Как найти тригонометрические функции острых углов

Тригонометрические функции острого угла

Катеты BC и AC прямоугольного треугольника ABC (рис. 1) называют противолежащим катетом угла α и прилежащим катетом угла α соответственно.

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Рис.1

Катеты AC и BC прямоугольного треугольника ABC (рис. 2) называют противолежащим катетом угла β и прилежащим катетом угла β соответственно.

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Рис.2

Синусом угла называют дробь:

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Косинусом угла называют дробь:

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Тангенсом угла называют дробь:

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Котангенсом угла называют дробь:

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Синус, косинус, тангенс и котангенс, и их комбинации называют тригонометрическими функциями. В данном разделе справочника тригонометрические функции вводятся для острых углов. В следующем разделе даётся определение тригонометрических функций для произвольных углов.

Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α используют обозначения

sin α ,   cos α ,   tg α ,   ctg α

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Рис.3

В соответствии с рисунком 3 справедливы формулы:

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы  Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы  Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы   Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы   Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы   Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы   Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

      Следовательно,

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы   Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы   Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы   Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы   Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Кроме того, справедливы формулы:

sin α = cos β,      cos α = sin β,       tg α = ctg β,         ctg α = tg β,

которые можно переписать в виде:

sin α = cos (90° – α),      cos α = sin (90° – α),

tg α = ctg (90° – α),      ctg α = tg (90° – α).

ПРИМЕР. Найти тригонометрические функции углов  30°,  45°,  60°.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна 2 (рис. 4), и проведем высоту BD.

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Рис.4

Тогда

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

      Поэтому

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Кроме того

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Теперь рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ABC, катеты которого равны 1 (рис. 5).

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Тогда

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Поэтому

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Определение тригонометрических функций произвольного угла приводится в разделе справочника “Тригонометрические функции произвольного угла”.

Содержание:

Тригонометрические функции произвольного угла

Угол поворота

До недавнего времени говоря об угле мы имели в виду угол, полученный между двумя неподвижными сторонами. Угол также можно рассматривать как измерение поворота. Например, радиус колеса, расположенного по горизонтали при вращении вокруг неподвижной оси, через определённое время относительно начального положения образует некоторый угол. К тому же значение угла зависит от направления поворота. Любой угол можно рассматривать как фигуру, полученную вращением луча вокруг начальной точки.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Начальное положение луча соответствует одной стороне угла, конечное положение – другой стороне. При вращении луча на координатной плоскости относительно начала координат в направлении по часовой стрелке или против часовой стрелки, можно получить различные углы.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Начальная сторона угла поворота совпадает с положительным направлением оси абсцисс. Сторону, полученную при вращении относительно начала координат (вершины угла), назовём конечной стороной. Принято считать, что если поворот происходит в направлении против часовой стрелки, то угол имеет положительное значение, при повороте в направлении по часовой стрелке, угол имеет отрицательное значение,

положительный угол отрицательный угол Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Координатные оси разбивают координатную плоскость на 4 четверти. Значение угла, в зависимости от того, в какой четверти расположена его конечная сторона, меняется в определенном интервале.

Конечная сторона угла может совершить один или несколько оборотов относительно начала координат. Один полный оборот соответствует углу 360°. Существует бесконечное число углов поворота, у которых начальная и конечная стороны совпадают. Например, конечные стороны углов 30°и 390° совпадают. В общем, для углов поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения (здесь Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения произвольное целое число) конечные стороны совпадают.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Радианная и градусная мера угла

Пример 1. Нарисуйте угол заданной величины. Определите какой четверти принадлежит конечная сторона угла. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. На координатной плоскости покажите и запишите градусные меры двух положительных и одного отрицательного угла поворота, конечные стороны которых совпадают с конечной стороной угла 60°. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Радианное измерение углов

Угол в один радиан-это центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу. Радианная мера угла есть отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Величина угла, выраженная в радианах не зависит от длины радиуса (объясните, воспользуясь подобием фигур на рисунке).

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 1. Сколько радиан составляет центральный угол, длина дуги которого равна 12 см, если радиус окружности равен 4 см?

Решение: 1 радиан соответствует длине дуги 4 см. Дуге длиной 12 см будет соответствовать угол 12 : 4 = 3 радиан. Длина окружности Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Если центральный угол, соответствующий дуге окружности радиуса Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияравен 1 радиану, то дуге, равнойТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения; соответствует центральный угол Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Ниже показаны радианные меры углов поворота.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Радианная мера одного целого оборота равна Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, градусная мера 360°. То есть, Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радиан = 360°. Отсюда можно установить следующую связь между радианной и градусной мерой. Преобразование радиан в градусы:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Преобразование градусов в радианы:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Таким образом, Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения рад = 180°. Обозначение “рад’ часто опускают. Вместо Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения рад = 180° обычно пишут Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения = 180°. Отсюда получаем, что

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Используя соответствующие радианные и градусные меры углов, расположенных в первой четверти, можно найти увеличенные в разы значения других углов. Например, если 30° =Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения , тогда 150° =Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. Выразите углы, заданные в градусах радианами, а углы, заданные радианами в градусах, а) 60° ; б)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Решение.

а)60° =Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радиан Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения — радиан Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения 1,047 радиан

б)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радиан Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 3. Выразите углы, конечная сторона которых совпадает с углом 45°, в градусах и радианах.

Решение: Конечная сторона угла 45°совпадает с углами 405° и 315°, а также существует бесконечно много углов, конечные стороны которых совпадают с конечной стороной угла 45°: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения;

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения,

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения илиТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения,

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

В радианах это можно записать как

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и т.д. Все углы, конечные стороны которых совпадают с углом Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения в общем виде записываются так: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример, а) Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Все углы поворота, конечные стороны которых совпадают с углом Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

можно найти но формуле Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Как видно, в заданном интервале, расположен всего один угол 425°. Пример. д)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Все углы поворота, конечные стороны которых, совпадают с этим углом можно найти по формуле Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Интервалу Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения принадлежат углы Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Длина дуги

Запишем формулу нахождения длины дуги, соответствующей центральному углуТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения окружности радиуса Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Используя радианную меру длину окружности можно найти ещё проще. По определению радиана, если Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения , тогда длина дуги равна произведению радиуса и радианной меры угла: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Длина дуги окружности находится с радиусом в прямо пропорциональной зависимости.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Площадь сектора

Центральному углу Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения соответствует сектор площадь которого равна Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения . Учитывая что радиальная мера центрального угла равна Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и обозначив её через Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, запишем формулу нахождения площади сектора Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения . Пример 1. Длина секундной стрелки часов равна 12 см. Определите длину дуги, которую описывает конец секундной стрелки за 15 секунд.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Решение. Секундная стрелка за 60 минут совершают один полный оборот. Это соответствует Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радианам. 15 секунд соответствуют Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения части полного оборота: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радиан. То есть, минутная стрелка за 15 секунд чертит дугу, соответствующую центральному углу Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Длина этой дуги: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. Найдите площадь и периметр закрашенного сектора на рисунке, если радиус круга равен 8 см. Закрашенной части круга соответствует центральный угол:Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Площадь сектора равна:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения(см2).

Периметр сектора равен сумме длин двух радиусов и длины дуги: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения(см)

Линейная скорость и угловая скорость

Скорость при движении по окружности, например, скорость движения произвольной точки Р колеса, которое вращается вокруг точки О, может быть вычислена двумя способами.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

В первом случае, её можно найти используя расстояние и время. Эта скорость называется линейной скоростью. Во втором случае – используя угол поворота (центральный угол). Эта скорость называется угловой скоростью.

Если тело движется но окружности, то линейная скорость равна отношению пройденного пути (длины дуги окружности) к промежутку времени.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Если тело движется по окружности, то угловая скорость равна отношению угла поворота к промежутку времени.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Здесь Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения (в радианах) – угол вращения за промежуток времени Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Между линейной и угловой скоростью существует следующая связь:

линейная скорость = Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения угловая скорость

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 3. Карусель совершает за минуту 8 полных оборотов.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

а)Чему равна угловая скорость карусели за минуту(в радианах)?

б)На сколько метров за минуту передвигается лошадь, которая находится на расстоянии 3 м от центра окружности?

в)На сколько метров за минуту передвигается лошадь, которая находится на расстоянии 2 м от центра окружности?

Решение:

а) Один целый оборот при вращении соответствует центральному углу Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. За 8 оборотов этот угол равен Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения . Угловая скорость за минуту равна Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решениярадиан/мин.

б)Если лошадь находится на расстоянии 3 м от центра, то она движется по окружности радиуса 3 м.

Линейная скорость:Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решениям/мин

в)Если лошадь находится на расстоянии 2 м от центра, то она движется по окружности радиуса 2 м.

Линейная скорость:Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решениям/мин

Тригонометрические функции

Тригонометрические отношении для угла зависят только от значения угла.

Пусть конечная сторона угла а при повороте пересекается с окружностью радиусом г, центр которой находится в начале координат, в точке Р(х; у).

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияОтношение ординаты точки Р к длине радиуса называется синусом угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияОтношение абсциссы точки Р к длине радиуса называется косинусом угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияОтношение ординаты точки Р к абсциссе называется тангенсом угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения (здесь Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то есть точка Р не расположена на оси ординат)

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияОтношение абсциссы точки Р к ординате называется котангенсом угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения(здесь Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то есть точка Р не расположена на оси абсцисс)

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияКосинусом угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения называется обратное значение для синуса:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения (здесь Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения)

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияСекансом угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения называется обратное значение для косинуса:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения (здесь Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения)

Пример 1. Точка А (- 3; 4) расположена на конечной стороне угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

а) Изобразите решение примера.

б) Определите значения тригонометрических отношений для угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Решение:

а)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

б)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Координаты точки на окружности

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Если заданная точка Р окружности находится на конечной стороне угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения , то она имеет координаты Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Пример 2. По данным рисунка найдите координаты точки Р.

