Как найти тригонометрические функции для угла - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Содержание:

Тригонометрические функции произвольного угла

Угол поворота

До недавнего времени говоря об угле мы имели в виду угол, полученный между двумя неподвижными сторонами. Угол также можно рассматривать как измерение поворота. Например, радиус колеса, расположенного по горизонтали при вращении вокруг неподвижной оси, через определённое время относительно начального положения образует некоторый угол. К тому же значение угла зависит от направления поворота. Любой угол можно рассматривать как фигуру, полученную вращением луча вокруг начальной точки.

Начальное положение луча соответствует одной стороне угла, конечное положение – другой стороне. При вращении луча на координатной плоскости относительно начала координат в направлении по часовой стрелке или против часовой стрелки, можно получить различные углы.

Начальная сторона угла поворота совпадает с положительным направлением оси абсцисс. Сторону, полученную при вращении относительно начала координат (вершины угла), назовём конечной стороной. Принято считать, что если поворот происходит в направлении против часовой стрелки, то угол имеет положительное значение, при повороте в направлении по часовой стрелке, угол имеет отрицательное значение,

положительный угол отрицательный угол

Координатные оси разбивают координатную плоскость на 4 четверти. Значение угла, в зависимости от того, в какой четверти расположена его конечная сторона, меняется в определенном интервале.

Конечная сторона угла может совершить один или несколько оборотов относительно начала координат. Один полный оборот соответствует углу 360°. Существует бесконечное число углов поворота, у которых начальная и конечная стороны совпадают. Например, конечные стороны углов 30°и 390° совпадают. В общем, для углов поворота и (здесь произвольное целое число) конечные стороны совпадают.

Радианная и градусная мера угла

Пример 1. Нарисуйте угол заданной величины. Определите какой четверти принадлежит конечная сторона угла.

Пример 2. На координатной плоскости покажите и запишите градусные меры двух положительных и одного отрицательного угла поворота, конечные стороны которых совпадают с конечной стороной угла 60°.

Радианное измерение углов

Угол в один радиан-это центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу. Радианная мера угла есть отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности: . Величина угла, выраженная в радианах не зависит от длины радиуса (объясните, воспользуясь подобием фигур на рисунке).

Пример 1. Сколько радиан составляет центральный угол, длина дуги которого равна 12 см, если радиус окружности равен 4 см?

Решение: 1 радиан соответствует длине дуги 4 см. Дуге длиной 12 см будет соответствовать угол 12 : 4 = 3 радиан. Длина окружности . Если центральный угол, соответствующий дуге окружности радиуса равен 1 радиану, то дуге, равной; соответствует центральный угол . Ниже показаны радианные меры углов поворота.

Радианная мера одного целого оборота равна , градусная мера 360°. То есть, радиан = 360°. Отсюда можно установить следующую связь между радианной и градусной мерой. Преобразование радиан в градусы:

Преобразование градусов в радианы:

Таким образом, рад = 180°. Обозначение “рад’ часто опускают. Вместо рад = 180° обычно пишут = 180°. Отсюда получаем, что

Используя соответствующие радианные и градусные меры углов, расположенных в первой четверти, можно найти увеличенные в разы значения других углов. Например, если 30° = , тогда 150° =

Пример 2. Выразите углы, заданные в градусах радианами, а углы, заданные радианами в градусах, а) 60° ; б)

Решение.

а)60° = радиан — радиан 1,047 радиан

б) радиан

Пример 3. Выразите углы, конечная сторона которых совпадает с углом 45°, в градусах и радианах.

Решение: Конечная сторона угла 45°совпадает с углами 405° и 315°, а также существует бесконечно много углов, конечные стороны которых совпадают с конечной стороной угла 45°: ;

или,

В радианах это можно записать как

и т.д. Все углы, конечные стороны которых совпадают с углом в общем виде записываются так:

Пример, а)

Все углы поворота, конечные стороны которых совпадают с углом

можно найти но формуле .

Как видно, в заданном интервале, расположен всего один угол 425°. Пример. д) Все углы поворота, конечные стороны которых, совпадают с этим углом можно найти по формуле .

Интервалу принадлежат углы

Длина дуги

Запишем формулу нахождения длины дуги, соответствующей центральному углу окружности радиуса . Используя радианную меру длину окружности можно найти ещё проще. По определению радиана, если , тогда длина дуги равна произведению радиуса и радианной меры угла: Длина дуги окружности находится с радиусом в прямо пропорциональной зависимости.

Площадь сектора

Центральному углу соответствует сектор площадь которого равна . Учитывая что радиальная мера центрального угла равна и обозначив её через , запишем формулу нахождения площади сектора . Пример 1. Длина секундной стрелки часов равна 12 см. Определите длину дуги, которую описывает конец секундной стрелки за 15 секунд.

Решение. Секундная стрелка за 60 минут совершают один полный оборот. Это соответствует радианам. 15 секунд соответствуют части полного оборота: радиан. То есть, минутная стрелка за 15 секунд чертит дугу, соответствующую центральному углу . Длина этой дуги:

Пример 2. Найдите площадь и периметр закрашенного сектора на рисунке, если радиус круга равен 8 см. Закрашенной части круга соответствует центральный угол:

Площадь сектора равна:

(см²).

Периметр сектора равен сумме длин двух радиусов и длины дуги: (см)

Линейная скорость и угловая скорость

Скорость при движении по окружности, например, скорость движения произвольной точки Р колеса, которое вращается вокруг точки О, может быть вычислена двумя способами.

В первом случае, её можно найти используя расстояние и время. Эта скорость называется линейной скоростью. Во втором случае – используя угол поворота (центральный угол). Эта скорость называется угловой скоростью.

Если тело движется но окружности, то линейная скорость равна отношению пройденного пути (длины дуги окружности) к промежутку времени.

Если тело движется по окружности, то угловая скорость равна отношению угла поворота к промежутку времени.

Здесь (в радианах) – угол вращения за промежуток времени . Между линейной и угловой скоростью существует следующая связь:

линейная скорость = угловая скорость

Пример 3. Карусель совершает за минуту 8 полных оборотов.

а)Чему равна угловая скорость карусели за минуту(в радианах)?

б)На сколько метров за минуту передвигается лошадь, которая находится на расстоянии 3 м от центра окружности?

в)На сколько метров за минуту передвигается лошадь, которая находится на расстоянии 2 м от центра окружности?

Решение:

а) Один целый оборот при вращении соответствует центральному углу . За 8 оборотов этот угол равен . Угловая скорость за минуту равна радиан/мин.

б)Если лошадь находится на расстоянии 3 м от центра, то она движется по окружности радиуса 3 м.

Линейная скорость:м/мин

в)Если лошадь находится на расстоянии 2 м от центра, то она движется по окружности радиуса 2 м.

Линейная скорость:м/мин

Тригонометрические функции

Тригонометрические отношении для угла зависят только от значения угла.

Пусть конечная сторона угла а при повороте пересекается с окружностью радиусом г, центр которой находится в начале координат, в точке Р(х; у).

Отношение ординаты точки Р к длине радиуса называется синусом угла :

Отношение абсциссы точки Р к длине радиуса называется косинусом угла :

Отношение ординаты точки Р к абсциссе называется тангенсом угла :

(здесь , то есть точка Р не расположена на оси ординат)

Отношение абсциссы точки Р к ординате называется котангенсом угла : (здесь , то есть точка Р не расположена на оси абсцисс)

Косинусом угла называется обратное значение для синуса:

(здесь )

Секансом угла называется обратное значение для косинуса:

(здесь )

Пример 1. Точка А (- 3; 4) расположена на конечной стороне угла поворота .

а) Изобразите решение примера.

б) Определите значения тригонометрических отношений для угла поворота .

Решение:

а)

б)

Координаты точки на окружности

Если заданная точка Р окружности находится на конечной стороне угла поворота , то она имеет координаты .

Пример 2. По данным рисунка найдите координаты точки Р.

Точка Р находится во II четверти и косинус отрицательный.

Для некоторых углов, конечная сторона расположена на одной из координатной оси. В этом случае, градусная мера угла поворота равна: или радиан, или радиан, или радиан, или радиан.

В этом случае координаты х или у равны или нулю, или абсолютному значению длины радиуса.

Пример 3. Найдём значения тригонометрических отношений для:

а) а = 90° ; б) а = 180°; в) а = 270° .

При всех допустимых значениях, каждому значению , соответствует единственное значение . Поэтому тригонометрические отношения являются функциями угла и называются тригонометрическими функциями.

Так как , то знак косинуса совпадает со знаком х.

Так как , то знак синуса совпадает со знаком у.

Тригонометрические функции произвольного угла. Нахождение значений тригонометрических функций произвольного угла при помощи острого угла

Чтобы вычислить тригонометрические отношения для углов больше 90°, удобно использовать тригонометрические отношения острого угла.

Для любого угла поворота существует образованный конечной стороной и прямой, содержащий ось абсцисс.

Используя соответствующие острые углы можно определить тригонометрические отношения для любого произвольного угла. Эти значения можно вычислить точно для углов 30°, 45°, 60°, а для остальных острых углов – при помощи калькулятора.

Пример 1. Для следующих углов, определите острые углы:

а) б)

Решение:

а) конечная сторона угла 300° расположена в IV четверти. Соответствующий острый угол равен: 360°- 300° = 60°

б) конечная сторона угла расположена в III четверти. Соответствующий

острый угол равен:

Пример 2. Найдём значение основных тригонометрических функций для угла . Шаги решения:

1.Найдём наименьший положительный угол, конечная сторона которого совпадает с заданным углом и дополняет его до 360°: -135° + 360° = 225°

2.Для угла 225° найдём соответствующий острый угол 225° – 180° = 45°.

3.Определим какой четверти принадлежит угол -135° – угол III четверти.

4.Найдём значение тригонометрических функций для угла 45° и учтём знак этих функций в III четверти. Получим:

Тригонометрические функции для произвольного угла можно определить следующим образом:

•определяем соответствующий острый угол;

•находим значение тригонометрических функций для этого угла;

•определяем знак значения тригонометрических функций в зависимости от четверти.

