Как найти три корня на графике

Применение производной для решения нелинейных уравнений и неравенств

п.1. Количество корней кубического уравнения

Кубическое уравнение $$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $$ на множестве действительных чисел может иметь один, два или три корня.
С помощью производной можно быстро ответить на вопрос, сколько корней имеет данное уравнение. begin f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ f'(x)=3ax^2+bx+c end Если в уравнении (f'(x)=0) дискриминант (D=4b^2-12ac=4(b^2-3ac)gt 0), кубическая парабола имеет две точки экстремума: (x_<1,2>=frac<-2bpmsqrt><6a>). Если при этом значения функции в точках экстремума (f(x_1)cdot f(x_2)lt 0), т.е. расположены по разные стороны от оси OX, парабола имеет три точки пересечения с этой осью. Исходное уравнение имеет три корня.
Если две точки экстремума найдены, но (f(x_1)cdot f(x_2)=0), уравнение имеет два корня.
Во всех остальных случаях – у исходного уравнения 1 корень.

Пример 1. Сколько корней имеют уравнения:

п.2. Количество корней произвольного уравнения

Задачи на подсчет количества корней решаются с помощью построения графиков при полном или частичном исследовании функций.

Пример 2. а) Найдите число корней уравнения (frac 1x+frac<1>+frac<1>)
б) Найдите число корней уравнения (frac 1x+frac<1>+frac<1>=k)

Построим график функции слева, а затем найдем для него количество точек пересечения с горизонталью (y=1). Это и будет ответом на вопрос задачи (а).
Исследуем функцию: $$ f(x)=frac1x+frac<1>+frac<1> $$ Алгоритм исследования и построения графика – см. §49 данного справочника.
1) ОДЗ: (xneleft<0;1;3right>)
Все три точки – точки разрыва 2-го рода. begin lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=-infty-1-frac13=-infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=+infty-1-frac13=+infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=1-infty-frac12=-infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=1+infty-frac12=+infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=frac13+frac12-infty=-infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=frac13+frac12+infty=+infty end 2) Функция ни четная, ни нечетная.
Функция непериодическая.
3) Асимптоты
1. Вертикальные (x=0, x=1, x=3) – точки разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные: begin lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=-0-0-0=-0\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=+0+0+0=+0\ end Горизонтальная асимптота (y=0)
На минус бесконечности функция стремится к 0 снизу, на плюс бесконечности – сверху.
3. Наклонные: (k=0), нет.
4) Первая производная $$ f'(x)=-frac<1>-frac<1><(x-1)^2>-frac<1><(x-3)^2>lt 0 $$ Производная отрицательная на всей ОДЗ.
Функция убывает.

5) Вторую производную не исследуем, т.к. перегибы не влияют на количество точек пересечения с горизонталью.

6) Точки пересечения с OY – нет, т.к. (x=0) – асимптота
Точки пересечения с OX – две, (0lt x_1lt 1,1lt x_2lt 3)

7) График

Получаем ответ для задачи (а) 3 корня.

Решаем более общую задачу (б). Передвигаем горизонталь (y=k) снизу вверх и считаем количество точек пересечения с графиком функции. Последовательно, получаем:
При (klt 0) – три корня
При (k=0) – два корня
При (kgt 0) – три корня

Ответ: а) 3 корня; б) при (k=0) два корня, при (kne 0) три корня.

Пример 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$ sqrt+sqrt<10-2x>=a $$ имеет по крайней мере одно решение.

Исследуем функцию (f(x)=sqrt+sqrt<10-2x>)
ОДЗ: ( begin x-1geq 0\ 10-2xgeq 0 end Rightarrow begin xgeq 1\ xleq 5 end Rightarrow 1leq xleq 5 )
Функция определена на конечном интервале.
Поэтому используем сокращенный алгоритм для построения графика.
Значения функции на концах интервала: (f(1)=0+sqrt<8>=2sqrt<2>, f(5)=sqrt<4>+0=2)
Первая производная: begin f'(x)=frac<1><2sqrt>+frac<-2><2sqrt<10-2x>>=frac<1><2sqrt>-frac<1><sqrt<10-2x>>\ f'(x)=0 text<при> 2sqrt=sqrt<10-2x>Rightarrow 4(x-1)=10-2xRightarrow 6x=14Rightarrow x=frac73\ fleft(frac73right)=sqrt<frac73-1>+sqrt<10-2cdot frac73>=sqrt<frac43>+sqrt<frac<16><3>>=frac<6><sqrt<3>>=2sqrt <3>end Промежутки монотонности:

(x)	1	(1; 7/3)	7/3	(7/3; 5)	5
(f'(x))	∅	+	0	–	∅
(f(x))	(2sqrt<2>)	(nearrow )	max (2sqrt<3>)	(searrow )	2

Можем строить график:

(y=a) – горизонтальная прямая.
Количество точек пересечения (f(x)) и (y) равно количеству решений.
Получаем:

$$ alt 2 $$	нет решений
$$ 2leq alt 2sqrt <2>$$	1 решение
$$ 2sqrt<2>leq alt 2sqrt <3>$$	2 решения
$$ a=2sqrt <3>$$	1 решение
$$ agt 2sqrt <3>$$	нет решений

По крайней мере одно решение будет в интервале (2leq aleq 2sqrt<3>).

