Как найти траекторию точки по координатам

Содержание:

Координатный способ определения движения точки:

При координатном способе определения движения точки должны быть даны уравнения движения, т. е. заданы координаты точки как функции времени:

Задание движения точки в прямоугольных координатах

Как известно из курса аналитической геометрии, положение точки M в пространстве может быть определено положением ее проекций P, Q и R на три взаимно перпендикулярные оси (рис. 84), называемые осями координат.

Рис. 84

Положение точки P на оси Ox вполне определяют абсциссой х. Совершенно так же положение точек Q и R определяют ординатой у и аппликатой z.

Если точка M движется относительно осей xOyz, то проекции Р, Q и R перемещаются по осям и координаты точки M изменяются.

Для определения движения точки M нужно знать ее координаты для каждого мгновения, выразить их в функциях времени.

x = x(t),    (58′)
y = y(t),    (58″)
z = z(t), (58″‘)

Эти функции непрерывны, так как точка не может из одного положения перейти в другое, минуя промежуточные. Они должны быть однозначны, так как точка занимает в пространстве в каждое мгновение только одно положение.

Соотношения (58) называют кинематическими уравнениями движения точки в прямоугольных координатах, а способ определения движения точки посредством соотношений (58) называют координатным способом определения движения точки. Это название неточно, потому что, кроме прямолинейных прямоугольных координат, существует множество других координатных систем.

Если траектория точки лежит в одной плоскости, то движение точки определяют двумя уравнениями в системе координат xОy: x=x(t), y=y(t).

Следовательно, при координатном способе задания движения точки в пространстве нужно задать ее три координаты, а на плоскости—две координаты как функции времени. Если точка движется прямолинейно, то, приняв прямую, по которой она движется, за ось абсцисс, мы определим движение точки одним уравнением

x = x(t).

Если движение точки задано в координатной форме, то для определения ее траектории надо из уравнений движения исключить время

Уравнение траектории

Можно определить траекторию точки, если в уравнениях движения (58) давать аргументу t различные значения и, вычислив соответствующие значения функций, отмечать положения точки по ее координатам. Следовательно. кинематические уравнения движения точки (58) можно
рассматривать как уравнения ее траектории в параметрической форме, а время — как независимый переменный параметр.

Однако более удобно получить уравнение траектории, исключив время из уравнений (58). В самом деле, траекторией называют геометрическое место всех положений движущейся точки, но в геометрии нет понятия времени, а поэтому для получения уравнения траектории нужно из кинематических уравнений движения (58) исключить время t. Если точка движется в плоскости, то, исключив время из уравнений (58′) и (58″), мы получим соотношение, связывающее х и у:

f(x, у) = 0.    (59)

Это уравнение плоской кривой—траектории точки. Если же движение задано тремя уравнениями (58), то, исключив время, получим два уравнения между тремя координатами:
    (59^/)

выражающие, как известно из аналитической геометрии, кривую (траекторию) в пространстве. Точнее говоря, уравнения (59) или (59′) выражают кривую, которая полностью или в некоторой своей части является геометрическим местом всех положений движущейся точки.

Иногда бывает нужно выразить в естественной форме движение точки, заданное в прямоугольных координатах уравнениями (58), и, кроме уравнения траектории, дать также уравнение (51) движения точки по траектории. Чтобы его получить, надо продифференцировать уравнения (58) и полученные дифференциалы координат точки подставить в известную из курса высшей математики формулу, выражающую абсолютную величину элемента дуги:

    (60)

Проинтегрировав (60), мы получим уравнение (51), выражающее длину дуги s как функцию времени, или, что то же, закон движения точки по траектории.

Задача №1

По заданным уравнениям движения точки в координатной форме найти уравнение траектории и уравнение движения по траектории:

1)    х = 5 cos 2t,       y = 3+5sin 2t;
2)    x=21,2 sin² t,    у = 21,2 cos 2t.

В обоих примерах за единицу длины принят сантиметр, за единицу времени — секунда.

Решение. Чтобы определить уравнение траектории по уравнениям движения, перенесем во втором из заданных уравнений 3 влево, возведем оба уравнения в квадрат и, сложив, получим

x² + (y-3)² = 25.

