Как найти третье ребро прямоугольного параллелепипеда если

Елена Васильевна 4.9 395 отзывов Рейтинг: 121 423 6-й в Учебе и науке

Пусть а, b, с — ребра параллелепипеда, тогда квадрат его диагонали = A^2+b^2+c^2 Имеем 13^2=4^2+3^2+с^2 169=16+9+c^2 c^2=144 c=12 Ребро равно 12 не забывайте выбирать лучший ответ!!!

Четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм, является параллелепипедом. В параллелепипеде 6 граней: 4 — боковые и 2 — его основание. Грани, как правило, представляют собой параллелограмм. Противолежащие грани параллельны и равны. Параллелепипеды бывают прямыми и наклонными. У прямого параллелепипеда боковые грани являются прямоугольниками. Прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник, называется прямоугольным. У него все шесть граней — прямоугольники, противоположные стороны которых параллельны и равны, а все углы — прямые. Прямоугольный параллелепипед строится на трех ребрах, расположенных друг к другу под прямым углом. Длины этих ребер, обладающих общим концом, называются его измерениями.

Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда можно рассчитать несколькими способами, в зависимости от исходных данных.
Если известны объем (V) и два ребра (b, c) правильного параллелепипеда, третье ребро (а) будет равно частному от деления объема на произведение двух ребер (b×c):

a = V / bc

Если известна площадь боковой поверхности и два ребра (b, c), находим неизвестное ребро (а) путем деления площади боковой поверхности (S) на удвоенную сумму двух известных ребер 2 (b+c).

a = S_б.п. / 2 (a+c)

Если известны два ребра (b, c) и полная площадь поверхности (S п.п.), неизвестное ребро (а) находим по формуле:

a = (S_п.п. — 2bc) / 2 (b+c)

Проведенный внутри параллелепипеда отрезок, соединяющий противоположные вершины двух его оснований, является диагональю параллелепипеда (D). Отрезок, соединяющий противоположные вершины одного из оснований, является диагональю основания (d). Внутри прямоугольного параллелепипеда можно построить прямоугольный треугольник, у которого гипотенузой будет диагональ параллелепипеда D, одним из катетов — диагональ основания d, другим — боковое ребро параллелепипеда (а). Используя теорему Пифагора, выразим квадрат диагонали основания d (гипотенузу) как сумму квадратов его сторон (катетов) b, с. Отсюда, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда (D) равен сумме квадратов трёх его измерений (а,b,с). Зная ребра и диагональ параллелепипеда, находим боковое ребро по формуле:

a = √D² + d² = √D² + b² + c²

где b, c — ребра параллелепипеда, a — боковое ребро параллелепипеда, D — диагональ параллелепипеда, d — диагональ основания.

Калькулятор расчета длины бокового ребра правильного параллелепипеда

                  
Решение задач на тему «Прямоугольный параллелепипед»

Задача 1.Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да,
вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 3 и 4. Пло­щадь по­верх­но­сти этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равна 94. Най­ди­те тре­тье ребро, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны. 

По­яс­не­ние.

Обо­зна­чим
из­вест­ные ребра за  и , а не­из­вест­ное
за . Пло­щадь
по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да вы­ра­жа­ет­ся как . Вы­ра­зим : , от­ку­да
не­из­вест­ное ребро

.

Ответ: 5.

Задача 2. Два
ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны,
равны 1, 2. Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 16. Най­ди­те
его диа­го­наль. 

По­яс­не­ние.

Пусть длина тре­тье­го ребра, ис­хо­дя­ще­го
из той же вер­ши­ны, равна ,
тогда пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да даётся фор­му­лой . По
усло­вию пло­щадь по­верх­но­сти равна 16, тогда  от­ку­да 

Длина диа­го­на­ли пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равна квад­рат­но­му корню из суммы квад­ра­тов его из­ме­ре­ний, по­это­му .

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние
о том, как не надо ре­шать эту за­да­чу.

Обо­зна­чим из­вест­ные ребра за  и , а не­из­вест­ное
за . Пло­щадь
по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да вы­ра­жа­ет­ся как . Вы­ра­зим :

,

от­ку­да не­из­вест­ное ребро

,

Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да на­хо­дит­ся
как

.

Ответ: 3.

Задача3.Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед
опи­сан около еди­нич­ной сферы. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти. 

По­яс­не­ние.

Вы­со­та и сто­ро­на та­ко­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равны диа­мет­ру сферы, то есть это куб со сто­ро­ной 2. Пло­щадь по­верх­но­сти
куба со сто­ро­ной :

Ответ: 24.

Задача 4. Пло­щадь грани пря­мо­уголь­но­го
па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 12. Ребро, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани, равно
4. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да. 

По­яс­не­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равен , где  – пло­щадь грани, а  — вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к
ней ребра. Имеем

.

Ответ: 48.

Задача 5.Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равен 24. Одно из его ребер равно 3. Най­ди­те пло­щадь грани па­рал­ле­ле­пи­пе­да,
пер­пен­ди­ку­ляр­ной этому ребру. 

По­яс­не­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равен , где  – пло­щадь грани, а  – вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к
ней ребра. Тогда пло­щадь грани

.

Ответ: 8.

Задача 6.Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равен 60. Пло­щадь одной его грани равна 12. Най­ди­те ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да,
пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани. 

По­яс­не­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равен , где  — пло­щадь грани, а  — вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к
ней ребра. Тогда

Ответ: 5.

Задача 7. Три
ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны,
равны 4, 6, 9. Най­ди­те ребро рав­но­ве­ли­ко­го ему куба. 

По­яс­не­ние.