Так как конечные стороны углов и совпадают, то значения тригонометрических функций этих углов одинаковы. Если угол изменяется на целое число оборотов, то значение тригонометрических функций не меняется.

Заметим, что если угол меняется на пол оборота, то значения тангенса и котангенса не изменяются.

На самом деле, если углу поворота соответствует точка , а углу поворота (или ) соответствует точка , то :

В общем случае выполняются равенство:

Пример 3. Найдём допустимые значения , если . Так как в I и во II четвертях синус положителен.

, значит если , то

Абсцисса этой точки

Тогда или

Единичная окружность и тригонометрические функции

Значения тригонометрических функций зависят только от значения угла и не зависят от радиуса окружности. Поэтому, не нарушая общности, можно принять . Окружность, центр которой находится в начале координат, с радиусом равным единице, называется единичной окружностью. Координаты точки, принадлежащей окружности удовлетворяют уравнению .

Если точка является точкой пересечения единичной окружности и конечной стороны угла поворота , то между ней и тригонометрическими функциями существует следующая связь: Таким образом, координаты точки принадлежащей единичной окружности, можно записать как: .

Также по заданным координатам можно найти следующие тригонометрические функции: . Зная, что при определённом повороте на единичной окружности, можно найти соответствующие координаты точки.

Для этого надо выполнить следующие шаги:

1) На единичной окружности отметим точки, соотвегствующие углу поворота , найдём координаты этих точек по формуле: .

2)Для некоторой точки, принадлежащей единичной окружности, например ,определите координаты симметричной точки. Как видно но рисунку, существует 3 точки, симметричные точке А, которые расположены во II, III и IV четвертях.

Точка В симметрична точке А относительно оси у, точка С – относительно начала координат, а точка D – относительно оси х. Абсолютные значения координат этих точек равны и отличаются только знаком.

3)Таким образом, можно определить координаты новых точек, зная координаты точки, принадлежащей I четверти. Т.е. получаем единичную окружность, на которой отмечены углы поворота и координаты точек.

Заказать решение задач по высшей математике

Единичная окружность и тригонометрические функции произвольного угла

Так как координаты точек на единичной окружности удовлетворяют условиям , то Наибольшее значение и равно 1, а наименьшее значение равно -1.

Пример 1. Для угла поворота вычислите значения основных тригонометрических функций.

Решение: Конечная сторона угла поворота расположена в III четверти. Этому углу соответствует острый угол . Точка пересечения конечной стороны угла с единичной окружностью симметрична точке относительно начала координат и соответствует точке .

Тогда ,

Пример 2. Точка А, с абсциссой расположена в III четверти и пересекается с единичной окружностью на стороне угла .

а)Найдём ординату точки А.

б)Изобразим рисунок, соответствующий условию и для угла найдём значения шести тригонометрических функций.

Решение:

а), . Так как точка расположена в III четверти .

б),,,,

Пример 3. Найдём наибольшее и наименьшее значение выражения .

Решение:

Таким образом, для выражения a НМЗ равно 1, а НБЗ равно 5.

Формулы приведения

Если объект находится в I четверти, то симметричный ему относительно оси у объект находится во II четверти. Симметричный последнему относительно оси х, объект находится в III четверти, и он совпадает с объектом, симметричным начальному объекту из I относительно начала координат. Обратите внимание, что отображение относительно оси у и отображение, относительно оси х, совпадают с поворотом на 180°.

При отображении относительно оси х, точка расположенная на конечной стороне угла изменяет координаты, как показано на рисунке.

То есть, при этом знак меняет только координата у. Таким образом, так как косинус зависит от х он не меняется, зато меняется знак синуса. Отсюда, для углов можно записать следующие зависимости между тригонометрическими функциями.

То есть, синус, тангенс и котангенс нечётные функции, косинус-чётная.

Пример 1:

Конечные стороны углов поворота и 360° – симметричны относительно оси х. То есть .

Отсюда получаем:

Запишем для углов и 90° – прямоугольного треугольника с острым углом тригонометрические отношения:

При попарном сравнении равенств можно увидеть следующую связь-между значениями тригонометрических функций углов и 90° – .

Повернём конечную сторону угла поворота ещё на 90°. При этом точка Р(х; у), расположенная на стороне преобразуется в точку . По определению тригонометрических функций:

Запишем эти формулы в следующем виде:

Как видно но рисунку отображения относительно оси у и оси х эквивалентны повороту на 180°. Изменение координат, можно записать следующим образом:

Как видно по рисунку, при повороте угла а на 180° конечная сторона расположена в противоположных четвертях, но на одной прямой.

Пример 2.

Для получения аналогичных формул тригонометрических функций угла поворота достаточно записать и применить последовательность соответствующих формул.

Например:

Теперь запишем соответствующие формулы для угла поворота . Например:

При помощи полученных формул можно найти значения тригонометрических функций произвольного угла, зная значения для соответствующего острого угла. Эти формулы называются формулами приведения. Для формул приведений можно легко увидеть следующую закономерность

1)Если аргумент имеет вид или , то функция преобразуется в “сопряжённую” функцию (то есть синус в косинус или наоборот, а тангенс в котангенс или наоборот) угла .

2)Если аргумент имеет вид 180° ± или 360° ± , то функция преобразуется в одноимённую функцию угла .

В каждом из обоих случаев, знак полученной в результате преобразования функции имеет одинаковое значение со знаком острого угла в соответствующей четверти.

Тригонометрические тождества

Для острого угла прямоугольного треугольника покажите, что , выполнив следующие шаги:

1)Запишите теорему Пифагора:

2)Каждую из сторон равенства разделите на с²:

3)Примените свойство степени:

4) Примите во внимание, что:

Связь между тригонометрическими функциями одного и того же угла

Тождество можно доказать и при помощи координат точки, принадлежащей единичной окружности.

По координатам точки на единичной окружности и по определениям тригонометрических функций имеем:

Для всех значений , при которых

Из данных равенств имеем,что если для угла одновременно выполняются условия и , то справедливо тождество

Разделив обе чаете равенства поочередно на и на будем иметь:

Полученные выше равенства являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествами. На основании основных тригонометрических можно написать:

При помощи основных тригонометрических тождеств можно упрощать тригонометрические выражения и вычислять модуль значения всех остальных функций, зная значение одной из них.

Пример 1. Используя основные тригонометрические тождества, докажите,что:

Доказательство:

Пример 2. Зная, что и угол принадлежит III четверти, найдите

остальные тригонометрические функции.

Из формул получаем:

Так как угол принадлежит III четверти, то

Тогда:

Формулы сложения

Практическая работа .

1)Покажем по шагам, равенство выражения

a)Для значений и, вычислим значения выражения в левой части.

б)Для значений и, вычислим значения выражения в правой части.

2)Как можно вычислить значение тригонометрических функций для угла 15°, используя разность значений углов 45° и 30°(15° = 45° – 30°)?

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов. Сначала докажем тождество

На рисунке

а)для угла координаты точки Р₁, взятой на единичной окружности равны , а для угла координаты точки Р₂ равны . Разместим углы – , как показано на рисунке б).

Тогда, для угла координаты точки Р_з будут . Из того, что (по признаку СУС ) следует, что .

Доказательство тождества

учитывая, что

справедливость тождества доказана.

Доказательство тождества

no формулам приведения группируя

no формуле косинуса разности с учётом формул приведения.

Доказательство тождества :

Пример 1. Найдём значение выражения если

Решение.

Пример 2.

Найдём значение выражения если

Решение.

Известно что . Если углу соответствует острый угол , то . Так как противолежащий катет равен 3, а гипотенуза 5, тогда прилежащий катет равен и учитывая, что угол III четверти, получим:.

Аналогично, если зная, что , получаем,

что .

Можно записать формулы сложения для тангенса и котангенса:

no определению no формулам сложения

Аналогичным образом можно показать, что :

Следствия из формул сложения

Практическая работа.

Преобразуйте сумму в произведение, выполнив следующие шаги:

решив систему уравнений найдите такие углы, чтобы их сумма была равна 70°, а разность

2)Запишите следующее 70° = 40° + 30°, 10° = 40° – 30° и упростите

Преобразование суммы(разности) в произведение

Формулы преобразования произведения

Справедливость данных тождеств можно показать при помощи формул сложения:

почленно складываем почленно складываем

Следующее тождество можно доказать аналогичным образом.

Тригонометрические функции двойного аргумента

Формулы сложения позволяют выразить через тригонометрические функции угла .

Таким образом, получаем тождества, которые называются формулами двойного аргумента:

Формулы половинного аргумента

Имеем, что

Отсюда: Заменяем в данной формуле на получаем:

Для половинных аргументов справедливы тождества. Знак в правой части в данном равенстве зависит от того, в какой четверги находится угол .

Пример 1. Упростим выражение .

Решение.

Пример 2. He используя калькулятор, вычислим значения и , зная, что угол принадлежит IV четверти и

Решение.

Пример 3. Найдём значений .

Решение:

Используем формулу половинного аргумента

угол I четверти и в этой четверти косинус положителен.

Упрощение тригонометрических выражений

Пример 1. Раскроем скобки и упростим выражение.

Пример 2. Разложим на множители и упростим выражение.

Пример 3. Упростим рациональное выражение, содержащее тригонометрические функции.

Пример 4. Освободим знаменатель от радикала

Здесь .

Теоремы синусов и косинусов
Система показательных уравнений
Непрерывные функции и их свойства
Правило Лопиталя
Решение уравнений высших степеней
Системы неравенств
Квадратные неравенства
Точка, прямая и плоскость в пространстве

Источник

План урока:

Основные тригонометрические функции

Взаимосвязь между тригонометрическими функциями

Тригонометрические функции стандартных углов

Поиск тангенса на квадратной решетке

Основные тригонометрические функции

Пусть есть некоторый прямоугольный треугольник АBС, у которого∠С = 90°. Обозначим какой-нибудь его острый угол, например, ∠А, греческой буквой α. В треугольнике есть два катета. Тот из них, который, непосредственно является одной из сторон угла α, называют прилежащим катетом. Другой катет именуют противолежащим. Ещё одна сторона треугольника – это гипотенуза, для которой не надо уточнять, прилежащая она или противолежащая относительно острого угла:

Отношения этих трех сторон друг к другу имеют особое наименование.