Точка Р находится во II четверти и косинус отрицательный.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Для некоторых углов, конечная сторона расположена на одной из координатной оси. В этом случае, градусная мера угла поворота равна: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения или Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радиан, Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияили Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радиан, Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения или Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радиан, Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения или Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радиан.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

В этом случае координаты х или у равны или нулю, или абсолютному значению длины радиуса.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 3. Найдём значения тригонометрических отношений для:

а) а = 90° ; б) а = 180°; в) а = 270° .

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

При всех допустимых значениях, каждому значению Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, соответствует единственное значение Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Поэтому тригонометрические отношения являются функциями угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и называются тригонометрическими функциями.

Так как Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то знак косинуса совпадает со знаком х.

Так как Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то знак синуса совпадает со знаком у.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла. Нахождение значений тригонометрических функций произвольного угла при помощи острого угла

Чтобы вычислить тригонометрические отношения для углов больше 90°, удобно использовать тригонометрические отношения острого угла.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Для любого угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решениясуществует Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения образованный конечной стороной и прямой, содержащий ось абсцисс.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Используя соответствующие острые углы можно определить тригонометрические отношения для любого произвольного угла. Эти значения можно вычислить точно для углов 30°, 45°, 60°, а для остальных острых углов – при помощи калькулятора.

Пример 1. Для следующих углов, определите острые углы:

а)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения б)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Решение:

а) конечная сторона угла 300° расположена в IV четверти. Соответствующий острый угол равен: 360°- 300° = 60°

б) конечная сторона угла расположена в III четверти. Соответствующий

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияострый угол равен: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. Найдём значение основных тригонометрических функций для угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Шаги решения:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

1.Найдём наименьший положительный угол, конечная сторона которого совпадает с заданным углом и дополняет его до 360°: -135° + 360° = 225°

2.Для угла 225° найдём соответствующий острый угол 225° – 180° = 45°.

3.Определим какой четверти принадлежит угол -135° – угол III четверти.

4.Найдём значение тригонометрических функций для угла 45° и учтём знак этих функций в III четверти. Получим:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Тригонометрические функции для произвольного угла можно определить следующим образом:

•определяем соответствующий острый угол;

•находим значение тригонометрических функций для этого угла;

•определяем знак значения тригонометрических функций в зависимости от четверти.

Так как конечные стороны углов Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияи Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решениясовпадают, то значения тригонометрических функций этих углов одинаковы. Если угол изменяется на целое число оборотов, то значение тригонометрических функций не меняется.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Заметим, что если угол меняется на пол оборота, то значения тангенса и котангенса не изменяются.

На самом деле, если углу поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения соответствует точка Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, а углу поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения (или Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения) соответствует точка Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то :

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения В общем случае Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения выполняются равенство:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 3. Найдём допустимые значения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, если Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Так как в I и во II четвертях синус положителен.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения , значит если Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения , то Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Абсцисса этой точки Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тогда Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения или Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Единичная окружность и тригонометрические функции

Значения тригонометрических функций зависят только от значения угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияи не зависят от радиуса окружности. Поэтому, не нарушая общности, можно принять Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Окружность, центр которой находится в начале координат, с радиусом равным единице, называется единичной окружностью. Координаты точки, принадлежащей окружности удовлетворяют уравнению Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Если точка Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения является точкой пересечения единичной окружности и конечной стороны угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то между ней и тригонометрическими функциями существует следующая связь: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Таким образом, координаты точки принадлежащей единичной окружности, можно записать как: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Также по заданным координатам можно найти следующие тригонометрические функции: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Зная, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения при определённом повороте на единичной окружности, можно найти соответствующие координаты точки.

Для этого надо выполнить следующие шаги:

1) На единичной окружности отметим точки, соотвегствующие углу поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, найдём координаты этих точек по формуле: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

2)Для некоторой точки, принадлежащей единичной окружности, например Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения ,определите координаты симметричной точки. Как видно но рисунку, существует 3 точки, симметричные точке А, которые расположены во II, III и IV четвертях.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Точка В симметрична точке А относительно оси у, точка С – относительно начала координат, а точка D – относительно оси х. Абсолютные значения координат этих точек равны и отличаются только знаком.

3)Таким образом, можно определить координаты новых точек, зная координаты точки, принадлежащей I четверти. Т.е. получаем единичную окружность, на которой отмечены углы поворота и координаты точек.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Единичная окружность и тригонометрические функции произвольного угла

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Так как координаты точек на единичной окружности удовлетворяют условиям Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Наибольшее значение Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияравно 1, а наименьшее значение равно -1.

Пример 1. Для угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения вычислите значения основных тригонометрических функций.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Решение: Конечная сторона угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения расположена в III четверти. Этому углу соответствует острый угол Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Точка пересечения конечной стороны угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения с единичной окружностью симметрична точке Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения относительно начала координат и соответствует точке Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тогда ,Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. Точка А, с абсциссойТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения расположена в III четверти и пересекается с единичной окружностью на стороне угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

а)Найдём ординату точки А.

б)Изобразим рисунок, соответствующий условию и для угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения найдём значения шести тригонометрических функций.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Решение:

а)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Так как точка расположена в III четверти Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

б)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения,Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения,Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения,Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения,

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения,Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Пример 3. Найдём наибольшее и наименьшее значение выражения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Решение:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Таким образом, для выражения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения a НМЗ равно 1, а НБЗ равно 5.

Формулы приведения

Если объект находится в I четверти, то симметричный ему относительно оси у объект находится во II четверти. Симметричный последнему относительно оси х, объект находится в III четверти, и он совпадает с объектом, симметричным начальному объекту из I относительно начала координат. Обратите внимание, что отображение относительно оси у и отображение, относительно оси х, совпадают с поворотом на 180°.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

При отображении относительно оси х, точка расположенная на конечной стороне угла изменяет координаты, как показано на рисунке.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

То есть, при этом знак меняет только координата у. Таким образом, так как косинус зависит от х он не меняется, зато меняется знак синуса. Отсюда, для углов Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения можно записать следующие зависимости между тригонометрическими функциями.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

То есть, синус, тангенс и котангенс нечётные функции, косинус-чётная.

Пример 1:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Конечные стороны углов поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и 360° – Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения симметричны относительно оси х. То есть Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Отсюда получаем:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Запишем для углов Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияи 90° – Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения прямоугольного треугольника с острым углом Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения тригонометрические отношения:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

При попарном сравнении равенств можно увидеть следующую связь-между значениями тригонометрических функций углов Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и 90° – Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Повернём конечную сторону угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения ещё на 90°. При этом точка Р(х; у), расположенная на стороне преобразуется в точку Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. По определению тригонометрических функций:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Запишем эти формулы в следующем виде: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Как видно но рисунку отображения относительно оси у и оси х эквивалентны повороту на 180°. Изменение координат, можно записать следующим образом: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Как видно по рисунку, при повороте угла а на 180° конечная сторона расположена в противоположных четвертях, но на одной прямой.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Для получения аналогичных формул тригонометрических функций угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения достаточно записать Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияи применить последовательность соответствующих формул.

Например:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Теперь запишем соответствующие формулы для угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Например:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

При помощи полученных формул можно найти значения тригонометрических функций произвольного угла, зная значения для соответствующего острого угла. Эти формулы называются формулами приведения. Для формул приведений можно легко увидеть следующую закономерность Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

1)Если аргумент имеет вид Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения или Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то функция преобразуется в “сопряжённую” функцию (то есть синус в косинус или наоборот, а тангенс в котангенс или наоборот) угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

2)Если аргумент имеет вид 180° ± Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения или 360° ± Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то функция преобразуется в одноимённую функцию угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

В каждом из обоих случаев, знак полученной в результате преобразования функции имеет одинаковое значение со знаком острого угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения в соответствующей четверти.

Тригонометрические тождества

Для острого угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения прямоугольного треугольника покажите, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, выполнив следующие шаги:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

1)Запишите теорему Пифагора: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

2)Каждую из сторон равенства разделите на с2:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

3)Примените свойство степени:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

4) Примите во внимание, что:Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Связь между тригонометрическими функциями одного и того же угла

Тождество Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения можно доказать и при помощи координат точки, принадлежащей единичной окружности.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

По координатам точки на единичной окружности и по определениям тригонометрических функций имеем:

Для всех значений Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, при которых Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Для всех значений Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, при которых Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Из данных равенств имеем,что если для угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения одновременно выполняются условия Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то справедливо тождество Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Разделив обе чаете равенства Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения поочередно на Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и на Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения будем иметь: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Полученные выше равенства являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествами. На основании основных тригонометрических можно написать: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

При помощи основных тригонометрических тождеств можно упрощать тригонометрические выражения и вычислять модуль значения всех остальных функций, зная значение одной из них.

Пример 1. Используя основные тригонометрические тождества, докажите,что: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Доказательство:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. Зная, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и угол Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения принадлежит III четверти, найдите

остальные тригонометрические функции.

Из формул Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения получаем: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Так как угол Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения принадлежит III четверти, то

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тогда:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Формулы сложения

Практическая работа .

1)Покажем по шагам, равенство выражения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

a)Для значений Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияиТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, вычислим значения выражения в левой части.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения б)Для значений Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияиТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, вычислим значения выражения в правой части.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

2)Как можно вычислить значение тригонометрических функций для угла 15°, используя разность значений углов 45° и 30°(15° = 45° – 30°)?

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов.Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияСначала докажем тождество Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

На рисунке

а)для угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения координаты точки Р1, взятой на единичной окружности равны Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, а для угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения координаты точки Р2 равны Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Разместим углы Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, как показано на рисунке б).

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тогда, для угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения координаты точки Рз будут Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Из того, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения(по признаку СУС ) следует, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияДоказательство тождества Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

учитывая, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решениясправедливость тождества доказана.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияДоказательство тождества Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

no формулам приведения группируя

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

no формуле косинуса разности с учётом формул приведения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияДоказательство тождества Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 1. Найдём значение выражения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения если

Решение.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2.

Найдём значение выражения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения если

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Решение.