Это уравнение окружности с центром в точке: x = 0, y = +3.

Чтобы получить закон движения, продифференцируем заданные уравнения: dx=—10 sin 2t dt, dy = 10 cos 2t dt.

Возводя в квадрат, складывая, извлекая квадратный корень и интегрируя, находим закон движения по траектории:
s=10t + C, где C = s₀.

2) Исключим время из уравнений движения во втором примере:

x+y = 21,2.

Это уравнение первого порядка относительно х и у, следовательно, траектория-прямая линия. Прямая отсекает на положительных направлениях осей координат отрезки по 21,2 см. Однако не вся прямая служит траекторией точки: из заданных уравнений видно, что х и у должны быть всегда положительны и не могут быть больше 21,2 см каждый, поэтому траекторией точки является лишь отрезок прямой x+y = 21,2, лежащей в первом квадранте (рис. 85).

Рис. 85

На этом примере мы видим, что траекторией точки иногда является лишь часть линии, выражаемой уравнением траектории.

Продифференцируем уравнения движения:

dx = 21,2 ∙ 2 sin t cos t dt,
dy = 21,2 ∙ 2 sin t cos t dt.

Теперь no формуле (60) нетрудно найти элемент дуги траектории:

ля получения уравнения (51) движения точки по траектории остается лишь проинтегрировать найденное выражение. Интегрируем и подставляем начальные условия (при t= 0, s₀ = 0):

Ответ. Уравнения траекторий x²+(y-3)²= 25 и x+y=21,2; уравнения движения по траектории s=10t+s₀ и s = 30 sin ²t.

Задача №2

Движение точки задано уравнениями:
х = x’ cos φ (t)—y’ sin φ (t),
y = x’ sin φ (t) + y’ cos φ (t),

где х’ и у’ — некоторые постоянные величины, a φ(t)— любая функция времени. Определить траекторию точки.

Решение. Возведем каждое из уравнений в квадрат, а затем сложим их:

x² + y² = χ^‘2 + y^‘2.

По условию, х’ и у’ — постоянные. Обозначая сумму их квадратов через r², получим

x² + y² = r².

Ответ. Окружность с центром в начале координат радиуса .

Задача №3

Поезд длиной l м сначала идет по горизонтальному пути (рис. 86, а), а потом поднимается в гору под углом 2α к горизонту. Считая поезд однородной лентой, найти траекторию его центра тяжести.

Рис. 86

Решение. Для решения задачи нужно определить координаты центра тяжести поезда, найти уравнения движения центра тяжести и исключить из них время.

Направим оси координат по внутренней и внешней равиоделяшнм угла 2α (рис. 86, б). Траектория центра тяжести поезда не зависит от скорости поезда. Для простоты подсчетов предположим, что он идет равномерно со скоростью υ м/сек и в начальное мгновение t=0 подошел к горе.

Тогда за время t сек на гору поднимется υt м состава поезда и останется на горизонтальном пути l — υt м. Будем считать, что единица длины поезда весит γ. 

Применяя формулы (48), найдем координаты центра тяжести поезда:

Координаты центра тяжести представлены здесь как функции времени, следовательно, полученные соотношения являются уравнениями движения центра тяжести поезда. Определяя t (или υt) из первого уравнения и подставляя во второе, найдем уравнение траектории:

Ответ. Парабола.

Задача №4

Мостовой кран движется вдоль цеха согласно уравнению х = t; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению у = 1,5t (х и у—в м, t — в сек). Цепь укорачивается со скоростью t>=0,5. Определить траекторию центра тяжести груза (в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости хОу, ось Oz направлена вертикально вверх).

Решение. В условии задачи даны лишь два уравнения движения и вертикальная скорость груза:

откуда dz = 0,5dt, и легко получаем третье уравнение:

z = 0,5t

Определив t из первого уравнения, подставим во второе и в третье:

y= 1,5x, z = 0,5x

Координаты груза должны удовлетворять одновременно обоим уравнениям, т. е. траектория лежит одновременно в обеих плоскостях и является линией их пересечения.
Ответ. Прямая.