Для обозначения этих трех величин (их именуют тригонометрическими функциями) используют сокращения sin, cos и tg. При этом после этого сокращения может писаться как обозначение угла греческой буквой, так и обычное обозначение с помощью больших латинских букв:

Задание. Найдите значения тригонометрических функций для∠А в ∆АBС, длины сторон которого указаны на рисунке:

Решение. Просто пользуемся определениями каждой функции:

Задание. Найдите величину тригонометрических функций угла∠В в ∆АBС, показанном на рисунке:

Решение. На первый взгляд кажется, что задание повторяет предыдущее, но это не так. В данном случае нам надо вычислять функции не для∠А, а для ∠В. Для него противолежащим катетом уже будет АС, а прилежащим – ВС. Тогда можно записать, что

Задание. В прямоугольном ∆АBС гипотенуза АB имеет длину 10, а sin∠A = 0,2. Найдите величину ВС.

Решение. Запишем синус как отношение двух сторон:

Задание. В прямоугольном ∆АBС АС = 8, cos∠A = 0,4. Какова длина гипотенузы АB?

Решение. Выразим известный нам косинус как отношение двух отрезков:

Принципиально важно то, что если в двух прямоугольных треугольниках острые углы одинаковы, то и значение их синусов, косинусов и тангенсов также будут одинаковы. Действительно, пусть у ∆АBС и ∆А₁В₁С₁ одинаковы∠А и ∠А₁, а ∠С и ∠С₁ – прямые:

Тогда у них совпадает по два угла, а это означает, что ∆АBС и ∆А₁В₁С₁ подобны. Из этого подобия вытекает пропорция:

Отсюда можно сделать вывод:

Другими словами, значение тригонометрической функции угла зависит только от величины угла (его градусной меры) и НЕ зависит от того, в каком прямоугольном треугольнике этот угол построен. Действительно, с помощью калькулятора или компьютера можно всегда посчитать синус для какого-то угла, если известна его величина в градусах.

Задание. Найдите тангенс угла, изображенного на рисунке:

Решение. Нам надо самостоятельно достроить угол до прямоугольного треугольника. Удобней всего просто построить вертикальную линию, длину которой будет удобно измерить с помощью клеточек. Например, можно сделать такое построение:

Тогда тангенс можно получить, поделив вертикальный отрезок (он здесь оказывается противолежащим катетом) на горизонтальный:

Заметим, что мы могли построить и треугольник с другими размерами, однако во всех случаях величина тангенса будет одной и той же:

Ответ: 0,5

Задание. Постройте такой угол, что его тангенс будет равен 1,5.

Решение. Если тангенс равен 1,5, то это означает, что противолежащий катет в 1,5 раза длиннее прилежащего катета треугольника. В 1,5 раза отличаются, например, числа 2 и 3. Значит, если мы построим треугольник с катетами 2 и 3, то мы получим необходимый нам угол:

Взаимосвязь между тригонометрическими функциями

Оказывается, что одну тригонометрическую функцию угла, например, синус, можно найти и все остальные функции, используя буквально две формулы. Для их вывода снова построим прямоугольный ∆АBС и обозначим его∠А как α:

Запишем для α все 3 тригонометрические функции:

Для вывода второй важной формулы возведем синус и косинус в квадрат, а потом сложим их:

В итоге у нас получилось так называемое основное тригонометрическое тождество:

Задание. Известно, что синус некоторого угла в прямоугольном треугольнике составляет 0,6. Найдите его косинус и тангенс.

Решение. Обозначим этот угол как α. По условию sin α = 0,6. С помощью основного тригонометрического тождества находим косинус:

имеет не одно, а два решения: 0,8 и (– 0,8). Однако понятно, что так как все длины в геометрии – это положительные числа, то и их отношение также должно быть положительным. Поэтому в прямоугольном треугольнике тригонометрические функции могут быть только положительными, и корень (– 0,8) можно отбросить.

Далее находим тангенс:

Задание. Известен косинус острого угла, который равен 7/25. Вычислите синус и тангенс угла.

Решение. Сначала определяем синус угла:

Задание. Известен тангенс острого угла, он составляет 15/8. Найдите синус и косинус угла.

Решение. Данная задача сложнее двух предыдущих, так как две известные нам тригонометрические формулы не позволяют сразу по тангенсу вычислить две другие функции. Сначала используем формулу, в которой тангенс вообще присутствует:

Мы смогли выразить синус через косинус. Теперь можно использовать и вторую формулу:

Теперь можно вычислить и синус:

Заметим важное обстоятельство – так как гипотенуза всегда длиннее катетов, то и синус с косинусом в прямоугольном треугольнике всегда меньше единицы. На тангенс же подобных ограничений нет.

Задание. В прямоугольном ∆АBС гипотенуза АB равна 20, а cos∠A = 0,8. Вычислите длину ВС.

Решение. Если бы нам был дан синус, мы могли бы сразу найти ВС, но нам известен косинус. Здесь можно предложить два алгоритма решения задачи. Первый метод заключается в том, что мы сначала находим синус, пользуясь тригонометрическими формулами:

Второй метод решения задачи заключается в том, что сначала с помощью косинуса найти неизвестный катет АС:

Тригонометрические функции стандартных углов

Итак, мы выяснили, что тригонометрические функции зависят от градусной меры угла. Попытаемся вычислить их для некоторых стандартных значений.

Начнем с угла в 30°. Построим прямоугольный ∆АBС с∠А = 30°:

Ещё из 7-ого класса нам известно, что в таком треугольнике гипотенуза вдвое длиннее, чем катет, лежащий напротив угла в 30°:

Далее можно найти и тангенс 30°:

Вернемся к рассматриваемому нами ∆АBС, в котором∠А = 30°. Ясно, что другой его острый угол, ∠В, будет составлять 90 – 30 = 60°:

Снова используем тот факт, что гипотенуза АB будет длиннее катета ВС в 2 раза:

Ещё один стандартный угол, для которого легко можно рассчитать значение его тригонометрических функций – это 45°. Рассмотрим прямоугольный ∆АBС, в котором один из острых углов составляет 45°. Тогда и другой острый угол должен также составлять 45°, ведь их сумма в прямоугольном треугольнике равна 90°:

Но если в треугольнике 2 угла одинаковы, то он – равнобедренный, то есть катеты АС и ВС равны:

Итак, в результате нам удалось получить 9 стандартных значений, которые можно представить в виде единой таблицы тригонометрических функций:

Задание. Составьте формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника, если известен один из его катетов (он равен a) и острый угол, прилегающий к этому катету (он обозначается как α). Далее найдите c помощью формулы площадь треугольника, если а = 5 и α = 45°.

Решение. Как известно, площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:

Задание. В прямоугольном ∆АBС к гипотенузе ВС проведена высота АН. Отрезок НВ имеет длину 16. Известно, что sinα = 0,6. Какова длина СН?

Решение. Сначала, зная sinα, найдем сosα и tgα:

Теперь заметим, что на рисунке угол α – это не только ∠АBС. Действительно, в ∆АBС

Нам известен отрезок АН и tg∠САН, поэтому можно найти СН:

Поиск тангенса на квадратной решетке

Рассмотрим задание, которое часто встречается на экзаменах и вызывает большие затруднения. На рисунке показан угол, требуется высчитать его тангенс:

Ясно, что для нахождения тангенса надо построить какой-нибудь прямоугольный треугольник, однако проблема заключается в том, что обе стороны угла не являются ни горизонтальными, ни вертикальными линиями, а потому провести к ним перпендикуляр у многих не получается. Рассмотрим, как это делается.

Посмотрим на нижнюю линию. Она представляет собой поднимающуюся прямую, причем на каждые 2 клеточки, которые эта прямая проходит вправо, приходится подъем на 1 клеточку вверх.

Оказывается, что для построения перпендикуляра к ней необходимо от какой-нибудь ее точки вести наклонную прямую, у которой, наоборот, на каждые две клеточки подъема будет приходиться 1 клетка движения вбок, причем не вправо, а влево:

Теперь, чтобы найти тангенс, надо просто поделить длину красного отрезка (он здесь оказывается противолежащим катетом) на длину зеленого отрезка. Несложно заметить, что эти отрезки одинаковы, так как являются гипотенузами в двух равных прямоугольных ∆АBС и ∆CDF:

Естественно, что отношение одинаковых отрезков равно единице, поэтому и тангенс также равен единице. Заметим, что прямой угол можно было получить, проведя перпендикуляр к нижней линии в другой точке:

Более того, перпендикуляр можно провести и к верхней стороне угла. Она представляет собой линию, которая поднимается вправо, и на каждые три клетки движения вверх приходится одна клетка смещения вправо:

Соответственно, чтобы построить к ней перпендикуляр, надо от одной из ее точек начать двигаться вправо и вниз, причем на 3 клетки движения вбок будет приходиться только 1 клетка движения вниз:

Во всех этих случаях зеленые и красные отрезки одинаковы, а потому тангенс равен единице.

Объясним, почему для построения перпендикуляра надо использовать именно такой метод. Пусть на квадратной решетке начерчена прямая АС, к которой надо провести перпендикуляр. Построив горизонтальную (показана зеленым цветом) линию АB и вертикальную (показана красным) линию ВС, мы достоим ее до прямоугольного ∆АBС. Далее отложим от точки С уже вертикально отрезок CD, равный АB, а далее от D – горизонтальный отрезок, равный ВС:

Обозначим∠А как α, тогда ∠АСВ будет составлять 90° – α. Заметим, что ∆АBС и ∆СDF – равные, так как они прямоугольные и у них одинаковы катеты:

Теперь обратим внимание на три угла, вершины которых лежат в точке С. Это ∠АСВ, ∠FCD и ∠АСF. Они вместе образуют развернутый угол ВСD, то есть их сумма составляет 180°. Но ∠АСВ и ∠FCD мы уже выразили через величину α. Тогда можно вычислить и третий угол ∠АСF:

Получили, что отрезки АС и СF действительно перпендикулярны.

