Как найти три четвертых квадрата

Это классика геометрических головоломок. Нам известны площади четырех маленьких квадратов (белого, зеленого, жёлтого и синего), а найти нужно площадь большого опрокинутого квадрата.

Не листайте пока что дальше, возьмите ручку, карандаш, порисуйте и пишите ответ, который у вас получился, в комментариях.

Решение

Эта задача из тех, в которых слишком много данных и они не все нужны для решения. В школе нас готовят к тому, что надо использовать все данные, которые есть в условии. Но в жизни такое бывает редко, так что задача весьма полезна именно тем, что нужно понять, что нам нужно, а что — нет.

Если вы ещё не догадались, то вот вам на водку наводка — нам нужны только три квадрата из четырех. Если быть точным — нам нужны жёлтый, зеленый и синий квадраты.

Теперь решаем

Всем известно, что площадь квадрата — a². Раз площадь жёлтого квадрата — 12, значит, сторона квадрата —√12=2√3.

Сторона зеленого квадрата равна — √27=3√3. Стало быть сторона зеленого квадрата на √3 больше стороны жёлтого квадрата.

Теперь смотрим на рисунок ниже и замечаем, что у нас есть два прямоугольных треугольника: маленький (голубой), стороны которого мы знаем, и большой (фиолетовый). Они подобны по острому углу (на рисунке они отмечены белым).

Раз они подобны, то и тангенсы этих углов равны. Тангенс белого угла в маленьком треугольнике мы знаем — 2√3/√3=2. Значит, тангенс белого угла в большом треугольнике тоже равен двум.

Так как бОльший катет фиолетового треугольника нам известен — это сумма сторон зеленого, желтого и синего треугольников —√3+2√3+3√3=6√3, через тангенс несложно найти меньший катет — 6√3/2=3√3.

Теперь смотрим только на фиолетовый прямоугольный треугольник (рисунок выше). Оба катета нам известны — 3√3 и 6√3 — поэтому несложно найти гипотенузу. А гипотенуза фиолетового треугольника — это ничто иное как сторона искомого квадрата. Площадь же квадрата — это сторона в квадрате, значит, если мы по теореме Пифагора найдем квадрат гипотенузы фиолетового треугольника, это и будет площадь искомого квадрата. Таким образом (3√3)²+ (6√3)²=27+108=135. Вот и вся задачка.

Как вам? А вот ещё несколько похожих задач: