Как найти транспортируемую матрицу - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Загрузить PDF

Если вы научитесь транспонировать матрицы, то лучше поймете их структуру. Возможно, вы уже знаете о квадратных матрицах и об их симметрии, что поможет вам освоить транспонирование. Помимо прочего, транспонирование помогает переводить векторы в матричную форму и находить векторные произведения.^[1] При работе с комплексными матрицами эрмитово-сопряженные (сопряженно-транспонированные) матрицы помогают решить самые разные задачи.

1
Возьмите любую матрицу. Можно транспонировать любую матрицу, независимо от количества строк и столбцов. Наиболее часто приходится транспонировать квадратные матрицы, которые имеют одинаковое количество строк и столбцов, поэтому для простоты рассмотрим в качестве примера такую матрицу:^[2]
- матрица A =
  1  2  3
  4  5  6
  7  8  9
2
Представьте первую строку прямой матрицы в виде первого столбца транспонированной матрицы. Просто запишите первую строку в виде столбца:
- транспонированная матрица = A^T
- первый столбец матрицы A^T:
  1
  2
  3
3
Проделайте то же самое с остальными строками. Вторая строка исходной матрицы станет вторым столбцом транспонированной матрицы. Переведите все строки в столбцы:
- A^T =
  1  4  7
  2  5  8
  3  6  9
4
Попробуйте транспонировать неквадратную матрицу. Точно таким же образом можно транспонировать любую прямоугольную матрицу. Просто запишите первую строку в виде первого столбца, вторую строку — в виде второго столбца, и так далее. В приведенном ниже примере каждая строка исходной матрицы обозначена своим цветом, чтобы было понятнее, как она преобразуется при транспонировании:
- матрица Z =
  4 7 2 1
  3 9 8 6
- матрица Z^T =
  4  3
  7  9
  2  8
  1  6
5
Выразим транспонирование в виде математической записи. Хотя идея транспонирования очень проста, лучше все же записать ее в виде строгой формулы. При матричной записи не требуются какие-либо специальные термины:
- Предположим, дана матрица B, состоящая из m x n элементов (m строк и n столбцов), тогда транспонированная матрица B^T представляет собой набор из n x m элементов (n строк и m столбцов).^[3]
- Для каждого элемента b_xy (строка x и столбец y) матрицы B в матрице B^T существует эквивалентный ему элемент b_yx (строка y и столбец x).
Реклама

1

(M^{T^)T} = M. После двойного транспонирования получается исходная матрица.^[4] Это довольно очевидно, так как при повторном транспонировании вы вновь меняете строки и столбцы, в результате чего получается первоначальная матрица.
2
Зеркально отобразите матрицу относительно главной диагонали. Квадратные матрицы можно “переворачивать” относительно главной диагонали. При этом элементы вдоль главной диагонали (от a₁₁ до нижнего правого угла матрицы) остаются на месте, а остальные элементы перемещаются по другую сторону этой диагонали и остаются на том же расстоянии от нее.
- Если вам сложно представить данный метод, возьмите лист бумаги и нарисуйте матрицу 4×4. Затем переставьте ее боковые элементы относительно главной диагонали. Проследите при этом за элементами a₁₄ и a₄₁. При транспонировании они должны поменяться местами, как и другие пары боковых элементов.
3

Транспонируйте симметричную матрицу. Элементы такой матрицы симметричны относительно главной диагонали. Если проделать описанную выше операцию и “перевернуть” симметричную матрицу, она не изменится. Все элементы поменяются на аналогичные.^[5] Фактически, это стандартный способ определить, симметрична ли та или иная матрица. Если выполняется равенство A = A^T, значит, матрица A симметрична.

Реклама

1
Рассмотрим комплексную матрицу. Элементы комплексной матрицы состоят из действительной и мнимой части. Такую матрицу также можно транспонировать, хотя в большинстве практических применений используют сопряженно-транспонированные, или эрмитово-сопряженные матрицы.^[6]
- Пусть дана матрица C =
  2+i 3-2i
  0+i 5+0i
2
Заменим элементы комплексно-сопряженными числами. При операции комплексного сопряжения действительная часть остается такой же, а мнимая часть меняет свой знак на обратный. Проделаем эту операцию со всеми четырьмя элементами матрицы.
- найдем комплексно-сопряженную матрицу C* =
  2-i 3+2i
  0-i 5-0i
3
Транспонируем полученную матрицу. Возьмем найденную комплексно-сопряженную матрицу и просто транспонируем ее. В результате у нас получится сопряженно-транспонированная (эрмитово-сопряженная) матрица.
- сопряженно-транспонированная матрица C^H =
  2-i 0-i
  3+2i 5-0i
Реклама