Алгебраическая величина скорости проекции точки на координатную ось равна первой производной от текущей координаты по времени:

Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось

Пусть движение точки M определяется тремя уравнениями:
x =x(t),    (58′)
y = y(t),   (58″)
z = z(t).    (58″‘)

По мере движения точки M в пространстве ее проекции P, Q и R движутся по своим прямолинейным траекториям, т. е. по осям координат, и их движения вполне соответствуют движению точки М.

Так, координата (абсцисса) точки P всегда равна абсциссе точки М, а координаты точек QnR всегда равны ординате и аппликате точки М. Следовательно, при движении точки M в пространстве согласно уравнениям (58) точка P движется по оси Ox согласно уравнению (58′), а точки Q и R— соответственно по осям Oy и Oz согласно уравнениям (58″) и (58″‘).

Таким образом, движение точки M в пространстве можно разложить на три прямолинейных движения ее проекций P, Q и R.

Определим скорость υ_p точки P при движении этой точки по ее прямолинейной траектории Ох, иными словами, определим скорость проекции точки M на ось Ох.

Алгебраическая величина скорости выражается по формуле (53), причем дифференциалом расстояния точки P является дифференциал абсциссы х, а поэтому

    (61)

Следовательно, алгебраическая величина скорости проекции P точки M на координатную ось равна первой производной от текущей координаты х по времени t. Она положительна, если точка P движется в положительном направлении оси Ох, и отрицательна, если точка P движется в отрицательном направлении.
Аналогично получаем алгебраические скорости проекций Q и R на ось Oy и на ось Oz:

    (61″)

     (61″‘)   

Чтобы получить векторы скоростей проекций, надо умножить величины (61) на единичные векторы:
     (61)   

Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось равна проекции скорости той же точки на туже ось:

Скорость проекции и проекция скорости

Пусть точка М за бесконечно малый отрезок времени dt передвинулась по своей траектории на элемент дуги ds, абсолютную величину которого выразим формулой (60):

где dx, dy и dz — проекции элемента дуги на оси координат, или, Что то же, элементарные приращения координат точки М.

На рис. 87 эти элементы условно изображены конечными отрезками. Как видно из чертежа, косинусы углов, составляемых элементарным перемещением (а следовательно, и скоростью точки), с осями х, у и z соответственно равны

     (62)   

Величина скорости точки M может быть определена по (53):

Чтобы определить проекцию скорости на какую-либо ось, надо умножить абсолютную величину скорости на косинус угла между  направлением скорости и направлением этой оси. Таким образом, для проекций скорости точки M на оси координат имеем:

   (63′)

   (63″)

    (63″‘)

Рис. 87

Равенства (63) словами нужно читать так: проекция скорости точки на ось равна алгебраической скорости проекции точки на ту же ось.

Задача №5

Доказать, что проекция скорости точки M (х, у, z) иа плоскость хОу равняется скорости , с которой движется по плоскости проекция M₁ (х, у, О) точки M на ту же плоскость.

Решение. Скорость точки M составляет с осью Oz угол γ_υ, следовательно, угол, составляемый ею с плоскостью хОу, равен 90° — yυ п косинус этого угла равен sinγ_υ. Поэтому модуль проекции скорости точки M на плоскость хОу

Подводя под радикал и выражая cosγ_υ, по формуле (62), мы убедимся, что проекция скорости на плоскость равна по величине скорости проекции:

Направления векторов и тоже совпадают, так как направляющие косинусы их одинаковы. Теорема доказана.

Модуль скорости точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций скорости на оси координат:

Модуль скорости. Возведем в квадрат каждое из равенств:
   (63)

и сложим их:

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице и

или

   (64)

Перед радикалом взят положительный знак, так как величина скорости (ее модуль) всегда положительна. В этом ее существенное отличие от алгебраической величины скорости (53), характеризующей скорость точки при движении по заданной траектории и имеющей знак « + » или «—» в зависимости от направления движения. Величину (64) иногда называют полной скоростью.

