Как найти треугольные числа

Как найти треугольные числа

Números triangulares.png

Треугольное число — один из классов фигурных многоугольных чисел, определяемый как число точек, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника. Как видно из рисунка, n-е треугольное число T_{n} — это сумма n первых натуральных чисел:

{displaystyle {begin{aligned}T_{1}&=1&=& 1\T_{2}&=1+2&=& 3\T_{3}&=1+2+3&=& 6\T_{4}&=1+2+3+4&=& 10\end{aligned}}}

и т. д. Общая формула для n-го по порядку треугольного числа:

{displaystyle T_{n}={frac {1}{2}}n(n+1),;n=1,2,3dots };

Последовательность треугольных чисел T_{n} бесконечна. Она начинается так:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120 … (последовательность A000217 в OEIS)

Часть источников начинает последовательность треугольных чисел с нуля, которому соответствует номер {displaystyle n=0.}

Треугольные числа играют значительную роль в комбинаторике и теории чисел[⇨], они тесно связаны с многими другими классами целых чисел[⇨].

Свойства[править | править код]

Рекуррентная формула для n-го треугольного числа[1]:

{displaystyle T_{n}=T_{n-1}+n}.

Разложение треугольного числа с нечётным номером.

Разложение треугольного числа с чётным номером

Следствия (n>1)[2][3]:

{displaystyle T_{n+1}=T_{n-1}+2n+1}.
{displaystyle T_{n+1}+T_{n-1}=2T_{n}+1}.
{displaystyle T_{2n-1}=3T_{n-1}+T_{n}} (см. рисунок слева).
{displaystyle T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1}}. (см. рисунок справа).

Ещё две формулы легко доказать по индукции[4]:

{displaystyle T_{m+n}=T_{m}+T_{n}+mn}
{displaystyle T_{mn}=T_{m}T_{n}+T_{m-1}T_{n-1}}

Все треугольные числа, кроме 1 и 3, составные. Никакое треугольное число не может в десятичной записи заканчиваться цифрой[2] {displaystyle 2,4,7,9.} Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

Третья сбоку линия (диагональ) треугольника Паскаля состоит из треугольных чисел[5].

Сумма конечного ряда треугольных чисел вычисляется по одной из формул[6]:

{displaystyle S_{m-1}=1+3+6+dots +{frac {(m-1)m}{2}}={frac {m^{3}-m}{6}}}

или:

{displaystyle S_{m}=1+3+6+dots +{frac {m(m+1)}{2}}={frac {m(m+1)(m+2)}{6}}}

Ряд из чисел, обратных треугольным, сходится (см. Телескопический ряд):

{displaystyle 1+{1 over 3}+{1 over 6}+{1 over 10}+{1 over 15}+dots =2sum _{n=1}^{infty }left({1 over n}-{1 over n+1}right)=2}

Критерий треугольности числа[править | править код]

Натуральное число x является треугольным тогда и только тогда, когда число {displaystyle 8x+1} является полным квадратом.

В самом деле, если x треугольное, то {displaystyle 8x+1=8{frac {n(n+1)}{2}}+1=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}.} Обратно, число {displaystyle 8x+1} нечётно, и если оно равно квадрату некоторого числа a, то a тоже нечётно: {displaystyle a=2n+1,} и мы получаем равенство: {displaystyle 8x+1=(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1,} откуда: {displaystyle x={frac {n(n+1)}{2}}} — треугольное число ■.

Следствие: номер числа x в последовательности треугольных чисел определяется формулой:

{displaystyle n={frac {{sqrt {8x+1}}-1}{2}}.}

Применение[править | править код]

Треугольные числа возникают во многих практических ситуациях.

Как биномиальный коэффициент {displaystyle T_{n}=C_{n+1}^{2}} число T_{n} определяет число сочетаний для выбора двух элементов из n+1 возможных.

Если n объектов попарно соединить отрезками, то число отрезков (число рёбер полного графа) будет выражаться треугольным числом:

{displaystyle T_{n-1}={frac {n(n-1)}{2}}}

Это видно из того, что каждый из n объектов соединяется с остальными n-1 объектами, так что получается {displaystyle n(n-1)} соединений, однако при таком учёте каждое соединение засчитывается дважды (с двух разных концов), так что результат надо разделить пополам.

Аналогично максимальное количество рукопожатий для n человек или количество шахматных партий в турнире с n участниками равны {displaystyle T_{n-1}.} Из тех же соображений можно заключить, что число диагоналей в выпуклом многоугольнике с n сторонами (n>3) равно:

{displaystyle T_{n-2}-1={frac {n(n-3)}{2}}}

Максимальное количество p кусков, которое можно получить с помощью n прямых разрезов пиццы (см. рисунок справа), равно {displaystyle T_{n}+1} (см. Центральные многоугольные числа, последовательность A000124 в OEIS).

Известное в мистике «число зверя» (666) является 36-м треугольным[7]. Оно является наименьшим треугольным числом, которое представимо в виде суммы квадратов треугольных чисел[8]: {displaystyle 666=15^{2}+21^{2}.}

Четвёртое треугольное число 10 (тетраксис) пифагорейцы считали священным, определяющим гармонию вселенной — в частности, соотношения музыкальных интервалов, смену времён года и движение планет[9].

Связь с другими классами чисел[править | править код]

Любое k-угольное число {displaystyle P_{n}^{(k)};(kgeqslant 3,n>1)} может быть выражено через треугольные[10]:

{displaystyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){frac {n(n-1)}{2}}=(k-3)T_{n-1}+T_{n}}

Сумма двух последовательных треугольных чисел — это квадратное число (полный квадрат), то есть[7]:

{displaystyle T_{n-1}+T_{n}=n^{2};} (формула Теона Смирнского[11].

Примеры:

6 + 10 = 16 Square number 16 as sum of two triangular numbers.svg 10 + 15 = 25 Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg

Обобщением этой формулы является формула Никомаха — для любого k geqslant 3 разность между (k+1)-угольным и k-угольным числами с одним и тем же номером есть треугольное число[12]:

{displaystyle P_{n}^{(k+1)}-P_{n}^{(k)}=T_{n-1}}

Предыдущая формула получается при {displaystyle k=3.}

Существует единственная пифагорова тройка, состоящая из треугольных чисел[13]:

{displaystyle {T_{132},T_{143},T_{164}}={8778,10296,13530}.}

Среди треугольных чисел существуют числа-палиндромы, то есть числа, которые одинаковы при чтении их слева направо и справа налево (последовательность A003098 в OEIS):

{displaystyle 1,3,6,55,66,171,595,666,3003,5995,8778,dots }

Существует бесконечно много треугольных чисел, которые одновременно являются квадратными («квадратные треугольные числа»)[14][15]: {displaystyle 1,36,1225,41616,1413721dots } (последовательность A001110 в OEIS).

Треугольное число может также быть одновременно

  • пятиугольным (последовательность A014979 в OEIS):
1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465…;
  • шестиугольным (все треугольные числа с нечётным номером);
  • семиугольным (последовательность A046194 в OEIS):
1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197921, 180458407386358101…

и т. д. Неизвестно, существуют ли числа, одновременно треугольные, квадратные и пятиугольные; проверка на компьютере чисел, меньших {displaystyle 10^{22166},} не обнаружила ни одного подобного числа, однако не доказано, что таковых не существует[16].

Четыре треугольных числа {displaystyle 1,3,15,4095} являются одновременно числами Мерсенна (последовательность A076046 в OEIS) (см. уравнение Рамануджана — Нагеля).

Пять чисел {displaystyle 1,10,120,1540,7140} (и только они) одновременно треугольные и тетраэдральные (последовательность A027568 в OEIS).