Советы

В данной статье транспонированная матрица относительно матрицы А обозначается как A^T. Встречается также обозначение A’ или Ã.^[7]
В данной статье эрмитово-сопряженная матрица относительно матрицы А обозначается как A^H — это общепринятое обозначение в линейной алгебре. В квантовой механике часто используют обозначение A^†. Иногда эрмитово-сопряженную матрицу записывают в виде A*, однако такого обозначения лучше избегать, так как оно используется также для записи комплексно-сопряженной матрицы.^[8]

Об этой статье

Эту страницу просматривали 49 888 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Многие считают, что тема «Транспонированные матрицы» довольно сложная, но это не так. В студенческом курсе математики транспонирование выполняется легко и без каких-либо усилий. Для того чтобы понимать, как именно осуществляется операция, необходимо знать, что такое матрица.

Онлайн-калькулятор

Что такое транспонированная матрица

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с этим же номером, называется матрицей транспонированной данной. Обозначается такая матрица ATA^{T} или A′A’.

При транспонировании матрицы AA размера m×nmtimes n получаем матрицу ATA^{T} размера n×mntimes m.

В общем виде транспонированная матрица для матрицы

Am×n=(a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn)A_{mtimes n}=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\…&…&…&…\a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn}end{pmatrix}

выглядит следующим образом:

An×mT=(a11a21…am1a12a22…am2…………a1na2n…amn)A^{T}_{ntimes m}=begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&…&a_{m1}\a_{12}&a_{22}&…&a_{m2}\…&…&…&…\a_{1n}&a_{2n}&…&a_{mn}end{pmatrix}.

Элементы ii строки исходной матрицы становятся элементами ii столбца транспонированной матрицы. Таким образом, транспонирование матрицы заключается в том, что строки исходной матрицы AA записывают в новую матрицу по столбцам.

Пример 1

Транспонировать матрицы K=(15−2314−18)K=begin{pmatrix}15&-23&14&-18end{pmatrix} и L=(25−10118)L=begin{pmatrix}25\-10\11\8end{pmatrix}.

KT=(15−2314−18)K^{T}=begin{pmatrix}15\-23\14\-18end{pmatrix},

LT=(25−10118)L^{T}=begin{pmatrix}25&-10&11&8end{pmatrix}.

Пример 2

Транспонировать матрицу G=(5−311820514−86537−94)G=begin{pmatrix}5&-3&11&8\2&0&5&1\4&-8&6&5\3&7&-9&4end{pmatrix}.

GT=(5243−30−871156−98154)G^{T}=begin{pmatrix}5&2&4&3\-3&0&-8&7\11&5&6&-9\8&1&5&4end{pmatrix}.

Свойства транспонированных матриц

Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице: ATT=(AT)T=AA^{TT}=(A^{T})^{T}=A.
Транспонированная матрица суммы равна сумме транспонированных матриц: (A+B)T=AT+BT(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}.
Транспонированная матрица произведения равна произведению транспонированных матриц: (A⋅B)T=AT⋅BT(Acdot B)^{T}=A^{T}cdot B^{T}.
При транспонировании можно выносить скаляр (число, на которое можно разделить все элементы матрицы): (k⋅A)T=k⋅AT(kcdot A)^{T}=kcdot A^{T}.
Определитель исходной матрицы и определитель транспонированной матрицы равны.

С понятием определителя матрицы мы познакомимся на следующем уроке.

Возникли сложности с матрицей? На нашем сервисе предусмотрена платная помощь с решением задач по алгебре от экспертов!

Тест по теме «Транспонирование матрицы»

Источник

Транспонированная матрица — матрица $A^{T}$ , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица $A^{T}$ размеров , определённая как $A_{{ij}}^{T}=A_{{ji}}$ .

