У параллелограмма 4 угла, это частный случай четырехугольника, у которого противоположные стороны
попарно параллельны. Из этого свойства вытекает равенство противоположных сторон, равенство
противоположных углов и равенство суммы смежных углов двум прямым. Свойства параллелограмма широко
используются в быту и технике.
- Острый угол параллелограмма через боковую сторону и
высоту - Острый угол параллелограмма через высоту, сторону и
периметр - Острый угол параллелограмма через площадь и две стороны
- Острый угол параллелограмма через две стороны и короткую
диагональ - Тупой угол параллелограмма через две стороны и длинную
диагональ
Острый угол параллелограмма через боковую сторону и высоту
Если известна боковая сторона и высота, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:
sin α = h / b
где α – острый угол, h – высота, b – боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть h = 4 см, b = 8 см. sin α = h / b = 8 / 4 = 2. α = 90°.
Острый угол параллелограмма через площадь и две стороны
Если известна площадь и две стороны, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:
sin α= S / ab
где α – острый угол, S — площадь параллелограмма, a и b – его стороны.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть S=50 м², a=10 м, b=5 м. sin α= S / ab = 50 / (10 * 5) = 1. α = 90°.
Угол прямой, смежные стороны не равны, имеем дело с прямоугольником.
Острый угол параллелограмма через высоту, сторону и периметр
Если известна высота, сторона и периметр, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:
sin α = (2h + a) / P
где α – острый угол, h — высота, a — сторона, P — периметр.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Высота опускается на известную и подставляемую в формулу сторону a. Параллелограмм с заданным
периметром приходится строить, если, например, периметр определен длиной веревки, которую требуется
растянуть на местности в форме параллелограмма.
Пример. Пусть h=10 м, a=15 м, P=70 м. sin α=(2h + a) / P= (2 * 10 + 15) / 70 = 0,5. α = 30°.
Острый угол параллелограмма через две стороны и короткую диагональ
Если известны две стороны и короткая диагональ, то можно найти острый угол параллелограмма по
формуле:
cos α = (a² + b² — d²) / 2ab
где α – острый угол, a и b – стороны параллелограмма, d – его короткая диагональ.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример расчета: в данном частном случае 2 прилежащие стороны и короткая диагональ
равны, а именно: a = b = d = 26 мм. cos α=(a² + b² — d²) / 2ab = (26² + 26² — 26²) / (2 * 26 * 26) = 0,5. α=60°.
Из равенства прилежащих сторон следует, что это ромб, а результат расчета показывает, что острый угол
в ромбе равен 60°. Знаете, что это за ромб с подобными размерами? Это нагрудный академический знак
для лиц, окончивших советские высшие учебные заведения, установленный с 1961 года.
Тупой угол параллелограмма через две стороны и длинную диагональ
Если известны две стороны и длинная диагональ, то можно найти тупой угол параллелограмма по
формуле:
cos β = (a² + b² — D²) / 2ab
где α – тупой угол, a и b – стороны параллелограмма, D – его длинная диагональ.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример расчета: вновь ромб со сторонами a = b = 26 мм и длинной диагональю D=43 мм.
cos β = (a² + b² — D²) / 2ab = (26² + 26² — 43²) / (2 * 26 * 26) = -0,368. α = 112°.
Это опять-таки нагрудный академический знак из предыдущего примера, небольшое отличие полученного
результата от 120° (при остром угле 60° по предыдущему примеру) объясняется округлением исходных
данных до целого числа миллиметров.
Свойства параллелограмма
У любого выпуклого четырехугольника сумма всех внутренних углов равна 360°, исходя из общей формулы
суммы внутренних углов выпуклого многоугольника в градусах s = 180 (n — 2), где n – количество
сторон. Следовательно, если хотя-бы 1 угол параллелограмма равен прямому (90°), остальные 3 угла
также являются прямыми, и параллелограмм вырождается в свой частный вид – прямоугольник.
Если 2 смежные стороны параллелограмма равны, то равны все его 4 стороны, и параллелограмм
вырождается в ромб. И, наконец, если у параллелограмма равны 2 смежные стороны, а угол между ними
прямой, параллелограмм является одновременно и прямоугольником, и ромбом, и вырождается в квадрат.
Зачастую возникает необходимость определения неизвестных характеристик параллелограмма через
известные. Выше ряд примеров подобного рода.
Самый наглядный пример параллелограмма – пантограф электропоезда. При подключении опущенного
пантографа к контактной сети железной дороги изменяется конфигурация пантографа при сохранении длин
сторон, в результате изменяется вертикальная диагональ и происходит касание с подачей электрического
тока.
Форму параллелограмма имеет автомобильный реечный домкрат, велосипедная рама (с
диагональю для увеличения жесткости). Ведь параллелограмм — фигура нежесткая, в отличие от
треугольника. Из нежесткости параллелограмма следует, что знания одних длин сторон недостаточно для
вычисления площади фигуры. Так, пантограф электропоезда можно «сложить» до нулевой площади.