Четыре числа {displaystyle 1,55,91,208335} одновременно треугольные и квадратные пирамидальные (последовательность A039596 в OEIS).

Никакое натуральное число, кроме 1, не может быть одновременно[17][18]:

  • треугольным и кубическим;
  • треугольным и биквадратным[19];
  • треугольным и пятой степенью целого числа[17];

Каждое чётное совершенное число является треугольным[20].

Любое натуральное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел. Утверждение впервые сформулировал в 1638 году Пьер Ферма в письме к Мерсенну без доказательства, впервые доказано в 1796 году Гауссом[21].

Квадрат n-го треугольного числа является суммой кубов первых n натуральных чисел[22]. Следствие: разность квадратов двух последовательных треугольных чисел дает кубическое число. Например, {displaystyle 15^{2}-10^{2}=125=5^{3}.}

Производящая функция[править | править код]

Степенной ряд, коэффициенты которого — треугольные числа, сходится при |x|<1:

{displaystyle {frac {x}{(1-x)^{3}}}=T_{1}x+T_{2}x^{2}+T_{3}x^{3}+dots +T_{n}x^{n}+dots }

Выражение слева является производящей функцией для последовательности треугольных чисел[23].

Вариации и обобщения[править | править код]

Вариацией треугольных чисел являются центрированные треугольные числа.

Понятие плоского треугольного числа можно обобщить на три и более измерений. Пространственным их аналогом служат тетраэдральные числа, а в произвольном d-мерном пространстве можно определить гипертетраэдральные числа[24]:

{displaystyle T_{n}^{[d]}={frac {(n-1+d)!}{(n-1)! d!}}}

Их частным случаем выступают:

Ещё одним обобщением треугольных чисел являются числа Стирлинга второго рода[25]:

{displaystyle T_{n}=S(n+1,n)}

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 16.
  2. ↑ 1 2 Villemin.
  3. ↑ Деза Е., 2011, с. 24—25, 29.
  4. ↑ Деза Е., 2011, с. 66.
  5. ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 188.
  6. ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 71.
  7. ↑ 1 2 Шамшурин А. В. Волшебная сила треугольных чисел. Старт в науке. Дата обращения: 7 апреля 2021.
  8. ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 225.
  9. ↑ Dimitra Karamanides (2005), Pythagoras: pioneering mathematician and musical theorist of Ancient Greece, The Rosen Publishing Group, с. 65, ISBN 9781404205000, <https://books.google.com/books?id=DQpSA4CEnIwC> Архивная копия от 14 октября 2020 на Wayback Machine
  10. ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 15.
  11. ↑ Деза Е., 2011, с. 23.
  12. ↑ За страницами учебника математики, 1996, с. 50.
  13. ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 195.
  14. ↑ There exist triangular numbers that are also square (англ.). cut-the-knot. Дата обращения: 7 апреля 2021. Архивировано 27 апреля 2006 года.
  15. ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 25—33.
  16. ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 34—37.
  17. ↑ 1 2 The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.). Дата обращения: 9 марта 2021.
  18. ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 77—78.
  19. ↑ Dickson, 2005, p. 8.
  20. ↑ Voight, John. Perfect numbers: an elementary introduction // University of California, Berkley. — 1998. — С. 7. Архивировано 25 февраля 2017 года.
  21. ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 10.
  22. ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 79.
  23. ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 17—19.
  24. ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 126—134.
  25. ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 214—215.

Литература[править | править код]

  • Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
  • Деза Е. Специальные числа натурального ряда: Учебное пособие.. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01750-3.
  • Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.
  • Dickson L. E. Polygonal. pyramidal and figurate numbers // History of the Theory of Numbers. — New York : Dover, 2005. — Vol. 2: Diophantine Analysis. — P. 22—23.

Ссылки[править | править код]

  • Фигурные числа. Издательская группа ОСНОВА.
  • Villemin, Gérard. Nombres Triangulaires (фр.). Nombres — Curiosités, théorie et usages (2007).
  • Weisstein, Eric W. Triangular Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Источник

The first six triangular numbers (not starting with T0)

A triangular number or triangle number counts objects arranged in an equilateral triangle. Triangular numbers are a type of figurate number, other examples being square numbers and cube numbers. The nth triangular number is the number of dots in the triangular arrangement with n dots on each side, and is equal to the sum of the n natural numbers from 1 to n. The sequence of triangular numbers, starting with the 0th triangular number, is

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666…

(sequence A000217 in the OEIS)

Formula[edit]

The triangular numbers are given by the following explicit formulas:

{displaystyle T_{n}=sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+dotsb +n={frac {n(n+1)}{2}}={n+1 choose 2},}

where textstyle {n+1 choose 2}, does not mean division, but is the notation for a binomial coefficient. It represents the number of distinct pairs that can be selected from n + 1 objects, and it is read aloud as “n plus one choose two”.

The first equation can be illustrated using a visual proof.[1] For every triangular number T_{n}, imagine a “half-rectangle” arrangement of objects corresponding to the triangular number, as in the figure below. Copying this arrangement and rotating it to create a rectangular figure doubles the number of objects, producing a rectangle with dimensions {displaystyle ntimes (n+1)}, which is also the number of objects in the rectangle. Clearly, the triangular number itself is always exactly half of the number of objects in such a figure, or: {displaystyle T_{n}={frac {n(n+1)}{2}}}. The example T_{4} follows:

{displaystyle 2T_{4}=4(4+1)=20} (green plus yellow) implies that {displaystyle T_{4}={frac {4(4+1)}{2}}=10} (green).    Illustration of Triangular Number T 4 Leading to a Rectangle.png

This formula can be proven formally using mathematical induction.[2] It is clearly true for 1:

{displaystyle T_{1}=sum _{k=1}^{1}k={frac {1(1+1)}{2}}={frac {2}{2}}=1.}

Now assume that, for some natural number m, {displaystyle T_{m}=sum _{k=1}^{m}k={frac {m(m+1)}{2}}}. Adding {displaystyle m+1} to this yields

{displaystyle {begin{aligned}sum _{k=1}^{m}k+(m+1)&={frac {m(m+1)}{2}}+m+1\&={frac {m(m+1)+2m+2}{2}}\&={frac {m^{2}+m+2m+2}{2}}\&={frac {m^{2}+3m+2}{2}}\&={frac {(m+1)(m+2)}{2}},end{aligned}}}

so if the formula is true for m, it is true for m+1. Since it is clearly true for 1, it is therefore true for 2, 3, and ultimately all natural numbers n by induction.

The German mathematician and scientist, Carl Friedrich Gauss, is said to have found this relationship in his early youth, by multiplying n/2 pairs of numbers in the sum by the values of each pair n + 1.[3] However, regardless of the truth of this story, Gauss was not the first to discover this formula, and some find it likely that its origin goes back to the Pythagoreans in the 5th century BC.[4] The two formulas were described by the Irish monk Dicuil in about 816 in his Computus.[5] An English translation of Dicuil’s account is available.[6]

The triangular number Tn solves the handshake problem of counting the number of handshakes if each person in a room with n + 1 people shakes hands once with each person. In other words, the solution to the handshake problem of n people is Tn−1.[7] The function T is the additive analog of the factorial function, which is the products of integers from 1 to n.

This same function was coined as the “Termial function“[8] by Donald Knuth’s The Art of Computer Programming and denoted n? (analog for the factorial notation n!)

For example, 10 termial is equivalent to:

{displaystyle 10?=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55}

which of course, corresponds to the tenth triangular number.