Например,

${begin{bmatrix}1&2\3&4end{bmatrix}}^{{{mathrm {T}}}}!!;!=,{begin{bmatrix}1&3\2&4end{bmatrix}}$

и ${begin{bmatrix}1&2\3&4\5&6end{bmatrix}}^{{{mathrm {T}}}}!!;!=,{begin{bmatrix}1&3&5\2&4&6end{bmatrix}};$

То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

Свойства транспонированных матриц[править | править код]

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

${displaystyle (A^{T})^{T}=A}$

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

${displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}$

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

${displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}$

При транспонировании можно выносить скаляр.

${displaystyle (lambda A)^{T}=lambda A^{T}}$

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

${displaystyle det A=det A^{T}}$

Связанные определения[править | править код]

Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица,
удовлетворяющая соотношению ${displaystyle S^{T}=S}$ .

Для того чтобы матрица была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица,
удовлетворяющая соотношению $A^{T}=-A$ .

Для того чтобы матрица была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю:
${displaystyle A_{ii}=0}$ .

Для любой квадратной матрицы имеется представление
,

где ${displaystyle S={frac {M+M^{T}}{2}}}$ — симметричная часть,
${displaystyle A={frac {M-M^{T}}{2}}}$ — антисимметричная часть.

См. также[править | править код]

Сопряжённо-транспонированная матрица

Источник

Определение транспонированной матрицы

Содержание:

Что такое транспонированная матрица
Свойства транспонированной матрицы, как найти
Как транспонировать матрицу в Excel
Как транспонировать матрицу в Python

Что такое транспонированная матрица

Транспонированной матрицей называют такую матричную форму представления данных (A^{T}), которая образована из начальной A с помощью замещения строк столбцами.

С теоретической точки зрения, транспонированная матрица в случае с некоторой матричной формой А, обладающей размерностью (mtimes n), сформирована как матрица под названием (A^{T}) со следующими габаритами: (n times m), соответствующая такому выражению, которое можно вычислить:

(A_{{ij}}^{T}=A_{{ji}})

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Пример 1

({begin{bmatrix}1&2\3&4end{bmatrix}}^{{{mathrm {T}}}}!!;!=,{begin{bmatrix}1&3\2&4end{bmatrix}} и {begin{bmatrix}1&2\3&4\5&6end{bmatrix}}^{{{mathrm {T}}}}!!;!=,{begin{bmatrix}1&3&5\2&4&6end{bmatrix}};)

Исходя из данного определения и принципа построения матричных форм, можно прийти к выводу, что при записи транспонированной матрицы из начального массива данных, выстроенных в определенном порядке, строки нужно составить как колонки в аналогичной последовательности. Тогда получится необходимая матричная форма, которую далее можно решать при необходимости.

Свойства транспонированной матрицы, как найти

Задачи с матрицами обладают разной степенью сложности. Когда предстоит в процессе решения выполнить подобного рода преобразования такие, как транспонирование строчек и колонок матричной формы, можно воспользоваться простым алгоритмом операций. Данная последовательность действий позволит исключить ошибки при формировании обозначения нужной матрицы:

проанализировать исходную запись данных;
определить расположение строк и столбцов;
изменить места колонок и строчек с помощью ранее записанной формулы (A_{ij} ^T = A_{ji});
сформулировать ответ в соответствии с заданием.

Значительно упростить расчеты при работе с матричными формами помогут справедливые закономерности. Запишем ряд полезных свойств, применимых к примерам с транспонированием матрицы:

Свойства:

Предположим, что у некоторой матрицы АА имеются следующие размеры: (m times n). В таком случае при транспонировании этих записей с данными получится матрица (A^T) , которая обладает размерами (n times m).
Если выполнить рассматриваемое действие два раза подряд, то конечный результат не поменяется, а матрица останется в прежней форме.
Допустимо переносить множитель за пределы транспонированной матричной формы. При этом целесообразно воспользоваться следующим соотношением: ((lambda cdot A)^T = lambda cdot A^T).
Если пару матриц сложить, то их также можно транспонировать. С этой целью допустимо применить следующую закономерность: ((A+B)^T = A^T + B^T).
Транспонирование выражения, в котором умножают матрицы, подразумевает умножение данных транспонированных матричных форм, то есть: ((A times B)^T = A^T times B^T.)

