Как найти три точки через уравнение плоскости

В рамках этого материала мы разберем, как найти уравнение плоскости, если мы знаем координаты трех различных ее точек, которые не лежат на одной прямой. Для этого нам понадобится вспомнить, что такое прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Для начала мы введем основной принцип данного уравнения и покажем, как именно использовать его при решении конкретных задач.

Для начала нам необходимо вспомнить одну аксиому, которая звучит следующим образом:

Если три точки не совпадают друг с другом и не лежат на одной прямой, то в трехмерном пространстве через них проходит только одна плоскость.

Иными словами, если у нас есть три разных точки, координаты которых не совпадают и которые нельзя соединить прямой, то мы можем определить плоскость, проходящую через нее.

Допустим, у нас имеется прямоугольная система координат. Обозначим ее Oxyz. В ней лежат три точки M с координатами M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), которые нельзя соединить прямой линией. Исходя из этих условий, мы можем записать уравнение необходимой нам плоскости. Есть два подхода к решению этой задачи.

1. Первый подход использует общее уравнение плоскости. В буквенном виде оно записывается как A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0. С его помощью можно задать в прямоугольной системе координат некую плоскость альфа, которая проходит через первую заданную точку M1(x1, y1, z1). У нас получается, что нормальный вектор плоскости α будет иметь координаты A, B, C. 

Зная координаты нормального вектора и координаты точки, через которую проходит плоскость, мы можем записать общее уравнение этой плоскости.  

Из этого мы и будем исходить в дальнейшем.

Таким образом, согласно условиям задачи, мы имеем координаты искомой точки (даже трех), через которую проходит плоскость. Чтобы найти уравнение, нужно вычислить координаты ее нормального вектора. Обозначим его n→.

Вспомним правило: любой не равный нулю вектор данной плоскости является перпендикулярным нормальному вектору этой же плоскости. Тогда мы имеем, что n→ будет перпендикулярным по отношению к векторам, составленным из исходных точек M1M2→ и M1M3→. Тогда мы можем обозначить n→ как векторное произведение видаM1M2→·M1M3→.

Поскольку M1M2→=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) а M1M3→=x3-x1, y3-y1, z3-z1 (доказательства этих равенств приведены в статье, посвященной вычислению координат вектора по координатам точек), тогда получается, что:

n→=M1M2→×M1M3→=i→j→k→x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1

Если мы вычислим определитель, то получим необходимые нам координаты нормального вектора n→. Теперь мы можем записать нужное нам уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

2. Второй подход нахождения уравнения, проходящей через M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), основан на таком понятии, как компланарность векторов.

Если у нас есть множество точек M (x, y, z), то в прямоугольной системе координат они определяют плоскость для заданных точек M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) только в том случае, когда векторы M1M →=(x-x1, y-y1, z-z1), M1M2 →=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) и M1M3 →=(x3-x1, y3-y1, z3-z1) будут компланарными.

На схеме это будет выглядеть так:

Это будет означать, что смешанное произведение векторов M1M→, M1M2→, M1M3→ будет равно нулю: M1M→·M1M2→· M1M3→=0, поскольку это является основным условием компланарности: M1M →=(x-x1, y-y1, z-z1), M1M2 →=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) и M1M3 →=(x3-x1, y3-y1, z3-z1).

Запишем полученное уравнение в координатной форме:

x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0

После того, как мы вычислим определитель, мы сможем получить нужное нам уравнение плоскости для трех не лежащих на одной прямой точек M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3).

От полученного в результате уравнения можно перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости, если этого требуют условия задачи.

В следующем пункте мы приведем примеры того, как указанные нами подходы реализуются на практике.

Примеры задач на составление уравнения плоскости, проходящих через 3 точки

Ранее мы выделили два подхода, с помощью которых можно найти искомое уравнение. Давайте посмотрим, как они применяются в решениях задач и когда следует выбирать каждый из них.

А как быть, если заданные точки все же лежат на одной прямой и нам нужно составить уравнение плоскости для них? Здесь сразу надо сказать, что это условие будет не совсем корректным. Через такие точки может проходить бесконечно много плоскостей, поэтому вычислить один-единственный ответ невозможно. Рассмотрим такую задачу, чтобы доказать некорректность подобной постановки вопроса.

Если вы хотите найти хоть один ответ этой задачи из бесконечного множества ее вариантов, то нужно выполнить следующие шаги:

1. Записать уравнение прямой М1М2, М1М3 или М2М3 (при необходимости посмотрите материал об этом действии).

2. Взять точку M4(x4, y4, z4), которая не лежит на прямой М1М2.

3. Записать уравнение плоскости, которая проходит через три различных точки М1, М2 и M4, не лежащих на одной прямой.  

Для того, чтобы однозначно построить плоскость, необходимы три точки, которые не лежат на одной прямой.

Общее уравнение плоскости принимает вид:

Общее уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0,

где A,B,C,DA, B, C, D — коэффициенты, задающие плоскость. Они не могут быть одновременно равны нулю.

Здесь будет калькулятор

Составление уравнения плоскости по трем точкам

Текст цитаты

Заголовок

Текст цитаты

В случае, когда известны координаты всех трех точек, уравнение плоскости, проходящей через эти точки составляется с помощью определителя:

Уравнение плоскости через определитель

∣x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1y3−y1z−z1z2−z1z3−z1∣=0begin{vmatrix}
x-x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_1 \
y-y_1 & y_2-y_1 & y_3-y_1 \
z-z_1 & z_2-z_1 & z_3-z_1 \
end{vmatrix}=0,

где (x1;y1;z1),(x2;y2;z2),(x3;y3;z3)(x_1;y_1;z_1), (x_2;y_2;z_2), (x_3;y_3;z_3) — координаты точек, через которые проходит данная плоскость, а (x;y;z)(x; y; z) — всевозможные координаты точек этой плоскости.

Задача 1

Составить уравнения плоскости проходящей через три точки с координатами (1;3;0),(5;6;4),(−1;−4;0)(1;3;0), (5;6;4), (-1;-4;0).

Решение

Пусть:

x1=1x_1=1
y1=3y_1=3
z1=0z_1=0
x2=5x_2=5
y2=6y_2=6
z2=4z_2=4
x3=−1x_3=-1
y3=−4y_3=-4
z3=0z_3=0

Составляем определитель:

∣x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1y3−y1z−z1z2−z1z3−z1∣=0begin{vmatrix}
x-x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_1 \
y-y_1 & y_2-y_1 & y_3-y_1 \
z-z_1 & z_2-z_1 & z_3-z_1 \
end{vmatrix}=0

∣x−15−1−1−1y−36−3−4−3z−04−00−0∣=0begin{vmatrix}
x-1 & 5-1 & -1-1 \
y-3 & 6-3 & -4-3 \
z-0 & 4-0 & 0-0 \
end{vmatrix}=0

∣x−14−2y−33−7z40∣=0begin{vmatrix}
x-1 & 4 & -2 \
y-3 & 3 & -7 \
z & 4 & 0 \
end{vmatrix}=0

28x−8y−22z−4=028x-8y-22z-4=0 — уравнение искомой плоскости.

Ответ

28x−8y−22z−4=028x-8y-22z-4=0

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали

Если дана точка, лежащая на плоскости и вектор нормали к этой плоскости, то сама плоскость задается уравнением:

Уравнение плоскости по точке и нормали

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2+(z−z0)⋅n3=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2+(z-z_0)cdot n_3=0,

где (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0) — координаты точки, принадлежащей плоскости, а (n1;n2;n3)(n_1;n_2;n_3) — координаты вектора нормали к этой плоскости.

Задача 2

Выпишите уравнение плоскости, если даны: координата точки плоскости (8;−2;9)(8;-2;9) и вектор нормали (1;3;5)(1;3;5).

Решение

x0=8x_0=8
y0=−2y_0=-2
z0=9z_0=9
n1=1n_1=1
n2=3n_2=3
n3=5n_3=5

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2+(z−z0)⋅n3=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2+(z-z_0)cdot n_3=0

(x−8)⋅1+(y−(−2))⋅3+(z−9)⋅5=0(x-8)cdot 1+(y-(-2))cdot 3+(z-9)cdot 5=0

x−8+3y+6+5z−45=0x-8+3y+6+5z-45=0

x+3y+5z−47=0x+3y+5z-47=0 — уравнение плоскости.

