Как найти третий аргумент

1. Формулы тройного аргумента
2. Формулы понижения для куба
3. Формулы четырехкратного аргумента
4. Формулы понижения для четвёртой степени
5. Примеры

п.1. Формулы тройного аргумента

Выведем формулы тройного аргумента, исходя из формул суммы (см.§13 и §14 данного справочника) и двойного аргумента (см. §15 данного справочника).

begin{gather*} sin3alpha=sin(2alpha+alpha)=sin2alpha cosalpha+cos2alpha sinalpha=\ =2sinalpha cos^2alpha+(cos^2alpha-sin^2alpha)sinalpha=3sinalpha cos^2alpha-sin^3alpha=\ =3sinalpha(1-sin^2alpha)-sin^3alpha=3sinalpha-4sin^3alpha\ \ cos3alpha=cos(2alpha+alpha)=cos2alpha cosalpha-sin2alpha sinalpha=\ =(cos^2alpha-sin^2alpha)cosalpha-2sin^2alpha cosalpha=cos^3alpha-3sin^2alpha cosalpha=\ =cos^3alpha-3(1-cos^2alpha)cosalpha=4cos^3alpha-3cosalpha\ \ tg3alpha=frac{sin3alpha}{cos3alpha}=frac{3sinalpha cos^2alpha-sin^3alpha}{cos^3alpha-3sin^2alpha cosalpha}=frac{{3sinalpha cos^2alpha-sin^3alpha}{cos^3alpha}}{frac{cos^3alpha-3sin^2alpha cosalpha}{cos^3alpha}}=\ =frac{3tgalpha-tg^3alpha}{1-3tg^2alpha}=frac{tgalpha(3-tg^2alpha)}{1-3tg^2alpha}\ \ ctg3alpha=frac{cos3alpha}{sin3alpha}=frac{cos^3alpha-3sin^2alpha cosalpha}{3sinalpha cos^2alpha-sin^3alpha}=frac{frac{cos^3alpha-3sin^2alpha cosalpha}{sin^3alpha}}{frac{3sinalpha cos^2alpha-sin^3alpha}{sin^3alpha}}=\ =frac{ctg^3alpha-3ctgalpha}{3ctg^2alpha-1}=frac{ctgalpha(ctg^2alpha-3)}{3ctg^2alpha-1} end{gather*}

begin{gather*} sin3alpha=3sinalpha-4sin^3alpha\ \ cos3alpha=4cos^3alpha-3cosalpha\ \ tg3alpha=frac{tgalpha(3-tg^2alpha)}{1-3tg^2alpha}\ \ ctg3alpha=frac{ctgalpha(ctg^2alpha-3)}{3ctg^2alpha-1} end{gather*}

п.2. Формулы понижения для куба

Из формулы для синуса тройного аргумента получаем: begin{gather*} 4sin^3alpha=3sinalpha-sin3alpha\ sin^3alpha=frac{3sinalpha-sin3alpha}{4} end{gather*} Из формулы для косинуса тройного аргумента получаем: begin{gather*} 4cos^3alpha=3cosalpha+cos3alpha\ cos^3alpha=frac{3cosalpha+cos3alpha}{4} end{gather*}

begin{gather*} sin^3alpha=frac{3sinalpha-sin3alpha}{4}\ \ cos^3alpha=frac{3cosalpha+cos3alpha}{4} end{gather*}

п.3. Формулы четырехкратного аргумента

begin{gather*} sin4alpha=2sin2alpha cos2alpha=4sinalpha cosalpha(cos^2alpha-sin^2alpha)\ \ cos4alpha=2cos^2 2alpha-1=2(2cos^2alpha-1)^2-1=2(4cos^4alpha-4cos^2alpha+1)-1=\ =8cos^4alpha-8cos^2alpha+1\ \ tg4alpha=frac{sin4alpha}{cos4alpha}=frac{4sinalpha cosalpha(cos^2alpha-sin^2alpha)}{8cos^4alpha-8cos^2alpha+1}=frac{frac{4sinalpha cosalpha(cos^2alpha-sin^2alpha)}{cos^4alpha}}{frac{8cos^4alpha-8cos^2alpha+1}{cos^4alpha}}=\ =frac{4tgalpha(1-tg^2alpha)}{8-frac{8}{cos^2alpha}+frac{1}{cos^4alpha}}=frac{4tgalpha(1-tg^2alpha)}{8-8(1+tg^2alpha)+(1+tg^2alpha)^2}=\ =frac{4tgalpha(1-tg^2alpha)}{-8tg^2alpha+1+2tg^2alpha+tg^4alpha}=frac{4tgalpha(1-tg^2alpha)}{tg^4alpha-6tg^2alpha+1} end{gather*} Умножим дробь вверху и внизу на котангенс в квадрате, чтобы получить более удобное для практики соотношение: begin{gather*} 4tgalpha=frac{4tgalpha(1-tg^2alpha)}{tg^4alpha-6tg^2alpha+1}cdotfrac{ctg^2alpha}{ctg^2alpha}=frac{4(ctgalpha-tgalpha)}{tg^2alpha+ctg^2alpha-6} end{gather*}