Задание. Найдите тангенс угла, показанного на рисунке:

Решение. Если попытаться провести прямую, перпендикулярную нижней стороне угла, то в результате этот перпендикуляр просто не пересечется со второй стороной:

Поэтому перпендикуляр следует проводить к верхней стороне:

Теперь осталось найти отношение длин красного (здесь это противолежащий катет) зеленого отрезка. Конечно, и длины можно найти по теореме Пифагора, однако есть и более простой метод. Возьмем в качестве единичного отрезок, который получается, если на квадратной решетке сделать два шага вбок и один вверх. Этот отрезок будет укладываться на красном катете ровно 3 раза, а на зеленом – ровно 2 раза, то есть прилежащий катет равен трем единичным отрезкам, а противолежащий – двум. Тогда их отношение составляет 3/2 = 1,5

Ответ: 1,5

Источник

Запросы «sin» и «синус» перенаправляются сюда; у терминов sin и синус есть также другие значения.

Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Рис. 1.
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса, косеканса

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции^[1], которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла дуги в круге). Эти функции нашли широкое применение в самых разных областях науки. По мере развития математики определение тригонометрических функций было расширено, в современном понимании их аргументом может быть произвольное вещественное или комплексное число.

Раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:

прямые тригонометрические функции:

синус ();
косинус ();

производные тригонометрические функции:

тангенс ${displaystyle left(mathrm {tg} ,x={frac {sin x}{cos x}}right)}$ ;
котангенс ${displaystyle left(mathrm {ctg} ,x={frac {cos x}{sin x}}right)}$ ;

секанс ${displaystyle left(sec x={frac {1}{cos x}}right)}$ ;
косеканс ${displaystyle left(mathrm {cosec} ,x={frac {1}{sin x}}right)}$ ;

обратные тригонометрические функции:

арксинус, арккосинус и т. д.

В типографике литературы на разных языках сокращённое обозначение тригонометрических функций различно, например, в англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются , , csc x . До Второй мировой войны в Германии и во Франции эти функции обозначались так же, как принято в русскоязычных текстах^[2], но потом в литературе на языках этих стран был принят англоязычный вариант записи тригонометрических функций.

Кроме этих шести широко известных тригонометрических функций, иногда в литературе используются некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т. д.).

Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначны, периодичны и бесконечно дифференцируемы, за исключением счётного числа разрывов второго рода: у тангенса и секанса в точках $pm pi n + frac{pi}{2}$ , а у котангенса и косеканса — в точках pm pi n .
Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.

Способы определения[править | править код]

Определение для любых углов[править | править код]

Рис. 2.
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически^[3]. В декартовой системе координат на плоскости построим окружность единичного радиуса ( R=1 ) с центром в начале координат . Всякий угол станем рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча (точку выбираем на окружности), при этом направление поворота против часовой стрелки считаем положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки обозначим x_B , а ординату — y_B (см. рисунок 2).

Синусом угла alpha называется ордината точки ${displaystyle M_{alpha }}$ единичной окружности, где ${displaystyle {left(cdot right)}M_{alpha }}$ получается поворотом ${displaystyle {left(cdot right)}M_{0}}$ на угол alpha в положительном направлении (против часовой стрелки), если , и в отрицательном (по часовой стрелке), если .

Косинусом угла alpha называется абсцисса точки ${displaystyle M_{alpha }}$ единичной окружности, где ${displaystyle {left(cdot right)}M_{alpha }}$ получается поворотом ${displaystyle {left(cdot right)}M_{0}}$ на угол alpha в положительном направлении (против часовой стрелки), если , и в отрицательном (по часовой стрелке), если .

Тангенсом угла alpha называется отношение ординаты точки ${displaystyle M_{alpha }}$ единичной окружности к её абсциссе, причём точка ${displaystyle M_{alpha }}$ не принадлежит оси ординат.

Котангенсом угла alpha называется отношение абсциссы точки ${displaystyle M_{alpha }}$ единичной окружности к её ординате, причём точка ${displaystyle M_{alpha }}$ не принадлежит оси абсцисс.^[4]

Таким образом, определения тригонометрических функций выглядят следующим образом:

Нетрудно видеть, что такое определение также основывается на отношениях прямоугольного треугольника, с тем отличием, что учитывается знак ( pm 1 ). Поэтому тригонометрические функции можно определить и по окружности произвольного радиуса , однако формулы придётся нормировать. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

В тригонометрии удобным оказывается вести счёт углов не в градусной мере, а в радианной. Так, угол в ${displaystyle 360^{circ }}$ запишется длиной единичной окружности 2pi . Угол в $180^{circ }$ равен, соответственно и так далее. Заметим, что угол на 2pi отличающийся от alpha по рисунку эквивалентен alpha , вследствие чего заключим, что тригонометрические функции периодичны.

Наконец, определим тригонометрические функции вещественного числа тригонометрическими функциями угла, радианная мера которого равна .

Определение для острых углов[править | править код]

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

Определение тангенса. Марка СССР 1961 года

В геометрии тригонометрические функции острого угла определяются отношениями сторон прямоугольного треугольника^[5]. Пусть — прямоугольный (угол прямой), с острым углом и гипотенузой . Тогда:

Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).

Определение как решений дифференциальных уравнений[править | править код]

Синус и косинус можно определить как единственные функции, вторые производные которых равны самим функциям, взятым со знаком минус:

То есть задать их как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения

$frac{d^2}{dvarphi^2}R(varphi) = - R(varphi),$

с дополнительными условиями:
R(0)=1 для косинуса и R'(0)=1 для синуса.

Определение как решений функциональных уравнений[править | править код]

Функции косинус и синус можно определить^[7]
как решения ( и соответственно) системы функциональных уравнений:

$left{ begin{array}{rcl} f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\ g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y) end{array} right.$

при дополнительных условиях:

$f(x)^{2}+g(x)^{2}=1,$ и при .

Определение через ряды[править | править код]

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу, и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

$sin x=x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+frac{x^9}{9!}-cdots = sum_{n=0}^inftyfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},$

$cos x=1-frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}-frac{x^6}{6!}+frac{x^8}{8!}-cdots = sum_{n=0}^inftyfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.$

Пользуясь этими формулами, а также равенствами $operatorname{tg},x=frac{sin x}{cos x},$ $operatorname{ctg},x=frac{cos x}{sin x},$ $sec x=frac{1}{cos x}$ и $operatorname{cosec},x=frac{1}{sin x},$ можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:

${operatorname{tg},x=x+frac{1}{3},x^3 + frac{2}{15},x^5 + frac{17}{315},x^7 + frac{62}{2835},x^9 + cdots = sum_{n=1}^inftyfrac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} quad left(-frac{pi}{2}<x<frac{pi}{2}right),}$

${operatorname{ctg},x = frac{1}{x} - frac{x}{3} - frac{x^3}{45} - frac{2x^5}{945} - frac{x^7}{4725} - cdots = frac{1}{x} - sum_{n=1}^infty frac{2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!},x^{2n-1} quad left(-pi < x < piright),}$

${sec x=1+frac{1}{2},x^2+frac{5}{24},x^4+frac{61}{720},x^6+frac{277}{8064},x^8+cdots = sum_{n=0}^inftyfrac{|E_{n}|}{(2n)!},x^{2n}, quad left(-frac{pi}{2} < x < frac{pi}{2}right),}$

$operatorname{cosec} x = frac{1}{x} + frac{1}{6},x + frac{7}{360},x^3 + frac{31}{15120},x^5 + frac{127}{604800},x^7 + cdots = frac{1}{x} + sum_{n=1}^infty frac{2(2^{2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!},x^{2n-1} quad left(-pi < x < piright),$

где

$B_{n}$

— числа Бернулли,

$E_{n}$

— числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов[править | править код]

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. (« infty » означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

Значения косинуса и синуса на окружности

Радианы		${displaystyle {frac {pi }{6}}}$	${displaystyle {frac {pi }{4}}}$	${displaystyle {frac {pi }{3}}}$	${displaystyle {frac {pi }{2}}}$		${displaystyle {frac {3pi }{2}}}$
Градусы	${displaystyle 0^{circ }}$	${displaystyle 30^{circ }}$	${displaystyle 45^{circ }}$	${displaystyle 60^{circ }}$	${displaystyle 90^{circ }}$	${displaystyle 180^{circ }}$	${displaystyle 270^{circ }}$	${displaystyle 360^{circ }}$
		${frac {1}{2}}$	$frac{sqrt{2}}{2}$	$frac{sqrt{3}}{2}$
		$frac{sqrt{3}}{2}$	$frac{sqrt{2}}{2}$	${frac {1}{2}}$
		${displaystyle {frac {1}{sqrt {3}}}}$
				$frac{sqrt{3}}{3}$
		${displaystyle {frac {2{sqrt {3}}}{3}}}$
				${displaystyle {frac {2{sqrt {3}}}{3}}}$

Значения тригонометрических функций нестандартных углов[править | править код]