Стеклоочиститель лобового стекла автобуса также представляет собой параллелограмм, и именно
нежесткость фигуры позволяет стеклоочистителю «ометать» при движении стекло.
Содержание:
- Определение тупого угла
- Примеры решения задач с тупыми углами
Определение тупого угла
Определение
Угол называется тупым, если его
градусная мера лежит в пределах от
$90^{circ}$ до
$180^{circ}$ (рис. 1).
$angle alpha$ – тупой, если
$90^{circ} lt angle alpha < 180^{circ}$.
То есть тупой угол больше
прямого и меньше, чем
развернутый.
Примеры решения задач с тупыми углами
Пример
Задание. Найти тупой угол параллелограмма
$ABCD$, если известно, что его
острый угол равен
$30^{circ}$.
Решение. Известно, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна
$180^{circ}$. Тогда искомый тупой угол равен
$$angle alpha=180^{circ}-30^{circ}=150^{circ}$$
Ответ. $angle alpha=150^{circ}$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Два угла треугольника равны
$30^{circ}$ и
$40^{circ}$. Найти третий угол треугольника, определить
тупым или острым он является.
Решение. Пусть $alpha$ – искомый угол.
Согласно теореме про сумму углов треугольника имеем, что
$$angle alpha+30^{circ}+40^{circ}=180^{circ}$$
Отсюда получаем
$$angle alpha=110^{circ}$$
Так как $90^{circ} < angle alpha=110^{circ} < 180^{circ}$, то он является тупым.
Ответ. $angle alpha=110^{circ}$
Читать дальше: что такое плоский угол.
Здравствуйте, дорогие читатели. В этом выпуске разберемся, что нужно знать из 7 класса для легкого вычисления углов в параллелограмме и трапеции.
Как вы знаете, параллелограмм, прямоугольник, ромб и квадрат – это все параллелограммы. Параллелограмм – это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Значит для вычисления углов в параллелограмме и трапеции нам нужно вспомнить теоремы об углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей.
1) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 градусам.
Теперь применим это знание для решения задач из ОГЭ.
Задача №1
Для решения, воспользуемся свойством односторонних углов.
Для задания такого типа, можно мысленно продолжить стороны, у вас получится пересечение двух параллельных прямых секущей. Поэтому в данном случае воспользуемся тем, что сумма односторонних углов равна 180 градусов. Больший угол параллелограмма равен 180-61=119
Внимание!!! Будьте внимательны, в задании такого типа может быть написано, что нужно найти меньший угол. Меньший угол – это острый, больший угол – это тупой.
Точно также решается задача №2 с трапецией.
Меньший угол – это острый угол. Значит 180-131=49
Задача №3
Для решения такого типа задачи, нужно найти целый больший угол параллелограмма, он равен 70+35=105.
Найдем меньший угол параллелограмма – он острый, равен 180-105=75
2) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Для этой теоремы подходят следующие задачи:
Задача №4
Решение:
Угол 1 и угол 2 накрест лежащие, значит они раны. Так как АЕ биссектриса, то угол 2 равен углу 3. Значит угол А равен 33+33=66
Задача №5
Решение:
Так как трапеция равнобедренная, то углы при основаниях равны. Значит нам достаточно найти чему равен угол А, тогда мы найдем угол ADC.
Так как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны, то угол А равен 50+30=80, значит угол ADC равен 80
В следующем выпуске, поговорим о том, как найти углы в параллелограмме, где используются другие свойства и теоремы, такие как свойство равнобедренного треугольника, сумма углов треугольника, свойство диагоналей ромба.
Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.
Найдите тупой угол параллелограмма, если
Дата: 2016-10-23
3077
Категория: Пл. Параллелограм
Метка: ЕГЭ-№1
27805. Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 600. Ответ дайте в градусах.
Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам. Это следует из свойств и признаков параллельности прямых:
Сумма внутренних односторонних углов равна 1800
Таким образом, тупой угол параллелограмма равен 1200.
Ответ: 120
27806. Сумма двух углов параллелограмма равна 1000. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Рассуждаем логически:
Сумма двух соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, значит речь идёт не об этих углах.
Сумма двух тупых (противолежащих) углов будет всегда больше 180 градусов, значит остаются только два острых угла. Только их сумма может быть равна 100 градусам.
Так как они равны, значит угол будет равен 50-ти градусам. Таким образом, один из оставшихся (тупой угол) будет равен 1300.
Ответ: 130
27807. Один угол параллелограмма больше другого на 700. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
Понятно, что речь идёт о тупом угле. Он будет больше острого на 700. Введём переменную. Пусть острый равен х градусов, тогда тупой равен х+700. Получается, что
Значит тупой угол (больший) равен 550+700=1250.
Ответ: 125
Используя этот сайт, Вы соглашаетесь с тем, что мы сохраняем и используем файлы cookies, а также используем похожие технологии для улучшения работы сайта.
Ok
Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д6 № 49083 
Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 
Ответ дайте в градусах.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 60°. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна 180°, тогда 
Ответ: 120.
Аналоги к заданию № 27805: 49081 49083 49085 … Все
Прототип задания