Известно что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Если углу Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения соответствует острый угол Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Так как противолежащий катет равен 3, а гипотенуза 5, тогда прилежащий катет равен Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и учитывая, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения угол III четверти, получим:Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Аналогично, если зная, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, получаем,

что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения . Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Можно записать формулы сложения для тангенса и котангенса: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

no определению no формулам сложения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Аналогичным образом можно показать, что : Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Следствия из формул сложения

Практическая работа.

Преобразуйте сумму Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения в произведение, выполнив следующие шаги:

1) Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

решив систему уравнений найдите такие углы, чтобы их сумма была равна 70°, а разность Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

2)Запишите следующее 70° = 40° + 30°, 10° = 40° – 30° и упростите

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Преобразование суммы(разности) в произведение

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Формулы преобразования произведения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Справедливость данных тождеств можно показать при помощи формул сложения:

почленно складываем почленно складываем

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Следующее тождество можно доказать аналогичным образом.Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции двойного аргумента

Формулы сложения позволяют выразить Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения через тригонометрические функции угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Таким образом, получаем тождества, которые называются формулами двойного аргумента:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Формулы половинного аргумента

Имеем, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Отсюда: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Заменяем в данной формуле Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияна Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения получаем:Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Для половинных аргументов справедливы тождества. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Знак в правой части в данном равенстве зависит от того, в какой четверги находится угол Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Пример 1. Упростим выражение Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Решение. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. He используя калькулятор, вычислим значения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения , зная, что угол Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения принадлежит IV четверти и Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Решение.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 3. Найдём значений Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Решение:

Используем формулу половинного аргумента Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения угол I четверти и в этой четверти косинус положителен.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Упрощение тригонометрических выражений

Пример 1. Раскроем скобки и упростим выражение.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. Разложим на множители и упростим выражение.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 3. Упростим рациональное выражение, содержащее тригонометрические функции.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 4. Освободим знаменатель от радикала Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Здесь Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

  • Теоремы синусов и косинусов 
  • Система показательных уравнений
  • Непрерывные функции и их свойства
  • Правило Лопиталя
  • Решение уравнений высших степеней
  • Системы неравенств
  • Квадратные неравенства
  • Точка, прямая и плоскость в пространстве 

План урока:

Основные тригонометрические функции

Взаимосвязь между тригонометрическими функциями

Тригонометрические функции стандартных углов

Поиск тангенса на квадратной решетке

Основные тригонометрические функции

Пусть есть некоторый прямоугольный треугольник АBС, у которого∠С = 90°. Обозначим какой-нибудь его острый угол, например, ∠А, греческой буквой α. В треугольнике есть два катета. Тот из них, который, непосредственно является одной из сторон угла α, называют прилежащим катетом. Другой катет именуют противолежащим. Ещё одна сторона треугольника – это гипотенуза, для которой не надо уточнять, прилежащая она или противолежащая относительно острого угла:

1 triginimetricheskie v treugolnike

Отношения этих трех сторон друг к другу имеют особое наименование.

2 triginimetricheskie v treugolnike

Для обозначения этих трех величин (их именуют тригонометрическими функциями) используют сокращения sin, cos и tg. При этом после этого сокращения может писаться как обозначение угла греческой буквой, так и обычное обозначение с помощью больших латинских букв:

3 triginimetricheskie v treugolnike

Задание. Найдите значения тригонометрических функций для∠А в ∆АBС, длины сторон которого указаны на рисунке:

4 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. Просто пользуемся определениями каждой функции:

5 triginimetricheskie v treugolnike

Задание. Найдите величину тригонометрических функций угла∠В в ∆АBС, показанном на рисунке:

6 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. На первый взгляд кажется, что задание повторяет предыдущее, но это не так. В данном случае нам надо вычислять функции не для∠А, а для ∠В. Для него противолежащим катетом уже будет АС, а прилежащим – ВС. Тогда можно записать, что

7 triginimetricheskie v treugolnike

Задание. В прямоугольном ∆АBС гипотенуза АB имеет длину 10, а sinA = 0,2. Найдите величину ВС.

8 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. Запишем синус как отношение двух сторон:

9 triginimetricheskie v treugolnike

Задание. В прямоугольном ∆АBС АС = 8, cosA = 0,4. Какова длина гипотенузы АB?

10 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. Выразим известный нам косинус как отношение двух отрезков:

11 triginimetricheskie v treugolnike

Принципиально важно то, что если в двух прямоугольных треугольниках острые углы одинаковы, то и значение их синусов, косинусов и тангенсов также будут одинаковы. Действительно, пусть у ∆АBС и ∆А1В1С1 одинаковы∠А и ∠А1, а ∠С и ∠С1 – прямые:

12 triginimetricheskie v treugolnike

Тогда у них совпадает по два угла, а это означает, что ∆АBС и ∆А1В1С1 подобны. Из этого подобия вытекает пропорция:

13 triginimetricheskie v treugolnike

Отсюда можно сделать вывод:

14 triginimetricheskie v treugolnike

Другими словами, значение тригонометрической функции угла зависит только от величины угла (его градусной меры) и НЕ зависит от того, в каком прямоугольном треугольнике этот угол построен. Действительно, с помощью калькулятора или компьютера можно всегда посчитать синус для какого-то угла, если известна его величина в градусах.

Задание. Найдите тангенс угла, изображенного на рисунке:

15 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. Нам надо самостоятельно достроить угол до прямоугольного треугольника. Удобней всего просто построить вертикальную линию, длину которой будет удобно измерить с помощью клеточек. Например, можно сделать такое построение:

16 triginimetricheskie v treugolnike

Тогда тангенс можно получить, поделив вертикальный отрезок (он здесь оказывается противолежащим катетом) на горизонтальный:

17 triginimetricheskie v treugolnike

Заметим, что мы могли построить и треугольник с другими размерами, однако во всех случаях величина тангенса будет одной и той же:

18 triginimetricheskie v treugolnike

Ответ: 0,5

Задание. Постройте такой угол, что его тангенс будет равен 1,5.

Решение. Если тангенс равен 1,5, то это означает, что противолежащий катет в 1,5 раза длиннее прилежащего катета треугольника. В 1,5 раза отличаются, например, числа 2 и 3. Значит, если мы построим треугольник с катетами 2 и 3, то мы получим необходимый нам угол:

19 triginimetricheskie v treugolnike

Взаимосвязь между тригонометрическими функциями

Оказывается, что одну тригонометрическую функцию угла, например, синус, можно найти и все остальные функции, используя буквально две формулы. Для их вывода снова построим прямоугольный ∆АBС и обозначим его∠А как α:

20 triginimetricheskie v treugolnike

Запишем для α все 3 тригонометрические функции:

21 triginimetricheskie v treugolnike

Для вывода второй важной формулы возведем синус и косинус в квадрат, а потом сложим их:

22 triginimetricheskie v treugolnike

В итоге у нас получилось так называемое основное тригонометрическое тождество:

23 triginimetricheskie v treugolnike

Задание. Известно, что синус некоторого угла в прямоугольном треугольнике составляет 0,6. Найдите его косинус и тангенс.

Решение. Обозначим этот угол как α. По условию sin α = 0,6. С помощью основного тригонометрического тождества находим косинус:

24 triginimetricheskie v treugolnike

имеет не одно, а два решения: 0,8 и (– 0,8). Однако понятно, что так как все длины в геометрии – это положительные числа, то и их отношение также должно быть положительным. Поэтому в прямоугольном треугольнике тригонометрические функции могут быть только положительными, и корень (– 0,8) можно отбросить.

Далее находим тангенс:

25 triginimetricheskie v treugolnike

Задание. Известен косинус острого угла, который равен 7/25. Вычислите синус и тангенс угла.

Решение. Сначала определяем синус угла:

26 triginimetricheskie v treugolnike

Задание. Известен тангенс острого угла, он составляет 15/8. Найдите синус и косинус угла.

Решение. Данная задача сложнее двух предыдущих, так как две известные нам тригонометрические формулы не позволяют сразу по тангенсу вычислить две другие функции. Сначала используем формулу, в которой тангенс вообще присутствует:

27 triginimetricheskie v treugolnike

Мы смогли выразить синус через косинус. Теперь можно использовать и вторую формулу:

28 triginimetricheskie v treugolnike

Теперь можно вычислить и синус:

29 triginimetricheskie v treugolnike

Заметим важное обстоятельство – так как гипотенуза всегда длиннее катетов, то и синус с косинусом в прямоугольном треугольнике всегда меньше единицы. На тангенс же подобных ограничений нет.

Задание. В прямоугольном ∆АBС гипотенуза АB равна 20, а cosA = 0,8. Вычислите длину ВС.

30 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. Если бы нам был дан синус, мы могли бы сразу найти ВС, но нам известен косинус. Здесь можно предложить два алгоритма решения задачи. Первый метод заключается в том, что мы сначала находим синус, пользуясь тригонометрическими формулами:

31 triginimetricheskie v treugolnike

Второй метод решения задачи заключается в том, что сначала с помощью косинуса найти неизвестный катет АС:

32 triginimetricheskie v treugolnike

Тригонометрические функции стандартных углов

Итак, мы выяснили, что тригонометрические функции зависят от градусной меры угла. Попытаемся вычислить их для некоторых стандартных значений.

Начнем с угла в 30°. Построим прямоугольный ∆АBС с∠А = 30°:

33 triginimetricheskie v treugolnike

Ещё из 7-ого класса нам известно, что в таком треугольнике гипотенуза вдвое длиннее, чем катет, лежащий напротив угла в 30°:

34 triginimetricheskie v treugolnike

Далее можно найти и тангенс 30°:

35 triginimetricheskie v treugolnike

Вернемся к рассматриваемому нами ∆АBС, в котором∠А = 30°. Ясно, что другой его острый угол, ∠В, будет составлять 90 – 30 = 60°:

36 triginimetricheskie v treugolnike

Снова используем тот факт, что гипотенуза АB будет длиннее катета ВС в 2 раза:

37 triginimetricheskie v treugolnike

Ещё один стандартный угол, для которого легко можно рассчитать значение его тригонометрических функций – это 45°. Рассмотрим прямоугольный ∆АBС, в котором один из острых углов составляет 45°. Тогда и другой острый угол должен также составлять 45°, ведь их сумма в прямоугольном треугольнике равна 90°:

38 triginimetricheskie v treugolnike

Но если в треугольнике 2 угла одинаковы, то он – равнобедренный, то есть катеты АС и ВС равны:

39 triginimetricheskie v treugolnike

Итак, в результате нам удалось получить 9 стандартных значений, которые можно представить в виде единой таблицы тригонометрических функций:

40 triginimetricheskie v treugolnike

Задание. Составьте формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника, если известен один из его катетов (он равен a) и острый угол, прилегающий к этому катету (он обозначается как α). Далее найдите c помощью формулы площадь треугольника, если а = 5 и α = 45°.