The number of line segments between closest pairs of dots in the triangle can be represented in terms of the number of dots or with a recurrence relation:

{displaystyle L_{n}=3T_{n-1}=3{n choose 2};~~~L_{n}=L_{n-1}+3(n-1),~L_{1}=0.}

In the limit, the ratio between the two numbers, dots and line segments is

{displaystyle lim _{nto infty }{frac {T_{n}}{L_{n}}}={frac {1}{3}}.}

Relations to other figurate numbers[edit]

Triangular numbers have a wide variety of relations to other figurate numbers.

Most simply, the sum of two consecutive triangular numbers is a square number, with the sum being the square of the difference between the two (and thus the difference of the two being the square root of the sum). Algebraically,

{displaystyle T_{n}+T_{n-1}=left({frac {n^{2}}{2}}+{frac {n}{2}}right)+left({frac {left(n-1right)^{2}}{2}}+{frac {n-1}{2}}right)=left({frac {n^{2}}{2}}+{frac {n}{2}}right)+left({frac {n^{2}}{2}}-{frac {n}{2}}right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.}

This fact can be demonstrated graphically by positioning the triangles in opposite directions to create a square:

6 + 10 = 16     Square number 16 as sum of two triangular numbers.svg     10 + 15 = 25     Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg

The double of a triangular number, as in the visual proof from the above section § Formula, is called a pronic number.

There are infinitely many triangular numbers that are also square numbers; e.g., 1, 36, 1225. Some of them can be generated by a simple recursive formula:

{displaystyle S_{n+1}=4S_{n}left(8S_{n}+1right)}

with S_{1}=1.

All square triangular numbers are found from the recursion

{displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2}

with S_{0}=0 and S_{1}=1.

A square whose side length is a triangular number can be partitioned into squares and half-squares whose areas add to cubes. This shows that the square of the nth triangular number is equal to the sum of the first n cube numbers.

Also, the square of the nth triangular number is the same as the sum of the cubes of the integers 1 to n. This can also be expressed as

{displaystyle sum _{k=1}^{n}k^{3}=left(sum _{k=1}^{n}kright)^{2}.}

The sum of the first n triangular numbers is the nth tetrahedral number:

{displaystyle sum _{k=1}^{n}T_{k}=sum _{k=1}^{n}{frac {k(k+1)}{2}}={frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}

More generally, the difference between the nth m-gonal number and the nth (m + 1)-gonal number is the (n − 1)th triangular number. For example, the sixth heptagonal number (81) minus the sixth hexagonal number (66) equals the fifth triangular number, 15. Every other triangular number is a hexagonal number. Knowing the triangular numbers, one can reckon any centered polygonal number; the nth centered k-gonal number is obtained by the formula

{displaystyle Ck_{n}=kT_{n-1}+1}

where T is a triangular number.

The positive difference of two triangular numbers is a trapezoidal number.

The pattern found for triangular numbers {displaystyle sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={binom {n_{2}+1}{2}}} and for tetrahedral numbers {displaystyle sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={binom {n_{3}+2}{3}},} which uses binomial coefficients, can be generalized. This leads to the formula:[9]

{displaystyle sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}dots sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={binom {n_{k}+k-1}{k}}}

The fourth triangular number equals the third tetrahedral number as the nth k-simplex number equals the kth n-simplex number due to the symmetry of Pascal’s triangle, and its diagonals being simplex numbers; similarly, the fifth triangular number (15) equals the third pentatope number, and so forth

Other properties[edit]

Triangular numbers correspond to the first-degree case of Faulhaber’s formula.

Alternating triangular numbers (1, 6, 15, 28, …) are also hexagonal numbers.

Every even perfect number is triangular (as well as hexagonal), given by the formula

{displaystyle M_{p}2^{p-1}={frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=T_{M_{p}}}

where Mp is a Mersenne prime. No odd perfect numbers are known; hence, all known perfect numbers are triangular.

For example, the third triangular number is (3 × 2 =) 6, the seventh is (7 × 4 =) 28, the 31st is (31 × 16 =) 496, and the 127th is (127 × 64 =) 8128.

The final digit of a triangular number is 0, 1, 3, 5, 6, or 8, and thus such numbers never end in 2, 4, 7, or 9. A final 3 must be preceded by a 0 or 5; a final 8 must be preceded by a 2 or 7.

In base 10, the digital root of a nonzero triangular number is always 1, 3, 6, or 9. Hence, every triangular number is either divisible by three or has a remainder of 1 when divided by 9:

0 = 9 × 0

1 = 9 × 0 + 1

3 = 9 × 0 + 3

6 = 9 × 0 + 6

10 = 9 × 1 + 1

15 = 9 × 1 + 6

21 = 9 × 2 + 3

28 = 9 × 3 + 1

36 = 9 × 4

45 = 9 × 5

55 = 9 × 6 + 1

66 = 9 × 7 + 3

78 = 9 × 8 + 6

91 = 9 × 10 + 1

…

There is a more specific property to the triangular numbers that are not divisible by 3; that is, they either have a remainder 1 or 10 when divided by 27. Those that are equal to 10 mod 27 are also equal to 10 mod 81.

The digital root pattern for triangular numbers, repeating every nine terms, as shown above, is “1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9”.

The converse of the statement above is, however, not always true. For example, the digital root of 12, which is not a triangular number, is 3 and divisible by three.

If x is a triangular number, then ax + b is also a triangular number, given a is an odd square and b = a − 1/8. Note that
b will always be a triangular number, because 8Tn + 1 = (2n + 1)2, which yields all the odd squares are revealed by multiplying a triangular number by 8 and adding 1, and the process for b given a is an odd square is the inverse of this operation.
The first several pairs of this form (not counting 1x + 0) are: 9x + 1, 25x + 3, 49x + 6, 81x + 10, 121x + 15, 169x + 21, … etc. Given x is equal to Tn, these formulas yield T3n + 1, T5n + 2, T7n + 3, T9n + 4, and so on.

The sum of the reciprocals of all the nonzero triangular numbers is

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{1 over {{n^{2}+n} over 2}}=2sum _{n=1}^{infty }{1 over {n^{2}+n}}=2.}

This can be shown by using the basic sum of a telescoping series:

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{1 over {n(n+1)}}=1.}

Two other formulas regarding triangular numbers are

{displaystyle T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab}

and

{displaystyle T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},}

both of which can easily be established either by looking at dot patterns (see above) or with some simple algebra.

In 1796, Gauss discovered that every positive integer is representable as a sum of three triangular numbers (possibly including T0 = 0), writing in his diary his famous words, “ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ“. This theorem does not imply that the triangular numbers are different (as in the case of 20 = 10 + 10 + 0), nor that a solution with exactly three nonzero triangular numbers must exist. This is a special case of the Fermat polygonal number theorem.

The largest triangular number of the form 2k − 1 is 4095 (see Ramanujan–Nagell equation).

Wacław Franciszek Sierpiński posed the question as to the existence of four distinct triangular numbers in geometric progression. It was conjectured by Polish mathematician Kazimierz Szymiczek to be impossible and was later proven by Fang and Chen in 2007.[10][11]

Formulas involving expressing an integer as the sum of triangular numbers are connected to theta functions, in particular the Ramanujan theta function.[12][13]

Applications[edit]

The maximum number of pieces, p obtainable with n straight cuts is the n-th triangular number plus one, forming the lazy caterer’s sequence (OEIS A000124)

A fully connected network of n computing devices requires the presence of Tn − 1 cables or other connections; this is equivalent to the handshake problem mentioned above.

