцией.

Итак, вектор скорости точки определяется как производная по времени: V = dr / dt = r. Ускорение же можно найти, продифференцировав скорость: a = dV / dt = d ² r / dt. Если обозначить производную времени точкой, то формулу можно переписать так: a = V = r.

Для того чтобы вывести формулу, нужно воспользоваться основными выражениями, определяющими проекции:

• ускорения: ax = 0, ay = – g, az = 0;
• радиус-вектора: rx (t) = V0 * cosat, ry (t) = v * sin (at — (g * t2)/2)), rz (t) = 0;
• скорости: vx (t) = V0 * cosa, vy (t) = V0 * sin (a — gt), vz (t) = 0.

Чтобы запись зависимости вертикальной оси от горизонтальной была как можно более компактной, соответствующие координаты rx и ry можно обозначить через икс и игрек. Из уравнения, связывающего координатную ось X и время, можно определить t как функцию ординаты. Линейное выражение будет иметь вид: t = x / (Vo * cosa).

Если полученную формулу для времени подставить в уравнение для игрек координаты, то вместо временного параметра появится икс. То есть можно будет вывести зависимость абсциссы от ординаты: y = V 0 * sinat — (g * t²) / 2 = (tga) * x — (g / 2 * V0 * cos²a) * x². Значение t нужно подставить в каждое слагаемое, но при этом учесть, что отношение синуса к косинусу называют тангенсом. Альфа в формуле — это угол между направлением начальной скорости и горизонтальным направлением (угол броска). После исключения времени из этих уравнений получим уравнение траектории.

В итоге останется два слагаемых. Первое будет линейно по иксу, а второе квадратично. Таким образом, зависимость игрека от икса в уравнении траектории — это парабола (справа стоит квадратичная функция). Она проходит через начало координат. Если верно равенство x = 0, то игрек тоже будет равняться нулю.

Следует обратить внимание на то, что в квадрате стоит отрицательный коэффициент. Известно, что если перед квадратичным слагаемым в уравнении параболы стоит отрицательное число, то концы кривой будут направлены вниз.

Решение задач

Решение практических заданий лучше всего помогает закрепить полученные знания. Существуют физические сборники, которые интересны тем, что включают в себя различные примеры, приближенные к реалистичным задачам. Прорешивая их самостоятельно, ученик не только лучше разберётся в теме, но и научится применять полученные знания на практике.

Вот два таких задания:

1. Пусть имеется тело, движение которого описывается равенствами: x = Vx * t; y = y0 + Vy * t. Нужно определить траекторию его перемещения, учитывая, что Vx = 20 см/с, Vy = 2 м/с, Yo = 0,2 м. Для решения задачи нужно записать систему, определяемую исходными данными. Затем из первого равенства выразить время: t = x / Vx. Полученную формулу можно подставить в выражение нахождения координат абсциссы: y = y0 + (Vy * x) / Vx. Если теперь использовать исходные данные, то уравнение, описывающее траекторию, примет вид: y = 0.2 + 4x. Равенство напоминает собой формулу прямой: y = k * x + b. Исходя из этого можно утверждать, что траектория пути также будет представлять собой прямую линию. Действительно, в этом можно убедиться, если построить график движения. Для этого нужно взять несколько произвольных значений для икса, подставить их в формулу и найти вторую координату.
2. Следующая задача довольно интересная. Нужно составить траекторию движения для тела, движущегося равномерно со скоростью два метра в секунду, при отклонении пути от оси икс на 60 градусов. За начало координат нужно принять точку (0, 0). Тогда начальный радиус-вектор тоже будет равен нулю: R = 0. Для успешного решения примера понадобится вспомнить скалярные уравнения для проекции при равномерном движении. Так как по условию вектор задан, то можно найти его проекцию на ось игрек: Vx = v * cos60 = 1; Vy = v * cos30 = √‎3. Отсюда: x = Vx * t = t; y = Vy * t = √‎3t.

Таким образом, чтобы успешно решать задачи, нужно знать несколько основных формул для определения местоположения тела, а также то, как выглядят уравнения параболы и прямой.

Стоит отметить, что существующие онлайн-калькуляторы не умеют вычислять формулы, описывающие траекторию пути. Но вместе с тем их можно использовать для выполнения расчётов или как справочники.

Траектория движения тела – это линия, которая была описана материальной точкой при перемещении из одной точки в другую с течением времени.

Виды движений тела

Существуют несколько видов движений и траекторий твердого тела:

• поступательное;
• вращательное, то есть движение по окружности;
• плоское, то есть перемещение по плоскости;
• сферическое, характеризующее движение по поверхности сферы;
• свободное, иначе говоря, произвольное.