41 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. Как известно, площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:

42 triginimetricheskie v treugolnike

Задание. В прямоугольном ∆АBС к гипотенузе ВС проведена высота АН. Отрезок НВ имеет длину 16. Известно, что sinα = 0,6. Какова длина СН?

43 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. Сначала, зная sinα, найдем сosα и tgα:

44 triginimetricheskie v treugolnike

Теперь заметим, что на рисунке угол α – это не только ∠АBС. Действительно, в ∆АBС

45 triginimetricheskie v treugolnike

Нам известен отрезок АН и tg∠САН, поэтому можно найти СН:

46 triginimetricheskie v treugolnike

Поиск тангенса на квадратной решетке

Рассмотрим задание, которое часто встречается на экзаменах и вызывает большие затруднения. На рисунке показан угол, требуется высчитать его тангенс:

47 triginimetricheskie v treugolnike

Ясно, что для нахождения тангенса надо построить какой-нибудь прямоугольный треугольник, однако проблема заключается в том, что обе стороны угла не являются ни горизонтальными, ни вертикальными линиями, а потому провести к ним перпендикуляр у многих не получается. Рассмотрим, как это делается.

Посмотрим на нижнюю линию. Она представляет собой поднимающуюся прямую, причем на каждые 2 клеточки, которые эта прямая проходит вправо, приходится подъем на 1 клеточку вверх.

48 triginimetricheskie v treugolnike

Оказывается, что для построения перпендикуляра к ней необходимо от какой-нибудь ее точки вести наклонную прямую, у которой, наоборот, на каждые две клеточки подъема будет приходиться 1 клетка движения вбок, причем не вправо, а влево:

49 triginimetricheskie v treugolnike

Теперь, чтобы найти тангенс, надо просто поделить длину красного отрезка (он здесь оказывается противолежащим катетом) на длину зеленого отрезка. Несложно заметить, что эти отрезки одинаковы, так как являются гипотенузами в двух равных прямоугольных ∆АBС и ∆CDF:

50 triginimetricheskie v treugolnike

Естественно, что отношение одинаковых отрезков равно единице, поэтому и тангенс также равен единице. Заметим, что прямой угол можно было получить, проведя перпендикуляр к нижней линии в другой точке:

51 triginimetricheskie v treugolnike

Более того, перпендикуляр можно провести и к верхней стороне угла. Она представляет собой линию, которая поднимается вправо, и на каждые три клетки движения вверх приходится одна клетка смещения вправо:

52 triginimetricheskie v treugolnike

Соответственно, чтобы построить к ней перпендикуляр, надо от одной из ее точек начать двигаться вправо и вниз, причем на 3 клетки движения вбок будет приходиться только 1 клетка движения вниз:

53 triginimetricheskie v treugolnike

Во всех этих случаях зеленые и красные отрезки одинаковы, а потому тангенс равен единице.

Объясним, почему для построения перпендикуляра надо использовать именно такой метод. Пусть на квадратной решетке начерчена прямая АС, к которой надо провести перпендикуляр. Построив горизонтальную (показана зеленым цветом) линию АB и вертикальную (показана красным) линию ВС, мы достоим ее до прямоугольного ∆АBС. Далее отложим от точки С уже вертикально отрезок CD, равный АB, а далее от D – горизонтальный отрезок, равный ВС:

54 triginimetricheskie v treugolnike

Обозначим∠А как α, тогда ∠АСВ будет составлять 90° – α. Заметим, что ∆АBС и ∆СDF – равные, так как они прямоугольные и у них одинаковы катеты:

55 triginimetricheskie v treugolnike

Теперь обратим внимание на три угла, вершины которых лежат в точке С. Это ∠АСВ, ∠FCD и ∠АСF. Они вместе образуют развернутый угол ВСD, то есть их сумма составляет 180°. Но ∠АСВ и ∠FCD мы уже выразили через величину α. Тогда можно вычислить и третий угол ∠АСF:

56 triginimetricheskie v treugolnike

Получили, что отрезки АС и СF действительно перпендикулярны.

Задание. Найдите тангенс угла, показанного на рисунке:

57 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. Если попытаться провести прямую, перпендикулярную нижней стороне угла, то в результате этот перпендикуляр просто не пересечется со второй стороной:

58 triginimetricheskie v treugolnike

Поэтому перпендикуляр следует проводить к верхней стороне:

59 triginimetricheskie v treugolnike

Теперь осталось найти отношение длин красного (здесь это противолежащий катет) зеленого отрезка. Конечно, и длины можно найти по теореме Пифагора, однако есть и более простой метод. Возьмем в качестве единичного отрезок, который получается, если на квадратной решетке сделать два шага вбок и один вверх. Этот отрезок будет укладываться на красном катете ровно 3 раза, а на зеленом – ровно 2 раза, то есть прилежащий катет равен трем единичным отрезкам, а противолежащий – двум. Тогда их отношение составляет 3/2 = 1,5

60 triginimetricheskie v treugolnike

Ответ: 1,5

В прямоугольном треугольнике тригонометрические функции используются для вычисления сторон и острых углов треугольника.

zīm.JPG

sinα=противолежащий катетгипотенуза sinα=ac;cosα=прилежащий катетгипотенуза cosα=bc;tgα=противолежащий катетприлежащий катетtgα=ab.

Как выбрать правильную функцию?

Если используются только катеты, применяется tg.

Если используется гипотенуза (дана или надо вычислить), то применяются sin или cos.

Если используется противолежащий катет (дан или надо вычислить), то применяется sin.

Если используется прилежащий катет, то применяется cos.

Если в треугольнике даны оба острых угла, лучше на рисунке отметить только один угол, чтобы однозначно понять, где прилежащий и где противолежащий катеты.

Гипотенуза всегда в знаменателе.

Значения тригонометрических функций (которые нужно знать наизусть)

(30)° (45)°

(60)

°

(sin)α() 12 22 32
(cos)α 32 22 12
(tg)α() 33 (1 ) 3

Величины остальных углов можно найти в таблице или вычислить с помощью калькулятора.

Пример:

2.jpg

дано: (AB =) (6) (см),

∠A=60°

.

Вычислить: (AC).

Искомый отрезок — гипотенуза, дан угол и прилежащий катет, поэтому будем использовать (cos).

cosA=ABAC;AC=ABcosA=6:12=12 см.

Использование свойства прямоугольного треугольника:

taisnlenka trijsturis.JPG

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в (30)

°

, равен половине гипотенузы.

Катет, лежащий против угла в (60)

°

, равен произведению меньшего катета на

3

.

reg trijst apr.jpg

Данное соотношение удобно использовать для нахождения высоты равностороннего треугольника.

Угол равностороннего  треугольника равен (60)

°

, и биссектриса делит этот угол пополам.

sešstūris ar lenkiem.JPG

В правильном шестиугольнике большая диагональ, меньшая диагональ и сторона шестиугольника образуют  прямоугольный треугольник, один из углов которого равен (30)

°

.

Источники:

Рис. 1-5. Треугольник, шестиугольник, © ЯКласс.

Запросы «sin» и «синус» перенаправляются сюда; у терминов sin и синус есть также другие значения.

Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Рис. 1.
Графики тригонометрических функций:      синуса,      косинуса,      тангенса,      котангенса,      секанса,      косеканса

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции[1], которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла дуги в круге). Эти функции нашли широкое применение в самых разных областях науки. По мере развития математики определение тригонометрических функций было расширено, в современном понимании их аргументом может быть произвольное вещественное или комплексное число.

Раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:

прямые тригонометрические функции:
  • синус (sin x);
  • косинус (cos x);
производные тригонометрические функции:
  • тангенс {displaystyle left(mathrm {tg} ,x={frac {sin x}{cos x}}right)};
  • котангенс {displaystyle left(mathrm {ctg} ,x={frac {cos x}{sin x}}right)};
  • секанс {displaystyle left(sec x={frac {1}{cos x}}right)};
  • косеканс {displaystyle left(mathrm {cosec} ,x={frac {1}{sin x}}right)};
обратные тригонометрические функции:
  • арксинус, арккосинус и т. д.

В типографике литературы на разных языках сокращённое обозначение тригонометрических функций различно, например, в англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются {displaystyle tan x}, {displaystyle cot x}, csc x. До Второй мировой войны в Германии и во Франции эти функции обозначались так же, как принято в русскоязычных текстах[2], но потом в литературе на языках этих стран был принят англоязычный вариант записи тригонометрических функций.

Кроме этих шести широко известных тригонометрических функций, иногда в литературе используются некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т. д.).

Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначны, периодичны и бесконечно дифференцируемы, за исключением счётного числа разрывов второго рода: у тангенса и секанса в точках pm pi n + frac{pi}{2}, а у котангенса и косеканса — в точках pm pi n.
Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.

Способы определения[править | править код]

Определение для любых углов[править | править код]

Рис. 2.
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически[3]. В декартовой системе координат на плоскости построим окружность единичного радиуса (R=1) с центром в начале координат O. Всякий угол станем рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча OB (точку B выбираем на окружности), при этом направление поворота против часовой стрелки считаем положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки B обозначим x_B, а ординату — y_B (см. рисунок 2).