In a tournament format that uses a round-robin group stage, the number of matches that need to be played between n teams is equal to the triangular number Tn − 1. For example, a group stage with 4 teams requires 6 matches, and a group stage with 8 teams requires 28 matches. This is also equivalent to the handshake problem and fully connected network problems.

One way of calculating the depreciation of an asset is the sum-of-years’ digits method, which involves finding Tn, where n is the length in years of the asset’s useful life. Each year, the item loses (b − s) × n − y/Tn, where b is the item’s beginning value (in units of currency), s is its final salvage value, n is the total number of years the item is usable, and y the current year in the depreciation schedule. Under this method, an item with a usable life of n = 4 years would lose 4/10 of its “losable” value in the first year, 3/10 in the second, 2/10 in the third, and 1/10 in the fourth, accumulating a total depreciation of 10/10 (the whole) of the losable value.

Board game designers Geoffrey Engelstein and Isaac Shalev describe triangular numbers as having achieved “nearly the status of a mantra or koan among game designers”, describing them as “deeply intuitive” and “featured in an enormous number of games, [proving] incredibly versatile at providing escalating rewards for larger sets without overly incentivizing specialization to the exclusion of all other strategies”.[14]

Triangular roots and tests for triangular numbers[edit]

By analogy with the square root of x, one can define the (positive) triangular root of x as the number n such that Tn = x:[15]

{displaystyle n={frac {{sqrt {8x+1}}-1}{2}}}

which follows immediately from the quadratic formula. So an integer x is triangular if and only if 8x + 1 is a square. Equivalently, if the positive triangular root n of x is an integer, then x is the nth triangular number.[15]

Alternative name[edit]

As stated, an alternative name proposed by Donald Knuth, by analogy to factorials, is “termial”, with the notation n? for the nth triangular number.[16] However, although some other sources use this name and notation,[17] they are not in wide use.

See also[edit]

  • 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
  • Doubly triangular number, a triangular number whose position in the sequence of triangular numbers is also a triangular number
  • Tetractys, an arrangement of ten points in a triangle, important in Pythagoreanism

References[edit]

  1. ^ “Triangular Number Sequence”. Math Is Fun.
  2. ^ Spivak, Michael (2008). Calculus (4th ed.). Houston, Texas: Publish or Perish. pp. 21–22. ISBN 978-0-914098-91-1.
  3. ^ Hayes, Brian. “Gauss’s Day of Reckoning”. American Scientist. Computing Science. Archived from the original on 2015-04-02. Retrieved 2014-04-16.
  4. ^ Eves, Howard. “Webpage cites AN INTRODUCTION TO THE HISTORY OF MATHEMATICS”. Mathcentral. Retrieved 28 March 2015.
  5. ^ Esposito, M. An unpublished astronomical treatise by the Irish monk Dicuil. Proceedings of the Royal Irish Academy, XXXVI C. Dublin, 1907, 378-446.
  6. ^ Ross, H.E. & Knott, B.I.”Dicuil (9th century) on triangular and square numbers.” British Journal for the History of Mathematics, 2019,34 (2), 79-94. https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687.
  7. ^ “The Handshake Problem | National Association of Math Circles”. MathCircles.org. Archived from the original on 10 March 2016. Retrieved 12 January 2022.
  8. ^ Knuth, Donald. The Art of Computer Programming. Vol. 1 (3rd ed.). p. 48.
  9. ^ Baumann, Michael Heinrich (2018-12-12). “Die k-dimensionale Champagnerpyramide” (PDF). Mathematische Semesterberichte (in German). 66: 89–100. doi:10.1007/s00591-018-00236-x. ISSN 1432-1815. S2CID 125426184.
  10. ^ Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression
  11. ^ Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers
  12. ^ Liu, Zhi-Guo (2003-12-01). “An Identity of Ramanujan and the Representation of Integers as Sums of Triangular Numbers”. The Ramanujan Journal. 7 (4): 407–434. doi:10.1023/B:RAMA.0000012425.42327.ae. ISSN 1382-4090. S2CID 122221070.
  13. ^ Sun, Zhi-Hong (2016-01-24). “Ramanujan’s theta functions and sums of triangular numbers”. arXiv:1601.06378 [math.NT].
  14. ^ Engelstein, Geoffrey; Shalev, Isaac (2019-06-25). “Building Blocks of Tabletop Game Design”. doi:10.1201/9780429430701.
  15. ^ a b Euler, Leonhard; Lagrange, Joseph Louis (1810), Elements of Algebra, vol. 1 (2nd ed.), J. Johnson and Co., pp. 332–335
  16. ^ Donald E. Knuth (1997). The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms. 3rd Ed. Addison Wesley Longman, U.S.A. p. 48.
  17. ^ Stone, John David (2018), Algorithms for Functional Programming, Springer, p. 282, doi:10.1007/978-3-662-57970-1, ISBN 978-3-662-57968-8, S2CID 53079729

External links[edit]

  • “Arithmetic series”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
  • Triangular numbers at cut-the-knot
  • There exist triangular numbers that are also square at cut-the-knot
  • Weisstein, Eric W. “Triangular Number”. MathWorld.
  • Hypertetrahedral Polytopic Roots by Rob Hubbard, including the generalisation to triangular cube roots, some higher dimensions, and some approximate formulas
Источник

Треугольное число – это число, которое может быть представлено узором из точек, расположенных в равностороннем треугольнике с одинаковым количеством точек на каждой стороне.

Например:

Математика на пальцах: треугольные числа

Первое треугольное число – 1, второе – 3, третье – 6, четвертое – 10, пятое – 15 и так далее.

Вы можете увидеть, что каждый треугольник происходит от предыдущего, добавив ряд точек внизу, в котором на одну точку больше, чем в предыдущем нижнем ряду. Это означает, что треугольное число равно

Математика на пальцах: треугольные числа

Есть еще один способ вычисления nth треугольного числа. Возьмите две копии точечного рисунка, представляющего nth треугольное число, и расположите их так, чтобы они образовали прямоугольный точечный рисунок.

Математика на пальцах: треугольные числа

Этот прямоугольный узор будет иметь n точки на более короткой стороне и n + 1 точки на более длинной стороне, что означает, что прямоугольный узор содержит n (n + 1) точки в целом. А поскольку исходный треугольный точечный узор составляет ровно половину прямоугольного узора, мы знаем, что nth треугольное число T_ n равно

Математика на пальцах: треугольные числа

Обратите внимание, что с учетом этого рассмотрения мы доказали формулу суммирования $ n $натуральных чисел, а именно

Математика на пальцах: треугольные числа

Треугольные числа обладают множеством интересных свойств. Например, сумма последовательных треугольных чисел представляет собой квадратное число . Вы можете увидеть это, расположив треугольные точечные узоры, представляющие числа, nth и (n + 1) st треугольные числа, чтобы сформировать квадрат с n + 1 точками по сторонам:

Математика на пальцах: треугольные числа

В качестве альтернативы вы можете увидеть это, используя формулы для последовательных треугольных чисел T_ n и T_ {n + 1}:

Математика на пальцах: треугольные числа

Более того, чередующиеся треугольные числа (1, 6, 15, …) также являются шестиугольными числами (числами, образованными из шестиугольного точечного рисунка), и каждое четное совершенное число является треугольным числом.

Треугольные числа часто встречаются в реальной жизни. Например, компьютерная сеть, n , в которой каждый компьютер подключен к каждому другому компьютеру, требует T_ {n-1} подключений. И если в спорте вы играете в круговой турнир , в котором каждая команда играет друг с другом ровно один раз, то количество матчей, которые вам нужно для n команд, равно. T_ {n-1}.