Проверка

Чтобы убедиться в том, что задача решена правильно, без ошибок, необходимо в полученное уравнение подставить координаты точки, которые даны в условии задачи:

8+3⋅(−2)+5⋅9−47=08+3cdot(-2)+5cdot9-47=0

0=00=0 — верно, значит ответ правильный.

Ответ

x+3y+5z−47=0x+3y+5z-47=0

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Для того, чтобы через
три какие- либо точки пространства можно
было провести единственную плоскость,
необходимо, чтобы эти точки не лежали
на одной прямой.

Рассмотрим
точки М₁(x₁,
y₁,
z₁),
M₂(x₂,
y₂,
z₂),
M₃(x₃,
y₃,
z₃)
в общей декартовой системе координат.

Для
того, чтобы произвольная точка М(x,
y,
z)
лежала в одной плоскости с точками М₁,
М₂,
М₃
необходимо, чтобы векторы
были компланарны.

()
= 0

Таким
образом,

Уравнение
плоскости, проходящей через три точки:

Уравнение
плоскости по двум точкам и вектору,
коллинеарному плоскости.

Пусть заданы точки
М₁(x₁,y₁,z₁),M₂(x₂,y₂,z₂)
и вектор.

Составим
уравнение плоскости, проходящей через
данные точки М₁
и М₂
и произвольную точку М(х, у, z)
параллельно вектору .

Векторы
и
вектордолжны быть
компланарны, т.е.

()
= 0

Уравнение
плоскости:

Уравнение
плоскости по одной точке и двум векторам,

коллинеарным
плоскости.

Пусть заданы два
вектора
и,
коллинеарные плоскости. Тогда для
произвольной точки М(х, у,z),
принадлежащей плоскости, векторыдолжны быть компланарны.

Уравнение
плоскости:

Уравнение
плоскости по точке и вектору нормали.

Теорема.
Если в пространстве задана точка М₀(х₀,
у₀,
z₀),
то уравнение плоскости, проходящей
через точку М₀
перпендикулярно вектору нормали
(A,
B,
C)
имеет вид:

A(x
– x₀)
+ B(y
– y₀)
+ C(z
– z₀)
= 0.

Доказательство.
Для произвольной точки М(х, у, z),
принадлежащей плоскости, составим
вектор
.
Т.к. вектор

– вектор нормали, то он перпендикулярен
плоскости, а, следовательно, перпендикулярен
и вектору
.
Тогда скалярное произведение

=
0

Таким
образом, получаем уравнение плоскости

Теорема
доказана.

Уравнение плоскости в отрезках.

Если
в общем уравнении Ах + Ву + Сz
+ D
= 0 поделить обе части на (-D)

,

заменив
,
получим уравнение плоскости в отрезках:

Числа
a,
b,
c
являются точками пересечения плоскости
соответственно с осями х, у, z.

Уравнение плоскости в векторной форме.

где

–
радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),

–
единичный вектор, имеющий направление,
перпендикуляра, опущенного на плоскость
из начала координат.

,

и 
– углы, образованные этим вектором с
осями х, у, z.

p
– длина этого перпендикуляра.

В
координатах это уравнение имеет вид:

xcos
+ ycos
+ zcos
– p
= 0.

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние
от произвольной точки М₀(х₀,
у₀,
z₀)
до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0
равно:

Пример.
Найти уравнение плоскости, зная, что
точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра,
опущенного из начала координат на эту
плоскость.

Таким
образом, A
= 4/13; B
= -3/13; C
= 12/13, воспользуемся формулой:

A(x
– x₀)
+ B(y – y₀)
+ C(z – z₀)
= 0.

Пример.
Найти уравнение плоскости, проходящей
через две точки P(2;
0; -1) и

Q(1;
-1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у –
z
+ 5 = 0.