п.3. Решение неравенств с построением графиков

Пример 4. Решите неравенство (frac<2+log_3 x>gt frac<6><2x-1>)

Разобьем неравенство на совокупность двух систем.
Если (xgt 1), то (x-1gt 0), на него можно умножить слева и справа и не менять знак.
Если (xlt 1), то (x-1lt 0), умножить также можно, только знак нужно поменять.
Сразу учтем требование ОДЗ для логарифма: (xgt 0)

Получаем совокупность: begin left[ begin begin xgt 1\ 2+log_3 xgtfrac<6(x-1)> <2x-1>end \ begin 0lt xlt 1\ 2+log_3 xltfrac<6(x-1)> <2x-1>end end right. \ 2+log_3 xgt frac<6(x-1)><2x-1>Rightarrow log_3 xgt frac<6(x-1)-2(2x-1)><2x-1>Rightarrow log_3 xgt frac<2x-4><2x-1>\ left[ begin begin xgt 1\ log_3 xgtfrac<2x-4> <2x-1>end \ begin 0lt xlt 1\ log_3 xltfrac<2x-4> <2x-1>end end right. end Исследуем функцию (f(x)=frac<2x-4><2x-1>=frac<2x-1-3><2x-1>=1-frac<3><2x-1>)
Точка разрыва: (x=frac12) – вертикальная асимптота
Односторонние пределы: begin lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><-0>=+infty\ lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><+0>=-infty end Второе слагаемое стремится к 0 на бесконечности, и это дает горизонтальную асимптоту: (y=1) begin lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><-infty>=1+0\ lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><+infty>=1-0 end На минус бесконечности кривая стремится к (y=1) сверху, а на плюс бесконечности – снизу.
Первая производная: $$ f'(x)=left(1-frac<3><2x-1>right)’=frac<3><(2x-1)^2>gt 0 $$ Производная положительная на всей ОДЗ, функция возрастает.
Вторая производная: $$ f”(x)=-frac<6> <(2x-1)^3>$$ Одна критическая точка 2-го порядка (x=frac12)

Как найти k и b по графику линейной функции?

В новой 9 задаче профильного ЕГЭ много заданий на линейные функции. Самое сложное, что нужно сделать, решая эти задачи – определить формулу линейной функции , т.е. найти (k) и (b) по графику. Примеры таких заданий (решения будут внизу статьи):

В статье я расскажу про два простых способа найти (k) и (b), если известен график линейной функции.

Способ 1

Первый способ основывается на трех фактах:

Линейная функция пересекает ось (y) в точке (b).
Примеры:

Но не советую определять так (b), если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом.

Если функция возрастает, то знак коэффициента (k) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то (k=0).

Чтоб конкретнее определить (k) надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить (k) нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.

Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.

(b=3) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит (k 0). (k=+frac=frac<4><4>=1,b=1). (f(x)=x+1).

Теперь перейдем к функции (g(x)). Найдем координаты точек (D) и (E): (D(-2;4)), (E(-4;1)). Можно составить систему:

Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать (b):

(g(x)=1,5x+7). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем (f(x)) и (g(x)).

Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку “скачать статью”.

Квадратичная функция и ее график

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида , где 0″ title=”a<>0″/> называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

a – старший коэффициент

b – второй коэффициент

с – свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками – это, так называемые “базовые точки”. Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Обратите внимание, что график функции симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0 , то ветви параболы напрaвлены вверх .

Если старший коэффициент a , то ветви параболы напрaвлены вниз .

Второй параметр для построения графика функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции – это точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции нужно решить квадратное уравнение .

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если 0″ title=”a>0″/>,то график функции выглядит как-то так:

2. Если ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если 0″ title=”a>0″/>,то график функции выглядит примерно так:

3 . Если 0″ title=”D>0″/>,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:

,

Если 0″ title=”a>0″/>,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции – координаты вершины параболы:

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции – точка пересечения параболы с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции

1. Направление ветвей параболы.