Синусом угла alpha называется ордината точки {displaystyle M_{alpha }} единичной окружности, где {displaystyle {left(cdot right)}M_{alpha }} получается поворотом {displaystyle {left(cdot right)}M_{0}} на угол alpha в положительном направлении (против часовой стрелки), если alpha >0, и в отрицательном (по часовой стрелке), если {displaystyle alpha <0}.

Косинусом угла alpha называется абсцисса точки {displaystyle M_{alpha }} единичной окружности, где {displaystyle {left(cdot right)}M_{alpha }} получается поворотом {displaystyle {left(cdot right)}M_{0}} на угол alpha в положительном направлении (против часовой стрелки), если alpha >0, и в отрицательном (по часовой стрелке), если {displaystyle alpha <0}.

Тангенсом угла alpha называется отношение ординаты точки {displaystyle M_{alpha }} единичной окружности к её абсциссе, причём точка {displaystyle M_{alpha }} не принадлежит оси ординат.

Котангенсом угла alpha называется отношение абсциссы точки {displaystyle M_{alpha }} единичной окружности к её ординате, причём точка {displaystyle M_{alpha }} не принадлежит оси абсцисс.[4]

Таким образом, определения тригонометрических функций выглядят следующим образом:

Нетрудно видеть, что такое определение также основывается на отношениях прямоугольного треугольника, с тем отличием, что учитывается знак (pm 1). Поэтому тригонометрические функции можно определить и по окружности произвольного радиуса R, однако формулы придётся нормировать. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

В тригонометрии удобным оказывается вести счёт углов не в градусной мере, а в радианной. Так, угол в {displaystyle 360^{circ }} запишется длиной единичной окружности 2pi . Угол в 180^{circ } равен, соответственно pi и так далее. Заметим, что угол на 2pi отличающийся от alpha по рисунку эквивалентен alpha , вследствие чего заключим, что тригонометрические функции периодичны.

Наконец, определим тригонометрические функции вещественного числа x тригонометрическими функциями угла, радианная мера которого равна x.

Определение для острых углов[править | править код]

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

Определение тангенса. Марка СССР 1961 года

В геометрии тригонометрические функции острого угла определяются отношениями сторон прямоугольного треугольника[5]. Пусть {displaystyle triangle AOB} — прямоугольный (угол {displaystyle angle A} прямой), с острым углом {displaystyle angle AOB=alpha } и гипотенузой OB. Тогда:

Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).

Определение как решений дифференциальных уравнений[править | править код]

Синус и косинус можно определить как единственные функции, вторые производные которых равны самим функциям, взятым со знаком минус:

 left(cos xright)'' = - cos x,
 left(sin  xright)'' = - sin x.

То есть задать их как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения

frac{d^2}{dvarphi^2}R(varphi) = - R(varphi),

с дополнительными условиями:
R(0)=1 для косинуса и R'(0)=1 для синуса.

Определение как решений функциональных уравнений[править | править код]

Функции косинус и синус можно определить[7]
как решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

left{
begin{array}{rcl}
f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\
g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)
end{array}
right.

при дополнительных условиях:

f(x)^{2}+g(x)^{2}=1, g(pi /2)=1, и {displaystyle 0<g(x)<1} при 0<x<pi /2.

Определение через ряды[править | править код]

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу, и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

sin x=x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+frac{x^9}{9!}-cdots = sum_{n=0}^inftyfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},
cos x=1-frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}-frac{x^6}{6!}+frac{x^8}{8!}-cdots = sum_{n=0}^inftyfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.

Пользуясь этими формулами, а также равенствами operatorname{tg},x=frac{sin x}{cos x}, operatorname{ctg},x=frac{cos x}{sin x}, sec x=frac{1}{cos x} и operatorname{cosec},x=frac{1}{sin x}, можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:

{operatorname{tg},x=x+frac{1}{3},x^3 + frac{2}{15},x^5 + frac{17}{315},x^7 + frac{62}{2835},x^9 + cdots = sum_{n=1}^inftyfrac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} quad left(-frac{pi}{2}<x<frac{pi}{2}right),}
{operatorname{ctg},x = frac{1}{x} - frac{x}{3} - frac{x^3}{45} - frac{2x^5}{945} - frac{x^7}{4725} - cdots = frac{1}{x} - sum_{n=1}^infty frac{2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!},x^{2n-1} quad left(-pi < x < piright),}
{sec x=1+frac{1}{2},x^2+frac{5}{24},x^4+frac{61}{720},x^6+frac{277}{8064},x^8+cdots = sum_{n=0}^inftyfrac{|E_{n}|}{(2n)!},x^{2n}, quad left(-frac{pi}{2} < x < frac{pi}{2}right),}
operatorname{cosec} x = frac{1}{x} + frac{1}{6},x + frac{7}{360},x^3 + frac{31}{15120},x^5 + frac{127}{604800},x^7 + cdots = frac{1}{x} + sum_{n=1}^infty frac{2(2^{2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!},x^{2n-1} quad left(-pi < x < piright),

где

B_{n} — числа Бернулли,
E_{n} — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов[править | править код]

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («infty » означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

Значения косинуса и синуса на окружности

Радианы {displaystyle 0} {displaystyle {frac {pi }{6}}} {displaystyle {frac {pi }{4}}} {displaystyle {frac {pi }{3}}} {displaystyle {frac {pi }{2}}} pi {displaystyle {frac {3pi }{2}}} 2pi
Градусы {displaystyle 0^{circ }} {displaystyle 30^{circ }} {displaystyle 45^{circ }} {displaystyle 60^{circ }} {displaystyle 90^{circ }} {displaystyle 180^{circ }} {displaystyle 270^{circ }} {displaystyle 360^{circ }}
{displaystyle sin alpha } {displaystyle 0} {frac {1}{2}} frac{sqrt{2}}{2} frac{sqrt{3}}{2} 1 {displaystyle 0} -1 {displaystyle 0}
cos alpha 1 frac{sqrt{3}}{2} frac{sqrt{2}}{2} {frac {1}{2}} {displaystyle 0} -1 {displaystyle 0} 1
operatorname{tg},alpha {displaystyle 0} {displaystyle {frac {1}{sqrt {3}}}} 1 sqrt{3} infty {displaystyle 0} infty {displaystyle 0}
operatorname{ctg},alpha infty sqrt{3} 1 frac{sqrt{3}}{3} {displaystyle 0} infty {displaystyle 0} infty
{displaystyle sec alpha } 1 {displaystyle {frac {2{sqrt {3}}}{3}}} {sqrt {2}} 2 infty -1 infty 1
{displaystyle operatorname {cosec} ,alpha } infty 2 {sqrt {2}} {displaystyle {frac {2{sqrt {3}}}{3}}} 1 infty -1 infty

Значения тригонометрических функций нестандартных углов[править | править код]

Радианы {displaystyle {frac {2pi }{3}}} {displaystyle {frac {3pi }{4}}} {displaystyle {frac {5pi }{6}}} {displaystyle {frac {7pi }{6}}} {displaystyle {frac {5pi }{4}}} {displaystyle {frac {4pi }{3}}} {displaystyle {frac {5pi }{3}}} {displaystyle {frac {7pi }{4}}} {displaystyle {frac {11pi }{6}}}
Градусы {displaystyle 120^{circ }} {displaystyle 135^{circ }} {displaystyle 150^{circ }} {displaystyle 210^{circ }} {displaystyle 225^{circ }} {displaystyle 240^{circ }} {displaystyle 300^{circ }} {displaystyle 315^{circ }} {displaystyle 330^{circ }}
{displaystyle sin alpha } frac{sqrt{3}}{2} frac{sqrt{2}}{2} {frac {1}{2}} -frac{1}{2} -frac{sqrt{2}}{2} -frac{sqrt{3}}{2} -frac{sqrt{3}}{2} -frac{sqrt{2}}{2} -frac{1}{2}
cos alpha -frac{1}{2} -frac{sqrt{2}}{2} -frac{sqrt{3}}{2} -frac{sqrt{3}}{2} -frac{sqrt{2}}{2} -frac{1}{2} {frac {1}{2}} frac{sqrt{2}}{2} frac{sqrt{3}}{2}
operatorname{tg},alpha -sqrt{3} -1 -frac{sqrt{3}}{3} frac{sqrt{3}}{3} 1 sqrt{3} -sqrt{3} -1 -frac{sqrt{3}}{3}
operatorname{ctg},alpha -frac{sqrt{3}}{3} -1 -sqrt{3} sqrt{3} 1 frac{sqrt{3}}{3} -frac{sqrt{3}}{3} -1 -sqrt{3}
{displaystyle sec alpha } -2 {displaystyle -{sqrt {2}}} {displaystyle -{frac {2{sqrt {3}}}{3}}} {displaystyle -{frac {2{sqrt {3}}}{3}}} {displaystyle -{sqrt {2}}} -2 2 {sqrt {2}} {displaystyle {frac {2{sqrt {3}}}{3}}}
{displaystyle operatorname {cosec} ,alpha } {displaystyle {frac {2{sqrt {3}}}{3}}} {sqrt {2}} 2 -2 {displaystyle -{sqrt {2}}} {displaystyle -{frac {2{sqrt {3}}}{3}}} {displaystyle -{frac {2{sqrt {3}}}{3}}} {displaystyle -{sqrt {2}}} -2
Радианы {displaystyle {frac {pi }{12}}} {displaystyle {frac {pi }{10}}} {displaystyle {frac {pi }{8}}} {displaystyle {frac {pi }{5}}} {displaystyle {frac {3pi }{10}}} {displaystyle {frac {3pi }{8}}} {displaystyle {frac {2pi }{5}}} {displaystyle {frac {5pi }{12}}}
Градусы {displaystyle 15^{circ }} {displaystyle 18^{circ }} {displaystyle 22{,}5^{circ }} {displaystyle 36^{circ }} {displaystyle 54^{circ }} {displaystyle 67{,}5^{circ }} {displaystyle 72^{circ }} {displaystyle 75^{circ }}
{displaystyle sin alpha } {displaystyle {frac {{sqrt {3}}-1}{2{sqrt {2}}}}} frac{sqrt{5}-1}{4} frac{sqrt{2-sqrt{2}}}{2} {displaystyle {frac {sqrt {10-2{sqrt {5}}}}{4}}} frac{sqrt{5}+1}{4} frac{sqrt{2+sqrt{2}}}{2} {displaystyle {frac {sqrt {10+2{sqrt {5}}}}{4}}} {displaystyle {frac {{sqrt {3}}+1}{2{sqrt {2}}}}}
cos alpha {displaystyle {frac {{sqrt {3}}+1}{2{sqrt {2}}}}} {displaystyle {frac {sqrt {10+2{sqrt {5}}}}{4}}} frac{sqrt{2+sqrt{2}}}{2} frac{sqrt{5}+1}{4} {displaystyle {frac {sqrt {10-2{sqrt {5}}}}{4}}} frac{sqrt{2-sqrt{2}}}{2} frac{sqrt{5}-1}{4} {displaystyle {frac {{sqrt {3}}-1}{2{sqrt {2}}}}}
operatorname{tg},alpha 2-sqrt{3} {displaystyle {frac {sqrt {25-10{sqrt {5}}}}{5}}} sqrt{2}-1 {displaystyle {sqrt {5-2{sqrt {5}}}}} {displaystyle {frac {sqrt {25+10{sqrt {5}}}}{5}}} sqrt{2}+1 {displaystyle {sqrt {5+2{sqrt {5}}}}} {displaystyle 2+{sqrt {3}}}
operatorname{ctg},alpha {displaystyle 2+{sqrt {3}}} {displaystyle {sqrt {5+2{sqrt {5}}}}} sqrt{2}+1 {displaystyle {frac {sqrt {25+10{sqrt {5}}}}{5}}} {displaystyle {sqrt {5-2{sqrt {5}}}}} sqrt{2}-1 {displaystyle {frac {sqrt {25-10{sqrt {5}}}}{5}}} 2-sqrt{3}
{displaystyle sec alpha } {displaystyle {sqrt {2}}({sqrt {3}}-1)} {displaystyle {frac {sqrt {50-10{sqrt {5}}}}{5}}} {displaystyle {sqrt {4-2{sqrt {2}}}}} {displaystyle {sqrt {5}}-1} {displaystyle {frac {sqrt {50+10{sqrt {5}}}}{5}}} {displaystyle {sqrt {4+2{sqrt {2}}}}} {displaystyle {sqrt {5}}+1} {displaystyle {sqrt {2}}({sqrt {3}}+1)}
{displaystyle operatorname {cosec} ,alpha } {displaystyle {sqrt {2}}({sqrt {3}}+1)} {displaystyle {sqrt {5}}+1} {displaystyle {sqrt {4+2{sqrt {2}}}}} {displaystyle {frac {sqrt {50+10{sqrt {5}}}}{5}}} {displaystyle {sqrt {5}}-1} {displaystyle {sqrt {4-2{sqrt {2}}}}} {displaystyle {frac {sqrt {50-10{sqrt {5}}}}{5}}} {displaystyle {sqrt {2}}({sqrt {3}}-1)}

