Как найти третью сторону пирамиды

Сторона основания пирамиды является стороной правильного многоугольника, исходя из этого, можно найти все параметры пирамиды, связанные с основанием, воспользовавшись формулами для правильных многоугольников.
P=n(a+b)
S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в основание правильной пирамиды, нужно разделить сторону основания на два тангенса из 180 градусов, деленных на количество сторон в основании. (рис.34.1)
r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Радиус окружности, описанной вокруг основания правильной пирамиды, равен отношению стороны основания к двум синусам того же угла. (рис.34.2)
R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Угол γ между сторонами правильного многоугольника, заложенного в основание пирамиды, легко найти, умножив 180 градусов на количество сторон многоугольника без двух, и деленное на полное количество сторон. (рис.34.3)
γ=180°(n-2)/n

Зная боковое ребро в совокупности со стороной основания, можно вычислить высоту пирамиды и ее апофему из прямоугольных треугольников, которые они образуют. (рис.34.5, 35.1)
h=√(b^2-R^2 )=√(b^2-(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 )
l=√(b^2-a^2/4)

Косинус угла между боковым ребром и основанием будет равен отношению радиуса окружности, описанной вокруг основания, к боковому ребру пирамиды, а косинус угла между апофемой и основанием – отношению радиуса вписанной в основание окружности к апофеме. (рис.34.4,34.5)
cos⁡α=R/b=a/(2b sin⁡〖(180°)/n〗 )
cos⁡β=r/l=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 √(b^2-a^2/4))

Площадь боковой поверхности пирамиды складывается из площадей треугольников, являющихся ее гранями, каждая из которых равна половине произведения апофемы на сторону основания, а площадь полной поверхности представляет собой сумму площади боковой поверхности и площади основания.
S_(б.п.)=lan/2=(√(b^2-a^2/4) an)/2
S_(п.п.)=an(l/2+a/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))=an(√(b^2-a^2/4)/2+a/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Чтобы найти объем пирамиды, необходимо вычислить треть от произведения ее высоты на площадь основания, последовательно подставив выражения для площади и высоты в формулу.
V=1/3 S_(осн.) h=(na^2 √(b^2-(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Радиус сферы, которая может быть вписана в пирамиду, равен трем объемам, деленным на площадь полной поверхности пирамиды, а радиус сферы, описанной вокруг пирамиды – квадрату бокового ребра, деленному на две высоты. (рис.34.6,34.7)
r_1=3V/S_(п.п.) =(a√(b^2-(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(tan⁡〖(180°)/n〗 (2√(b^2-a^2/4)+a/tan⁡〖(180°)/n〗 ) )
R_1=b^2/2h=b^2/(2√(b^2-(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))

Как найти сторону основания пирамиды

Задачи на вычисление стороны основания пирамиды составляют в задачнике по геометрии довольно большой раздел. Очень многое зависит от того, какая гемоетрическая фигура лежит в основании, а также от того, что дано в условиях задачи.

Вам понадобится

• – чертежные принадлежности;
• – тетрадь в клетку;
• – теорема синусов;
• – теорема Пифагора;
• – калькулятор.

Инструкция

В школьном курсе геометрии рассматриваются главным образом пирамиды, в основании которых лежит правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны равны. Проекция вершины пирамиды совпадает с центром ее основания. Начертите пирамиду, в основании которой лежит равносторонний треугольник. В условиях могут быть даны:
– длина бокового ребра пирамиды и угол его с ребром между боковой гранью и основанием;
– длина бокового ребра и высота боковой грани;
– длина бокового ребра и высота пирамиды.

Если известны боковое ребро и угол, задача решается несколько иначе. Вспомните, что собой представляет каждая боковая грань пирамиды, в основании которой лежит равносторонний многоугольник. Это равнобедренный треугольник. Проведите его высоту, которая одновременно является биссектрисой и медианой. То есть половина стороны основания a/2=L*cosA, где а – сторона основания пирамиды, L – длина ребра. Чтобы найти размер стороны основания, достаточно полученный результат умножить на 2.

Если в задаче даны высота боковой грани и длина ребра, найдите сторону основания по теореме Пифагора. Боковая грань в данном случае будет гипотенузой, известная высота –з одним из катетов. Чтобы найти длину второго катета, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат второго катета, то есть (a/2)2=L2-h2, где а – сторона основания, L – длина боковой грани, h – высота боковой грани.

В этом случае нужно выполнить дополнительное построение, чтобы можно было оперировать тригонометрическими функциями. Вам даны боковое ребро L и высота пирамиды H, которая соединяет вершину пирамиды с центром основания. Из точки пересечения высоты с плоскостью основания проведите отрезок, соединив эту точку с одним из углов основания. У вас получился прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковое ребро, одним из катетов – высота пирамиды. По этим данным легко найти второй катет треугольника, для этого достаточно из квадрата бокового ребра L вычесть квадрат высоты H. Дальнейшие действия зависят от того, какая именно фигура лежит в основании.