Так как 0″ title=”a=2>0″/>,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена

0″ title=”D=b^2-4ac=9-4*2*(-5)=49>0″/>

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:

,

3. Координаты вершины параболы:

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2 . Уравнение квадратичной функции имеет вид – в этом уравнении – координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции , и второй коэффициент – четное число.

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

• сначала построить график функции ,
• затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
• затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
• а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент – четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат:

Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3 . Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции – точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда

2. Координаты вершины параболы:

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида .

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
– ширины графика функции от значения коэффициента ,
– сдвига графика функции вдоль оси от значения ,

– сдвига графика функции вдоль оси от значения
– направления ветвей параболы от знака коэффициента
– координат вершины параболы от значений и :

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

[spoiler title=”источники:”]

http://cos-cos.ru/ege/zadacha203/376/

http://ege-ok.ru/2012/05/21/kvadratichnaya-funktsiya-i-ee-grafik

[/spoiler]

Как найти количество корней уравнения по графику

Покажем, как задачи с параметрами можно решать графически.

Найдём количество решений уравнения

в зависимости от $$ a$$.

Искомое количество решений совпадает с числом точек пересечения графиков функций

График первой функции получается из графика функции, который был построен в предыдущем примере. Для этого нужно воспользоваться преобразованием вида ПР1 то есть график $$ y=_<1>left(xright)$$ имеет такой вид, как показано на рис. 43 $$ fleft(0right)=sqrt<5>$$.

Графиком функции $$ y=a$$ будет прямая, параллельная оси $$ Ox$$ (рис. 43). При этом она пересекает ось ординат в точке $$ (0,a)$$. Легко видеть, что при $$a 3$$ прямая $$ y=a$$ не имеет пересечений с графиком $$ y=_<1>left(xright)$$, при $$ a=3$$ и $$ ain [0;sqrt<5>)$$ есть две точки пересечения, а при $$ ain [sqrt<5>;3)$$ – четыре общие точки и при $$ a=sqrt<5>$$ – три общие точки. Остаётся лишь сформулировать ответ.

При $$ ain (-infty ;0)bigcup (3;+infty )$$ решений нет, при $$ ain [0;sqrt<5>)bigcup left<3right>$$ – два решения, при $$ ain left<sqrt<5>right>$$ – три решения, при $$ ain (sqrt<5>;3)$$ – четыре решения.

Найдём количество решений уравнения в зависимости от $$ a$$:

Методом интервалов нетрудно построить график функции

Количество решений уравнения совпадает с числом точек пересечения этого графика с прямой $$ fleft(xright)=a$$ (рис. 44).

Проанализировав график, несложно выписать ответ.

При $$ ain (8;+infty )$$ уравнение имеет 2 решения, при $$ a=8$$ уравнение имеет бесконечно много решений, при $$ ain (-infty ;8)$$ решений нет.

Рассмотрим ещё один пример задач с параметром, где используется построение множеств, задаваемых уравнениями с модулем. Напомним, что графиком уравнения называют линию на плоскости, на которой лежат те и только те точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Найдём количество решений системы уравнений

в зависимости от $$ a$$.

Для решения необходимо построить график уравнения $$ left|xright|+left|yright|=4$$. Это можно сделать, последовательно выполнив построения таких графиков:

График второго уравнения – окружность с центром в точке $$ O(0;0)$$ и радиусом $$ left|aright|$$. Изобразим оба этих графика на координатной плоскости $$ xOy$$.

Как видим, при $$|a| 4$$ графики не пересекаются. При $$ left|aright|=2sqrt<2>$$ или $$ left|aright|=4$$ есть 4 точки пересечения. При остальных $$ a$$ есть 8 точек пересечения. Таким образом, можно сформулировать ответ.

При $$ ain (-infty ;-4)cup (-2sqrt<2>;2sqrt<2>)cup (4;+infty )$$ система не имеет решений;

при $$ ain <-4;-2sqrt<2>;2sqrt<2>;4>$$ система имеет 4 решения;

при $$ ain (-4;-2sqrt<2>)cup (2sqrt<2>;4)$$ система имеет 8 решений.

В следующей задаче нам потребуется понятие локального экстремума функции. Говорят, что функция $$ y=fleft(xright)$$ имеет локальный максимум в точке $$ _<0>$$, если для некоторого числа $$ε > 0$$ при $$|x − x_0| 0$$ при $$|x − x_0| 0$$ график $$ y=at-3$$ касается линии $$ y=sqrt$$ (cм. рис. 46). Уравнение $$ D=0$$ имеет единственный положительный корень `a=1/4`. Следовательно, `a_2=1/4`. Если $$dfrac3<16>leq a 1/4` они не имеют общих точек.

Рассмотрим пример использования этого правила в задаче.