begin{gather*} sin4alpha=4sinalpha cosalpha(cos^2alpha-sin^2alpha)\ \ cos4alpha=8cos^4alpha-8cos^2alpha+1\ \ tg4alpha=frac{4(ctgalpha-tgalpha)}{tg^2alpha+ctg^2alpha-6}\ \ ctg4alpha=frac{tg^2alpha+ctg^2alpha-6}{4(ctgalpha-tgalpha)} end{gather*}

п.4. Формулы понижения для четвертой степени

Первый способ вывода
Из формулы для косинуса четырехкратного аргумента: begin{gather*} 8cos^4alpha=8cos^2alpha-1+cos4alpha=8cdotfrac{1+cos2alpha}{2}-1+cos4alpha=3+4cos2alpha+cos4alpha\ cos^4alpha=frac{3+4cos2alpha+cos4alpha}{8} end{gather*} Из той же формулы: begin{gather*} 8cos^4alpha=8(1-sin^2alpha)^2=3+4cos2alpha+cos4alpha\ 8(1-2sin^2alpha+sin^4alpha)=3+4cos2alpha+cos4alpha\ 8sin^4alpha=3+4cos2alpha+cos4alpha-8+8(1-cos2alpha)=3-4cos2alpha+cos4alpha\ sin^2alpha=frac{3-4cos2alpha+cos4alpha}{8} end{gather*}

Второй способ вывода
Из формул половинного аргумента: begin{gather*} sin^4alpha=(sin^2alpha)^2=left(frac{1-cos2alpha}{2}right)^2=frac{1-2cos2alpha+cos^2 2alpha}{4}=\ =frac{1-2cos2alpha+frac{1+cos4alpha}{2}}{4}=frac{2-4cos2alpha+1+cos4alpha}{8}=frac{3-4cos2alpha+cos4alpha}{8}\ cos^4alpha=(cos^2alpha)^2=left(frac{1+cos2alpha}{2}right)^2=frac{1+2cos2alpha+cos^2 2alpha}{4}=\ frac{1+2cos2alpha+frac{1+cos4alpha}{2}}{4}=frac{2+4cos2alpha+1+cos4alpha}{8}=frac{3+4cos2alpha+cos4alpha}{8} end{gather*}

begin{gather*} sin^4alpha=frac{3-4cos2alpha+cos4alpha}{8}\ \ cos^4alpha=frac{3+4cos2alpha+cos4alpha}{8} end{gather*}

Формулы понижения степени полезны при решении тригонометрических уравнений, а также при интегрировании.

п.5. Примеры

Пример 2.Упростите выражение:
a) begin{gather*} frac{3-4cos2alpha+cos4alpha}{3+4cos2alpha+cos4alpha}=frac{frac{3-4cos2alpha+cos4alpha}{8}}{frac{3+4cos2alpha+cos4alpha}{8}}=frac{sin^4alpha}{cos^4alpha}=tg^2alpha end{gather*}
б) begin{gather*} 4(sin^3alpha-cos^3alpha)-3(sinalpha-cosalpha)+sin3alpha+cos3alpha=\ 4left(frac{3sinalpha-sin3alpha}{4}-frac{3cosalpha+cos3alpha}{4}right)-3(sinalpha-cosalpha)+sin3alpha+cos3alpha=\ =3sinalpha-sin3alpha-3cosalpha-cos3alpha-3sinalpha+3cosalpha+sin3alpha+cos3alpha=0 end{gather*}

Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:

[r=|z|=|a+bi|=sqrt{a^{2} +b^{2} } .]

Пример 1

Вычислить модуль заданных комплексных чисел $z_{1} =13,, , z_{2} =4i,, , , z_{3} =4+3i$.

Решение:

Модуль комплексного числа $z=a+bi$ вычислим по формуле: $r=sqrt{a^{2} +b^{2} } $.

Для исходного комплексного числа $z_{1} =13$ получим $r_{1} =|z_{1} |=|13+0i|=sqrt{13^{2} +0^{2} } =sqrt{169} =13$

Для исходного комплексного числа $, z_{2} =4i$ получим $r_{2} =|z_{2} |=|0+4i|=sqrt{0^{2} +4^{2} } =sqrt{16} =4$

Для исходного комплексного числа $, z_{3} =4+3i$ получим $r_{3} =|z_{3} |=|4+3i|=sqrt{4^{2} +3^{2} } =sqrt{16+9} =sqrt{25} =5$

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Определение 2

Угол $varphi $, образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором $overrightarrow{OM} $, который соответствует заданному комплексному числу $z=a+bi$, называется аргументом данного числа и обозначается $arg z$.