Пример 2

Рассмотрим процесс транспонирования пары матриц, которые имеют следующий вид:

(A = begin{pmatrix} 1&2&3\4&5&6\7&8&9 end{pmatrix})

(B = begin{pmatrix} 1&2&3\4&5&6end{pmatrix})

В процессе решения нужно воспользоваться определением данной математической операции и закономерностями, которые перечислены выше. В результате получим, что:

(A^T = begin{pmatrix} 1&2&3\4&5&6\7&8&9 end{pmatrix}^T = begin{pmatrix} 1&4&7\2&5&8\3&6&9 end{pmatrix}^T)

(В^T = begin{pmatrix} 1&2&3\4&5&6 end{pmatrix}^T = begin{pmatrix} 1&4\2&5\3&6 end{pmatrix}^T)

Как транспонировать матрицу в Excel

Многим знаком редактор MS Excel. Это функциональный компонент пакета Microsoft Office. Программа позволяет работать с разнообразными табличными формами. В числе полезных опций возможность выполнить транспонирование матрицы. Подобное действие целесообразно реализовать по средствам особой функции ТРАНСП(). Рассмотрим наглядный пример:

трансп

Источник: my-excel.ru

Заметим, что компоненты начальной матричной формы 2 на 2 размещены в поле от А7 до В8. В таком случае, чтобы транспонировать матрицу следует последовательно выполнить ряд простых действий, а именно:

выделить ячейки площадью 2 на 2, которые не должны иметь какие-либо пересечения с начальным диапазоном А7:В8;
в строке для ввода формул напечатать выражение: =ТРАНСП(A7:B8);
нажать одновременно сочетание клавиш на клавиатуре CTRL+SHIFT+ENTER, то есть выполнить ввод выражения для массива.

свойства

Источник: my-excel.ru

Как транспонировать матрицу в Python

В распространенных случаях программирование начинают осваивать с высокоуровневого языка под названием Python. На его базе создаются разнообразные приложения, в том числе, для смартфонов, планшетов и других гаджетов, разрабатывают функциональные версии программного обеспечения, обучают машины определенным командам и алгоритмам. Разработчики оценивают Python с точки зрения достойной эффективности, простоте освоения, возможностей работы на разнообразных платформах. В нем также есть опции транспонирования матричных форм. Рассмотрим основные из таких методик.

Первым способом является применение NumPy transpose(). Данная библиотека предназначена для работы с массивами данных. Соответствующий метод по вызову реализует нужное действие:

библиотека

Источник: pythonist.ru

Следующий способ транспонирования матричных форм заключается в применении метода numpy.transpose(). В процессе осуществляется передача матрицы как аргумента:

Источник: pythonist.ru

Если заранее импортировать в Python библиотеку SymPy, то можно достаточно просто выполнить транспонирование матричной формы. Последовательность операций:

вызов transpose (T) с помощью точечного оператора;
внесение итогов в новую переменную sympy_transpose;
печать начальной матрицы matrix в следующей строке;
запись транспонированной матричной формы в sympy_transpose.

Источник: pythonist.ru

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Источник

Download Article

Matrix transposes are a neat tool for understanding the structure of matrices. Features you might already know about matrices, such as squareness and symmetry, affect the transposition results in obvious ways. Transposition also serves purposes when expressing vectors as matrices, or taking the products of vectors.^[1] If you’re dealing with complex matrices, the closely related concept of a conjugate transpose will help you through many problems.

1
Start with any matrix. You can transpose any matrix, regardless of how many rows and columns it has. Square matrices, with an equal number of rows and columns, are most commonly transposed, so we’ll use a simple square matrix as an example:^[2]
- matrix A =
  1  2  3
  4  5  6
  7  8  9
2
Turn the first row of the matrix into the first column of its transpose. Rewrite row one of the matrix as a column:^[3]
- transpose of matrix A = A^T
- first column of A^T:
  1
  2
  3
Advertisement
3
Repeat for the remaining rows. The second row of the original matrix becomes the second column of its transpose. Repeat this pattern until you have turned every row into a column:^[4]
- A^T =
  1  4  7
  2  5  8
  3  6  9
4
Practice on a non-square matrix. The transposition is exactly the same for a non-square matrix. You rewrite the first row as the first column, the second row as the second column, and so forth. Here’s an example with color-coding to show you where the elements end up:
- matrix Z =
  4 7 2 1
  3 9 8 6
- matrix Z^T =
  4  3
  7  9
  2  8
  1  6
5
Express the transposition mathematically. The concept is pretty simple, but it’s good to be able to describe it in mathematics. No jargon is required beyond basic matrix notation:^[5]
- If matrix B is an m x n matrix (m rows and n columns), the transposed matrix B^T is an n x m matrix (n rows and m columns).^[6]
- For each element b_xy (xth row, yth column) in B, the matrix B^T has an equal element at b_yx (yth row, xth column).

1

(M^{T^)T} = M. The transpose of a transpose is the original matrix.^[7] This is pretty intuitive, since all you’re doing is switching the rows and columns. If you switch them again, you’re back where you started.
2
Flip square matrices over the main diagonal. In a square matrix, transposition “flips” the matrix over the main diagonal. In other words, the elements in a diagonal line from element a₁₁ to the bottom right corner will remain the same. Each other elements will move across the diagonal and end up at the same distance from the diagonal, on the opposite side.
- If you can’t visualize this, draw a 4×4 matrix on a piece of paper. Now fold is over the main diagonal. See how elements a₁₄ and a₄₁ touch? They trade places in the transpose, as does each other pair that touches when folded.
3

Transpose a symmetric matrix. A symmetric matrix is symmetric across the main diagonal. If we use the “flip” or “fold” description above, we can immediately see that nothing changes. All the element pairs that trade places were already identical.^[8] In fact, this is the standard way to define a symmetric matrix. If matrix A = A^T, then matrix A is symmetric.

1
Start with a complex matrix. Complex matrices have elements with a real and imaginary component. While you can take an ordinary transpose of these matrices, most practical calculations involve the conjugate transpose instead.^[9]
- Matrix C =
  2+i 3-2i
  0+i 5+0i
2
Take the complex conjugate. The complex conjugate changes the sign of the imaginary components, without altering the real components. Perform this operation for all elements of the matrix.^[10]
- complex conjugate of C =
  2-i 3+2i
  0-i 5-0i
3
Transpose the results. Take an ordinary transposition of the result. The matrix you end up with is the conjugate transpose of the original matrix.^[11]
- conjugate transpose of C = C^H =
  2-i 0-i
  3+2i 5-0i

Add New Question

Question

How do I identity matrix transpose?

Robert Wilson

Community Answer

In matrix transpose all the rows of a matrix turn into columns and vice-versa. That’s how you can identify a matrix transpose.
Question

Does a matrix transpose involve any calculation?

No, because to transpose is to rewrite the raw as a column ,starting with the first raw respectively.
Question

Given that B is a matrix, can B1 be the sign of its transpose?

Sure, that’s a good way to remember how the two matrices are related. In general, mathematicians like to use B’ or B^T to name the transpose to make it even easier to keep track.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

This article uses the notation A^T to mean the transpose of matrix A. The notation A’ or Ã means the same thing.^[12]
This article refers to the conjugate transpose of matrix A as A^H, the most common notation in linear algebra. Quantum physicists often use A^† instead. A* is yet another option, but try to avoid it since some sources will use this symbol to mean the complex conjugate instead.^[13]

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Article SummaryX

To transpose a matrix, start by turning the first row of the matrix into the first column of its transpose. Repeat this step for the remaining rows, so the second row of the original matrix becomes the second column of its transpose, and so on. This transposition is the same for a square matrix as it is for a non-square matrix. Finally, express the transposition mathematically, so if matrix B is an m x n matrix, where m are rows and n are columns, the transposed matrix is n x m, with n being rows and m being columns. To learn how to flip square matrices over the main diagonal, keep reading!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 184,326 times.

Reader Success Stories

Guillermo Gutierrez

Oct 28, 2020

“This tutorial saved my marriage! I wouldn’t have been able to keep my family together if I couldn’t…” more

Did this article help you?

Источник

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Онлайн-калькулятор

Что такое транспонированная матрица

Свойства транспонированных матриц

Тест по теме «Транспонирование матрицы»

Свойства транспонированных матриц[править | править код]

Связанные определения[править | править код]

См. также[править | править код]

Определение транспонированной матрицы

Что такое транспонированная матрица

Свойства транспонированной матрицы, как найти

Как транспонировать матрицу в Excel

Как транспонировать матрицу в Python

Текст с ошибкой:

Поиск по содержимому

Video

References

About This Article

Reader Success Stories

Did this article help you?

Вам также может понравиться

Как найти осевое сечение цилиндра формула

Почти табличный интеграл как найти

Как можно найти футболиста

Добавить комментарий Отменить ответ