Найдём все значения параметра $$ a$$, при которых система

имеет хотя бы одно решение.

Неравенство системы после выделения полных квадратов можно записать в виде $$ ^<2>-8left|xright|+16+^<2>-8left|yright|+16le 1$$ или $$ left(right|x|-4<)>^<2>+(left|yright|-4<)>^<2>le 1$$. Множество $$ E$$ решений этого неравенства – объединение кругов $$ _<1>$$, $$ _<2>$$, $$ _<3>$$, $$ _<4>$$ (вместе с их границами) радиуса $$ 1$$ (см. рис. 47) с центрами $$ _<1>(4;4)$$, $$ _<2>(4;-4)$$, $$ _<3>(-4;-4)$$, $$ _<4>(-4;4)$$. Запишем уравнение системы в виде

Это уравнение задаёт окружность $$ L$$ радиуса $$ left|aright|$$ с центром в точке $$ M(0;1)$$, или точку $$ (0;1)$$ при $$ a=0$$. Исходная система имеет хотя бы одно решение при тех значениях $$ a$$, при которых окружность $$ L$$ имеет общие точки с множеством $$ E$$. При этом ввиду симметричного расположения соответствующих пар кругов относительно оси ординат достаточно выяснить, при каких значениях $$ a$$ окружность $$ L$$ имеет общие точки с кругами, центрами которых являются точки $$ _<1>$$ и $$ _<2>$$. Проведём из точки $$ M$$ лучи $$ _<1>$$ и $$ _<2>$$ в направлении точек $$ _<1>$$ и $$ _<2>$$. Пусть $$ _<1>$$ и $$ _<1>$$ – точки пересечения $$ _<1>$$ и окружности с центром $$ _<1>$$, $$ _<2>$$ и $$ _<2>$$ – точки пересечения $$ _<2>$$ и окружности с центром $$ _<2>$$. Тогда из геометрических соображений имеем:

При $$ 4le left|aright|le 6$$ окружность с центром $$ M$$ имеет общие точки с кругом $$ <omega >_<1>$$ , а при $$ sqrt<41>-1le left|aright|le sqrt<41>+1$$ – с кругом $$ <omega >_<2>$$.

а) Если $$b 0$$. Эта система не имеет решений при $$ a=0$$ и поэтому $$b 0$$. Теперь мы прибегнем к графическому методу. Рассмотрим два случая: $$0 1$$. Если $$b > 1$$, то $$sqrt Эта система не имеет решений, так как прямая $$ y=x-b$$ не пересекает график функции $$ y=|^<2>-b|$$ (см. рис. 48). Если $$0 0$$).

В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости.

Найдём все значения `a`, при каждом из которых уравнение

Рассмотрим функции `f(x)-a|x-3|` и `g(x)=5/(x+2)`.

Если построить график функции `f(x)` для разных `a` (рис. 50) и график функции `g(x)` (рис. 51), то можно без проблем исследовать на промежутке `[0;+oo)` уравнение `f(x)=g(x)`.

При `a При `a>0` функция `f(x)` возрастает на промежутке `(3;+oo)`. Функция `g(x)` убывает на этом промежутке, поэтому уравнение `f(x)=g(x)` всегда имеет ровно одно решение на промежутке `(3;+oo)`, поскольку `f(3) g(3+1/a)`. На промежутке `[0;3]` уравнение `f(x)=g(x)` принимает вид `3a-ax=5/(x+2)`. Это уравнение сводится к уравнению `ax^2-ax+(5-6a)=0`. Будем считать, что `a>0`, поскольку случай `a

Пусть уравнение имеет два корня, то есть `a>4/5`. Тогда оба корня меньше `3`, поскольку при `x>=3` значения функции `3a-ax` неположительны, а значения функции `5/(x+2)` положительны. По теореме Виета сумма корней равна `1`, а произведение равно `5/6-6`. Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку `[0;3]`, а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда `5/a-6>=0`, то есть `a 5/6`;

– три корня при `4/5

В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости. В следующем примере будем использовать известный подход к задачам, содержащим некоторые переменные в квадрате. Суть этого подхода — рассмотрение выражения как квадратичной функции относительно какой-нибудь переменной (остальные переменные при этом считаются параметрами) с последующим использованием известных свойств квадратичной функции.

Найдём все значения параметра $$ a$$, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три решения.

Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений $$ |y+9|+|x+2|=2$$ и $$ ^<2>+^<2>=3$$. Первое из них задаёт квадрат $$ G$$ с центром $$ (-2;-9)$$, диагонали которого равны $$ 4$$ и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность $$ S$$ с центром $$ (0;0)$$ радиуса $$ sqrt<3>$$ (см. рис. 52).