Направление скорости можно определить по направляющим косинусам скорости:
 

Направляющие косинусы скорости

Равенство (64) позволяет определить модуль скорости точки, движение которой задано уравнениями (58). Направление скорости определяется по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с направлением скорости. Значения этих косинусов, называемых направляющими косинусами скорости, мы получим из уравнений (63):

   (62′)

где , и — производные от х, у и z по t.

Если точка движется в плоскости хОу, то γ_υ = 90^o, cosγ_υ = 0 и cos α_υ = sin β_υ.

Задача №6

Уравнения движения суть

 

Определить траекторию и скорость.

Решение. Из уравнений движения следует, что х и у всегда больше нуля.
Для определения уравнения траектории возведем каждое из уравнений движения в квадрат и составим разность

x² – у² = a²

Для определения скорости найдем сначала ее проекции:

а затем уже и полную скорость.

Ответ. Траектория — ветвь гиперболы x² – у² = a² — расположена в области положительных значений х; скорость .

Задача №7

Движение точки задано уравнениями

причем ось Ox горизонтальна, ось Oy направлена по вертикали вверх, υ₀, g и —величины постоянные. Найти траекторию точки, координаты наивысшего ее положения, проекции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка находится на оси Ох.

Решение. Уравнения описывают движение тела, брошенного со скоростью υ₀ под углом α₀ к горизонту (к оси Ох).
Чтобы найти уравнение траектории, определим время из первого уравнения и подставим найденное значение во второе; получим

уравнение параболы, проходящей через начало координат (рис. 88).

Рис. 88

Чтобы определить координаты наивысшего положения, мы можем применить известные из дифференциального исчисления правила нахождения максимума функции, т. е. взять производную , приравняв ее нулю, определить значение х и, подставив его в уравнение траектории, определить соответствующее значение у, убедившись при этом, что вторая производная . Однако мы найдем координаты наивысшего положения точки другим методом, для чего, продифференцировав по времени уравнения движения точки, найдем проекции ее скорости:

Первое из этих уравнений показывает, что проекция скорости на горизонтальную ось постоянна и равна проекции начальной скорости.

Исследование второго уравнения убеждает, что проекция скорости на вертикальную ось в начальное мгновение положительна и равна υ₀ sin α₀; затем, по мере увеличения t, проекция υ_y уменьшается, оставаясь положительной до мгновения , когда υ_y обращается в нуль, после чего υ_y становится отрицательной, возрастая по абсолютной величине с течением времени t.

Таким образом, точка движется вправо, сначала поднимаясь, затем опускаясь. Мгновение , при котором точка кончила подниматься, но еще не начала опускаться, соответствует максимальному подъему точки. В это мгновение скорость горизонтальна и . Подставляя найденное значение t в уравнения движения, найдем координаты наивысшей точки траектории:

Определим проекции скорости в мгновение, когда точка находится на оси Ох. В это мгновение ордината точки равна нулю. Приравняем пулю второе из уравнений движения:

Точка находится на оси Ox два раза: при t=0 при 

Первое значение t соответствует началу движения, второе —падению точки на ось Ох. Второе значение равно времени всего полета, и оно вдвое больше полученного нами ранее времени наивысшего подъема: время падения равно времени подъема.

Подставляя значение t=0 в уравнения, определяющие проекции скорости, найдем проекции скорости в начальное мгновение:

υ_x = + υ₀ cos α₀, υ_y = + υ₀ sin α₀.

Подставляя второе из найденных значений t, найдем скорости в момент падения:

υ_x = + υ₀ cos α₀, υ_y = – υ₀ sin α₀.

Ответ: 1) Парабола 

2) 

3) υ_x = υ₀ cos α₀, υ_y = υ₀ sin α₀.

причем верхний знак соответствует началу движения, а нижний—концу.

Задача №8

По осям координат (рис. 89) скользят две муфты A и B, соединенные стержнем AB длиной l. Скорость В равна υ_B.

При каком положении муфт скорость муфты А вдвое больше υ_B?

Рис. 89

Решение. Координата точки А связана с координатой точки В соотношением

Считая х и у функциями времени и продифференцировав это равенство по времени, найдем зависимость между скоростями обеих точек:

Но и по условию надо, чтобы величина  была равна 2υ_B, т. е.

откуда после алгебраических преобразований получаем ответ.