Значения тригонометрических функций для некоторых других углов

Свойства тригонометрических функций[править | править код]

Простейшие тождества[править | править код]

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности (x^{2}+y^{2}=1) или теореме Пифагора, имеем:

{displaystyle sin ^{2}alpha +cos ^{2}alpha =1.}

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Разделив это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, получим:

{displaystyle 1+mathop {mathrm {tg} } ,^{2}alpha =mathop {mathrm {sec} } ,^{2}alpha ,}
{displaystyle 1+mathop {mathrm {ctg} } ,^{2}alpha =mathop {mathrm {cosec} } ,^{2}alpha .}

Из определения тангенса и котангенса следует, что

 mathop{mathrm{tg}},alpha  cdot mathop{mathrm{ctg}},alpha=1.

Любую тригонометрическую функцию можно выразить через любую другую тригонометрическую функцию с тем же аргументом (с точностью до знака из-за неоднозначности раскрытия квадратного корня). Нижеприведённые формулы верны для {displaystyle 0<x<pi /2}:

  sin cos tg ctg sec cosec
{displaystyle ,sin x=} {displaystyle ,sin x} {displaystyle {sqrt {1-cos ^{2}x}}} {displaystyle {frac {operatorname {tg} x}{sqrt {1+operatorname {tg} ^{2}x}}}} {displaystyle {frac {1}{sqrt {operatorname {ctg} ^{2}x+1}}}} {displaystyle {frac {sqrt {sec ^{2}x-1}}{sec x}}} {displaystyle {frac {1}{operatorname {cosec} x}}}
{displaystyle ,cos x=} {displaystyle ,{sqrt {1-sin ^{2}x}}} {displaystyle ,cos x} {displaystyle ,{frac {1}{sqrt {1+operatorname {tg} ^{2}x}}}} {displaystyle ,{frac {operatorname {ctg} x}{sqrt {operatorname {ctg} ^{2}x+1}}}} {displaystyle ,{frac {1}{sec x}}} {displaystyle ,{frac {sqrt {operatorname {cosec} ^{2}x-1}}{operatorname {cosec} x}}}
{displaystyle ,operatorname {tg} x=} {displaystyle ,{frac {sin x}{sqrt {1-sin ^{2}x}}}} {displaystyle ,{frac {sqrt {1-cos ^{2}x}}{cos x}}} {displaystyle ,operatorname {tg} x} {displaystyle ,{frac {1}{operatorname {ctg} x}}} {displaystyle ,{sqrt {sec ^{2}x-1}}} {displaystyle ,{frac {1}{sqrt {operatorname {cosec} ^{2}x-1}}}}
{displaystyle ,operatorname {ctg} x=} {displaystyle ,{frac {sqrt {1-sin ^{2}x}}{sin x}}} {displaystyle ,{frac {cos x}{sqrt {1-cos ^{2}x}}}} {displaystyle ,{frac {1}{operatorname {tg} x}}} {displaystyle ,operatorname {ctg} x} {displaystyle ,{frac {1}{sqrt {sec ^{2}x-1}}}} {displaystyle ,{sqrt {operatorname {cosec} ^{2}x-1}}}
{displaystyle ,sec x=} {displaystyle ,{frac {1}{sqrt {1-sin ^{2}x}}}} {displaystyle ,{frac {1}{cos x}}} {displaystyle ,{sqrt {1+operatorname {tg} ^{2}x}}} {displaystyle ,{frac {sqrt {operatorname {ctg} ^{2}x+1}}{operatorname {ctg} x}}} {displaystyle ,sec x} {displaystyle ,{frac {operatorname {cosec} x}{sqrt {operatorname {cosec} ^{2}x-1}}}}
{displaystyle ,operatorname {cosec} x=} {displaystyle ,{frac {1}{sin x}}} {displaystyle ,{frac {1}{sqrt {1-cos ^{2}x}}}} {displaystyle ,{frac {sqrt {1+operatorname {tg} ^{2}x}}{operatorname {tg} x}}} {displaystyle ,{sqrt {operatorname {ctg} ^{2}x+1}}} {displaystyle ,{frac {sec x}{sqrt {sec ^{2}x-1}}}} {displaystyle ,operatorname {cosec} x}

Непрерывность[править | править код]

Чётность[править | править код]

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

 sin left( - alpha right)  =  - sin alpha ,,
 cos left( - alpha right)  =  cos alpha ,,
 mathop{mathrm{tg}}, left( - alpha right)  = - mathop{mathrm{tg}}, alpha ,,
 mathop{mathrm{ctg}}, left( - alpha right)  = - mathop{mathrm{ctg}}, alpha ,,
 sec left( - alpha right)  =  sec alpha ,,
 mathop{mathrm{cosec}}, left( - alpha right)  = - mathop{mathrm{cosec}}, alpha ,.

Периодичность[править | править код]

Функции {displaystyle sin x,;cos x,;sec x,;mathrm {cosec} ,x} — периодические с периодом 2pi , функции {displaystyle mathrm {tg} ,x} и {displaystyle mathrm {ctg} ,x} — c периодом pi .

Формулы приведения[править | править код]

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

{displaystyle f(npi +alpha )=pm f(alpha ),}
{displaystyle f(npi -alpha )=pm f(alpha ),}
{displaystyle fleft({frac {(2n+1)pi }{2}}+alpha right)=pm g(alpha ),}
{displaystyle fleft({frac {(2n+1)pi }{2}}-alpha right)=pm g(alpha ).}

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол alpha острый, например:

 cos left(  frac{ pi}{2} - alpha right)  =   sin alpha,, или что то же самое:  cos left( 90^circ - alpha right)  =   sin alpha,.

Некоторые формулы приведения:

alpha frac{pi}{2} - alpha frac{pi}{2} + alpha {displaystyle pi -alpha } {displaystyle pi +alpha } frac{3,pi}{2} - alpha frac{3,pi}{2} + alpha 2,pi - alpha
sinalpha cosalpha cosalpha sinalpha {displaystyle -sin alpha } {displaystyle -cos alpha } {displaystyle -cos alpha } {displaystyle -sin alpha }
cosalpha sinalpha {displaystyle -sin alpha } {displaystyle -cos alpha } {displaystyle -cos alpha } {displaystyle -sin alpha } sinalpha cosalpha
operatorname{tg},alpha operatorname{ctg},alpha -operatorname{ctg},alpha -operatorname{tg},alpha operatorname{tg},alpha operatorname{ctg},alpha -operatorname{ctg},alpha -operatorname{tg},alpha
operatorname{ctg},alpha operatorname{tg},alpha -operatorname{tg},alpha -operatorname{ctg},alpha operatorname{ctg},alpha operatorname{tg},alpha -operatorname{tg},alpha -operatorname{ctg},alpha

Интересующие формулы приведения так же могут легко быть получены рассмотрением функций на единичной окружности.