Интересно? Подписывайтесь на наш канал, ставьте лайк и пишите свое мнение в комментариях!

Источник

Первые шесть треугольных чисел

A треугольное число или треугольное число подсчитывают объекты, расположенные в равносторонний треугольник (таким образом, треугольные числа являются типом фигурных чисел, другими примерами являются квадратные числа и кубические числа). N-е треугольное число – это количество точек в треугольном расположении с n точками на стороне, равное сумме n натуральных чисел от 1 до n. Последовательность треугольных чисел (последовательность A000217 в OEIS ), начиная с 0-го треугольного числа, составляет

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666…

Содержание

  • 1 Формула
  • 2 Связь с другими фигуральными числами
  • 3 Другие свойства
  • 4 Приложения
  • 5 Треугольные корни и тесты для треугольных чисел
  • 6 См. Также
  • 7 Ссылки
  • 8 Внешние ссылки

Формула

Выведение треугольных чисел из выровненного влево треугольника Паскаля

числа треугольника задаются следующими явными формулами:

T n = ∑ k = 1 nk = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n (n + 1) 2 = (n + 1 2), { displaystyle T_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} k = 1 + 2 + 3 + dotsb + n = { frac {n (n + 1)} {2}} = {n + 1 choose 2},}{ displaystyle T_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} k = 1 + 2 + 3 + dotsb + n = { frac {n (n + 1)} {2}} = {n + 1 choose 2},}

где (n + 1 2) { displaystyle textstyle {n + 1 choose 2}} textstyle {n + 1 choose 2} – это биномиальный коэффициент. Он представляет собой количество различных пар, которые могут быть выбраны из n + 1 объектов, и читается вслух как «n плюс один выбирают два».

Первое уравнение можно проиллюстрировать с помощью наглядного доказательства. Для каждого треугольного числа T n { displaystyle T_ {n}}T_ {n } представьте себе «полуквадратное» расположение объектов, соответствующее треугольному числу, как на рисунке ниже. При копировании этой компоновки и ее повороте для создания прямоугольной фигуры количество объектов удваивается, в результате получается прямоугольник с размерами n × (n + 1) { displaystyle n times (n + 1)}{ displaystyle n times (n + 1)} , который также является количеством объектов в прямоугольнике. Ясно, что само треугольное число всегда составляет ровно половину количества объектов на такой фигуре, или: T n = n (n + 1) 2 { displaystyle T_ {n} = { frac {n (n +1)} {2}}}{ displaystyle T_ {n} = { frac {n (n + 1)} {2}}} . Пример T 4 { displaystyle T_ {4}}T_ {4} следующий:

Первое уравнение также может быть установлено с помощью математической индукции. Поскольку T 1 { displaystyle T_ {1}}T_ {1 } равно единице, устанавливается базисный случай. Из определения следует, что T n = n + T n – 1 { displaystyle T_ {n} = n + T_ {n-1}}{ displaystyle T_ {n} = n + T_ {n-1}} , поэтому предположение индуктивной гипотезы для n – 1 { displaystyle n-1}n-1 , добавление n { displaystyle n}n к обеим сторонам сразу дает

T n = n + T n – 1 знак равно 2 N 2 + (N – 1) N 2 знак равно (2 + N – 1) N 2 = (N + 1) N 2. { displaystyle T_ {n} = n + T_ {n-1} = { frac {2n} {2}} + { frac {(n-1) n} {2}} = { frac {(2 + n-1) n} {2}} = { frac {(n + 1) n} {2}}.}{ displaystyle T_ {n} = n + T_ { n-1} = { frac {2n} {2}} + { frac {(n-1) n} {2}} = { frac {(2 + n-1) n} {2}} = { frac {(n + 1) n} {2}}.}

Другими словами, поскольку предложение P ( n) { displaystyle P (n)}P (n) (то есть первое уравнение или сама индуктивная гипотеза) истинно, когда n = 1 { displaystyle n = 1}n = 1 , и поскольку P (n) { displaystyle P (n)}P (n) истинность означает, что P (n + 1) { displaystyle P (n + 1)}{ displaystyle P (n + 1)} также верно, тогда первое уравнение верно для всех натуральных чисел. Приведенный выше аргумент можно легко изменить, чтобы начать с нуля и включить его.

Карл Фридрих Гаусс, как говорят, обнаружил эту взаимосвязь в ранней юности, умножив n / 2 пар чисел в сумме на значения каждой пары n + 1. Однако, независимо от того, насколько это верно История, Гаусс не был первым, кто открыл эту формулу, и некоторые считают, что ее происхождение восходит к пифагорейцам V веку до нашей эры. Две формулы были описаны ирландским монахом Дикуилом примерно в 816 году в его Computus.

Треугольное число T n решает проблему рукопожатия подсчет количества рукопожатий, если каждый человек в комнате с n + 1 людьми пожимает руку каждому человеку один раз. Другими словами, решение проблемы рукопожатия для n человек – это T n − 1. Функция T является аддитивным аналогом функции факториал, которая является произведением целых чисел от 1 до n.

Количество сегментов линии между ближайшими парами точек в треугольнике может быть представлено в виде количества точек или с помощью рекуррентного отношения :

L n = 3 T n – 1 = 3 (n 2); L n = L n – 1 + 3 (n – 1), L 1 = 0. { displaystyle L_ {n} = 3T_ {n-1} = 3 {n choose 2}; ~~~ L_ {n} = L_ {n-1} +3 (n-1), ~ L_ {1} = 0.}{ displaystyle L_ {n} = 3T_ {n- 1} = 3 {n choose 2}; ~~~ L_ {n} = L_ {n-1} +3 (n-1), ~ L_ {1} = 0.}

В пределе соотношение между двумя числами, точками и отрезками линии составляет

lim n → ∞ Т н Л п = 1 3. { displaystyle lim _ {n to infty} { frac {T_ {n}} {L_ {n}}} = { frac {1} {3}}.}{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {T_ {n}} {L_ {n}}} = { frac {1} {3}}.}

Отношения с другими фигуральными числами

Треугольные числа имеют самые разные отношения с другими фигуральными числами.

Проще говоря, сумма двух последовательных треугольных чисел представляет собой квадратное число, где сумма равна квадрат разницы между двумя (и, таким образом, разница между двумя является квадратным корнем из суммы). Алгебраически

T n + T n – 1 = (n 2 2 + n 2) + ((n – 1) 2 2 + n – 1 2) = (n 2 2 + n 2) + (n 2 2 – п 2) = п 2 = (Т н – Т н – 1) 2. { displaystyle T_ {n} + T_ {n-1} = left ({ frac {n ^ {2}} {2}} + { frac {n} {2}} right) + left ( { frac { left (n-1 right) ^ {2}} {2}} + { frac {n-1} {2}} right) = left ({ frac {n ^ {2 }} {2}} + { frac {n} {2}} right) + left ({ frac {n ^ {2}} {2}} – { frac {n} {2}} справа) = n ^ {2} = (T_ {n} -T_ {n-1}) ^ {2}.}T_ {n} + T_ {n-1} = left ({ frac {n ^ {2}} {2}} + { frac {n} {2}} right) + left ({ frac { left (n- 1 right) ^ {2}} {2}} + { frac {n-1} {2}} right) = left ({ frac {n ^ {2}} {2}} + { frac {n} {2}} right) + left ({ frac {n ^ {2}} {2}} - { frac {n} {2}} right) = n ^ {2} = (T_ {n} -T_ {n-1}) ^ {2}.