Ответ:  (см. задачи № 57 и 89, где даны другие решения).

Проекция ускорения точки на координатную ось равна первой производной по времени от проекции скорости на ту же ось или второй производной от текущей координаты по времени:

Ускорение проекции и проекция ускорения

Ускорение характеризует изменение скорости точки в данное мгновение. Оно выражается пределом отношения изменения вектора скорости к соответствующему промежутку времени при стремлении этого промежутка времени к нулю.

Для того чтобы определить ускорение точки M при ее движении в пространстве, рассмотрим сначала движение по оси Ox точки Р, являющейся проекцией точки M на эту ось.

Пусть в некоторое мгновение t алгебраическая величина скорости точки P была υ_х, а в мгновение t_l = t + Δt стала υ_x+∆υ_x. Тогда ускорение точки P по величине и по знаку выразится пределом

Если знаки υ_x и a_p одинаковы, то движение точки P ускоренное, а если различны, то замедленное.

Аналогично выразятся ускорения проекций Q и R точки M на другие координатные оси:

Проекции υ_x, υ_y и υ_z сами являются производными по времени от координат точки, поэтому ускорения проекций можно выразить вторыми производными по времени от координат точки. Эти равенства характеризуют не только величины, но и знаки ускорений проекций. Иными словами, они выражают изменение алгебраических скоростей проекций P, Q и R в мгновение t.

Только что доказанная теорема о равенстве алгебраической скорости проекции точки на ось и проекции скорости той же точки на ту же ось справедлива для любого момента времени. Следовательно, эта теорема относится не только к скорости, но и к ее изменению в любое мгновение, т. е. к ускорению. Это значит, что написанные выше равенства выражают также проекции a_x, а_у и а_z ускорения а точки M на оси координат O_x, O_y и O_z:

   (65)

где cosα_a, cosβ_a и cosγ_a—направляющие косинусы ускорения.

Можно рассматривать эти величины (65) как векторы, направленные по осям координат:

   (65′)

Модуль ускорения точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций ускорения на оси координат:

Величина ускорения при координатном способе задания движения точки

Возведем в квадрат каждое из равенств:

и затем сложим их:

откуда 

   (66)

Перед радикалом взят знак плюс, так как модуль вектора—величина положительная. Ускорение точки в отличие от проекций ускорения на оси координат или на другие направления обычно называют полным ускорением. Поэтому равенство (66) можно прочитать так: величина полного ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Направление ускорения можно определить по направляющим косинусам ускорения:
, 

Направляющие косинусы ускорения

Направление ускорения определяют по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с вектором ускорения. Формулы направляющих косинусов получаем из уравнений (65):
   (67′)

   (67”)

   (67”’)

Для определения направления ускорения в каждом конкретном случае надо сначала найти ускорение проекций по (65), для чего необходимо дважды продифференцировать уравнения движения (58), затем найти величину ускорения по (66), а потом определить направляющие косинусы ускорения по (67).

Направление ускорения обычно не совпадает с направлением скорости, и направляющие косинусы (67) ускорения только при прямолинейном ускоренном движении точки постоянно равны направляющим косинусам (62) скорости.

Если точка движется в плоскости хОу, то γ_a = 90^o, cosγ_a = 0, cosα₀ = sin βa.

Задача №9

Точка M движется в системе координат хОу согласно уравнениям х= r cos πt, y=r sinπt, где х и у—в см, a t — в сек. Найти уравнение траектории точки М, ее скорость, направляющие косинусы скорости, ускорение, направляющие косинусы ускорения. Для значений времени t=0; 0,25; 0,5; 0,75, …. 2 сек дать чертежи положений точки M, вектора скорости и вектора ускорения.

Решение. Из уравнения движения видно, что координаты точки M являются проекциями на соответствующие оси радиуса-вектора r, составляющего с осью абсцисс угол πt:

Для определения траектории точки исключаем время из уравнений движения. Получаем уравнение окружности

x² + y² = r²

Найдем теперь проекции скорости на оси координат, для чего продифференцируем по времени уравнения движения:

откуда по (64) получаем модуль скорости

Величина скорости точки M постоянна.