Второе уравнение исходной системы при $$a > 0$$ задаёт окружность $$ Omega $$ с центром $$ (-2;-4)$$ радиуса $$ R=sqrt$$.

Отметим, что при $$a Рассмотрев случаи внешнего и внутреннего касания окружностей $$ Omega $$ и $$ S$$, можно заключить, что они имеют ровно `1` общую точку при $$ R=sqrt<20>pm sqrt<3>$$, ровно `2` общие точки при $$ Rin (sqrt<20>-sqrt<3>;sqrt<20>+sqrt<3>)$$ и ни одной общей точки при остальных $$ R$$. Поскольку центры окружности $$ Omega $$ и квадрата $$ G$$ лежат на прямой $$ x=-2$$, то $$ Omega $$ и $$ G$$ имеют ровно `1` общую точку при $$ R=3$$ или $$ R=7$$, ровно `2` общие точки при $$ Rin (3;7)$$ и ни одной общей точки при остальных значениях $$ R$$. Для того чтобы у системы было 3 решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность $$ Omega $$ имела `2` общие точки с квадратом $$ G$$ и `1` общую точку с окружностью $$ S$$ или наоборот. Рассмотрим значения $$ R$$, при которых окружность $$ Omega $$ имеет с квадратом $$ G$$ или окружностью $$ S$$ ровно `1` общую точку.

1) $$ R=sqrt<20>+sqrt<3>$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с окружностью $$ S$$, и ровно `2` общие точки с квадратом $$ G$$ (т. к. $$3 sqrt <20>+ sqrt<3>$$), т. е. у системы 1 решение.

Итак, подходят $$ R=3$$ и $$ R=sqrt<20>+sqrt<3>$$. Тогда искомые значения параметра $$ a=<3>^<2>=9$$ и $$ a=(sqrt<20>+sqrt<3><)>^<2>=23+4sqrt<15>$$.

Применение производной для решения нелинейных уравнений и неравенств

п.1. Количество корней кубического уравнения

Кубическое уравнение $$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $$ на множестве действительных чисел может иметь один, два или три корня.
С помощью производной можно быстро ответить на вопрос, сколько корней имеет данное уравнение. begin f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ f'(x)=3ax^2+bx+c end Если в уравнении (f'(x)=0) дискриминант (D=4b^2-12ac=4(b^2-3ac)gt 0), кубическая парабола имеет две точки экстремума: (x_<1,2>=frac<-2bpmsqrt><6a>). Если при этом значения функции в точках экстремума (f(x_1)cdot f(x_2)lt 0), т.е. расположены по разные стороны от оси OX, парабола имеет три точки пересечения с этой осью. Исходное уравнение имеет три корня.
Если две точки экстремума найдены, но (f(x_1)cdot f(x_2)=0), уравнение имеет два корня.
Во всех остальных случаях – у исходного уравнения 1 корень.

Пример 1. Сколько корней имеют уравнения:

п.2. Количество корней произвольного уравнения

Задачи на подсчет количества корней решаются с помощью построения графиков при полном или частичном исследовании функций.

Пример 2. а) Найдите число корней уравнения (frac 1x+frac<1>+frac<1>)
б) Найдите число корней уравнения (frac 1x+frac<1>+frac<1>=k)

Построим график функции слева, а затем найдем для него количество точек пересечения с горизонталью (y=1). Это и будет ответом на вопрос задачи (а).
Исследуем функцию: $$ f(x)=frac1x+frac<1>+frac<1> $$ Алгоритм исследования и построения графика – см. §49 данного справочника.
1) ОДЗ: (xneleft<0;1;3right>)
Все три точки – точки разрыва 2-го рода. begin lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=-infty-1-frac13=-infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=+infty-1-frac13=+infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=1-infty-frac12=-infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=1+infty-frac12=+infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=frac13+frac12-infty=-infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=frac13+frac12+infty=+infty end 2) Функция ни четная, ни нечетная.
Функция непериодическая.
3) Асимптоты
1. Вертикальные (x=0, x=1, x=3) – точки разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные: begin lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=-0-0-0=-0\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=+0+0+0=+0\ end Горизонтальная асимптота (y=0)
На минус бесконечности функция стремится к 0 снизу, на плюс бесконечности – сверху.
3. Наклонные: (k=0), нет.
4) Первая производная $$ f'(x)=-frac<1>-frac<1><(x-1)^2>-frac<1><(x-3)^2>lt 0 $$ Производная отрицательная на всей ОДЗ.
Функция убывает.

5) Вторую производную не исследуем, т.к. перегибы не влияют на количество точек пересечения с горизонталью.