Формулы сложения и вычитания[править | править код]

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

 sinleft( alpha pm beta right)= sinalpha , cosbeta pm cosalpha , sinbeta,
 cosleft( alpha pm beta right)= cosalpha , cosbeta mp sinalpha , sinbeta,
 operatorname{tg}left( alpha pm beta right) = frac{operatorname{tg},alpha pm operatorname{tg},beta}{1 mp operatorname{tg},alpha , operatorname{tg},beta},
 operatorname{ctg}left( alpha pm beta right) = frac{operatorname{ctg},alpha,operatorname{ctg},beta mp 1}{operatorname{ctg},beta pm operatorname{ctg},alpha}.

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

sin left( alpha + beta + gamma right) = sin alpha cos beta cos gamma + cos alpha sin beta cos gamma + cos alpha cos beta sin gamma - sin alpha sin beta sin gamma,
cos left( alpha + beta + gamma right) = cos alpha cos beta cos gamma - sin alpha sin beta cos gamma - sin alpha cos beta sin gamma - cos alpha sin beta sin gamma.

Формулы для кратных углов[править | править код]

Формулы двойного угла:

sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha = frac{2,operatorname{tg},alpha }{1 + operatorname{tg}^2alpha} = frac{2,operatorname{ctg},alpha }{1 + operatorname{ctg}^2alpha} = frac{2}{operatorname{tg},alpha + operatorname{ctg},alpha},
cos 2alpha = cos^2 alpha,-,sin^2 alpha = 2 cos^2 alpha,-,1 = 1,-,2 sin^2 alpha = frac{1 - operatorname{tg}^2 alpha}{1 + operatorname{tg}^2alpha} = frac{operatorname{ctg}^2 alpha - 1}{operatorname{ctg}^2alpha + 1} = frac{operatorname{ctg},alpha - operatorname{tg},alpha}{operatorname{ctg},alpha + operatorname{tg},alpha},
operatorname{tg},2 alpha = frac{2,operatorname{tg},alpha}{1 - operatorname{tg}^2alpha} = frac{2,operatorname{ctg},alpha}{operatorname{ctg}^2alpha - 1} = frac{2}{operatorname{ctg},alpha - operatorname{tg},alpha},
operatorname{ctg},2 alpha = frac{operatorname{ctg}^2 alpha - 1}{2,operatorname{ctg},alpha} = frac{operatorname{ctg},alpha - operatorname{tg},alpha}{2}.

Формулы тройного угла:

sin,3alpha=3sinalpha - 4sin^3alpha,
cos,3alpha=4cos^3alpha -3cosalpha,
operatorname{tg},3alpha=frac{3,operatorname{tg},alpha - operatorname{tg}^3,alpha}{1 - 3,operatorname{tg}^2,alpha},
operatorname{ctg},3alpha=frac{operatorname{ctg}^3,alpha - 3,operatorname{ctg},alpha}{3,operatorname{ctg}^2,alpha - 1}.

Прочие формулы для кратных углов:

sin,4alpha=cosalpha left(4sinalpha - 8sin^3alpharight),
cos,4alpha=8cos^4alpha - 8cos^2alpha + 1,
operatorname{tg},4alpha=frac{4,operatorname{tg},alpha - 4,operatorname{tg}^3,alpha}{1 - 6,operatorname{tg}^2,alpha + operatorname{tg}^4,alpha},
operatorname{ctg},4alpha=frac{operatorname{ctg}^4,alpha - 6,operatorname{ctg}^2,alpha + 1}{4,operatorname{ctg}^3,alpha - 4,operatorname{ctg},alpha},
sin,5alpha=16sin^5alpha-20sin^3alpha +5sinalpha,
cos,5alpha=16cos^5alpha-20cos^3alpha +5cosalpha,
operatorname{tg},5alpha=operatorname{tg}alphafrac{operatorname{tg}^4alpha-10operatorname{tg}^2alpha+5}{5operatorname{tg}^4alpha-10operatorname{tg}^2alpha+1},
operatorname{ctg},5alpha=operatorname{ctg}alphafrac{operatorname{ctg}^4alpha-10operatorname{ctg}^2alpha+5}{5operatorname{ctg}^4alpha-10operatorname{ctg}^2alpha+1},
 sin (nalpha)=2^{n-1}prod^{n-1}_{k=0}sinleft( alpha+frac{pi k}{n}right) следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции.

Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:

sin(nalpha)=sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^kbinom{n}{2k+1}cos^{n-2k-1}alpha,sin^{2k+1}alpha,
cos(nalpha)=sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^kbinom{n}{2k}cos^{n-2k}alpha,sin^{2k}alpha,
mathrm{tg}(nalpha)=frac{sin(nalpha)}{cos(nalpha)}=dfrac{displaystyle{sumlimits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^kbinom{n}{2k+1}mathrm{tg}^{2k+1}alpha}}{displaystyle{sumlimits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^kbinom{n}{2k}mathrm{tg}^{2k}alpha}},
mathrm{ctg}(nalpha)=frac{cos(nalpha)}{sin(nalpha)}=dfrac{displaystyle{sumlimits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^kbinom{n}{2k}mathrm{ctg}^{n-2k}alpha}}{displaystyle{sumlimits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^kbinom{n}{2k+1}mathrm{ctg}^{n-2k-1}alpha}},

где [n] — целая часть числа n, binom{n}{k} — биномиальный коэффициент.

Формулы половинного угла:

sinfrac{alpha}{2}=sqrt{frac{1-cosalpha}{2}},quad 0 leqslant alpha leqslant 2pi,
cosfrac{alpha}{2}=sqrt{frac{1+cosalpha}{2}},quad -pi leqslant alpha leqslant pi,
operatorname{tg},frac{alpha}{2}=frac{1-cosalpha}{sinalpha}=frac{sinalpha}{1+cosalpha},
operatorname{ctg},frac{alpha}{2}=frac{sinalpha}{1-cosalpha}=frac{1+cosalpha}{sinalpha},
operatorname{tg},frac{alpha}{2}=sqrt{frac{1-cosalpha}{1+cosalpha}},quad 0 leqslant alpha < pi,
operatorname{ctg},frac{alpha}{2}=sqrt{frac{1+cosalpha}{1-cosalpha}},quad 0 < alpha leqslant pi.

Произведения[править | править код]

Формулы для произведений функций двух углов:

sin alpha sin beta ={frac {cos(alpha -beta )-cos(alpha +beta )}{2}},
sinalpha cosbeta = frac{sin(alpha-beta) + sin(alpha+beta)}{2},
cosalpha cosbeta = frac{cos(alpha-beta) + cos(alpha+beta)}{2},
operatorname{tg},alpha,operatorname{tg},beta = frac{cos(alpha-beta) - cos(alpha+beta)}{cos(alpha-beta) + cos(alpha+beta)},
operatorname{tg},alpha,operatorname{ctg},beta = frac{sin(alpha-beta) + sin(alpha+beta)}{sin(alpha+beta) -sin(alpha-beta)},
operatorname{ctg},alpha,operatorname{ctg},beta = frac{cos(alpha-beta) + cos(alpha+beta)}{cos(alpha-beta) - cos(alpha+beta)}.

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

sinalpha sinbeta singamma = frac{sin(alpha+beta-gamma) + sin(beta+gamma-alpha) + sin(alpha-beta+gamma) - sin(alpha+beta+gamma)}{4},
sinalpha sinbeta cosgamma = frac{-cos(alpha+beta-gamma) + cos(beta+gamma-alpha) + cos(alpha-beta+gamma) - cos(alpha+beta+gamma)}{4},
sinalpha cosbeta cosgamma = frac{sin(alpha+beta-gamma) - sin(beta+gamma-alpha) + sin(alpha-beta+gamma) - sin(alpha+beta+gamma)}{4},
cosalpha cosbeta cosgamma = frac{cos(alpha+beta-gamma) + cos(beta+gamma-alpha) + cos(alpha-beta+gamma) + cos(alpha+beta+gamma)}{4}.

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

Степени[править | править код]

{displaystyle sin ^{2}alpha ={frac {1-cos 2,alpha }{2}}={frac {operatorname {tg} ^{2},alpha }{1+operatorname {tg} ^{2},alpha }},}
cos ^{2}alpha ={frac  {1+cos 2,alpha }{2}}={frac  {operatorname {ctg}^{2},alpha }{1+operatorname {ctg}^{2},alpha }},
operatorname {tg}^{2},alpha ={frac  {1-cos 2,alpha }{1+cos 2,alpha }}={frac  {operatorname {sin}^{2},alpha }{1-operatorname {sin}^{2},alpha }},
{displaystyle operatorname {ctg} ^{2},alpha ={frac {1+cos 2,alpha }{1-cos 2,alpha }}={frac {operatorname {cos} ^{2},alpha }{1-operatorname {cos} ^{2},alpha }},}
sin^3alpha = frac{3sinalpha - sin 3,alpha}{4},
cos^3alpha = frac{3cosalpha + cos 3,alpha}{4},
operatorname{tg}^3,alpha = frac{3sinalpha - sin 3,alpha}{3cosalpha + cos 3,alpha},
operatorname{ctg}^3,alpha = frac{3cosalpha + cos 3,alpha}{3sinalpha - sin 3,alpha},
sin^4alpha = frac{cos 4alpha - 4cos 2,alpha + 3}{8},
cos^4alpha = frac{cos 4alpha + 4cos 2,alpha + 3}{8},
operatorname{tg}^4,alpha = frac{cos 4alpha - 4cos 2,alpha + 3}{cos 4alpha + 4cos 2,alpha + 3},
operatorname{ctg}^4,alpha = frac{cos 4alpha + 4cos 2,alpha + 3}{cos 4alpha - 4cos 2,alpha + 3}.