Рисунок 1. Определение точки при помощи координат x=x(t), y=y(t), z=z(t) и радиус-вектора r→(t), r0→ является радиус-вектором точки в начальный момент времени

Положение материальной точки в пространстве в любой момент времени может быть задано при помощи закона движения, определенный координатным способом, через зависимость координат от времени x=x(t), y=y(t), z=z(t) или от времени радиус-вектора r→=r→(t), проведенного из начала координат к заданной точке. Это показано на рисунке 1.

Перемещение тела

Перемещение тела s→=∆r12→=r2→-r1→ – направленный отрезок прямой, соединяющий начальную с конечной точкой траектории тела. Значение пройденного пути l равняется длине траектории, пройденной телом за определенный промежуток времени t.

Рисунок 2. Пройденный путь l и вектор перемещения s→ при криволинейном движении тела, a и b – начальная и конечная точки пути, принятые в физике

По рисунку 2 видно, что при движении тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути.

Перемещение принято считать векторной величиной. Этот отрезок имеет направление.

Путь – скалярная величина. Считается числом.

Сумма двух последовательных перемещений из точки 1 в точку 2 и из токи 2 в точку 3 является перемещением из точки 1 в точку 3, как показано на рисунке 3.

Рисунок 3. Сумма двух последовательных перемещений ∆r→13=∆r→12+∆r→23=r→2-r→1+r→3-r→2=r→3-r→1

Когда радиус-вектор материальной точки в определенный момент времени t является r→(t), в момент t+∆t есть r→(t+∆t), тогда ее перемещение ∆r→ за время ∆t равняется ∆r→=r→(t+∆t)-r→(t).

Перемещение ∆r→ считается функцией времени t: ∆r→=∆r→(t).

1. Кинематика

2.1. Траектория, скорость, ускорение материальной точки

Траектория
точки.
Геометрическое
место последовательных положений
движущейся точки называется ее
траекторией.
Если в интервале времени

траектория 
прямая линия, то движение в этом интервале
называется прямолинейным,
в противном случае движение называется
криволинейным.

С

Рис.
2.1

корость точки.
Пусть
положение движущейся точки М
относительно произвольно выбранного
неподвижного центра О
определяется в момент времени t
радиус-вектором

,
который соединяет движущуюся точку М
с центром О
(рис.
2.1).

За
время

радиус-вектор изменится на

.

Мгновенная
скорость точки

в момент времени t
определяется как предел средней скорости
при t
→ 0,
т. е.

.
(2.1)

Производная
по времени от функций обозначается
точкой над символом этой функции, а
вторая производная – двумя точками.

Вектор
скорости приложен в точке М,
направлен в сторону ее движения по
предельному направлению вектора

→
0, т. е. совпадает
с касательной к траектории в точке М.
Размерность скорости в СИ:

= длина/время = м/с. Часто скорость выражают
в км/ч = 0,28 м/с.

Скорость – это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки

Ускорение
точки. Пусть
движущаяся точка М
в момент времени t
имеет скорость

(рис.
2.2). В момент времени

=
t + Δt
эта точка занимает положение

,
имея скорость

.
Чтобы изобразить приращение скорости

за время Δt,
перенесем вектор скорости

параллельно самому себе в точку М,
тогда

.

Ускорением
точки

в момент времени t
называют предел, к которому стремится
среднее ускорение при Δt
→ 0, т. е.

Рис.
2.2

. (2.2)

Вектор
ускорения

всегда направлен внутрь вогнутости под
любым углом к касательной к траектории
движения (рис. 2.2). Размерность ускорения
в СИ:

= длина/время²
= м/с².

Ускорение – это векторная величина, характеризующая быстроту изменения модуля и направления вектора скорости.

Движение
точки на плоскости

К

Рис.
2.3

Рис.
2.5

оординатный способ задания движения
точки. Зададим радиус-вектор

в декартовой системе координат
Оху:

.

Тогда
движение точки можно задать уравнениями

(2.3)

Уравнения
(2.3) являются уравнениями движения точки,
а также уравнениями траектории точки,
заданными параметрически. Уравнение
траектории в системе координат

будет иметь вид функции

(рис. 2.3). Для получения этой зависимости
следует из уравнений (2.3) исключить
параметр


_.
Уравнение
траектории в явном виде будет иметь вид
функции

.

Скорость
и ускорение точки по модулю и направлению
вычисляются по формулам:

;

Содержание
контрольных работ для студентов на тему
«кинематика точки» дано в приложении
(контрольная работа 1, задача 1).