Радианы	${displaystyle {frac {2pi }{3}}}$	${displaystyle {frac {3pi }{4}}}$	${displaystyle {frac {5pi }{6}}}$	${displaystyle {frac {7pi }{6}}}$	${displaystyle {frac {5pi }{4}}}$	${displaystyle {frac {4pi }{3}}}$	${displaystyle {frac {5pi }{3}}}$	${displaystyle {frac {7pi }{4}}}$	${displaystyle {frac {11pi }{6}}}$
Градусы	${displaystyle 120^{circ }}$	${displaystyle 135^{circ }}$	${displaystyle 150^{circ }}$	${displaystyle 210^{circ }}$	${displaystyle 225^{circ }}$	${displaystyle 240^{circ }}$	${displaystyle 300^{circ }}$	${displaystyle 315^{circ }}$	${displaystyle 330^{circ }}$
	$frac{sqrt{3}}{2}$	$frac{sqrt{2}}{2}$	${frac {1}{2}}$	$-frac{1}{2}$	$-frac{sqrt{2}}{2}$	$-frac{sqrt{3}}{2}$	$-frac{sqrt{3}}{2}$	$-frac{sqrt{2}}{2}$	$-frac{1}{2}$
	$-frac{1}{2}$	$-frac{sqrt{2}}{2}$	$-frac{sqrt{3}}{2}$	$-frac{sqrt{3}}{2}$	$-frac{sqrt{2}}{2}$	$-frac{1}{2}$	${frac {1}{2}}$	$frac{sqrt{2}}{2}$	$frac{sqrt{3}}{2}$
			$-frac{sqrt{3}}{3}$	$frac{sqrt{3}}{3}$					$-frac{sqrt{3}}{3}$
	$-frac{sqrt{3}}{3}$					$frac{sqrt{3}}{3}$	$-frac{sqrt{3}}{3}$
			${displaystyle -{frac {2{sqrt {3}}}{3}}}$	${displaystyle -{frac {2{sqrt {3}}}{3}}}$					${displaystyle {frac {2{sqrt {3}}}{3}}}$
	${displaystyle {frac {2{sqrt {3}}}{3}}}$					${displaystyle -{frac {2{sqrt {3}}}{3}}}$	${displaystyle -{frac {2{sqrt {3}}}{3}}}$

Радианы	${displaystyle {frac {pi }{12}}}$	${displaystyle {frac {pi }{10}}}$	${displaystyle {frac {pi }{8}}}$	${displaystyle {frac {pi }{5}}}$	${displaystyle {frac {3pi }{10}}}$	${displaystyle {frac {3pi }{8}}}$	${displaystyle {frac {2pi }{5}}}$	${displaystyle {frac {5pi }{12}}}$
Градусы	${displaystyle 15^{circ }}$	${displaystyle 18^{circ }}$	${displaystyle 22{,}5^{circ }}$	${displaystyle 36^{circ }}$	${displaystyle 54^{circ }}$	${displaystyle 67{,}5^{circ }}$	${displaystyle 72^{circ }}$	${displaystyle 75^{circ }}$
	${displaystyle {frac {{sqrt {3}}-1}{2{sqrt {2}}}}}$	$frac{sqrt{5}-1}{4}$	$frac{sqrt{2-sqrt{2}}}{2}$	${displaystyle {frac {sqrt {10-2{sqrt {5}}}}{4}}}$	$frac{sqrt{5}+1}{4}$	$frac{sqrt{2+sqrt{2}}}{2}$	${displaystyle {frac {sqrt {10+2{sqrt {5}}}}{4}}}$	${displaystyle {frac {{sqrt {3}}+1}{2{sqrt {2}}}}}$
	${displaystyle {frac {{sqrt {3}}+1}{2{sqrt {2}}}}}$	${displaystyle {frac {sqrt {10+2{sqrt {5}}}}{4}}}$	$frac{sqrt{2+sqrt{2}}}{2}$	$frac{sqrt{5}+1}{4}$	${displaystyle {frac {sqrt {10-2{sqrt {5}}}}{4}}}$	$frac{sqrt{2-sqrt{2}}}{2}$	$frac{sqrt{5}-1}{4}$	${displaystyle {frac {{sqrt {3}}-1}{2{sqrt {2}}}}}$
		${displaystyle {frac {sqrt {25-10{sqrt {5}}}}{5}}}$			${displaystyle {frac {sqrt {25+10{sqrt {5}}}}{5}}}$
				${displaystyle {frac {sqrt {25+10{sqrt {5}}}}{5}}}$			${displaystyle {frac {sqrt {25-10{sqrt {5}}}}{5}}}$
		${displaystyle {frac {sqrt {50-10{sqrt {5}}}}{5}}}$			${displaystyle {frac {sqrt {50+10{sqrt {5}}}}{5}}}$
				${displaystyle {frac {sqrt {50+10{sqrt {5}}}}{5}}}$			${displaystyle {frac {sqrt {50-10{sqrt {5}}}}{5}}}$

Значения тригонометрических функций для некоторых других углов

Свойства тригонометрических функций[править | править код]

Простейшие тождества[править | править код]

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности ( $x^{2}+y^{2}=1$ ) или теореме Пифагора, имеем:

${displaystyle sin ^{2}alpha +cos ^{2}alpha =1.}$

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Разделив это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, получим:

${displaystyle 1+mathop {mathrm {tg} } ,^{2}alpha =mathop {mathrm {sec} } ,^{2}alpha ,}$

${displaystyle 1+mathop {mathrm {ctg} } ,^{2}alpha =mathop {mathrm {cosec} } ,^{2}alpha .}$

Из определения тангенса и котангенса следует, что

mathop{mathrm{tg}},alpha cdot mathop{mathrm{ctg}},alpha=1.

Любую тригонометрическую функцию можно выразить через любую другую тригонометрическую функцию с тем же аргументом (с точностью до знака из-за неоднозначности раскрытия квадратного корня). Нижеприведённые формулы верны для :

sin	cos	tg	ctg	sec	cosec
	${displaystyle {sqrt {1-cos ^{2}x}}}$	${displaystyle {frac {operatorname {tg} x}{sqrt {1+operatorname {tg} ^{2}x}}}}$	${displaystyle {frac {1}{sqrt {operatorname {ctg} ^{2}x+1}}}}$	${displaystyle {frac {sqrt {sec ^{2}x-1}}{sec x}}}$	${displaystyle {frac {1}{operatorname {cosec} x}}}$
${displaystyle ,{sqrt {1-sin ^{2}x}}}$		${displaystyle ,{frac {1}{sqrt {1+operatorname {tg} ^{2}x}}}}$	${displaystyle ,{frac {operatorname {ctg} x}{sqrt {operatorname {ctg} ^{2}x+1}}}}$	${displaystyle ,{frac {1}{sec x}}}$	${displaystyle ,{frac {sqrt {operatorname {cosec} ^{2}x-1}}{operatorname {cosec} x}}}$
${displaystyle ,{frac {sin x}{sqrt {1-sin ^{2}x}}}}$	${displaystyle ,{frac {sqrt {1-cos ^{2}x}}{cos x}}}$		${displaystyle ,{frac {1}{operatorname {ctg} x}}}$	${displaystyle ,{sqrt {sec ^{2}x-1}}}$	${displaystyle ,{frac {1}{sqrt {operatorname {cosec} ^{2}x-1}}}}$
${displaystyle ,{frac {sqrt {1-sin ^{2}x}}{sin x}}}$	${displaystyle ,{frac {cos x}{sqrt {1-cos ^{2}x}}}}$	${displaystyle ,{frac {1}{operatorname {tg} x}}}$		${displaystyle ,{frac {1}{sqrt {sec ^{2}x-1}}}}$	${displaystyle ,{sqrt {operatorname {cosec} ^{2}x-1}}}$
${displaystyle ,{frac {1}{sqrt {1-sin ^{2}x}}}}$	${displaystyle ,{frac {1}{cos x}}}$	${displaystyle ,{sqrt {1+operatorname {tg} ^{2}x}}}$	${displaystyle ,{frac {sqrt {operatorname {ctg} ^{2}x+1}}{operatorname {ctg} x}}}$		${displaystyle ,{frac {operatorname {cosec} x}{sqrt {operatorname {cosec} ^{2}x-1}}}}$
${displaystyle ,{frac {1}{sin x}}}$	${displaystyle ,{frac {1}{sqrt {1-cos ^{2}x}}}}$	${displaystyle ,{frac {sqrt {1+operatorname {tg} ^{2}x}}{operatorname {tg} x}}}$	${displaystyle ,{sqrt {operatorname {ctg} ^{2}x+1}}}$	${displaystyle ,{frac {sec x}{sqrt {sec ^{2}x-1}}}}$

Непрерывность[править | править код]

Чётность[править | править код]

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

sin left( - alpha right) = - sin alpha ,,

mathop{mathrm{tg}}, left( - alpha right) = - mathop{mathrm{tg}}, alpha ,,

mathop{mathrm{ctg}}, left( - alpha right) = - mathop{mathrm{ctg}}, alpha ,,

mathop{mathrm{cosec}}, left( - alpha right) = - mathop{mathrm{cosec}}, alpha ,.

Периодичность[править | править код]

Функции — периодические с периодом 2pi , функции и — c периодом .

Формулы приведения[править | править код]

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

{displaystyle f(npi +alpha )=pm f(alpha ),}

${displaystyle fleft({frac {(2n+1)pi }{2}}+alpha right)=pm g(alpha ),}$

${displaystyle fleft({frac {(2n+1)pi }{2}}-alpha right)=pm g(alpha ).}$

Здесь — любая тригонометрическая функция, — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол alpha острый, например:

$cos left( frac{ pi}{2} - alpha right) = sin alpha,,$

или что то же самое:

cos left( 90^circ - alpha right) = sin alpha,.

Некоторые формулы приведения:

$frac{pi}{2} - alpha$	$frac{pi}{2} + alpha$	$frac{3,pi}{2} - alpha$	$frac{3,pi}{2} + alpha$

Интересующие формулы приведения так же могут легко быть получены рассмотрением функций на единичной окружности.

Формулы сложения и вычитания[править | править код]

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

sinleft( alpha pm beta right)= sinalpha , cosbeta pm cosalpha , sinbeta,

cosleft( alpha pm beta right)= cosalpha , cosbeta mp sinalpha , sinbeta,

$operatorname{tg}left( alpha pm beta right) = frac{operatorname{tg},alpha pm operatorname{tg},beta}{1 mp operatorname{tg},alpha , operatorname{tg},beta},$

$operatorname{ctg}left( alpha pm beta right) = frac{operatorname{ctg},alpha,operatorname{ctg},beta mp 1}{operatorname{ctg},beta pm operatorname{ctg},alpha}.$

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

sin left( alpha + beta + gamma right) = sin alpha cos beta cos gamma + cos alpha sin beta cos gamma + cos alpha cos beta sin gamma - sin alpha sin beta sin gamma,

cos left( alpha + beta + gamma right) = cos alpha cos beta cos gamma - sin alpha sin beta cos gamma - sin alpha cos beta sin gamma - cos alpha sin beta sin gamma.