Этот факт можно продемонстрировать графически, разместив треугольники в противоположных направлениях для создания квадрата:

6 + 10 = 16 Квадратное число 16 как сумма двух треугольных чисел. Svg
10 + 15 = 25 Квадратное число 25 как сумма двух треугольных чисел.svg

Существует бесконечно много треугольных чисел, которые также являются квадратными числами; например, 1, 36, 1225. Некоторые из них могут быть созданы с помощью простой рекурсивной формулы:

S n + 1 = 4 S n (8 S n + 1) { displaystyle S_ {n + 1} = 4S_ { n} left (8S_ {n} +1 right)}S_ {n + 1} = 4S_ {n} left (8S_ {n} +1 вправо) с S 1 = 1. { displaystyle S_ {1} = 1.}S_ {1} = 1.

Все квадратно-треугольные числа находятся из рекурсии

S n = 34 S n – 1 – S n – 2 + 2 { displaystyle S_ {n} = 34S_ {n-1} -S_ {n-2} +2 }S_ {n} = 34S_ {n-1} -S_ {n-2} +2 с S 0 = 0 { displaystyle S_ {0} = 0}S_ {0} = 0 и S 1 = 1. { displaystyle S_ {1} = 1. }S_ {1} = 1.

Квадрат, длина стороны которого равна треугольному числу, можно разделить на квадраты и полуквадраты, площадь которых складывается с кубиками. Это показывает, что квадрат n-го треугольного числа равен сумме первых n чисел куба.

Кроме того, квадрат n-го треугольного числа совпадает с суммой кубики целых чисел от 1 до n. Это также можно выразить как

∑ k = 1 n k 3 = (∑ k = 1 n k) 2. { displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} = left ( sum _ {k = 1} ^ {n} k right) ^ {2}.}{ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} = left ( sum _ {k = 1} ^ {n} k right) ^ {2}.}

сумма первых n треугольных чисел является n-м тетраэдрическим числом :

∑ k = 1 n T k = ∑ k = 1 nk (k + 1) 2 = n (n + 1) (n + 2) 6. { displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} T_ {k} = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {k (k + 1)} {2}} = { frac {n (n + 1) (n + 2)} {6}}.}{ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} T_ {k} = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {k (k + 1)} {2}} = { frac {n (n + 1) ( n + 2)} {6}}.}

В более общем смысле, разница между n-м m-угольным числом и n-м (m + 1) – гональное число – это (n – 1) -е треугольное число. Например, шестое семиугольное число (81) минус шестое шестиугольное число (66) равно пятому треугольному числу 15. Любое другое треугольное число является шестиугольным числом. Зная треугольные числа, можно найти любое центрированное многоугольное число ; n-е центрированное k-угольное число получается по формуле

C kn = k T n – 1 + 1 { displaystyle Ck_ {n} = kT_ {n-1} +1}{ displaystyle Ck_ {n} = kT_ {n-1} +1}

где T – треугольник число.

Положительная разность двух треугольных чисел – это трапециевидное число.

Другие свойства

Треугольные числа соответствуют случаю первой степени формулы Фаульхабера.

Чередование треугольные числа (1, 6, 15, 28,…) также являются шестиугольными числами.

Каждое четное совершенное число является треугольным (как и шестиугольным), задаваемым формулой

М п 2 п – 1 знак равно М п (М п + 1) 2 = TM p { displaystyle M_ {p} 2 ^ {p-1} = { frac {M_ {p} (M_ {p} +1)} {2}} = T_ {M_ {p}}}{ displaystyle M_ {p} 2 ^ {p-1} = { frac {M_ {p} (M_ {p} +1)} {2}} = T_ {M_ {p}}}

, где M p – простое число Мерсенна. Совершенные нечетные числа неизвестны; следовательно, все известные совершенные числа треугольные.

Например, третье треугольное число – (3 × 2 =) 6, седьмое – (7 × 4 =) 28, 31-е – (31 × 16 =) 496 и 127-е – (127 × 64 =) 8128.

В base 10 цифровой корень ненулевого треугольного числа всегда равен 1, 3, 6 или 9. Следовательно, каждый треугольное число либо делится на три, либо имеет остаток 1 при делении на 9:

0 = 9 × 0
1 = 9 × 0 + 1
3 = 9 × 0 + 3
6 = 9 × 0 + 6
10 = 9 × 1 + 1
15 = 9 × 1 + 6
21 = 9 × 2 + 3
28 = 9 × 3 + 1
36 = 9 × 4
45 = 9 × 5
55 = 9 × 6 + 1
66 = 9 × 7 + 3
78 = 9 × 8 + 6
91 = 9 × 10 + 1
…
Есть более конкретное свойство на треугольные числа, не делящиеся на 3; то есть, они имеют остаток 1 или 10 при делении на 27. Те, которые равны 10 mod 27, также равны 10 mod 81.

Шаблон цифрового корня для треугольных чисел, повторяющийся каждые девять членов, как показано выше это «1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9».

Однако обратное к приведенному выше утверждению не всегда верно. Например, цифровой корень 12, не являющийся треугольным числом, равен 3 и делится на три.

Если x – треугольное число, то ax + b также является треугольным числом, если a – нечетный квадрат, а b = a – 1/8

b всегда будет треугольным числом, потому что 8T n + 1 = (2n + 1), что дает все нечетные квадраты, выявляются путем умножения треугольного числа на 8 и добавления 1, а процесс для b, заданного a, является нечетным квадратом: инверсия этой операции.

Первые несколько пар этой формы (не считая 1x + 0): 9x + 1, 25x + 3, 49x + 6, 81x + 10, 121x + 15, 169x + 21 и т. Д. x равно T n, эти формулы дают T 3n + 1, T 5n + 2, T 7n + 3, T 9n + 4 и так далее.

Сумма обратных всех ненулевых треугольных чисел равна

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n 2 = 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n Знак равно 2. { Displaystyle ! Сумма _ {п = 1} ^ { infty} {1 над {{п ^ {2} + n} над 2}} = 2 сумма _ {п = 1 } ^ { infty} {1 over {n ^ {2} + n}} = 2.}! Sum _ {n = 1} ^ { infty} {1 over {{n ^ {2} + n} over 2}} = 2 sum _ {n знак равно 1} ^ { infty} {1 over {n ^ {2} + n}} = 2.

Это можно показать, используя базовую сумму ряда телескопирования :

∑ n = 1 ∞ 1 N (N + 1) = 1. { Displaystyle ! Sum _ {n = 1} ^ { infty} {1 over {n (n + 1)}} = 1.}! Sum _ {n = 1} ^ { infty} {1 over {n (n + 1)}} = 1.

Две другие формулы относительно треугольных чисел:

T a + b = T a + T b + ab { displaystyle T_ {a + b} = T_ {a} + T_ {b} + ab}{ Displaystyle T_ {a + b} = T_ {a} + T_ {b} + ab}

и

T ab = T a T b + T a – 1 T b – 1, { displaystyle T_ {ab} = T_ {a} T_ {b} + T_ {a-1} T_ {b-1},}{ displaystyle T_ {ab} = T_ { a} T_ {b} + T_ {a-1} T_ {b-1},}

и то, и другое можно легко установить, глядя на точечные рисунки (см. Выше) или с помощью простой алгебры.

В 1796 году немецкий математик и ученый Карл Фридрих Гаусс обнаружил, что каждое положительное целое число можно представить в виде суммы трех треугольных чисел (возможно, включая T 0 = 0), записав в своем дневнике свои знаменитые слова: «ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ». Эта теорема не означает, что треугольные числа различны (как в случае 20 = 10 + 10 + 0), и что должно существовать решение с ровно тремя ненулевыми треугольными числами. Это частный случай теоремы Ферма о многоугольных числах.