Пример
2.1. Движение
точки M
по плоскости Оху
задано уравнениями движения

.
(а)

Значения
х и
у – в
метрах. Построить траекторию движущейся
точки, вычислить скорость и ускорение
точки в моменты времени

и

.

Решение.
Для
построения
траектории движущейся точки в декартовой
системе координат определим область,
в которой движется точка, т. е. область
значений

и

.¹
Так как

и

,
получаем:

Выделяем
область, ограниченную полученными
неравенствами, за эту область точка при
движении не выходит (рис. 2.4) Исключим
параметр t
из
уравнений движения (a).
Для этого делим первое уравнение на 2,
второе – на 4, возводим их в квадрат и
складываем между собой:

Учитывая,
что

,
получим:

. (б)

Траекторией
движущейся точки является эллипс (рис.
2.4). Подставляя в (а) значение

,
находим:

;

м.

Точка
в начальный момент времени занимает
положение

.

_{Определим
направление движения точки. Уравнения
движения (а) заданы возрастающей функцией}

и убывающей функцией

,
поэтому при увеличении t
координата «х» возрастает, а «у»
убывает, следовательно, точка движется
по эллипсу по часовой стрелке.

Р ис.2.4

Определим модуль и направление вектора скорости точки М. Имеем: (в) Определим модуль и направление вектора ускорения точки М. Имеем:

(г)

При

из (а) получаем, что точка М
имеет координаты х₁
= 2,

у₁
= 0, т. е.
занимает положение (рис. 2.4) М₁.
Подставляя в (в) и (г) время

,
получим

Откладываем
значение скорости (рис. 2.5, а)
и ускорения (рис. 2.5, б)
точки М₁
на траектории.

При

из (а) получаем, координаты точки

:

.

Вычислим, используя
(в) и (г), модуль и направление векторов
скорости и ускорения.

а	б
Рис. 2.5

Имеем:

для
ускорения

,

.

Откладываем
значение скорости (рис. 2.5, а)
и ускорения (рис. 2.5, б)
точки

на
траектории.

Вектор
скорости точки совпадает по направлению
с касательной к траектории в точках

и

,
а вектор ускорения в точках

и

направлен во внутрь вогнутости траектории
(к центру О).

Ответ:
V₁=
8 м/с,
a₁=
8 м/с²;
V₂=
6,3 м/с, a₂=
12,6 м/с².

Естественный
способ задания движения точки.

Р ис. 2.6

При естественном способе задания движения точки задаются (рис. 2.6): – траектория движения точки; – начало и направление увеличения дуговой координаты ; – уравнение движения точки по траектории, как функция времени: где S – дуговая координата, отчитываемая от начала движения.

Примером
естественного способа задания движения
является движение поезда: траектория
и направление движения определены
рельсами, а уравнение движения задано
таблицей – расписанием движения поезда.

Движение
точки рассматривается в координатах

.
Единичный вектор

направлен по вектору скорости, единичный
вектор

перпендикулярен вектору

,
направлен по главной нормали кривой в
сторону ее вогнутости (рис. 2.6).

Скорость
точки

направлена по касательной и равна

Ускорение

точки

при
естественном способе задания движения
раскладывается на два – касательное
ускорение

,
и нормальное ускорение

:

.

Касательное
ускорение

характеризует изменение величины
скорости, нормальное

– изменение направления вектора
скорости.

Естественный способ задания движения это: + траектория , – касательное ускорение; – нормальное ускорение; .

Связь координатного
и естественного способов заданий
движения точки

Рис. 2.7

Известно,
что если
точка движется в плоскости О
,
элемент дуги

связан
с приращениями координат теоремой
Пифагора (рис. 2.7):

При

имеем

,

тогда
дифференциал дуги

связан с дифференциалами функций

и

(рис.2.7):

,

(знак
+ или 
совпадает со знаком

,
так как

).

Пример
2.2.

Точка
движется в плоскости

.
Уравнение движения точки задано
координатами

,

,
где

и

выражены в см,


в с.

Исходные
данные:

(см);

(см).

Требуется:

1. Записать
   уравнение траектории в явном виде:
   

   (или
   
   ).

2. Построить
   траекторию.

3. Определить
   положение точки в начальный момент
   времени
   

   и момент времени
   

   с, направление движения точки по
   траектории.

4. Вычислить
   вектор скорости
   

   и вектор ускорения

   точки в начальный (
   )
   и конечный (

   с) моменты времени.

5. Задать
   движение точки естественным способом
   (вывести закон
   
   ).

6. Геометрически
   и аналитически определить нормальную
   

   и касательную
   

   составляющие ускорения точки в начальный
   и конечный моменты времени.

7. Найти
   радиус кривизны траектории в начальный
   и конечный моменты времени.

Решение

1. Выводим
   уравнение траектории в явном виде.

Из
первого уравнения системы:

;
из второго уравнения системы:

.
Получаем:

;

;

;

,
или

.

Таким
образом, получаем уравнение параболы

.

1. Строим
   траекторию в масштабе
   

   (рис. 2.8).

Ветви
параболы вытянуты вдоль оси

.
Вершина параболы:

;

см

С (−1;0).

, см	± 1	± 2
, см	0,5	5

1. Определяем
   положение точки в заданные моменты
   времени.

;

М₀
(−1; 0);

с;

М₁
(0,5; 1).

Рис. 2.8

Направление
движения точки по траектории в промежуток
времени от

с до

с определяем по уравнениям движения

и

:

• 

  – функция
  убывающая, но она в выражении со знаком

  «–», значит, координата

  возрастает;

• 

  – функция
  возрастающая, значит, координата

  возрастает.

Таким
образом, движение точки по параболе в
указанный промежуток времени происходит
по часовой стрелке (по верхней ветви
параболы) (рис. 2.8).

В
целом, точка совершает колебательные
движения по построенной параболе в
области, указанной пунктиром на графике
(рис. 2.8).

1. Вычисляем
   скорость и ускорение для заданных
   моментов времени.

Так
как движение точки задано координатным
способом, то скорость

и ускорение

определяются по их проекциям на
координатные оси (рис. 2.9).

Скорость

:

см/с;

см/с;

;

см/с;

см/с;

см/с;

с;

см/с;

см/с;

см/с;

Рис. 2.9

Масштабы:
чертежа в 1 см 
0,5 см; скоростей в 1 см 
0,233 см/с; ускорений в 1 см 
0,236 см/с².

Ускорение

:

см/с²;

см/с²;

;

см/с²;

см/с²;

см/с²;

с;

см/с²;

см/с²;

см/с².

Выводим
закон движения точки в естественной
форме, имеем:

.

Для
промежутка времени от

с до

с имеем:

;

=
=

,
см.

1. Вычисляем
   нормальное и касательное ускорения.

а)
Аналитически:

;

см/с²;

см/с²;

с;

см/с²,

=

см/с².

Так
как

,

,
движение точки в момент времени

с ускоренное.

б)
Графическое решение предполагает
выполнение геометрического равенства

для
соответствующего момента времени (рис.
2.9).

1. Вычисляем
   радиус кривизны траектории.

Из
формулы

получаем для каждого времени

:

;

см;

с;

см.

Ответ:

см	см/с
−1	0	0,5	1	0	1,05	1,05	2,7	0,9	2,8
см/с2
3,3	0	3,3	1,6	−0,3	1,6
см/с2	см
граф.	анал.	граф.	анал.	граф.	анал.	граф.	анал.
0	0	3,3	3,3	1,45	1,45	0,68	0,68	0,33	11,53

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.

Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.

Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.

Путь

Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.

Вектор перемещения

Вектор перемещения (или просто перемещение) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.

Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.

Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы Траектория и Путь), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.

На рис. 1.1:

Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия.

Правило сложения векторов

Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).

Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.

На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:

а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма

Проекции вектора перемещения

При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения  (см.рис. 1.3).

Выберем ось ОХ так, чтобы вектор лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно А_x и В_x. Длина отрезка А_xВ_x на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть

Sx = AxBx

ВАЖНО!
Напоминаю для тех, кто не очень хорошо знает математику: не путайте вектор с проекцией вектора на какую-либо ось (например, S_x). Вектор всегда обозначается буквой или несколькими буквами, над которыми находится стрелка. В некоторых электронных документах стрелку не ставят, так как это может вызвать затруднения при создании электронного документа. В таких случаях ориентируйтесь на содержание статьи, где рядом с буквой может быть написано слово «вектор» или каким-либо другим способом вам указывают на то, что это именно вектор, а не просто отрезок.

Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.

Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть

Sx = x – x0

Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:

Sy = y – y0
Sz = z – z0

Здесь x₀, y₀, z₀ — начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z — конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).

Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).

Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.

Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.

Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х₀ и у₀, то есть А(х₀, у₀). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.

Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.

Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:

Sx = x – x0
Sy = y – y0

На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора, с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как

АС = sx
CB = sy

По теореме Пифагора

S2 = Sx2 + Sy2

Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:

Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ. Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен. В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.