Формулы для кратных углов[править | править код]

Формулы двойного угла:

$sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha = frac{2,operatorname{tg},alpha }{1 + operatorname{tg}^2alpha} = frac{2,operatorname{ctg},alpha }{1 + operatorname{ctg}^2alpha} = frac{2}{operatorname{tg},alpha + operatorname{ctg},alpha},$

$cos 2alpha = cos^2 alpha,-,sin^2 alpha = 2 cos^2 alpha,-,1 = 1,-,2 sin^2 alpha = frac{1 - operatorname{tg}^2 alpha}{1 + operatorname{tg}^2alpha} = frac{operatorname{ctg}^2 alpha - 1}{operatorname{ctg}^2alpha + 1} = frac{operatorname{ctg},alpha - operatorname{tg},alpha}{operatorname{ctg},alpha + operatorname{tg},alpha},$

$operatorname{tg},2 alpha = frac{2,operatorname{tg},alpha}{1 - operatorname{tg}^2alpha} = frac{2,operatorname{ctg},alpha}{operatorname{ctg}^2alpha - 1} = frac{2}{operatorname{ctg},alpha - operatorname{tg},alpha},$

$operatorname{ctg},2 alpha = frac{operatorname{ctg}^2 alpha - 1}{2,operatorname{ctg},alpha} = frac{operatorname{ctg},alpha - operatorname{tg},alpha}{2}.$

Формулы тройного угла:

$operatorname{tg},3alpha=frac{3,operatorname{tg},alpha - operatorname{tg}^3,alpha}{1 - 3,operatorname{tg}^2,alpha},$

$operatorname{ctg},3alpha=frac{operatorname{ctg}^3,alpha - 3,operatorname{ctg},alpha}{3,operatorname{ctg}^2,alpha - 1}.$

Прочие формулы для кратных углов:

sin,4alpha=cosalpha left(4sinalpha - 8sin^3alpharight),

cos,4alpha=8cos^4alpha - 8cos^2alpha + 1,

$operatorname{tg},4alpha=frac{4,operatorname{tg},alpha - 4,operatorname{tg}^3,alpha}{1 - 6,operatorname{tg}^2,alpha + operatorname{tg}^4,alpha},$

$operatorname{ctg},4alpha=frac{operatorname{ctg}^4,alpha - 6,operatorname{ctg}^2,alpha + 1}{4,operatorname{ctg}^3,alpha - 4,operatorname{ctg},alpha},$

sin,5alpha=16sin^5alpha-20sin^3alpha +5sinalpha,

cos,5alpha=16cos^5alpha-20cos^3alpha +5cosalpha,

$operatorname{tg},5alpha=operatorname{tg}alphafrac{operatorname{tg}^4alpha-10operatorname{tg}^2alpha+5}{5operatorname{tg}^4alpha-10operatorname{tg}^2alpha+1},$

$operatorname{ctg},5alpha=operatorname{ctg}alphafrac{operatorname{ctg}^4alpha-10operatorname{ctg}^2alpha+5}{5operatorname{ctg}^4alpha-10operatorname{ctg}^2alpha+1},$

$sin (nalpha)=2^{n-1}prod^{n-1}_{k=0}sinleft( alpha+frac{pi k}{n}right)$

следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции.

Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:

$sin(nalpha)=sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^kbinom{n}{2k+1}cos^{n-2k-1}alpha,sin^{2k+1}alpha,$

$cos(nalpha)=sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^kbinom{n}{2k}cos^{n-2k}alpha,sin^{2k}alpha,$

$mathrm{tg}(nalpha)=frac{sin(nalpha)}{cos(nalpha)}=dfrac{displaystyle{sumlimits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^kbinom{n}{2k+1}mathrm{tg}^{2k+1}alpha}}{displaystyle{sumlimits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^kbinom{n}{2k}mathrm{tg}^{2k}alpha}},$

$mathrm{ctg}(nalpha)=frac{cos(nalpha)}{sin(nalpha)}=dfrac{displaystyle{sumlimits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^kbinom{n}{2k}mathrm{ctg}^{n-2k}alpha}}{displaystyle{sumlimits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^kbinom{n}{2k+1}mathrm{ctg}^{n-2k-1}alpha}},$

где [n] — целая часть числа , — биномиальный коэффициент.

Формулы половинного угла:

$sinfrac{alpha}{2}=sqrt{frac{1-cosalpha}{2}},quad 0 leqslant alpha leqslant 2pi,$

$cosfrac{alpha}{2}=sqrt{frac{1+cosalpha}{2}},quad -pi leqslant alpha leqslant pi,$

$operatorname{tg},frac{alpha}{2}=frac{1-cosalpha}{sinalpha}=frac{sinalpha}{1+cosalpha},$

$operatorname{ctg},frac{alpha}{2}=frac{sinalpha}{1-cosalpha}=frac{1+cosalpha}{sinalpha},$

$operatorname{tg},frac{alpha}{2}=sqrt{frac{1-cosalpha}{1+cosalpha}},quad 0 leqslant alpha < pi,$

$operatorname{ctg},frac{alpha}{2}=sqrt{frac{1+cosalpha}{1-cosalpha}},quad 0 < alpha leqslant pi.$

Произведения[править | править код]

Формулы для произведений функций двух углов:

$sin alpha sin beta ={frac {cos(alpha -beta )-cos(alpha +beta )}{2}},$

$sinalpha cosbeta = frac{sin(alpha-beta) + sin(alpha+beta)}{2},$

$cosalpha cosbeta = frac{cos(alpha-beta) + cos(alpha+beta)}{2},$

$operatorname{tg},alpha,operatorname{tg},beta = frac{cos(alpha-beta) - cos(alpha+beta)}{cos(alpha-beta) + cos(alpha+beta)},$

$operatorname{tg},alpha,operatorname{ctg},beta = frac{sin(alpha-beta) + sin(alpha+beta)}{sin(alpha+beta) -sin(alpha-beta)},$

$operatorname{ctg},alpha,operatorname{ctg},beta = frac{cos(alpha-beta) + cos(alpha+beta)}{cos(alpha-beta) - cos(alpha+beta)}.$

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

$sinalpha sinbeta singamma = frac{sin(alpha+beta-gamma) + sin(beta+gamma-alpha) + sin(alpha-beta+gamma) - sin(alpha+beta+gamma)}{4},$

$sinalpha sinbeta cosgamma = frac{-cos(alpha+beta-gamma) + cos(beta+gamma-alpha) + cos(alpha-beta+gamma) - cos(alpha+beta+gamma)}{4},$

$sinalpha cosbeta cosgamma = frac{sin(alpha+beta-gamma) - sin(beta+gamma-alpha) + sin(alpha-beta+gamma) - sin(alpha+beta+gamma)}{4},$

$cosalpha cosbeta cosgamma = frac{cos(alpha+beta-gamma) + cos(beta+gamma-alpha) + cos(alpha-beta+gamma) + cos(alpha+beta+gamma)}{4}.$

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

Степени[править | править код]

${displaystyle sin ^{2}alpha ={frac {1-cos 2,alpha }{2}}={frac {operatorname {tg} ^{2},alpha }{1+operatorname {tg} ^{2},alpha }},}$

$cos ^{2}alpha ={frac {1+cos 2,alpha }{2}}={frac {operatorname {ctg}^{2},alpha }{1+operatorname {ctg}^{2},alpha }},$

$operatorname {tg}^{2},alpha ={frac {1-cos 2,alpha }{1+cos 2,alpha }}={frac {operatorname {sin}^{2},alpha }{1-operatorname {sin}^{2},alpha }},$

${displaystyle operatorname {ctg} ^{2},alpha ={frac {1+cos 2,alpha }{1-cos 2,alpha }}={frac {operatorname {cos} ^{2},alpha }{1-operatorname {cos} ^{2},alpha }},}$

$sin^3alpha = frac{3sinalpha - sin 3,alpha}{4},$

$cos^3alpha = frac{3cosalpha + cos 3,alpha}{4},$

$operatorname{tg}^3,alpha = frac{3sinalpha - sin 3,alpha}{3cosalpha + cos 3,alpha},$

$operatorname{ctg}^3,alpha = frac{3cosalpha + cos 3,alpha}{3sinalpha - sin 3,alpha},$

$sin^4alpha = frac{cos 4alpha - 4cos 2,alpha + 3}{8},$

$cos^4alpha = frac{cos 4alpha + 4cos 2,alpha + 3}{8},$

$operatorname{tg}^4,alpha = frac{cos 4alpha - 4cos 2,alpha + 3}{cos 4alpha + 4cos 2,alpha + 3},$

$operatorname{ctg}^4,alpha = frac{cos 4alpha + 4cos 2,alpha + 3}{cos 4alpha - 4cos 2,alpha + 3}.$

Иллюстрация равенства

Суммы[править | править код]

${displaystyle sin alpha pm sin beta =2sin {frac {alpha pm beta }{2}}cos {frac {alpha mp beta }{2}},}$

${displaystyle cos alpha +cos beta =2cos {frac {alpha +beta }{2}}cos {frac {alpha -beta }{2}},}$

${displaystyle cos alpha -cos beta =-2sin {frac {alpha +beta }{2}}sin {frac {alpha -beta }{2}},}$

${displaystyle operatorname {tg} alpha pm operatorname {tg} beta ={frac {sin(alpha pm beta )}{cos alpha cos beta }},}$

${displaystyle operatorname {ctg} alpha pm operatorname {ctg} beta ={frac {sin(beta pm alpha )}{sin alpha sin beta }},}$

${displaystyle 1pm sin {2alpha }=(sin alpha pm cos alpha )^{2},}$

{displaystyle sin alpha pm cos alpha ={sqrt {2}}cdot sin left(alpha pm {pi over 4}right).}

Существует представление:

$Asin alpha +Bcos alpha ={sqrt {A^{2}+B^{2}}};sin(alpha +phi ),$

где угол phi находится из соотношений:

${displaystyle sin phi ={frac {B}{sqrt {A^{2}+B^{2}}}},}$

${displaystyle cos phi ={frac {A}{sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}$

Универсальная тригонометрическая подстановка[править | править код]

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла:

${displaystyle sin x={frac {sin x}{1}}={frac {2sin {frac {x}{2}}cos {frac {x}{2}}}{sin ^{2}{frac {x}{2}}+cos ^{2}{frac {x}{2}}}}={frac {2operatorname {tg} {frac {x}{2}}}{1+operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}},}$

${displaystyle cos x={frac {cos x}{1}}={frac {cos ^{2}{frac {x}{2}}-sin ^{2}{frac {x}{2}}}{cos ^{2}{frac {x}{2}}+sin ^{2}{frac {x}{2}}}}={frac {1-operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}{1+operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}},}$

${displaystyle operatorname {tg} ~x={frac {sin x}{cos x}}={frac {2operatorname {tg} {frac {x}{2}}}{1-operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}},}$

${displaystyle operatorname {ctg} ~x={frac {cos x}{sin x}}={frac {1-operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}{2operatorname {tg} {frac {x}{2}}}},}$

${displaystyle sec x={frac {1}{cos x}}={frac {1+operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}{1-operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}},}$

${displaystyle operatorname {cosec} ~x={frac {1}{sin x}}={frac {1+operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}{2operatorname {tg} {frac {x}{2}}}}.}$

Исследование функций в математическом анализе[править | править код]

Разложение в бесконечные произведения[править | править код]

Тригонометрические функции могут быть представлены в виде бесконечного произведения многочленов:

${displaystyle sin x=x,prod _{n=1}^{infty }left(1-{frac {x^{2}}{pi ^{2}n^{2}}}right),}$

${displaystyle cos x=prod _{n=0}^{infty }left(1-{frac {4x^{2}}{pi ^{2}(2n+1)^{2}}}right).}$

Эти соотношения выполняются при любом значении .

Непрерывные дроби[править | править код]

Разложение тангенса в непрерывную дробь:

${displaystyle mathop {rm {tg}} x={frac {x}{1-{frac {x^{2}}{3-{frac {x^{2}}{5-{frac {x^{2}}{7-{frac {x^{2}}{ddots }}}}}}}}}}}$

Производные и первообразные[править | править код]

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

${displaystyle (operatorname {tg} x)'={frac {1}{cos ^{2}x}}=1+operatorname {tg} ^{2}x=sec ^{2}x,}$

${displaystyle (operatorname {ctg} x)'=-{frac {1}{sin ^{2}x}}=-operatorname {cosec} ^{2}x,}$

${displaystyle (sec x)'={frac {sin x}{cos ^{2}x}}=sec xoperatorname {tg} x,}$

$( operatorname{cosec}~x)' = -frac{cos x}{sin ^2 x}.$

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом^[8]:

$intsec x, dx=ln left| operatorname{tg} , left( frac {pi}{4}+frac{x}{2}right) right|+ C ,,$

$int operatorname{cosec}~ x, dx=ln left| operatorname{tg} , frac{x}{2} right|+ C.$

Тригонометрические функции комплексного аргумента[править | править код]

Определение[править | править код]

Формула Эйлера:

${displaystyle e^{ivartheta }=cos vartheta +isin vartheta .}$

Формула Эйлера позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту по аналогии с гиперболическими функциями, или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

$sin z = sum_{n=0}^infty frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}, = frac{operatorname{sh} i z }{i};$

$cos z = sum_{n=0}^infty frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}, = operatorname{ch} i z;$

$operatorname{tg}, z = frac{sin z}{cos z} = frac{e^{i z} - e^{-i z}}{i(e^{i z} + e^{-i z})};$

$operatorname{ctg}, z = frac{cos z}{sin z} = frac{i(e^{i z} + e^{-i z})}{e^{i z} - e^{-i z}};$

$sec z = frac{1}{cos z} = frac{2}{e^{i z} + e^{-i z}};$

${displaystyle operatorname {cosec} ,z={frac {1}{sin z}}={frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},}$

где ${displaystyle i^{2}=-1.}$

Соответственно, для вещественного x:

${displaystyle cos x=operatorname {Re} (e^{ix}),}$

${displaystyle sin x=operatorname {Im} (e^{ix}).}$

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

{displaystyle sin(x+iy)=sin x,operatorname {ch} ,y+icos x,operatorname {sh} ,y,}

{displaystyle cos(x+iy)=cos x,operatorname {ch} ,y-isin x,operatorname {sh} ,y.}

Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:

комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

Комплексные графики[править | править код]

На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.

Тригонометрические функции в комплексной плоскости

История названий[править | править код]

Линия синуса (линия на рис. 2) у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды данной дуги, поскольку дуга с хордой напоминает лук с тетивой). Затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские математики, переводя индийские книги с санскрита, не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали его арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба» (جيب‎). Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus — «синус», имеющим то же значение (именно в этом значении оно применяется как анатомический термин синус). Термин «косинус» (лат. cosinus) — это сокращение от лат. complementi sinus — дополнительный синус.

Современные краткие обозначения sin , cos введены Уильямом Отредом и Бонавентурой Кавальери и закреплены в трудах Леонарда Эйлера.

Термины «тангенс» (лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583).

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 году.

Позднее были введены и термины для обратных тригонометрических функций — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс — с помощью добавления приставки «арк» (от лат. arcus — дуга), — Ж. Лагранжем и др.

См. также[править | править код]

Гиперболические функции
Интегральный синус
Интегральный косинус
Интегральный секанс
Обратные тригонометрические функции
Редко используемые тригонометрические функции
Решение треугольников
Синус-верзус
Сферическая тригонометрия
Тригонометрические тождества
Тригонометрические функции от матрицы
Тригонометрический ряд Фурье
Функция Гудермана
Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса)
Эллиптические функции

Литература[править | править код]

Бермант А. Ф., Люстерник Л. А. Тригонометрия. — М.: Наука, 1967.
Тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 26. — С. 204—206.
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Переиздание: М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6 www.alleng.ru/d/math/math42.htm
Двайт Г. Б. Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
Кожеуров П. А. Тригонометрия. — М.: Физматгиз, 1963.
Маркушевич А. И. Замечательные синусы. — М.: Наука, 1974.
Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — И. М. Виноградов. Тригонометрические функции // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.
Тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Ред. коллегия, Гнеденко Б. В. (гл. ред.), Савин А. П. и др. — М.: Педагогика, 1985 (1989). — С. 299—301—305. — 352 с., ил. — ISBN 5-7155-0218-7 (С. 342, 343 — таблицы тригонометрических функций 0°-90°, в том числе в радианах)
Тригонометрические функции // Справочник по математике (для ср. уч. заведений) / Цыпкин А. Г., под ред. Степанова С. А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 240—258. — 480 с.

Ссылки[править | править код]

GonioLab — прояснённая единичная окружность, тригонометрические и гиперболические функции (Java Web Start)
Weisstein, Eric W. Trigonometric Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Онлайн калькулятор: вычисление значений тригонометрических функций (в том числе нахождение углов треугольника по сторонам)
Интерактивная карта значений тригонометрических функций
Тригонометрические таблицы (0° — 360°)
«Синус и косинус — это проценты» — перевод статьи How To Learn Trigonometry Intuitively | BetterExplained (англ.)

Примечания[править | править код]

↑ Справочник: Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с. Архивная копия от 19 января 2015 на Wayback Machine относит их к специальным функциям.
↑ Знак математический. // Большая советская энциклопедия. 1-е изд. Т. 27. — М., 1933.
↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 282—284.
↑ Шахмейстер А. Х. Определение основных тригонометрических функций // Тригонометрия : [рус.] : книга / А. Х. Шахмейстер; под ред. Б. Г. Зива. — 3-е изд., стереотипное. — М. : Издательство МЦНМО ; СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2013. — С. 11, 14, 18, 20. — 752 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 1500 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512^(G). — ISBN 978-5-4439-0050-6. — ISBN 978-5-98712-042-2. — ISBN 978-5-91673-097-5.
↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 271—272.
↑ Латинско-русский словарь. Дата обращения: 9 апреля 2023.
↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 1. — М.: Наука, 1998. — ISBN 5-02-015231-5.
↑ В формулах, содержащих логарифм в правой части равенств, константы интегрирования , вообще говоря, различны для различных интервалов непрерывности.

Источник

Для начала определим понятие «тригонометрические функции».

Определение

С помощью тригонометрических функций выражается зависимость длин сторон треугольников от острых углов при гипотенузе. Употребление тригонометрических функций довольно широко. Астрономия, физика, медицина – это неполный перечень использования тригонометрических функций.

Из учебника геометрии нам известно, что к тригонометрическим функциям относятся синус (sin), косинус (cos), тангенс(tg), котангенс(ctg), секанс (sec) и косеканс (cosec). В данной статье мы разберем первые четыре.
Следуя тригонометрическим определениям функций sin, cos, tg и ctg можно найти их значения для углов 0 и 90 градусов:
sin 0⁰= 0, cos 0⁰=1, tg 0⁰=0, ctg 0⁰ — не определяется;

sin 90⁰=1, cos 90⁰=0, ctg 90⁰=0, tg 90° — не определяется.

На уроках геометрии изучая прямоугольные треугольники в основном вычисляют тригонометрические функции углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Извлеченные значения тригонометрических функций для углов были составлены в таблицу, которую называют таблица тригонометрических функций, таблица значений тригонометрических функций, таблицей тригонометрических функций углов и т.д

Используя формулы приведения, тригонометрическая таблица может быть увеличена до угла 360° и 2π радиан:

Используя особенности цикличности тригонометрических функций, любой угол, отличный от уже известного на 360°, может быть посчитан и занесен в таблицу. Например, тригонометрическая функция для угла 30° будет иметь такое же значение и для угла 30°+360°, и для угла 30°+2⋅360°, и для угла 30°+3⋅360° и т.д.

При помощи таблицы значений углов тригонометрических функций можно найти величину всех углов единичной окружности.

