Как найти третий признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников формулировка и доказательство

Третий признак равенства треугольников и его доказательство (всех трех возможных случаев) будут подробно рассмотрены в данной статье.

Формулировка третьего признака равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Дано:

2 треугольника, АВС и А₁В₁С₁, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁

Требуется доказать, что треугольники АСВ и А₁В₁С₁ равны.

Доказательство

Для начала необходимо «наложить» данные треугольники друг на друга таким образом – чтобы точка А совпала с точкой А₁, точка В с точкой В₁, а точки С и С₁ оказались по разные стороны от прямой А₁В₁.

Три возможных случая при наложении треугольников

1. Луч С₁С расположен внутри угла А₁С₁В₁.

   

2. Луч С₁С накладывается на одну из сторон данного угла.

   

3. Луч С₁С расположен вне угла А₁С₁В₁.

   

Доказательства равенства треугольников для трех возможных случаев

Первый случай

Луч С₁С расположен внутри угла А₁С₁В₁.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники В₁С₁С и АС₁С.

   

2. По условию стороны АС=А₁С₁, ВС=В₁С₁, следовательно, треугольники В₁С₁С и А₁С₁С – равнобедренные.
3. Вспомнив, что углы при основании равнобедренных треугольников равны (свойство равнобедренного треугольника), получаем:
   ∠АСС₁ = ∠А₁С₁С,
   ∠ВСС₁ = ∠В₁С₁С.
4. Поскольку
   ∠ACB = ∠ACC₁ + ∠BCC₁,
   ∠AC1B = ∠AC₁C + ∠BC₁C,
   то и углы AСB и AС₁B равны.
5. Так как ВС = В₁С₁, АС = А₁С₁ и ∠AСB = ∠AС₁B, можно утверждать, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать

Второй случай

Луч С₁С накладывается на одну из сторон этого угла.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник САС₁.

   

2. Согласно условию теоремы, в треугольнике САС₁ стороны АС и А₁С₁ равны, следовательно, сам треугольник САС₁ – равнобедренный.
3. По аналогии с доказательством первого случая (пункты 3-5): так как треугольник САС₁ равнобедренный, то углы при его основании (СС₁) равны, то есть ∠С = ∠С₁ . Отсюда следует, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

Что и требовалось доказать.

Третий случай

Луч С₁С расположен вне угла А₁С₁В₁.

Доказательство:

1. Рассмотрим полученный треугольник ВСС₁.

   
2. По условию, стороны В₁С₁ и ВС – равны, следовательно, треугольник В₁С₁С – равнобедренный, а значит, что углы BСD и BС₁D равны.
3. Рассмотрим треугольник АСС₁.
4. Согласно условию, стороны АС и А₁С₁ – равны, отсюда следует, что треугольник АСС₁ – равнобедренный и углы при его основании равны (∠DC₁A = ∠DCA).
5. ∠DCA = ∠DCB + ∠ACB, а ∠DC₁A = ∠DC₁B + ∠AC₁B.
6. Поскольку ∠DC₁A = ∠DCA и ∠BСD = ∠BС₁D, то отсюда следует, что и углы ∠АСВ и ∠АС₁В равны.
7. Исходя из вышенаписанного можно сделать вывод, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

Что и требовалось доказать.

Геометрия

7 класс

Урок № 14

Второй и третий признаки равенства треугольников

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Доказательство и формулировка второго и третьего равенства треугольников.
• Решение задач на доказательство равенства треугольников с использованием признаков.

Тезаурус:

Теорема ‑ утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений в данной системе аксиом.

Второй признак равенства треугольников.

Теорема.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников.

Теорема.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Основная литература

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б.Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т.М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т.М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М.А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы.// Иченская М.А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее мы узнали, как определить, являются ли треугольники равными. Для этого мы использовали способ наложения или первый признак равенства треугольников.

Сегодня мы рассмотрим ещё два признака равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников.

Теорема.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:∆ABC, ∆А₁В₁С₁,

АC = А₁C₁, 

∠А =∠А₁

∠C=∠C₁

Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С_1. 

Доказательство

1. Наложим треугольник ∆ABC на ∆А₁В₁С₁, так чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, вершины B и B₁лежали по одну сторону от A₁C₁.

Так как ∠А =∠А₁, ∠C=∠C₁, то AB наложится на луч A₁B₁, BC наложится на луч B₁C₁ (по аксиоме откладывания угла).

1. Вершина B – с вершиной B₁ (по аксиоме откладывания отрезка).
2. Стороны треугольников BС и B₁С_1, АВ и А₁В₁совместятся (по аксиоме откладывания отрезка).
3. Треугольник ABC и треугольник А₁В₁С₁ полностью совместится →∆АВС = ∆А₁В₁С₁

Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников.

Докажем третий признак равенства треугольников.

Теорема.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ABC, ∆А₁В₁С₁,

АC = А₁C₁,

АB = А₁B₁

CB = C₁B₁

Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С_1. 

Доказательство.