Вспомните свойства равностороннего треугольника. У него высоты одновременно являются биссектрисами и медианами. В точке пересечения они делятся пополам. То есть получается, что вы нашли половину высоты основания. Для удобства вычислений проведите все три высоты. Вы увидите, что отрезок, квадрат длины которого вы уже нашли, является гипотенузой прямоугольного треугольника. Извлеките квадратный корень. Вам известен и острый угол – 30°, так что найти половину стороны основания не составит особого труда, применив теорему косинусов.

Для пирамиды, в основании которой лежит правильный четырехугольник, алгоритм будет тем же самым. Если вы вычтите из квадрата бокового ребра квадрат высоты пирамиды, получите возведенную в квадрат половину диагонали основания. Извлеките корень, найдите размер диагонали, которая одновременно является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника. Размер любого из катетов найдите по теореме Пифагора, синусов или косинусов.

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Пирамиды. Правильные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды

Пирамиды

Рассмотрим произвольную плоскость α , произвольный выпуклый n – угольник A₁A₂ . A_n , расположенный в этой плоскости, и точку S , не лежащую в плоскости α .

Определение 1. Пирамидой ( n – угольной пирамидой) называют фигуру, образованную отрезками, соединяющими точку S со всеми точками многоугольника A₁A₂ . A_n (рис. 1) .

Точку S называют вершиной пирамиды.

Точки A₁ , A₂ , . , A_n , S часто называют просто вершинами пирамиды.

Боковые ребра и ребра основания пирамиды часто называют просто ребрами пирамиды.

Множество всех боковых граней пирамиды составляет боковую поверхность пирамиды.

Боковые грани и основание пирамиды часто называют просто гранями пирамиды.

Полная поверхность пирамиды состоит из основания пирамиды и ее боковой поверхности.

Теорема Эйлера. Для любой пирамиды справедливо равенство:

Доказательство. Заметим, что у n – угольной пирамиды (n + 1) вершина, n боковых граней, 1 основание, n ребер основания и n боковых ребер. Следовательно, у n – угольной пирамиды (n + 1) грань и 2n ребер.

то теорема Эйлера доказана.

Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды

Замечание 2. Если центр основания A₁A₂ . A_n правильной пирамиды SA₁A₂ . A_n обозначить буквой O , то длина отрезка SO будет равняться высоте пирамиды. Часто и сам отрезок SO называют высотой пирамиды, опущенной из вершины S .

Определение 4. Высоту боковой грани правильной пирамиды, опущенную из вершины S , называют апофемой .

На рисунке 3 отрезок SB – апофема грани SA_nA_n-1 и отрезок SC – апофема грани SA₂A₁ .

Замечание 3 . У любой правильной n – угольной пирамиды можно провести n апофем.

Свойства правильной пирамиды:

Все боковые ребра правильной пирамиды равны.

Все боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

У любой правильной пирамиды все апофемы равны.

Все боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные углы.

Все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные двугранные углы.

Тетраэдры. Правильные тетраэдры

Определение 5. Произвольную треугольную пирамиду называют тетраэдром.

Утверждение. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.

Доказательство. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SABC и пару ее противоположных ребер, например, AC и BS . Обозначим буквой D середину ребра AC . Поскольку отрезки BD и SD являются медианами в равнобедренных треугольниках ABC и ASC , то BD и SD перпендикулярны ребру AC (рис. 4).

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая AC перпендикулярна плоскости BSD. Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой BS , что и требовалось доказать.

Определение 6. Правильную треугольную пирамиду, у которой все ребра равны, называют правильным тетраэдром (рис. 5).

Задача. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром a .

Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр SABC . Пусть точка O – основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC. Поскольку SABC – правильная пирамида, то точка O является точкой пересечения медиан равностороннего треугольника ABC. Следовательно,

где буквой D обозначена середина ребра AC (рис. 6).

,

.

По теореме Пифагора из треугольника BSO находим

Ответ.

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды

Введем следующие обозначения

V	объем пирамиды
Sбок	площадь боковой поверхности пирамиды
Sполн	площадь полной поверхности пирамиды
Sосн	площадь основания пирамиды
Pосн	периметр основания пирамиды

Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды :

,

Пирамида	Рисунок	Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности
Произвольная пирамида
Правильная n – угольная пирамида
Правильный тетраэдр

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

,

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

[spoiler title=”источники:”]

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlayn-resheniye-piramidy

http://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoollos.htm

[/spoiler]

Объемной фигурой, которая часто появляется в геометрических задачах, является пирамида. Самая простая из всех фигур этого класса – треугольная. В данной статье разберем подробно основные формулы и свойства правильной пирамиды треугольной.

Геометрические представления о фигуре

Прежде чем переходить к рассмотрению свойств правильной пирамиды треугольной, разберемся подробнее, о какой фигуре идет речь.

Предположим, что имеется произвольный треугольник в трехмерном пространстве. Выберем в этом пространстве любую точку, которая в плоскости треугольника не лежит, и соединим ее с тремя вершинами треугольника. Мы получили треугольную пирамиду.