Объем куба  равен
объ­е­му па­рал­ле­ле­пи­пе­да

Зна­чит, ребро куба

Ответ: 6.

 Задача 8.

Два
ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны,
равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да. 

По­яс­не­ние.

Длина диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равна

.

Длина тре­тье­го ребра тогда . По­лу­чим,
что объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да

.

Ответ: 32.

Задача
9. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие
из одной вер­ши­ны, равны 2, 3. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 36. Най­ди­те
его диа­го­наль. 

По­яс­не­ние.

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен

.

От­сю­да най­дем тре­тье ребро:

.

Длина диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равна

.

Ответ: 7.

Задача 10. Диа­го­наль пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равна  и об­ра­зу­ет углы 30, 30 и 45 с плос­ко­стя­ми гра­ней па­рал­ле­ле­пи­пе­да.
Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да. 

По­яс­не­ние.

Ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да на­про­тив
угла в  равно , по­сколь­ку
об­ра­зу­ет с за­дан­ной диа­го­на­лью и диа­го­на­лью одной из гра­ней рав­но­бед­рен­ный
тре­уголь­ник. Два дру­гие ребра по по­стро­е­нию лежат в пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках
на­про­тив угла в  и равны, по­это­му по­ло­ви­не диа­го­на­ли.
Тогда объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 4.

Задача 11.

Ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да,
вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2, 3. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти. 

По­яс­не­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти пря­мо­уголь­но­го
па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна удво­ен­ной сумме по­пар­ных про­из­ве­де­ний его
из­ме­ре­ний

 

.

Ответ: 22.

Задача 12.Два
ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны,
равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти
па­рал­ле­ле­пи­пе­да. 

По­яс­не­ние.

Обо­зна­чим из­вест­ные ребра за  и , а не­из­вест­ное
за . Пло­щадь
по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да вы­ра­жа­ет­ся как

.

Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да на­хо­дит­ся
как

.

Вы­ра­зим :

.

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти

Ответ: 64.

Задача
13.Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие
из одной вер­ши­ны, равны 1, 2. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 6. Най­ди­те
пло­щадь его по­верх­но­сти.

По­яс­не­ние.

Най­дем тре­тье ребро из вы­ра­же­ния для
объ­е­ма:

.

Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да

.

Ответ: 22.

Задача
14.Най­ди­те угол  пря­мо­уголь­но­го
па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го , , .
Дайте ответ в гра­ду­сах.

По­яс­не­ние.

В пря­мо­уголь­ни­ке  от­ре­зок  яв­ля­ет­ся
диа­го­на­лью,  По
тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  рав­но­бед­рен­ный: , зна­чит,
его ост­рые углы равны 

Ответ: 45.

Задача 15. Най­ди­те угол  пря­мо­уголь­но­го
па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го =4, =3, =5.
Дайте ответ в гра­ду­сах.

По­яс­не­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  По
тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  Так
как == то
тре­уголь­ник  яв­ля­ет­ся
рав­но­бед­рен­ным, зна­чит, углы при его ос­но­ва­нии равны по .

Ответ: 45.

Задача 15. В
пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де  из­вест­но,
что , , . Най­ди­те
длину ребра .

По­яс­не­ние.

Най­дем диа­го­наль  пря­мо­уголь­ни­ка  по
тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник . По
тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

.

Ответ: 1.

Задача16. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де  ребро ,
ребро ,
ребро .
Точка  —
се­ре­ди­на ребра  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го
через точки  и .

По­яс­не­ние.

Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные
грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му че­ты­рех­уголь­ник  —
па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням  и , по­это­му
углы и  — пря­мые. Сле­до­ва­тель­но, се­че­ние  —
пря­мо­уголь­ник.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем 

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка  равна:

Ответ:5.

Задача 17. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де  из­вест­ны длины рёбер: , , . Най­ди­те
пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ны ,  и .

По­яс­не­ние.

Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные
грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му се­че­ние   −  па­рал­ле­ло­грамм.
Кроме того, ребро  пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням  и . По­это­му
углы  и  − пря­мые.По­это­му се­че­ние  —
пря­мо­уголь­ник.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  най­дем 

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка  равна:

Ответ:572.

Задача 18. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равны 8 и 2, а объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 144. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти
этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

По­яс­не­ние.

Най­дем тре­тье ребро пря­мо­уголь­но­го
па­рал­ле­ле­пи­пе­да: . Най­дем
пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 212

Задача 19. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равны 6 и 4, а объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 240. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти
этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

По­яс­не­ние.

Най­дем тре­тье ребро пря­мо­уголь­но­го
па­рал­ле­ле­пи­пе­да: . Най­дем
пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да: 

Ответ: 248

Задача 20.

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равны 8 и 5, а объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 280. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти
этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

По­яс­не­ние.

Най­дем тре­тье ребро пря­мо­уголь­но­го
па­рал­ле­ле­пи­пе­да: . Най­дем
пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 262

Задача 21. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра AB, BC и диа­го­наль бо­ко­вой сто­ро­ныBC₁ равны со­от­вет­ствен­но 7, 3 и   Най­ди­те объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁.

По­яс­не­ние.

C по­мо­щью тео­ре­мы Пи­фа­го­ра найдём CC₁:

Найдём пло­щадь ос­но­ва­ния пря­мо­уголь­но­го
па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Найдём объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 126.

Задача 22.

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равны 7 и 4, а объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 140. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти
этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

По­яс­не­ние.

Объём пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равен про­из­ве­де­нию длин его рёбер:  от­ку­да тре­тье ребро  Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да
— сумма пло­ща­дей всех его гра­ней:

Ответ: 166.

1 ответ:

Читайте также