Иллюстрация равенства {displaystyle sin x-cos x={sqrt {2}}cdot sin left(x-{pi  over 4}right)}

Суммы[править | править код]

{displaystyle sin alpha pm sin beta =2sin {frac {alpha pm beta }{2}}cos {frac {alpha mp beta }{2}},}
{displaystyle cos alpha +cos beta =2cos {frac {alpha +beta }{2}}cos {frac {alpha -beta }{2}},}
{displaystyle cos alpha -cos beta =-2sin {frac {alpha +beta }{2}}sin {frac {alpha -beta }{2}},}
{displaystyle operatorname {tg} alpha pm operatorname {tg} beta ={frac {sin(alpha pm beta )}{cos alpha cos beta }},}
{displaystyle operatorname {ctg} alpha pm operatorname {ctg} beta ={frac {sin(beta pm alpha )}{sin alpha sin beta }},}
{displaystyle 1pm sin {2alpha }=(sin alpha pm cos alpha )^{2},}
{displaystyle sin alpha pm cos alpha ={sqrt {2}}cdot sin left(alpha pm {pi  over 4}right).}

Существует представление:

Asin alpha +Bcos alpha ={sqrt  {A^{2}+B^{2}}};sin(alpha +phi ),

где угол phi находится из соотношений:

{displaystyle sin phi ={frac {B}{sqrt {A^{2}+B^{2}}}},}
{displaystyle cos phi ={frac {A}{sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}

Универсальная тригонометрическая подстановка[править | править код]

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла:

{displaystyle sin x={frac {sin x}{1}}={frac {2sin {frac {x}{2}}cos {frac {x}{2}}}{sin ^{2}{frac {x}{2}}+cos ^{2}{frac {x}{2}}}}={frac {2operatorname {tg} {frac {x}{2}}}{1+operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}},}

{displaystyle cos x={frac {cos x}{1}}={frac {cos ^{2}{frac {x}{2}}-sin ^{2}{frac {x}{2}}}{cos ^{2}{frac {x}{2}}+sin ^{2}{frac {x}{2}}}}={frac {1-operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}{1+operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}},}

{displaystyle operatorname {tg} ~x={frac {sin x}{cos x}}={frac {2operatorname {tg} {frac {x}{2}}}{1-operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}},}

{displaystyle operatorname {ctg} ~x={frac {cos x}{sin x}}={frac {1-operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}{2operatorname {tg} {frac {x}{2}}}},}

{displaystyle sec x={frac {1}{cos x}}={frac {1+operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}{1-operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}},}

{displaystyle operatorname {cosec} ~x={frac {1}{sin x}}={frac {1+operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}{2operatorname {tg} {frac {x}{2}}}}.}

Исследование функций в математическом анализе[править | править код]

Разложение в бесконечные произведения[править | править код]

Тригонометрические функции могут быть представлены в виде бесконечного произведения многочленов:

{displaystyle sin x=x,prod _{n=1}^{infty }left(1-{frac {x^{2}}{pi ^{2}n^{2}}}right),}
{displaystyle cos x=prod _{n=0}^{infty }left(1-{frac {4x^{2}}{pi ^{2}(2n+1)^{2}}}right).}

Эти соотношения выполняются при любом значении x.

Непрерывные дроби[править | править код]

Разложение тангенса в непрерывную дробь:

{displaystyle mathop {rm {tg}} x={frac {x}{1-{frac {x^{2}}{3-{frac {x^{2}}{5-{frac {x^{2}}{7-{frac {x^{2}}{ddots }}}}}}}}}}}

Производные и первообразные[править | править код]

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

( sin x )' = cos x ,,

( cos x )' = -sin x ,,

{displaystyle (operatorname {tg} x)'={frac {1}{cos ^{2}x}}=1+operatorname {tg} ^{2}x=sec ^{2}x,}

{displaystyle (operatorname {ctg} x)'=-{frac {1}{sin ^{2}x}}=-operatorname {cosec} ^{2}x,}

{displaystyle (sec x)'={frac {sin x}{cos ^{2}x}}=sec xoperatorname {tg} x,}

( operatorname{cosec}~x)' = -frac{cos x}{sin ^2 x}.

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом[8]:

intsin x, dx = -cos x + C ,,

intcos x, dx = sin x + C ,,

{displaystyle int operatorname {tg} x,dx=-ln left|cos xright|+C,,}

{displaystyle int operatorname {ctg} x,dx=ln left|sin xright|+C,,}

intsec x, dx=ln left| operatorname{tg} , left( frac {pi}{4}+frac{x}{2}right) right|+ C ,,

int operatorname{cosec}~ x, dx=ln left| operatorname{tg} , frac{x}{2} right|+ C.

Тригонометрические функции комплексного аргумента[править | править код]

Определение[править | править код]

Формула Эйлера:

{displaystyle e^{ivartheta }=cos vartheta +isin vartheta .}

Формула Эйлера позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту по аналогии с гиперболическими функциями, или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

sin z = sum_{n=0}^infty frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}, = frac{operatorname{sh}  i z }{i};
cos z = sum_{n=0}^infty frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}, = operatorname{ch} i z;
operatorname{tg}, z = frac{sin z}{cos z} = frac{e^{i z} - e^{-i z}}{i(e^{i z} + e^{-i z})};
operatorname{ctg}, z = frac{cos z}{sin z} = frac{i(e^{i z} + e^{-i z})}{e^{i z} - e^{-i z}};
sec z = frac{1}{cos z} = frac{2}{e^{i z} + e^{-i z}};
{displaystyle operatorname {cosec} ,z={frac {1}{sin z}}={frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},} где {displaystyle i^{2}=-1.}

Соответственно, для вещественного x:

{displaystyle cos x=operatorname {Re} (e^{ix}),}
{displaystyle sin x=operatorname {Im} (e^{ix}).}

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

{displaystyle sin(x+iy)=sin x,operatorname {ch} ,y+icos x,operatorname {sh} ,y,}
{displaystyle cos(x+iy)=cos x,operatorname {ch} ,y-isin x,operatorname {sh} ,y.}

Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:

  • комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
  • все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

Комплексные графики[править | править код]

На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.

Тригонометрические функции в комплексной плоскости

Complex sin.jpg

Complex cos.jpg

Complex tan.jpg

Complex Cot.jpg

Complex Sec.jpg

Complex Csc.jpg

{displaystyle sin ,z} {displaystyle cos ,z} {displaystyle operatorname {tg} ,z} {displaystyle operatorname {ctg} ,z} {displaystyle sec ,z} {displaystyle operatorname {cosec} ,z}

История названий[править | править код]

Линия синуса (линия AB на рис. 2) у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды данной дуги, поскольку дуга с хордой напоминает лук с тетивой). Затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские математики, переводя индийские книги с санскрита, не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали его арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба» (جيب‎). Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus — «синус», имеющим то же значение (именно в этом значении оно применяется как анатомический термин синус). Термин «косинус» (лат. cosinus) — это сокращение от лат. complementi sinus — дополнительный синус.

Современные краткие обозначения sin, cos введены Уильямом Отредом и Бонавентурой Кавальери и закреплены в трудах Леонарда Эйлера.

Термины «тангенс» (лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583).

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 году.

Позднее были введены и термины для обратных тригонометрических функций — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс — с помощью добавления приставки «арк» (от лат. arcus — дуга), — Ж. Лагранжем и др.

См. также[править | править код]

  • Гиперболические функции
  • Интегральный синус
  • Интегральный косинус
  • Интегральный секанс
  • Обратные тригонометрические функции
  • Редко используемые тригонометрические функции
  • Решение треугольников
  • Синус-верзус
  • Сферическая тригонометрия
  • Тригонометрические тождества
  • Тригонометрические функции от матрицы
  • Тригонометрический ряд Фурье
  • Функция Гудермана
  • Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса)
  • Эллиптические функции

Литература[править | править код]

  • Бермант А. Ф., Люстерник Л. А. Тригонометрия. — М.: Наука, 1967.
  • Тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии.  — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 26. — С. 204—206.
  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
    • Переиздание: М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6 www.alleng.ru/d/math/math42.htm
  • Двайт Г. Б. Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
  • Кожеуров П. А. Тригонометрия. — М.: Физматгиз, 1963.
  • Маркушевич А. И. Замечательные синусы. — М.: Наука, 1974.
  • Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — И. М. Виноградов. Тригонометрические функции // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.
  • Тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Ред. коллегия, Гнеденко Б. В. (гл. ред.), Савин А. П. и др. — М.: Педагогика, 1985 (1989). — С. 299—301—305. — 352 с., ил. — ISBN 5-7155-0218-7 (С. 342, 343 — таблицы тригонометрических функций 0°-90°, в том числе в радианах)
  • Тригонометрические функции // Справочник по математике (для ср. уч. заведений) / Цыпкин А. Г., под ред. Степанова С. А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 240—258. — 480 с.

Ссылки[править | править код]

  • GonioLab — прояснённая единичная окружность, тригонометрические и гиперболические функции (Java Web Start)
  • Weisstein, Eric W. Trigonometric Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Онлайн калькулятор: вычисление значений тригонометрических функций (в том числе нахождение углов треугольника по сторонам)
  • Интерактивная карта значений тригонометрических функций
  • Тригонометрические таблицы (0° — 360°)
  • «Синус и косинус — это проценты» — перевод статьи How To Learn Trigonometry Intuitively | BetterExplained (англ.)

Примечания[править | править код]

  1. Справочник: Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с. Архивная копия от 19 января 2015 на Wayback Machine относит их к специальным функциям.
  2. Знак математический. // Большая советская энциклопедия. 1-е изд. Т. 27. — М., 1933.
  3. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 282—284.
  4. Шахмейстер А. Х. Определение основных тригонометрических функций // Тригонометрия : [рус.] : книга / А. Х. Шахмейстер; под ред. Б. Г. Зива. — 3-е изд., стереотипное. — М. : Издательство МЦНМО ; СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2013. — С. 11, 14, 18, 20. — 752 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 1500 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512(G). — ISBN 978-5-4439-0050-6. — ISBN 978-5-98712-042-2. — ISBN 978-5-91673-097-5.
  5. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 271—272.
  6. Латинско-русский словарь. Дата обращения: 9 апреля 2023.
  7. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 1. — М.: Наука, 1998. — ISBN 5-02-015231-5.
  8. В формулах, содержащих логарифм в правой части равенств, константы интегрирования scriptstyle C, вообще говоря, различны для различных интервалов непрерывности.

Добавить комментарий