Наибольшее треугольное число в форме 2 – 1 равно 4095 (см. уравнение Рамануджана – Нагелла ).

Вацлав Францишек Серпинский поставил вопрос о существовании четырех различных треугольных чисел в геометрической прогрессии. Польский математик предположил, что это невозможно, и позже это было доказано Фангом и Ченом в 2007 году.

Формулы, выражающие целое число как сумму треугольных чисел, связаны с тета-функциями в в частности, тета-функция Рамануджана.

Приложения

A полностью подключенная сеть из n вычислительных устройств требует наличия T n – 1 кабелей или других соединений; это эквивалентно проблеме рукопожатия, упомянутой выше.

В формате турнира, который использует циклический групповой этап, количество матчей, которые необходимо сыграть между n командами, равно треугольному числу T n – 1. Например, групповой этап с 4 командами требует 6 матчей, а групповой этап с 8 командами требует 28 матчей. Это также эквивалентно проблеме рукопожатия и неполадкам полностью подключенной сети.

Одним из способов расчета амортизации актива является метод суммы лет, который включает нахождение T n, где n – продолжительность полезного использования актива в годах. Каждый год предмет теряет (b – s) × n – y / T n, где b – начальная стоимость предмета (в денежных единицах), s – его окончательная спасательная стоимость, n – общая количество лет, в течение которых элемент можно использовать, и y текущий год в графике амортизации. Согласно этому методу, предмет со сроком службы n = 4 года потеряет 4/10 своей «потерянной» стоимости в первый год, 3/10 во второй, 2/10 в третий и 1/10 в четвертый, накапливающий общую амортизацию в размере 10/10 (всего) от стоимости потери.

Треугольные корни и тесты для треугольных чисел

По аналогии с квадратным корнем из x, можно определить (положительный) треугольный корень из x как число n, например что T n = x:

n = 8 x + 1 – 1 2 { displaystyle n = { frac {{ sqrt {8x + 1}} – 1} {2}}}n = { frac {{ sqrt {8x + 1}} - 1} {2}}

, которая непосредственно следует из квадратной формулы. Таким образом, целое число x является треугольным тогда и только тогда, когда 8x + 1 является квадратом. Эквивалентно, если положительный треугольный корень n из x является целым числом, то x является n-м треугольным числом.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с треугольными числами.
Источник

ВОЛШЕБНАЯ СИЛА ТРЕУГОЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

  • Авторы
  • Руководители
  • Файлы работы
  • Наградные документы

Гагарина Н.А. 1

1МБОУ «СОШ No31» г. Ижевска


Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке “Файлы работы” в формате PDF

Введение

В своей исследовательской работе я рассмотрел использование фигурных чисел не только в математике, но и в окружающей жизни.

Во время изучения обыкновенных дробей обратил внимание на то, что в учебнике математики [1, 41] есть небольшая историческая сводка о фигурных числах. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что фигурные числа встречаются в окружающей жизни, просто люди об этом не задумываются.

Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники.

Мне стало интересно, а знают ли другие школьники о фигурных числах. Поэтому я провёл анкету, на вопросы которой ответили 42 ученика 8 классов.

Всего 14,4% учащихся знают какие числа называются фигурными. 29,8% считают, что фигурные числа – это плоские фигуры, 32,5 % – объёмные фигуры, 58,7 % думают, что они могут изображаться и плоскими и объёмными фигурами. 66,5 % предполагают, что эти числа изобрёл Пифагор. Половина опрошенных считает, что мы ежедневно встречаемся с фигурными числами в повседневной действительности.

Цель работы: знакомство с треугольными числами.

Задачи:

  • выяснить существует ли связь между понятием числа и геометрической фигурой;

  • заинтересовать волшебной силой чисел, основанной на их свойствах;

выяснить значимость треугольных чисел.

В первой главе вы представлена история треугольных чисел, их связь с геометрическими фигурами.

Во второй главе дано определение треугольных чисел, способы их получения [7].

В нашей работе вы встретите свойства треугольных чисел, удивительные исследования, с помощью которых раскрыты секреты треугольных чисел и сделаны выводы [6].

В следующей главе мы приглашаем вас, оглянуться кругом. Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с треугольными числами. А ведь это так просто и интересно.

Занимайтесь математикой! Эта наука раскроет вам особый мир игр и чисел; она поможет вам поверить в свои силы и никогда не останавливаться на достигнутом.

Глава1

Связь между понятием числа

и геометрической фигурой

Математические понятия – число или простейшие геометрические фигуры, возникли задолго до появления математических текстов. Понятие числа и геометрические фигуры могли образоваться только в результате длительной умственной работы.

Когда первобытному охотнику нужно было узнать, все ли собаки в своре на месте, он не считал их, а просто, окинув взором свору, видел, какой собаки не хватает. Такой «чувственный счет» существовал задолго до появления счета.

Первым шагом к возникновению счета было установление, как сейчас говорим, «взаимнооднозначного соответствия» между считаемыми предметами и некоторым другим множеством. Оба сравниваемых множества предметов могут быть заранее не известными; например, при обмене между первобытными племенами обмениваемые предметы просто раскладывались в два ряда, так что взаимно однозначное соответствие между ними устанавливалось фактически.

Затем появляются своего рода счеты – камешки или палочки.

С возникновением понятия числа, геометрической фигуры появляется новый вид знаний – математическое, в котором счет и измерение сделались важным средством его развития и вычислительно-измерительной практики людей.

Исторически первые понятия математики «число» и «фигура» лежат в основе всех математических знаний. «Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счётной доске – абаке.

Давным – давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, то получаются все чётные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получаются числа, делящиеся на три и т.д. [3, 112]

Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трёх на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это развитие счёта на камушках. Множество закономерностей, возникших при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учёными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. В 5-4 веках до нашей эры учёные, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д.

С возникновением понятия числа, геометрической фигуры появляется новый вид знаний – математическое, в котором счет и измерение сделались важным средством его развития и вычислительно-измерительной практики людей.

Глава 2

Определение треугольных чисел

Многоугольные числа – это числа, связанные определённым образом с плоским многоугольником. Простейшими из многоугольных чисел являются треугольные числа [6].

Нарисованные и попарно соединённые три точки создают правильный (то есть равносторонний) треугольник. Если взять три точки и не соединять их, то и так создаётся «впечатление» треугольника.

Я попробовал взять четыре точки и разложить их аналогичным способом. Оказывается – нет. Пять точек расположить, тоже нет. Шесть точек расположить в требуемом порядке уже можно. При этом новый треугольник получается линейным увеличением в 3 раза.

Итак, треугольные числа – это такие числа, из которых (имея столько камушков), можно выложить правильные многоугольники.

Число 1 Пифагорейцы решили считать первым треугольным числом. Каждое следующее число получается прибавлением строки снизу к предыдущему, в которой на одну точку больше.

1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15 1+2+3+4+5+6=21 1+2+3+4+5+6+7=28 и т.д.

Получаем треугольные числа: 1, 3, 6,10, 15, 21, 28, ……

А можно ли найти треугольное число, не вычисляя предыдущего числа?

Найдём десятое треугольное число. Для этого запишем сумму, как бы мы нашли число. И под полученной суммой запишем сумму этих же слагаемых только в обратном порядке.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

Сумма каждой пары = 11.

Количество пар = 10.

10•11:2=55

Значит, десятое треугольное число – это число 55.

Я подумал, а если мне надо узнать сотое треугольное число, я решил попробовать этот способ.

101 – сумма каждой пары, количество пар -100. Получаем 101•100:2=5050. Т.е. получаем формулу для нахождения треугольного числа по любым номером Тn =(n+1)•n:2=1/2•(n+1)•n.