Вектор
нормали к плоскости 3х + 2у – z
+ 5 = 0
параллелен
искомой плоскости.

Получаем:

Пример.
Найти уравнение плоскости, проходящей
через точки А(2, -1, 4) и

В(3,
2, -1) перпендикулярно плоскости х
+ у
+ 2z
– 3 = 0.

Искомое
уравнение плоскости имеет вид: Ax
+ By
+ Cz
+ D
= 0, вектор нормали к этой плоскости
(A,
B,
C).
Вектор
(1,
3, -5) принадлежит плоскости. Заданная
нам плоскость, перпендикулярная искомой
имеет вектор нормали(1,
1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим
плоскостям, а плоскости взаимно
перпендикулярны, то

Таким образом, вектор нормали
(11,
-7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой
плоскости, то ее координаты должны
удовлетворять уравнению этой плоскости,
т.е. 112 + 71
– 24 +D= 0;D= -21.

Итого,
получаем уравнение плоскости: 11x
– 7y
– 2z
– 21 = 0.

Пример.
Найти уравнение плоскости, зная, что
точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра,
опущенного из начала координат на эту
плоскость.

Находим
координаты вектора нормали
=
(4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости
имеет вид: 4x
– 3y
+ 12z
+ D
= 0. Для нахождения коэффициента D
подставим в уравнение координаты точки
Р:

16
+ 9 + 144 + D
= 0

D
= -169

Итого,
получаем искомое уравнение: 4x
– 3y
+ 12z
– 169 = 0

Пример.
Даны координаты вершин пирамиды А₁(1;
0; 3), A₂(2;
-1; 3), A₃(2;
1; 1),

A₄(1;
2; 5).

1. Найти
   длину ребра А₁А₂.

1. Найти
   угол между ребрами А₁А₂
   и А₁А₄.

1. Найти
   угол между ребром А₁А₄
   и гранью А₁А₂А₃.

Сначала
найдем вектор нормали к грани А₁А₂А₃
как векторное произведение векторови.

=
(2-1;
1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Найдем
угол между вектором нормали и вектором
.

-4
– 4 = -8.

Искомый
угол 
между вектором и плоскостью будет равен

= 90⁰
– .

1. Найти
   площадь грани А₁А₂А₃.

1. Найти
   объем пирамиды.

(ед³).

1. Найти
   уравнение плоскости А₁А₂А₃.

Воспользуемся
формулой уравнения плоскости, проходящей
через три точки.

2x
+ 2y
+ 2z
– 8 = 0

x
+ y
+ z
– 4 = 0;

При
использовании компьютерной версии
“Курса высшей
математики”
можно запустить программу, которая
решит рассмотренный выше пример для
любых координат вершин пирамиды.

Для
запуска программы дважды щелкните на
значке:

В
открывшемся окне программы введите
координаты вершин пирамиды и, нажимитеEnter.
Таким образом, поочередно могут быть
получены все пункты решения.

Примечание:
Для запуска программы необходимо чтобы
на компьютере была установлена программа
Maple
(
Waterloo
Maple
Inc.)
любой версии, начиная с MapleV
Release
4.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Для начала стоит напомнить, как выглядит общее уравнение плоскости:

$Ax cdot + By + Cz + D = 0left(1right)$,

при этом: ${A; B; C}$ — координаты нормального вектора данной плоскости, а $D$ — свободный член.

В общем уравнении коэффициенты $A, B, C$ не могут быть одновременно равны нулю, если же один из коэффициентов нулевой — уравнение называется неполным. При $D=0$ плоскость проходит через центр осей координат.

Также в дальнейшем нам пригодится уравнение плоскости, заданной точкой, лежащей в данной плоскости и нормальным вектором:

$A(x-x_0)+B(y-y_0) + C(z-z_0)=0left(2right)$,

здесь $(x_0; y_0; z_0)$ — координаты точки плоскости.

Теперь непосредственно к делу.

Уравнение плоскости через три точки можно выразить несколькими способами: с помощью смешанного произведения векторов и выразив сначала нормальный вектор плоскости и используя одну точку.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, через смешанное произведение векторов

Рассмотрим три точки $M_1, M_2, M_3$, не находящиеся на одной прямой. Соответственно аксиоме стереометрии о том, что три точки задают плоскость, и притом только одну, все эти точки лежат в одной плоскости $α$.