6) Точки пересечения с OY – нет, т.к. (x=0) – асимптота
Точки пересечения с OX – две, (0lt x_1lt 1,1lt x_2lt 3)

7) График

Получаем ответ для задачи (а) 3 корня.

Решаем более общую задачу (б). Передвигаем горизонталь (y=k) снизу вверх и считаем количество точек пересечения с графиком функции. Последовательно, получаем:
При (klt 0) — три корня
При (k=0) — два корня
При (kgt 0) — три корня

Ответ: а) 3 корня; б) при (k=0) два корня, при (kne 0) три корня.

Пример 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$ sqrt+sqrt<10-2x>=a $$ имеет по крайней мере одно решение.

Исследуем функцию (f(x)=sqrt+sqrt<10-2x>)
ОДЗ: ( begin x-1geq 0\ 10-2xgeq 0 end Rightarrow begin xgeq 1\ xleq 5 end Rightarrow 1leq xleq 5 )
Функция определена на конечном интервале.
Поэтому используем сокращенный алгоритм для построения графика.
Значения функции на концах интервала: (f(1)=0+sqrt<8>=2sqrt<2>, f(5)=sqrt<4>+0=2)
Первая производная: begin f'(x)=frac<1><2sqrt>+frac<-2><2sqrt<10-2x>>=frac<1><2sqrt>-frac<1><sqrt<10-2x>>\ f'(x)=0 text<при> 2sqrt=sqrt<10-2x>Rightarrow 4(x-1)=10-2xRightarrow 6x=14Rightarrow x=frac73\ fleft(frac73right)=sqrt<frac73-1>+sqrt<10-2cdot frac73>=sqrt<frac43>+sqrt<frac<16><3>>=frac<6><sqrt<3>>=2sqrt <3>end Промежутки монотонности:

(x)	1	(1; 7/3)	7/3	(7/3; 5)	5
(f'(x))	∅	+	0	—	∅
(f(x))	(2sqrt<2>)	(nearrow )	max (2sqrt<3>)	(searrow )	2

Можем строить график:

(y=a) — горизонтальная прямая.
Количество точек пересечения (f(x)) и (y) равно количеству решений.
Получаем:

$$ alt 2 $$	нет решений
$$ 2leq alt 2sqrt <2>$$	1 решение
$$ 2sqrt<2>leq alt 2sqrt <3>$$	2 решения
$$ a=2sqrt <3>$$	1 решение
$$ agt 2sqrt <3>$$	нет решений

По крайней мере одно решение будет в интервале (2leq aleq 2sqrt<3>).

п.3. Решение неравенств с построением графиков

Пример 4. Решите неравенство (frac<2+log_3 x>gt frac<6><2x-1>)

Разобьем неравенство на совокупность двух систем.
Если (xgt 1), то (x-1gt 0), на него можно умножить слева и справа и не менять знак.
Если (xlt 1), то (x-1lt 0), умножить также можно, только знак нужно поменять.
Сразу учтем требование ОДЗ для логарифма: (xgt 0)

Получаем совокупность: begin left[ begin begin xgt 1\ 2+log_3 xgtfrac<6(x-1)> <2x-1>end \ begin 0lt xlt 1\ 2+log_3 xltfrac<6(x-1)> <2x-1>end end right. \ 2+log_3 xgt frac<6(x-1)><2x-1>Rightarrow log_3 xgt frac<6(x-1)-2(2x-1)><2x-1>Rightarrow log_3 xgt frac<2x-4><2x-1>\ left[ begin begin xgt 1\ log_3 xgtfrac<2x-4> <2x-1>end \ begin 0lt xlt 1\ log_3 xltfrac<2x-4> <2x-1>end end right. end Исследуем функцию (f(x)=frac<2x-4><2x-1>=frac<2x-1-3><2x-1>=1-frac<3><2x-1>)
Точка разрыва: (x=frac12) – вертикальная асимптота
Односторонние пределы: begin lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><-0>=+infty\ lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><+0>=-infty end Второе слагаемое стремится к 0 на бесконечности, и это дает горизонтальную асимптоту: (y=1) begin lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><-infty>=1+0\ lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><+infty>=1-0 end На минус бесконечности кривая стремится к (y=1) сверху, а на плюс бесконечности – снизу.
Первая производная: $$ f'(x)=left(1-frac<3><2x-1>right)’=frac<3><(2x-1)^2>gt 0 $$ Производная положительная на всей ОДЗ, функция возрастает.
Вторая производная: $$ f»(x)=-frac<6> <(2x-1)^3>$$ Одна критическая точка 2-го порядка (x=frac12)

Дискриминант

Дискриминантом квадратного трехчлена называют выражение (b^<2>-4ac), где (a, b) и (c) – коэффициенты данного трехчлена.