Подсчитаем с помощью схемы несколько первых треугольных чисел и составим таблицу

Номер числа

10

22

25

42

51

63

101

Треугольное число

55

253

325

903

1326

2016

5151

Глава 3

Свойства треугольных чисел

1. Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат – квадратное число[2,132].

6+10=16=4²

10+15=25=5²

2. Если номер треугольного числа при делении на 4 даёт остаток 1 или 2, то треугольное число нечётное.

Проверим данное свойство, составив таблицу.

Номер треугольного числа

Остаток

Чётное или нечётное

треугольное число

17=4•4+1

1

нечётное

153

18=4•4+2

2

нечётное

171

19=4•4+3

3

чётное

190

20=4•5

нет

чётное

210

21=4•5+1

1

нечётное

231

22=4•5+2

2

нечётное

253

23=4•5+3

3

чётное

276

24=4•6

нет

чётное

300

25=4•6+1

1

нечётное

325

26=4•6+2

2

нечётное

351

27=4•6+3

3

чётное

378

28=4•7

нет

чётное

406

Вывод. Свойство 2 выполняется. Дополнительно из таблицы видно, что треугольные числа расположены так: нечётное, нечётное, чётное, чётное, нечётное, нечётное,… Оказалось, что есть ещё свойство треугольных чисел.

Свойство 3. Каждое совершённое число является треугольным числом.

  • Совершенное число — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей. По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.

6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14

496 =1+2+4+8+16+31+62+124+128

8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

Проверим действительно ли числа 6, 28, 496, 8128 являются треугольными.

6=1+2+3, 28=1+2+3+4+5+6+7, 406+29= 435, 435+30=465, 465+31= 496

496

528

561

595

630

666

703

741

780

820(40)

861

903

946

990

1035

1081

1128

1176

1225

1275 (50)

1326

1378

1431

1485

1540

1596

1653

1711

1770

1830(60)

1891

1953

2016

2080

2145

2211

2278

2346

2415

2485(70)

2556

2628

2701

2775

2850

2926

3003

3081

3160

3240(80)

3321

3403

3486

3570

3655

3741

3828

3916

4005

4095 (90)

4186

4278

4371

4465

4560

4656

4753

4851

4950

5050(100)

5151

5253

5356

5460

5565

5671

5778

5886

5995

6105(110)

6216

6328

6441

6555

6670

6786

6903

7021

7140

7260(120)

7321

7503

7626

7750

7875

8001

8128

8256

8385

8515(130)

       

Вывод. Число 8128 – сто двадцать седьмое треугольное число.

Проверка по формуле: Т27 =1/2(127+1)•127=64•127=8128

Что интересно число 666 – звериное число оказалось треугольным. Под этим символом скрыто имя зверя, и многим людям хорошо известно, что 666 число дьявола и воплощение сатаны. Наряду с пентаграммой и перевернутым крестом, данное число часто используется в атрибутике сатанистов[5].

Рассмотрим треугольные числа, номера которых делятся на 10.

55, 210, 465, 820, 1275, 1830, 2485, 3240, 4095, 5050, 6105, 7260, 8515,…..

1. Все числа делятся на 5.

2. Последние цифры чередуются: 5,0,5,0,5,0,…

3. Найдём разность последовательных треугольных чисел:

210-55=155 465-210=255 820-465=355 1275-820=455

1830- 1275=555 2485-1830= 655 3240-2485=755 4095-3240=855

5050-4095=955 6105-5050=1055 7260-6105=1155 8515-7260=1255 т.д.

155, 255, 355, 455, 555, 655, 755, 855, 955, 1055, 1155, 1255,…

Удивительно, получилась последовательность чисел, которой увеличиваются на 100, начиная со второго числа. В Интернете я вычитал, что такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.

Треугольные числа, номера которых делятся на 10 можно найти и таким образом.

Свойство 4.Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное,…1,3, 6, 10, 15, 21, 28, 36,…

Треугольное число 10

Пифагорейцам была присуща и особая числовая мистика. Особенно почиталось

  • Особенно почиталось у пифагорейцев треугольное число 10.

10 = 1 + 2 + 3 + 4:

1 – единица, «матерь всех чисел»

2 – выражает линию

3 – треугольник

4 – пирамиду

Поскольку 10, кроме того, само является треугольным числом со стороной, равной 4, число 4, как бы в зародыше содержащее 10, также считалось священным и именовалось «истоком и корнем высшей природы»

Величайшей клятвой у пифагорейцев считалась клятва Четверицей.

Глава 4 Применение треугольных чисел в жизни человека

Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с треугольными числами. А ведь это так просто и интересно[2,51].

  • При решении задач:

1. Шары уложили в равносторонний треугольник, в котором 25 рядов. Сколько потребовалось шаров?

2. Чему равно треугольное число с номером 35? С номером 50? С номером 1000?

3. а) Несколько шаров уложили на плоскости в равносторонний треугольник – остались лишними 3 шара. А когда построили треугольник, сторона которого содержит на 1 шар больше, то не хватило 4 шаров. Сколько было шаров?

б) Несколько шаров уложили на плоскости в равносторонний треугольник – остались лишними 24 шара. А когда построили треугольник, сторона которого содержит на один шар больше, то не хватило 11 шаров. Сколько было шаров?

4. В каком порядке идут четные и нечетные числа в последовательности треугольных чисел? Четным или нечетным является число с номером 17, 18, 19, 20? Четным или нечетным является число с номером 60, 78, 35?

5. Найдите сумму:

а) 15-го и 16-го треугольных чисел;

б) 47-го и 48-го треугольных чисел.

• Треугольные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и другие ёмкости.

• Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа.

• В различных играх.

Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах

Заключение

Я благодарю всех, кто прочитал мою научную работу. Математика – это скучная наука или весёлая и интересная? Математика повсюду: дома, на улице, на огороде, в саду… Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах.

Цель – знакомство с треугольными числами достигнута. В первой главе вы познакомились с историей треугольных чисел, их связь с геометрическими фигурами.

Во второй главе дано определение треугольных чисел, способы их получения.

В нашей работе вы встретили свойства треугольных чисел, удивительные исследования, с помощью которых раскрыты секреты треугольных чисел и сделаны выводы.

В следующей главе мы приглашали вас, оглянуться кругом. Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с треугольными числами. А ведь это так просто и интересно.

Занимайтесь математикой! Эта наука раскроет вам особый мир игр и чисел; она поможет вам поверить в свои силы и никогда не останавливаться на достигнутом.

Литература

1. Математика: Учеб. Для 6 кл. общеобразоват. учреждений. М34 Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 16-е изд., перераб.- М.: Мнемозина, 2005. – 288 с. : ил.

2. Математическая энциклопедия. Книги 1-5. – М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.

3. Юшкевич А.П. История математики в средние века. – М.: Наука, 1961.

4. История математики с древнейших времен до начала ХІХ столетия. В 3-х томах. Под.ред А.П.Юшкевича.-М.: Наука, 1970-1972. 5. Почему число 666 считают числом дьявола [Электронный ресурс]/Режим доступа:http:valtasar.ru›666 число дьявола 6. Фигурные числа. Треугольные числа. [ Электронный ресурс]/Режим доступа:http:dok.opredelim.com›docs/index-46388.html 7. Треугольное число[ Электронный ресурс]/Режим доступа:http: •ru.knowledgr.com

[ Электронный ресурс]/Режим доступа:http:ru.knowledgr.com›00150533/ТреугольноеЧисло

Просмотров работы: 7668

Источник

Добавить комментарий