Направляющие косинусы скорости определим по формуле (62′):

Эти соотношения показывают, что направление скорости непрерывно меняется и что скорость перпендикулярна радиусу-вектору, проведенному из центра О в точку М.

Ускорение точки M найдем по его проекциям, для чего продифференцируем выражения, полученные для проекций скорости:

откуда по (66) получаем величину ускорения

Ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости не только по величине, но и по направлению, поэтому, несмотря на постоянство модуля скорости точки М, ускорение этой точки не равно нулю. Как видно из полученного

Рис. 90

равенства, величина полного ускорения постоянна. Направление ускорения определим по направляющим косинусам согласно (67):

Направление ускорения точки M противоположно направлению радиуса-вектора.
Положения точки M в различные мгновения показаны на рис. 90, а, векторы скорости — на рис. 90,6 и векторы ускорения — на рис. 90, в.

Ответ. Точка M движется по окружности радиуса r против часовой стрелки с постоянной по величине скоростью υ = rπ и с постоянным по величине ускорением a = rπ².

Задача №10

Снаряд выбрасывается из орудия с начальной скоростью υ=1600 м/сек под утлом α₀ = 55^o к горизонту. Определить теоретическую дальность и высоту обстрела, учитывая, что ускорение свободно падающих тел g = 9,81 м/сек².

Решение. Сначала составим уравнения движения снаряда в координатной форме, направив оси, как показано на чертеже (см. рис. 88), для этого определим проекции ускорения:

Разделив переменные, интегрируем:
υ_х= С₁, υ_y = – gt + С2

Подставляя вместо переменных величин их начальные значения, увидим, что C₁ и C₂ равны проекциям начальной скорости:

1600 cos 55^o = C_1, 1600 sin 55^o = – gt + C_2.

Подставим их в уравнения, полученные для проекций скорости:

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

При t = 0 координаты снаряда были: х =0, у = 0. Подставляя эти данные, найдем, что C₃ = O и C₄ = O. Значения cos 55° и sin 55° найдем в тригонометрических таблицах. Уравнения движения снаряда примут вид:

Далее поступим, как при решении задачи № 42: приравняв вертикальную скорость нулю, найдем время подъема снаряда (t= 133,7 сек); подставляя это значение t в уравнение движения по оси Оу, найдем теоретическую высоту обстрела (h = 87 636 м); удваивая время /, найдем время полета снаряда (t = 267,4 сек); подставляя это значение- в уравнение движения по оси Ох, найдем теоретическую дальность обстрела (l = 245 393 м).
Ответ. l = 245 км; h = 87,5κм.

Пример решения задачи по определению траектории равноускоренного движения точки, заданного уравнениями, скорости и ускорения в некоторые моменты времени, координаты начального положения точки, а также путь, пройденный точкой за время t.

Задача

Движение точки A задано уравнениями:

где x и y – в см, а t – в с. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты времени t₀=0 с, t₁=1 с и t₂=5 с, а также путь, пройденный точкой за 5 с.

Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >

Решение

Расчет траектории

Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:

Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).

Другие видео

Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A₀, подставим в заданные уравнения значения t₀=0; из первого уравнения получим x₀=2 см, из второго y₀=1 см.

Рисунок 1.5

При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A₀ (2; 1).

Расчет скорости

Определяем скорость движения точки, найдя сначала ее проекции на оси координат:

тогда

При t₀=0с скорость точки v₀=0, при t₁=1с – v₁=5 см/с, при t₂=5с – v₂=25см/с.

Расчет ускорения

Определяем ускорение точки. Его проекции на оси координат:

Проекции ускорения не зависят от времени движения,

т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.

С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:

Определение пути

Определяем путь, пройденный точкой за первые 5с движения. Выразим путь как функцию времени:

Проинтегрируем последнее выражение:

Если t=t₀=0, то C=s₀; в данном случае s₀=0, поэтому s=2,5t². Находим, что за 5с точка проходит расстояние s|_t=5с=2,5∙5²=62,5 см.

Другие примеры решения задач >

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

а)
Положение точки

Пусть
OXYZ– неподвижная декартова
система координат. Положение точки в
системе координатOXYZопределяется тремя координатами:x,y,z(Рис.8).