Например, для трехчлена (3x^2+2x-7), дискриминант будет равен (2^2-4cdot3cdot(-7)=4+84=88). А для трехчлена (x^2-5x+11), он будет равен ((-5)^2-4cdot1cdot11=25-44=-19).

Дискриминант обозначается буквой (D) и часто используется при решении квадратных уравнений . Также по значению дискриминанта можно понять, как примерно выглядит график квадратичной функции (см. ниже).

Дискриминант и корни квадратного уравнения

Значение дискриминанта показывает количество корней квадратного уравнения:
— если (D) положителен – уравнение будет иметь два корня;
— если (D) равен нулю – только один корень;
— если (D) отрицателен – корней нет.

Это не надо учить, к такому выводу несложно прийти, просто зная, что квадратный корень из дискриминанта (то есть, (sqrt) входит в формулу для вычисления корней квадратного уравнения: (x_<1>=) (frac<-b+sqrt><2a>) и (x_<2>=) (frac<-b-sqrt><2a>) . Давайте рассмотрим каждый случай подробнее.

Если дискриминант положителен

В этом случае корень из него – это некоторое положительное число, а значит (x_<1>) и (x_<2>) будут различны по значению, ведь в первой формуле (sqrt) прибавляется, а во второй – вычитается. И мы имеем два разных корня.

Пример: Найдите корни уравнения (x^2+2x-3=0)
Решение:

Вычисляем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac)

Найдем корни уравнения

Получили два различных корня из-за разных знаков перед (sqrt)

На графике квадратичной функции положительный дискриминант будет означать пересечение функции с осью икс ровно в двух точках – корнях уравнения. И это логично. Вдумайтесь – если уравнение (x^2+2x-3=0) имеет корни (x_<1>=1) и (x_<1>=-3), значит при подстановке (1) и (-3) вместо икса, левая часть станет нулем. А значит, если те же самые единицу и минус тройку подставить в функцию (y=x^2+2x-3) получим (y=0). То есть, функция (y=x^2+2x-3) проходит через точки ((1;0)) и ((-3;0)) (подробнее смотри статью Как построить график функции ).

Если дискриминант равен нулю

А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.

Формулы корней выглядят так: (x_<1>=) (frac<-b+sqrt><2a>) и (x_<2>=) (frac<-b-sqrt><2a>) . И если дискриминант – ноль, то и корень из него тоже ноль. Тогда получается:

То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.

Пример: Найдите корни уравнения (x^2-4x+4=0)
Решение:

Вычисляем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac)

Находим корни уравнения

Получили два одинаковых корня, поэтому нет смысла писать их по отдельности – записываем как один.

На графике квадратичной функции нулевой дискриминант означает одну точку пересечения функции с осью икс. Все аналогично изложенному выше: два корня – две точки пересечения, один корень – одна. В частности, функция (y=x^2-4x+4) будет выглядеть вот так:

Если дискриминант отрицателен

В этом случае корень из дискриминанта извлечь нельзя (т.к. квадратный корень из отрицательного числа – невычислим), а значит и корни квадратного уравнения мы вычислить не можем.

Пример: Найдите корни уравнения (x^2+x+3=0)
Решение

Вычисляем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac)

Находим корни уравнения

Оба корня содержат невычислимое выражение (sqrt<-11>), значит, и сами не вычислимы

То есть, отсутствие корней у квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом – не чья-то случайная придумка. Это не потому что «в учебнике так написано», а действительно правда: невозможно найти такое число, чтоб при подстановке его вместо икса в выражение (x^2+x+3) получился ноль.

Матхак: заметим, что если вы решаете обычное квадратное уравнение или неравенство и получаете отрицательный дискриминант, стоит проверить решение еще раз, так как это не частая ситуация в школьном курсе математики.

Ну, а на графиках все просто: нет корней – нет точек пересечения с осью икс!

Графики в задачах с параметрами

Покажем, как задачи с параметрами можно решать графически.

Рассмотрим ещё один пример задач с параметром, где используется построение множеств, задаваемых уравнениями с модулем. Напомним, что графиком уравнения называют линию на плоскости, на которой лежат те и только те точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

В следующей задаче нам потребуется понятие локального экстремума функции. Говорят, что функция $$ y=fleft(xright)$$ имеет локальный максимум в точке $$ {x}_{0}$$, если для некоторого числа $$ε > 0$$ при $$|x − x_0| < ε$$ (т. е. числа $$ x$$ и $$ {x}_{0}$$ достаточно близки) верно неравенство $$ fleft(xright)le fleft({x}_{0}right)$$. Если же для некоторого числа $$ε > 0$$ при $$|x − x_0| < ε$$ верно $$ fleft(xright)ge fleft({x}_{0}right)$$, то говорят, что функция $$ y=fleft(xright)$$ имеет локальный минимум в точке $$ {x}_{0}$$. Точки локального максимума или минимума называют точками локального экстремума функции. В случае выполнения неравенств $$ fleft(xright)le fleft({x}_{0}right)$$ или $$ fleft(xright)ge fleft({x}_{0}right)$$ для произвольного $$ x$$ точку $$ {x}_{0}$$ называют точкой глобального экстремума функции. Ясно, что всякий глобальный экстремум будет локальным. Примером такой точки для квадратичной функции будет точка, соответствующая вершине параболы.