1. Приложим треугольник ∆ ABC к ∆ А₁В₁С₁, так чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, вершина B с B₁, вершины C и C₁лежали по разные стороны от прямой A₁B₁.
2. Так как АC = А₁C₁, BC = B₁C₁ (по аксиоме откладывания отрезка), =>∆ А₁C₁С и ∆ В₁С₁C – равнобедренные.
3. ∠1=∠2, ∠3=∠4 (по свойству равнобедренного треугольника) → ∠A₁CB₁ = ∠А₁С₁В₁.

АC = А₁C₁,BC = B₁C₁ , ∠C = ∠C₁→ ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ ( по 1 признаку равенства треугольников).

Итак, сегодня мы доказали второй и третий признаки равенства треугольников.

Рассмотрим ещё один случай доказательства третьего признака равенства треугольников.

Дано: ∆ABC, ∆А₁В₁С₁,

АC = А₁C₁,

АB = А₁B₁

CB = C₁B₁

Доказать: ∆ АВС = ∆ А₁В₁С_1. 

Доказательство.

1. Приложим треугольник ABC к треугольнику А₁В₁С₁, так чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, вершина B с B₁, вершины C и C₁лежали по разные стороны от прямой A₁B₁.
2. Так как АC = А₁C₁,→∆АC₁С – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника. ∠C =∠С₁. (по свойству равнобедренного треугольника).
3. АC = А₁C₁, BC = B₁C₁ (по условию), ∠C = ∠C₁→∆АВС = ∆А₁В₁С₁ (по 1 признаку равенства треугольников).

Теорема доказана.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. На рисунке изображены треугольники ABH и BHА₁, ∠1 = ∠2, ∠АВH =∠А₁ВH. Будут ли треугольники ABH и BHА₁ равными?

По условию в треугольниках ABH и BHА₁, ∠1 = ∠2, ∠АВH = ∠А₁ВH, BH ‑ общая сторона.

Следовательно, ∆ABH = ∆BHА₁ (по второму признаку равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.)

Ответ: ∆ABH = ∆BHА_1.

№ 2. Периметр треугольника AOR равен 21 см, периметр четырёхугольника AORF равен 22 см. При этом AO = RF, OR = AF. Найти AR.

Для решения задачи, нужно вспомнить формулу периметра треугольника и четырёхугольника.

Р_{∆ AOR} = АО + OR + AR = 21 см

Р_AORF = АО + OR + RF + AF = 22 см

По условию AO = RF, OR = AF, AR ‑ общая сторона →∆AOR = ∆ARF (по 3 признаку равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны).

Т.к. AO = RF, OR = AF.

Р_AORF = АО + OR + АО + OR = 2 · АО + 2 · OR = 22 см;

АО + OR = 22 : 2 = 11 см

Р_{∆ AOR} = 11см + AR = 21 см

AR = 21см – 11см =10 см

Ответ: AR = 10 см.

Теорема

(Третий признак равенства треугольников — по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

ΔABC,

ΔA₁B₁C₁,

AB=A₁B₁, AC=A₁C₁, BC=B₁C₁.

Доказать:

ΔABC= ΔA₁B₁C₁

Доказательство:

Приложим треугольник A₁B₁C₁ к треугольнику ABC так, чтобы

• вершина A₁ совместилась с вершиной A,
• вершина B₁ совместилась с вершиной B,
• точки C₁ и C лежали по разные стороны от прямой AB.

При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC₁ и угла ACB.

I. Луч CC₁ проходит внутри угла ACB.

Проведём отрезок CC₁.

По условию AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, поэтому треугольники ACC₁ и BCC₁ — равнобедренные с основанием CC₁.

По свойству равнобедренного треугольника, ∠ACC₁=∠AC₁C и ∠BCC₁=∠BC₁C.

Если к равным углам прибывать равные углы, то получим равные углы:

Таким образом, ∠ACB=∠AC₁B.

Точки A₁ и A, B₁ и B совмещены, то есть ∠AC₁B и ∠A₁C₁B₁ — один и тот же угол.

Для треугольников ABC и A₁B₁C₁ имеем:

AC=A₁C₁, BC=B₁C₁ (по условию), ∠ACB=∠A₁C₁B₁ (по доказанному).

Следовательно, ΔABC= ΔA₁B₁C₁ (по 1 признаку равенства треугольников).

II. Луч CC₁ проходит внутри угла ACB.

Так как AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, треугольники ACC₁ и BCC₁ — равнобедренные с основанием CC₁ и ∠ACC₁=∠AC₁C и ∠BCC₁=∠BC₁C (как углы при основании).

Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы:

Таким образом, ∠ACB=∠AC₁B и ΔABC= ΔA₁B₁C₁ (по 1 признаку равенства треугольников).

III. Луч CC₁ совпадает со стороной угла ACB.

По условию BC=B₁C₁, поэтому треугольник BCC₁ — равнобедренный с основанием CC₁.

Отсюда ∠C₁=∠C (как углы при основании) и ΔABC= ΔA₁B₁C₁ (по 1 признаку равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.

Треугольники. Признаки равенства треугольников

Треугольник − это геометрическая фигура, образованная соединением отрезками трех, не лежащих на одной прямой точек .

Эти точки называются вершинами треугольника. Отрезки, соединяющие эти точки называются сторонами треугольника.

Треугольник обозначается знаком ⊿. Например треугольник ABC обозначается так: ⊿ABC. Этот же треугольник можно обозначать так: ⊿BAC, ⊿CBA и т.д.

Углы треугольника обозначают так ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA. Эти же углы коротко обозначают также ∠A, ∠B, ∠C, соответственно. Углы треугольника принято также обозначать греческими буквами α, β, γ и т.д. Стороны тркеугольника обозначают так AB, BC, AC. Принято также стороны обозначать одной строчной буквой, причем сторона напротив угла A ,обозначается буквой a, сторона напротив угла B− b, сторона напротив угла C− c. Сумма трех сторон треугольника называется периметром треугольника.

Как известно, две треугольники называются равными, если при наложении друг на друга их можно совместить. На Рис.2 представлены два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Треугольник ABC можно наложить на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершины и стороны этих треугольников попарно совместились. Очевидно, что при этом совместятся и соответствующие углы.

Вышеизложенное можно сформулировать так:

Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁ обозначается так:

Первый признак равенства треугольников

Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁ (Рис.3). Пусть AB=A₁B₁, AС=A₁С₁ и ∠A=∠A₁. Докажем, что .

Так как ∠A=∠A₁, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершины A и A₁ совпадали, а стороны AB и AС наложились на лучи A₁B₁ и A₁C₁, соответственно.

Так как по условию теоремы AB=A₁B₁, AС=A₁С₁, то сторона AB совместится со стороной A₁B₁, а сторона AС − со стороной A₁С₁.Тогда совместятся B и B₁, C и С₁. Следовательно сторона BC совместится со стороной B₁C₁. То есть треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совместятся. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁С₁ (Рис.4). Пусть AB=A₁B₁, ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁. Докажем, что .

Наложим треугольник ABC на треугольник A₁B₁С₁ так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A₁, сторона AB − со стороной A₁B₁ (по условию теоремы AB=A₁B₁), а вершины C и С₁ оказались по одну сторону от прямой A₁B₁.

Так как ∠A=∠A₁ и ∠B=∠B₁, то сторона AС наложится на луч A₁C₁ а сторона BС − на луч B₁С₁. Тогда вершина C окажется на луче A₁C₁ и на луче B₁C₁. Т.е. она окажется на пересечении этих лучей и, следовательно, вершина C совместится с общей точкой лучей A₁C₁ и B₁C₁, т.е. с вершиной C₁. Таким образом совместятся стороны AC и A₁C₁, BC и B₁C₁. То есть треугольники ABC и A₁B₁С₁ полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁С₁. Пусть AB=A₁B₁, AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁. Докажем, что . Приложим треугольник ABC к треугольнику A₁B₁С₁ так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A₁, вершина B совмещалась с вершиной B₁, а вершины С и С₁ находились по разные стороны от прямой A₁B₁.

Возможны три варианта: луч CC₁ проходит внутри угла ACB(Рис.6); луч CC₁ совпадает с одной из сторон угла ACB (Рис.7); луч CC₁ проходит вне угла ACB(Рис.8). Рассмотрим эти три случая по отдельности.

Вариант 1 (Рис.6). Так как по условию теоремы AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, то треугольники AСС₁ и BСС₁ равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и ∠3=∠4 и, следовательно:

Имеем AC=A₁C₁, BC=B₁C₁ ∠ACB=∠A₁C₁B₁ и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Вариант 2 (Рис.7). Так как по условию теоремы AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, то треугольник BСС₁ равнобедренный. Тогда ∠1=∠2. Имеем: AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, ∠1=∠2 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Вариант 3 (Рис.8). Так как по условию теоремы AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, то треугольники AСС₁ и BСС₁ равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и и, следовательно:

Имеем AC=A₁C₁, BC=B₁C₁ и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Задачи и решения

Задача 1. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E − на отрезке AD, причем AC=AD и AB=AE. Докажите, что ∠CBD=∠DEC (Рис.9).

Доказательство. AC=AD, AE=AB, ∠CAD общий для треугольников CAE и DAB. Тогда, по первому признаку равенства треугольников (теорема 1) ⊿ACE=⊿ADB. Следовательно ∠DBA=∠AEC. Поскольку углы CBD и DBA смежные, то CBD=180°−∠DBA. Аналогично CED=180°-∠AEC. То есть ∠CBD=∠DEC. Конец доказательства.

Задача 2. По данным рисунка рис.10 докажите, что OP=OT, ∠P=∠T

Доказательство. OC=OB, ∠TCO=∠PBO=90°. Углы TOC и POB вертикальные (следовательно равны) тогда, повторому признаку равенства треугольников (теорема 2), ⊿TCO=⊿PBO. Конец доказательства.

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Треугольники
5. Третий признак равенства треугольников

Советуем посмотреть:

Треугольник

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Второй признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 137,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 138,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 140,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 142,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 175,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 176,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 11,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 15,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1072,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---