Рис.
8

При
движении точки М меняются её координаты,
то есть они являются функциями времени.

Уравнениями
движения точки в прямоугольных декартовых
координатах называется зависимость
координат точки от времени, которые
однозначно определяют положение точки
в любой момент времени, то есть задают
ее движение:

(5)

Если
движение точки происходит все время в
одной и той же плоскости, то приняв эту
плоскость, например, за плоскость Оxy,
получим в этом случае два уравнения
движения:

(6)

При
прямолинейном движении точки, если
вдоль ее траектории направить одну из
координатных осей, (например Ох),
движение точки будет определяться одним
уравнением (законом прямолинейного
движения точки)

x = x(t)

(7)

При
введении единичных векторов
(ортов
декартовой системы координат), можно
записать выражение для радиус-вектора
движущейся материальной точки и получить
связь между векторным и координатным
способами задания движения точки:

(8)

б)
Траектория и её уравнение

Уравнения
движения точки являются также и
уравнениями траектории точки, заданными
параметрически. Для получения явного
вида уравнения траектории, то есть
уравнения той кривой, которая целиком
или в некоторой ее части является
траекторией точки, следует из уравнений
движения исключить время.

Примеры
1 – 7.

По
заданным уравнениям движения точки в
плоскости OXY
(1 – 7)

x
= x(t),
y
= y(t).
найти уравнение ее траектории в
координатной форме (x.y
– в сантиметрах, t
– в секундах):

1. x
   = 3t
   – 5; y
   = 4 – 2t;

2. x
   = 2t;
   y
   = 2t^2;

3. x=2t+4;
   y= 2t³;

4. x
   = 5 cos ωt; y = 2+5 sin ωt;

5. x
   = 3 sin ωt; y = 5 cos ωt

6. x
   = (t
   + 1);
   ;

7. x
   =
   cos(
   πt);
   y = 2 sin (πt/2)

8. 

Решение

Для
получения уравнения траектории исключим
время из уравнений движения:

1.
Из первого уравнения определяем время:

Подставив
во второе, получим:

Полученное
уравнение есть уравнение прямой.

2.
Из первого уравнения определяем время:

Подставив
во второе, получим:

Полученное
уравнение – уравнение квадратной
параболы.

3.
Из первого уравнения определяем время
– t=(x-4)/2.
Это значение подставим во второе
уравнение и получим уравнение траектории
в виде уравнения кубической параболы:

4.
Поскольку время – t
входит в аргументы тригонометрических
функций,то
используем основное тригонометрическое
тождество:

Получим:

;

;

Возведём
в квадрат обе части и складывая получим:

x²
+ (y
– 2)²
= 25

Полученное
уравнение – уравнение окружности с
центром в точке

х
=0;
у =
2
и радиусом равным 5
см.

5.
Решение аналогично пункту 3.

Полученное
уравнение – уравнение эллипса.

6.
Преобразуем второе уравнение:

,

Подставив
полученное значение х,
получим:

Полученное
уравнение – уравнение гиперболы.

7.
Поскольку t
входит в аргументы тригонометрических
функций,где
один аргумент вдвое больше другого,
используем формулу:

сos
2α
= 1 – 2 sin²α;

Получим:

Тогда
уравнение примет вид:

Из
второго уравнения:

Подставив,
получим:

х
= 1
– 0,5y²

8.
Возведем в квадрат обе части заданных
уравнений движения, получим:

Вычтем
из первого уравнение второе, получим:

Полученное
уравнение – уравнение равнобочной
гиперболы.

в)
Скорость точки

Определение
вектора скорости при координатном
способе задания движения точки сводится
к нахождению проекций скорости на
координатные оси x,
y, z.

По
определению скорости:

(9)

Это
равенство продифференцируем по времени,
учитывая, что единичные орты не изменяются
по величине и направлениям, то есть эти
векторы постоянны. Получим:

(10)

_{Отсюда
находим проекции вектора скорости на
оси декартовой системы координат:}

(11)

Проекции
скорости точки на оси координат равны
первым производным соответствующих
координат точки по времени.Знак
производныхпоказывает направление проекций
скоростей по отношению к соответствующим
осям.