В следующем примере нам необходимо будет изобразить точки на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому неравенству $$ f(x,y)le {a}_{0}$$ для заданной функции двух переменных $$ f$$ и некоторого фиксированного числа $$ {a}_{0}$$. Для этого нужно сначала выяснить вид множества точек $$ f(x,y)=a$$ при различных значениях $$ a$$ и заштриховать все точки координатной плоскости, принадлежащие линиям $$ f(x,y)=a$$ при $$ ale {a}_{0}$$. Часто это бывает область на плоскости внутри, либо вне некоторой фигуры, которая задаётся равенством $$ f(x,y)=a$$. Например, неравенство $$ f(x,y)=(x-1{)}^{2}+(y+1{)}^{2}le 1$$ задаёт круг радиуса $$ 1$$ с центром в точке $$ А(1,–1)$$.

Рассмотрим пример использования этого правила в задаче.

В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости.

В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости. В следующем примере будем использовать известный подход к задачам, содержащим некоторые переменные в квадрате. Суть этого подхода – рассмотрение выражения как квадратичной функции относительно какой-нибудь переменной (остальные переменные при этом считаются параметрами) с последующим использованием известных свойств квадратичной функции.

Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций

Данный метод отбора корней при решении тригонометрических уравнений позволяет наглядно определить подходящие углы без наложений друг на друга периодов (как это случается при работе с тригокругом), однако такой метод предполагает хорошие навыки работы с графиками тригофункций. Также при отборе корней этим методом нам не нужно разделять ответы на серии, достаточно посмотреть на этап решения уравнения, когда тригофункция равна числу, например (sin x = frac{sqrt{3}}{2}).

АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ ТРИГОФУНКЦИЙ

1. Рисуем соответствующий график тригонометрической функции.

2. Проводим прямые (y = a), параллельные оси Ox, где (a) – число, которому равна тригофункция.

3. Отмечаем на графике промежуток, в котором нужно найти углы.

4. Находим пересечение прямой (y = a) с графиком в точках, которые попадают в отмеченный промежуток. Записываем углы, которые им соответствуют – это будут значения из абсцисс.

Пример №1:

Найдите все корни уравнения

(sin x = frac{sqrt{3}}{2})

принадлежащих промежутку (leftlbrack – pi, frac{3pi}{2} rightrbrack).

1. Нам дано уравнение (sin x = frac{sqrt{3}}{2}) , тогда построим график функции (y = sin x):

1. Проведем прямую (y = frac{sqrt{3}}{2}:)

1. Выделим часть графика, попадающий в промежуток (leftlbrack – pi, frac{3pi}{2} rightrbrack):

1. Нужно отметить точки пересечения прямой с графиком, которые попадают в промежуток (leftlbrack – pi, frac{3pi}{2} rightrbrack).

Таким образом видим две точки, абсциссы которых соответственно равны (frac{pi}{3}) и (frac{2pi}{3}). Запишем ответ.

Ответ: (frac{pi}{3}), (frac{2pi}{3}).

Пример №2:

Найдите все корни уравнения

(tg x = – 1)

принадлежащих промежутку (leftlbrack – frac{pi}{2}, pi rightrbrack).

1. Нам дано уравнение (tg x = – 1) , тогда построим график функции (y = text{tg x}):

1. Проведем прямую (y = – 1):

1. Выделим часть графика, попадающий в промежуток (leftlbrack – frac{pi}{2}, pi rightrbrack):

1. Нужно отметить точки пересечения прямой с графиком, которые попадают в промежуток (leftlbrack – frac{pi}{2}, pi rightrbrack).

Таким образом видим две точки, абсциссы которых соответственно равны (- frac{pi}{4}) и (frac{pi}{4}). Запишем ответ.

Ответ: (frac{pi}{4};frac{pi}{4}).

Экспресс-тренинг

Подготовка к ЕГЭ-2023 по профильной математике в кратчайшие сроки!

До экзамена осталось совсем немного времени! Закрепите свои знания! Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Ваш ребенок успеет подготовиться к экзамену!