Вам будет интересно:Лихой – это: значение и синонимы

Она состоит из 4-х сторон, причем все они являются треугольниками. Точки, в которых соединяются три грани, называются вершинами. Их у фигуры также четыре. Линии пересечения двух граней – это ребра. Ребер у рассматриваемой пирамиды 6. Рисунок ниже демонстрирует пример этой фигуры.

Поскольку фигура образована четырьмя сторонами, ее также называют тетраэдром.

Правильная пирамида

Выше была рассмотрена произвольная фигура с треугольным основанием. Теперь предположим, что мы провели перпендикулярный отрезок из вершины пирамиды к ее основанию. Этот отрезок называется высотой. Очевидно, что можно провести 4 разные высоты для фигуры. Если высота пересекает в геометрическом центре треугольное основание, то такая пирамида называется прямой.

Прямая пирамида, основанием которой будет треугольник равносторонний, называется правильной. Для нее все три треугольника, образующих боковую поверхность фигуры, являются равнобедренными и равны друг другу. Частным случаем правильной пирамиды является ситуация, когда все четыре стороны являются равносторонними одинаковыми треугольниками.

Рассмотрим свойства правильной пирамиды треугольной и приведем соответствующие формулы для вычисления ее параметров.

Сторона основания, высота, боковое ребро и апотема

Любые два из перечисленных параметров однозначно определяют остальные две характеристики. Приведем формулы, которые связывают названные величины.

Предположим, что сторона основания треугольной пирамиды правильной равна a. Длина ее бокового ребра равна b. Чему будут равны высота правильной пирамиды треугольной и ее апотема.

Для высоты h получаем выражение:

h = √(b2 – a2/3)

Эта формула следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, сторонами которого являются боковое ребро, высота и 2/3 высоты основания.

Апотемой пирамиды называется высота для любого бокового треугольника. Длина апотемы ab равна:

ab = √(b2 – a2/4)

Из этих формул видно, что какими бы ни были сторона основания пирамиды треугольной правильной и длина ее бокового ребра, апотема всегда будет больше высоты пирамиды.

Представленные две формулы содержат все четыре линейные характеристики рассматриваемой фигуры. Поэтому по известным двум из них можно найти остальные, решая систему из записанных равенств.

Объем фигуры

Для абсолютно любой пирамиды (в том числе наклонной) значение объема пространства, ограниченного ею, можно определить, зная высоту фигуры и площадь ее основания. Соответствующая формула имеет вид:

V = 1/3*So*h

Применяя это выражение для рассматриваемой фигуры, получим следующую формулу:

V3 = √3/12*a2*h

Где высота правильной треугольной пирамиды равна h, а ее сторона основания – a.

Не сложно получить формулу для объема тетраэдра, у которого все стороны равны между собой и представляют равносторонние треугольники. В таком случае объем фигуры определится по формуле:

V = √2/12*a3

То есть он определяется длиной стороны a однозначно.

Площадь поверхности

Продолжим рассматривать свойства пирамиды треугольной правильной. Общая площадь всех граней фигуры называется площадью ее поверхности. Последнюю удобно изучать, рассматривая соответствующую развертку. На рисунке ниже показано, как выглядит развертка правильной пирамиды треугольной.

Предположим, что нам известны высота h и сторона основания a фигуры. Тогда площадь ее основания будет равна:

So = √3/4*a2

Получить это выражение может каждый школьник, если вспомнит, как находить площадь треугольника, а также учтет, что высота равностороннего треугольника также является биссектрисой и медианой.

Площадь боковой поверхности, образованной тремя одинаковыми равнобедренными треугольниками, составляет:

Sb = 3/2*√(a2/12+h2)*a

Данное равенство следует из выражения апотемы пирамиды через высоту и длину основания.

Полная площадь поверхности фигуры равна:

S = So + Sb = √3/4*a2 + 3/2*√(a2/12+h2)*a

Заметим, что для тетраэдра, у которого все четыре стороны являются одинаковыми равносторонними треугольниками, площадь S будет равна:

S = √3*a2

Свойства правильной усеченной пирамиды треугольной

Если у рассмотренной треугольной пирамиды плоскостью, параллельной основанию, срезать верх, то оставшаяся нижняя часть будет называться усеченной пирамидой.

В случае правильной пирамиды с треугольным основанием в результате описанного метода сечения получается новый треугольник, который также является равносторонним, но имеет меньшую длину стороны, чем сторона основания. Усеченная треугольная пирамида показана ниже.

Мы видим, что эта фигура уже ограничена двумя треугольными основаниями и тремя равнобедренными трапециями.

Предположим, что высота полученной фигуры равна h, длины сторон нижнего и верхнего оснований составляют a1 и a2 соответственно, а апотема (высота трапеции) равна ab. Тогда площадь поверхности усеченной пирамиды можно вычислить по формуле:

S = 3/2*(a1+a2)*ab + √3/4*(a12 + a22)

Здесь первое слагаемое – это площадь боковой поверхности, второе слагаемое – площадь треугольных оснований.

Объем фигуры рассчитывается следующим образом:

V = √3/12*h*(a12 + a22 + a1*a2)

Для однозначного определения характеристик усеченной пирамиды необходимо знать три ее параметра, что демонстрируют приведенные формулы.