Алгебраическое
значение вектора скорости(модуль
вектора скорости) вычисляется по формуле:

	(12)

г)
Направление скоростиопределяется
через направляющие косинусы:

(13)

д)
Ускорение

Только
при равномерном прямолинейном движении
точки ее скорость сохраняет свое
численное значение и направление. При
неравномерном криволинейном движении
скорость точки изменяется по модулю и
направлению. Определение вектора
ускорения при координатном способе
задания движения точки сводится к
нахождению проекций ускорения на
координатные оси x,
y, z.

По
определению:

(14)

(15)

где:
проекции ускорения на координатные оси
x, y,
z:

1(6)

Проекции
ускорения точки на оси координат равны
вторым производным соответствующих
координат точки по времени или первым
производным по времени от проекций
вектора скорости.Знак производныхпоказывает направление проекций
ускорений по отношению к соответствующим
осям.

По
известным проекциям на оси координат
находим модуль ускорения:

(17)

ё)
Направление ускоренияопределяется
через направляющие косинусы:

(18)

ж)
Прямолинейное движение точки. Прямая
и обратная задачи

1.
Задача называется прямой, если
задано уравнение прямолинейного движения
точкиx=x(t)и требуется вычислить скорость и
ускорение точки.

Пример
8 Решение прямой задачи

Прямолинейное
движение точки задано уравнением
x=5sin(t).Вычислить скорость и ускорение точки
в момент времениc.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

1

Кинематика изучает простейшую форму движения – механическое движение. Кинематически определить движение тела – это значит указать его положение относительно выбранной системы отсчета в каждый момент времени.

Движение материальной точки (в дальнейшем будем говорить просто точки) задано, если известен закон движения.

Закон движения. Закон движения – это уравнение, позволяющее определить положение точки относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени.

Основная задача кинематики точки. По известному закону движения определить  траекторию движения точки, ее положение на траектории, скорость и ускорение точки в ее положении на траектории.

Способы задания движения точки

В зависимости от выбора системы отсчета существуют три способа задания движения точки – векторный, координатный и естественный. Рассмотрим эти способы задания движения в отдельности.

Векторный способ задания движения точки

Пусть точка  движется вдоль некоторой линии. В качестве начала отсчета выберем произвольный центр . Положение точки  на линии определяется радиус-вектором  (рис.К.9).

 

Таким образом, вектор  определяет положение движущейся точки в любой момент времени. Следовательно, уравнение  является законом движения при векторном способе задания движения.

Величина  называется вектором скорости точки. Вектор скорости точки всегда направлен по касательной к годографу (траектории движения точки) в сторону перемещения точки.

Величина         называется вектором ускорения точки.

Определим направление вектора . Направление вектора  определяется направлением вектора .  Пусть точка  движется по некоторой траектории (рис.К.10) от точки  к точке . Пусть скорость в точке  равна , а скорость в точке  равна . Перенесем вектор  параллельно самому себе из точки  в точку .

Тогда вектор .

 

 Как показано на рис.К.10, вектор  направлен в сторону вогнутости траектории движения точки, следовательно и вектор ускорения  всегда направлен в ту же сторону, то есть в сторону  вогнутости траектории движения точки.

 Координатный способ задания движения точки

Пусть точка  движется вдоль некоторой линии. В качестве системы отсчета выберем декартовую систему координат с началом в произвольном центре . Тогда положение точки  на линии определяются текущими координатами в любой момент времени

Следовательно, система уравнений  определяют закон движения точки при координатном способе задания движения. Исключая из закона движения время , получим уравнение вида , являющееся уравнением траектории движения точки.

Пример. Закон движения записывается уравнениями . Найти уравнение траектории движения точки.

Решение. Из первого уравнения следует, что  или . Тогда из второго уравнения . Или . Таким образом получено, что  траекторией движения точки является прямая линия .

Компоненты скорости и ускорения движущейся точки в любой момент времени определяются по формулам

 

                                                                                                         (К.9)      

                                                                .

Модули скорости и ускорения                                                              

                                                                                      (К.10)                                                     

Векторы скорости и ускорения

                                        

                                         .