Примечание 1

Пример 2

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах, заданное следующими данными: 1) $r=3;varphi =pi $; 2) $r=13;varphi =frac{3pi }{4} $.

Решение:

1) Подставим данные $r=3;varphi =pi $ в соответствующие формулы и получим:

$z=3cdot (cos pi +isin pi )$ – тригонометрическая форма

$z=3cdot e^{ipi } $ – показательная форма.

2) Подставим данные $r=13;varphi =frac{3pi }{4} $ в соответствующие формулы и получим:

$z=13cdot (cos frac{3pi }{4} +isin frac{3pi }{4} )$ – тригонометрическая форма

$z=13cdot e^{ifrac{3pi }{4} } $ – показательная форма.

Пример 3

Решение:

Модуль и аргумент найдем, используя формулы записи заданного комплексного числа в тригонометрической и показательной формах соответственно

[z=rcdot (cos varphi +isin varphi );] [z=rcdot e^{ivarphi } .]

1) Для исходного комплексного числа $z=sqrt{2} cdot (cos 2pi +isin 2pi )$ получим $r=sqrt{2} ;varphi =2pi $.

2) Для исходного комплексного числа $z=frac{5}{3} cdot (cos frac{2pi }{3} +isin frac{2pi }{3} )$ получим $r=frac{5}{3} ;varphi =frac{2pi }{3} $.

3) Для исходного комплексного числа $z=sqrt{13} cdot e^{ifrac{3pi }{4} } $ получим $r=sqrt{13} ;varphi =frac{3pi }{4} $.

4) Для исходного комплексного числа $z=13cdot e^{ipi } $ получим $r=13;varphi =pi $.

Аргумент $varphi $ заданного комплексного числа $z=a+bi$ можно вычислить, используя следующие формулы:

[varphi =tgfrac{b}{a} ;cos varphi =frac{a}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } ;sin varphi =frac{b}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } .]

На практике для вычисления значения аргумента заданного комплексного числа $z=a+bi$ обычно пользуются формулой:

$varphi =arg z=left{begin{array}{c} {arctgfrac{b}{a} ,age 0} \ {arctgfrac{b}{a} +pi ,a

или решают систему уравнений

$left{begin{array}{c} {cos varphi =frac{a}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } } \ {sin varphi =frac{b}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } } end{array}right. $. (**)

Пример 4

Вычислить аргумент заданных комплексных чисел: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Решение:

1) $z=3$

Так как $z=3$, то $a=3,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{0}{3} =arctg0=0.]

2) $z=4i$

Так как $z=4i$, то $a=0,b=4$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{4}{0} =arctg(infty )=frac{pi }{2} .]

3) $z=1+i$.

Так как $z=1+i$, то $a=1,b=1$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, решая систему (**):

[left{begin{array}{c} {cos varphi =frac{1}{sqrt{1^{2} +1^{2} } } =frac{1}{sqrt{2} } =frac{sqrt{2} }{2} } \ {sin varphi =frac{1}{sqrt{1^{2} +1^{2} } } =frac{1}{sqrt{2} } =frac{sqrt{2} }{2} } end{array}right. .]

Из курса тригонометрии известно, что $cos varphi =sin varphi =frac{sqrt{2} }{2} $ для угла, соответствующего первой координатной четверти и равного $varphi =frac{pi }{4} $.

4) $z=-5$

Так как $z=-5$, то $a=-5,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{0}{-5} +pi =arctg0+pi =0+pi =pi .]

5) $z=-2i$

Так как $z=-2i$, то $a=0,b=-2$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{-2}{0} =arctg(-infty )=frac{3pi }{2} .]

Примечание 3

Решение:

Число $z_{1} $ изображено точкой $(3;0)$, следовательно, длина радиус-вектора равна 3, т.е. $r=3$, а аргумент $varphi =0$ по примечанию 2.

Число $z_{2} $ изображено точкой $(-2;0)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 2, т.е. $r=2$, а аргумент $varphi =pi $ по примечанию 2.

Число $z_{3} $ изображено точкой $(0;1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $varphi =frac{pi }{2} $ по примечанию 3.

Число $z_{4} $ изображено точкой $(0;-1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $varphi =frac{3pi }{2} $ по примечанию 3.

Число $z_{5} $ изображено точкой $(2;2)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна $sqrt{2^{2} +2^{2} } =sqrt{4+4} =sqrt{8} =2sqrt{2} $, т.е. $r=2sqrt{2} $, а аргумент $varphi =frac{pi }{4} $ по свойству прямоугольного треугольника.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Введите комплексное число