нахождение величины всех углов единичной окружности

Как пользоваться таблицей тригонометрических функций

Для того чтобы посчитать тригонометрическую функцию, достаточно отыскать нужную тригонометрическую функцию и значение угла или радиан в таблице. Там где пересекаются строка с функцией и столбец со значением, будет необходимое значение тригонометрической функции.

На изображении, представленном ниже, можно проследить, каким образом определить значение тангенса 30⁰, которое равно:

Точно также используется расширенная тригонометрическая таблица. Главным достоинством ее использования является подсчет тригонометрической функции практически любого угла. Например, с легкостью мы можем найти значение

cos 1230° = cos (1230°−360°) = cos (870°−360°) = cos (510°−360°) = cos 150°:

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Таблица тригонометрических функций Брадиса

Если вам необходимо найти значение какого-то угла для его целого значения, целых градусов и целых минут, то можно воспользоваться таблицами Брадиса. Существует 2 вида таблицы: таблица для sin и cos и таблица для tg и ctg.

Таблицы Брадиса помогают найти максимально приближенное значение тригонометрических функций.

Как использовать таблицы Брадиса

Попробуем на практике как работать с таблицами Брадиса.

Пользуясь таблицей Брадиса для синусов, вычислим sin 24°36′. Для этого в столбце слева таблицы синусов и косинусов выбираем значение градусов – 24°, а в верхней строке обнаруживаем значение минут – 36′. На их пересечении получаем необходимое значение:

sin 24°36′. = 0,4163.

Для того чтобы найти значения sin 24°37′ необходимо обратиться к поправке в правой части таблицы. В нашем примере к значению 36′, которое есть в таблице, нужно прибавить поправку для 1′ , которая равна 0,0003. Получаем: sin⁡24°37′=0,4163+0,0003=0,4166.

Чтобы посчитать значение sin⁡24°40′ также воспользуемся поправкой в правой части таблицы. В этом случае от значения 42′, которое есть в таблице, отнимаем поправку для 2′, которая равна 0,0005. Получим: sin⁡24°40′ = 0,4179 — 0,0005 = 0,4174.

Чтобы расчищать косинус, выполняем те же манипуляции, но градусы смотрим в правом столбце, а минуты – в нижней колонке таблицы. Например, cos 15°=0,9655. Для значений тангенса до 90° и котангенса малого угла поправок нет.

Для закрепления полученных знаний найдем tg 76°34′. Согласно таблице он 4,187.

Найдем ctg 12°36′=4,474.

Источник

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Определение 1

Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.

Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30°, 45°, 60°. Если угол выходит за пределы 90°, то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.

Если известно значение синуса для α, можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.

В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45°, мы сможем определить значение синуса 30°, воспользовавшись правилом из тригонометрии.

Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.

Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α. Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Разобьем эти углы на четыре группы: 360·z градусов (2π·z рад), 90+360·z градусов (π2+2π·z рад), 180+360·z градусов (π+2π·z рад) и 270+360·z градусов (3π2+2π·z рад), где z- любое целое число.

Изобразим данные формулы на рисунке:

Для каждой группы соответствуют свои значения.

Пример 1

При повороте из точки A на 360·z°, она переходит в себя. А1(1, 0). Синус 0°, 360°, 720° равен 0, а косинус равен 1. Представим это в виде формулы: sin (360°·z)=0 и cos (360°·z)=1 .

Можно определить, что tg (360°·z)=01=0 , а котангенс не определен.

Пример 2

Если А(1, 0) повернуть на 90+360·z°, то она перейдет в А1 (0, 1). По определению: sin (90°+360°·z) =1 и cos (90°+360°·z) =0 . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: ctg (90°+360°·z) =01=0 .

Пример 3

Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки А(1, 0) на любой из углов 180+360·z°, она перейдет в A1(−1, 0). Мы находим значения функций кроме тангенса.

Пример 4

Рассмотрим правила для четвертой группы углов. При повороте точки на 270+360·z° мы попадем в A1(0, −1). Мы находим значения всех функций кроме тангенса.

Для углов, которые не относятся к перечню от 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °…, точных значений нет. Мы можем найти лишь приближенные значения. Рассмотрим пример. Условия – найти основные значения для угла −52 °. Выполним построения.

Согласно рисунку, абсцисса А1 ≈ 0,62, а ордината ≈ −0,78. Соответственно, sin(-52°)≈-0,78 и cos(-52°)≈0,62 . Осталось определиться с тангенсом и котангенсом.

Выполняем вычисления: tg(-52°)≈-0, 780, 62≈-1,26 и ctg(-52°)≈0,62-0,78≈-0,79.

Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.

Линии тригонометрических функций

Определение 2

Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.

Рассмотрим их на подробном рисунке

Как найти sin α, cos α, tg α, ctg α

Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.

Пример 5

Для того, чтобы узнать значения для углов тридцати- и шестидесятиградусных углов изображаем прямоугольный треугольник с углами данной величины. Длина гипотенузы должна быть равна 1. Согласно теореме Пифагора, катет, лежащий напротив тридцатиградусного угла, равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой: 12-122=32 . Так как синус угла – это катет, деленный на гипотенузу, вычисляем, что sin 30°=121=12 и sin 60°=321=32 .

Косинус можно найти по формуле, которая предполагает деление прилежащего катета на гипотенузу. Вычисляем: cos 30°=321=32 и cos 60°=121=12 .

Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий.

Вычисляем: tg 30°=1232=13=33 и tg 60°=3212=3 . Находим котангенс по подобной схеме: сtg 30°=3212=3 и сtg 60°=1232=13=33 . После этого приступаем к вычислению значений основных тригонометрических функций для сорока пятиградусного угла. Используем равнобедренный треугольник с углами 45° и гипотенузой, которая равна 1. Используем теорему Пифагора. Согласно формуле, длины катетов равны 22 . Т

Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.

Выводим формулу: ctg 45°=2222=1 .

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Значения основных функций тригонометрии

Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α, cos α, tg α, ctg α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.

Определение 3

Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin2α+cos2α=1 .

Определение 4

Тангенс по известному косинусу tg2α+1=1cos2α .

Определение 5

Котангенс по известному синусу или наоборот 1+ctg2α= 1sin2α .

Определение 6

Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: tg α·ctg α=1 .

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Пример 6

Необходимо найти значение синуса угла π8, если tg π8=2-1 .

Сначала найдем котангенс угла: ctgπ8=1tgπ8=12-1=2+1(2-1)·(2+1)= 2+1(2)2-12=2+1 Воспользуемся формулой 1+ctg2α=1sin2α . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеем
sin2π8=11+ctg2π8=11+(2+1)2=14+22=12·(2+2)=2-22·(2+2)·(2-2)==2-22·(22-(2)2)=2-24

Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол π8 является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, sin π8=sin2π8=2-24=2-22 . sin π8=2-22.

Сведение к углу

Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 °. Сведение к углу из интервала от 0 до 90 °. Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.

Пример 7

Задача заключается в том, чтобы найти синус 210°. Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения. Используем формулу для нахождения значения синуса 30°: sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-12 , или косинуса 60 ° sin 210°=sin(270°-60°)=-cos 60°=-12.

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Для примера вычислим значение тангенса π8, который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.

Пример 8

Найдите значение tgπ8 .

Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства tg2π8=1-cosπ41+cosπ4 . Значения косинуса угла π4 известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса.
tg2π8=1-cosπ41+cosπ4=1-221+22=2-22+2==(2-2)2(2+2)·(2-2)=(2-2)222-(2)2=(2-2)22

Угол π8 является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: tgπ8=tg2π8=(2-2)22=2-22=2-1

tgπ8=2-1.

Частные случаи

Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.

Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.

Источник

Тригонометрические функции произвольного угла

Угол поворота

Радианная и градусная мера угла

Радианное измерение углов

Длина дуги

Площадь сектора

Линейная скорость и угловая скорость

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции произвольного угла. Нахождение значений тригонометрических функций произвольного угла при помощи острого угла

Единичная окружность и тригонометрические функции

Единичная окружность и тригонометрические функции произвольного угла

Формулы приведения

Тригонометрические тождества

Связь между тригонометрическими функциями одного и того же угла

Формулы сложения

Следствия из формул сложения

Преобразование суммы(разности) в произведение

Формулы преобразования произведения

Тригонометрические функции двойного аргумента

Формулы половинного аргумента

Упрощение тригонометрических выражений

Основные тригонометрические функции

Взаимосвязь между тригонометрическими функциями

Тригонометрические функции стандартных углов

Поиск тангенса на квадратной решетке

Способы определения[править | править код]

Определение для любых углов[править | править код]

Определение для острых углов[править | править код]

Определение как решений дифференциальных уравнений[править | править код]

Определение как решений функциональных уравнений[править | править код]

Определение через ряды[править | править код]

Значения тригонометрических функций для некоторых углов[править | править код]

Значения тригонометрических функций нестандартных углов[править | править код]

Свойства тригонометрических функций[править | править код]

Простейшие тождества[править | править код]

Непрерывность[править | править код]

Чётность[править | править код]

Периодичность[править | править код]

Формулы приведения[править | править код]

Формулы сложения и вычитания[править | править код]

Формулы для кратных углов[править | править код]

Произведения[править | править код]

Степени[править | править код]

Суммы[править | править код]

Универсальная тригонометрическая подстановка[править | править код]

Исследование функций в математическом анализе[править | править код]

Разложение в бесконечные произведения[править | править код]

Непрерывные дроби[править | править код]

Производные и первообразные[править | править код]

Тригонометрические функции комплексного аргумента[править | править код]

Определение[править | править код]

Комплексные графики[править | править код]

История названий[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Примечания[править | править код]

Как пользоваться таблицей тригонометрических функций

Таблица тригонометрических функций Брадиса

Линии тригонометрических функций

Значения основных функций тригонометрии

Сведение к углу

Использование формул

Частные случаи

Вам также может понравиться

Как найти тангенс угла в обычном треугольнике

Как составить ребус по математике для 4 класса

Как найти свадебное кольцо

Добавить комментарий Отменить ответ