Рассмотрим точку $M$, лежащую в плоскости $α$. Если описать плоскость $α$ как множество точек $M$, вектора $vec{M_1M_2}$, $vec{M_1M_3}$ и $vec{M_1M}$ должны быть компланарны между собой. А как известно, вектора компланарны между собой если их смешанное произведение равно нулю.

Соответственно, для того чтобы вычислить это смешанное произведение, необходимо вычислить определитель третьего порядка, каждая строка которого является координатами вышеперечисленных векторов.

«Уравнение плоскости через 3 точки» 👇

Пусть координаты точек $M, M_1, M_2, M_3$ — $(x; y; z), (x_1;y_1; z_1), (x_2;y_2; z_2), (x_3;y_3;z_3)$ соответственно. Тогда координаты каждого из вышеперечисленных векторов составят:

$vec{M_1M_2}={x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1}$;

$vec{M_1M_3}= {x_3-x_1; y_3-y_1; z_3-z_1}$;

$vec{M_1M} = {x-x_1; y-y_1; z-z_1}$.

Составим определитель, описывающий смешанное произведение векторов:

$begin{array}{|ccc|} x-x_1 && y-y_1 && z-z_1 \ x_2-x_1 && y_2-y_1 && z_2-z_1 \ x_3-x_1 && y_3-y_1 &&z_3-z_1 \ end{array}=0$ — уравнение плоскости через 3 точки.

При вычислении этого определителя получается общее уравнение плоскости, проходящей через три точки. Это можно увидеть, раскрыв определитель по первой строке:

$begin{array}{|cc|} y_2-y_1 && z_2-z_1 \ y_3-y_1 &&z_3-z_1 \ end{array} cdot ( x-x_1) + begin{array}{|cc|} x_2-x_1 && z_2-z_1 \ x_3-x_1 &&z_3-z_1 \ end{array} cdot (y-y_1) + begin{array}{|cc|} x_2-x_1 && y_2-y_1 \ x_3-x_1 && y_3-y_1 \ end{array} cdot (z-z_1) = 0left(3right)$.

Коэффициенты из уравнения $(3)$ также совпадают с координатами векторного произведения $vec{M_1M_2}×vec{M_1M_3}$ и, так как два этих вектора неколлинеарны и параллельны рассматриваемой плоскости $α$, данное векторное произведение представляет собой нормальный вектор к плоскости, для которой составляется уравнение.

Уравнение плоскости, заданной 3 точками, через нормальный вектор и точку

Другим альтернативным методом задания плоскости является использование нормального вектора плоскости и точки, принадлежащей данной плоскости.

Для того чтобы воспользоваться данным методом, найдём векторное произведение векторов $vec{M_1M_2}$ и $vec{M_1M_3}$:

$[vec{M_1M_2} × vec{M_1M_3}]= begin{array}{|ccc|} vec{i} &&vec{j} &&vec{k} \ x_2-x_1 &&y_2-y_1 &&z_2-z_1 \ x_3-x_1 &&y_3-y_1 &&z_3-z_1 \ end{array}=0$.

Данное произведение является нормальным вектором плоскости, для которой составляется уравнение. Полученные координаты нормального вектора можно использовать непосредственно для составления уравнения плоскости.

Зная точку, принадлежащую этой плоскости, можно подставить координаты нормального вектора и координаты точки в уравнение $(2)$ и получить уравнение плоскости:

$n_x(x-x_3)+n_y(y-y_3)+n_z(z-z_3)=0$.

В этом уравнении $n_x; n_y; n_z$ — координаты нормального вектора, определённого из векторного произведения векторов $vec{M_1M_2}$ и $vec{M_1M_3}$, а $(x_3; y_3; z_3)$ — некая точка, принадлежащая данной плоскости.

К данной задаче можно также свести задачу с нахождением уравнения плоскости по уравнениям лежащих в ней параллельных и пересекающихся прямых.