Тупые углы: описание и особенности
Треугольник – это геометрическая фигура, имеющая три соединенные между собой линиями точки, которые лежат не на единой прямой в плоскости. Вершины треугольника – точки в основании углов, а линии, соединяющие их, называют сторонами треугольника. Чтобы определить площадь такой фигуры, часто используют внутреннее пространство треугольника.
Классификация
Кроме треугольников, имеющих неодинаковые стороны, существуют равнобедренные, то есть обладающие двумя одинаковыми сторонами. Их называют боковыми, а еще одну сторону – основанием фигуры. Существует еще один вид таких многоугольников – равносторонние. Все три их стороны имеют одинаковую длину.
Для треугольников присуща градусная система измерения. Эти фигуры могут иметь разные углы, поэтому их классифицируют так:
- Прямоугольные – имеющие угол 90 градусов. Две стороны, прилежащие к этому углу, называют катетами, а третью – гипотенузой;
- Остроугольные – это треугольники, обладающие всеми острыми углами, не превышающими 90 градусов;
- Тупоугольные – один угол больше 90 градусов.
Определение и параметры треугольника
Как уже было отмечено, треугольник – это один из видов многоугольников, имеющий три вершины и столько же прямых, их объединяющих. Обозначают линии, как правило, одинаково: углы – маленькими латинскими буквами, а противоположные стороны каждого – соответствующей большой буквой.
Если сложить все углы какого-либо треугольника, получится сумма в 180 градусов. Чтобы узнать внутренний угол, нужно из 180 градусов вычесть величину внешнего угла треугольника. Для того чтобы узнать, чему равняется угол, находящийся снаружи, стоит сложить два раздельных от него угла внутри.
В каждом треугольнике, имеет он острые или тупые углы, противоположно большому углу находится наибольшая сторона. Если же прямые между вершинами одинаковы, то, соответственно, и каждый угол равняется 60 градусам.
Тупоугольный треугольник
Тупой угол треугольника всегда больше 90-градусного угла, но меньше развернутого. Таким образом, тупой угол равен от 90 до 180 градусов.
Возникает вопрос: бывает ли более одного тупого угла в такой фигуре? Ответ находится на поверхности: нет, потому что сумма углов должна быть менее 180 0 . Если два угла будут иметь, например, по 95 градусов, то третьему просто не найдется места.
Два тупоугольных многоугольника равны:
- если равны обе их стороны и угол, находящийся между ними;
- если одна сторона и два угла, находящиеся рядом с ней, равны;
- если три стороны тупоугольных треугольников имеют равенство.
Замечательные линии тупоугольного треугольника
Во всех треугольниках, имеющих тупые углы, есть линии, называемые замечательными. Первая из них – высота. Она представляет собой перпендикуляр из одной из вершин на соответствующую ей сторону. Все высоты сталкиваются в точке, которая именуется как ортоцентр. В треугольнике с тупыми углами он будет находиться за пределами самой фигуры. Что касается острых углов, то центр там находится в самом треугольнике.
Еще одна линия – медиана. Это черта, проведенная от вершины к центру соответствующей стороны. Все медианы сходятся в треугольнике, а место их совмещения – это центр тяжести такого многоугольника.
Биссектриса – линия, делящая пополам как тупые углы, так и остальные. Пересечение трех таких линий всегда бывает только в самой фигуре и определяется как центр круга, вписанного в треугольник.
В свою очередь, центр круга, описанного вокруг фигуры, можно получить из трех срединных перпендикуляров. Это линии, которые были опущены из середин прямых, соединяющих вершины. Место пересечения трех срединных перпендикуляров в треугольнике, имеющем тупые углы, находится снаружи фигуры.
Тупоугольный треугольник
Что такое тупоугольный треугольник
Тупоугольный треугольник — геометрическая фигура на плоскости, которая представляет собой треугольник, один из углов которого является тупым, то есть больше 90º.
Такой треугольник не может быть прямоугольным и равносторонним, но может быть равнобедренным.
Сумма углов треугольника равна 180º. Именно поэтому только один из них может быть больше 90º, два других всегда острые. Это единственная особенность данной фигуры. Подход к решению задач с такой фигурой не отличается от решения задач с треугольниками других типов.
Элементы тупоугольного треугольника
Помимо сторон и углов, тупоугольный треугольник имеет следующие элементы:
- Внешний угол — тот, который смежен с внутренним, всего их шесть, по два на один внутренний. Внешний угол тупого всегда будет острым, острого — тупым.
- Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с противолежащей стороной и делит ее пополам. Все медианы пересекаются друг с другом в одной точке (центроиде). Эта точка делит медианы в соотношении 2:1, считая от вершины.
- Высота — перпендикуляр, который проведен из высоты треугольника на противоположную сторону. В тупоугольном треугольнике может лежать за пределами фигуры.
- Биссектриса — прямая, делящая угол пополам. Делит противоположную сторону на отрезки, которые пропорциональны прилежащим сторонам фигуры. Точка, которая является пересечением биссектрис, также является центром вписанной окружности.
Формулы площади тупоугольного треугольника
Для нахождения площади, периметра и других показателей тупоугольного треугольника используются те же формулы, что и для вычисления любого произвольного треугольника.
Площадь данной фигуры можно найти при помощи следующих формул:
S = ½ * x * h , где х — сторона;
S = √ p * ( p – x ) * ( p – y ) * ( p – z ) ,
p — полупериметр, p = ( x + y + z ) / 2
S = x * y * z / 4 * R , R — радиус описанной окружности;
S = p * r , p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.
Пример решения задачи
Найти площадь тупоугольного треугольника, у которого стороны равны x=9, y=5, z=6.
Для решения задачи стоит использовать формулу площади с полупериметром.
p = ( x + y + z ) / 2 , p = ( 9 + 5 + 6 ) / 2 = 20 / 2 = 10 .
S = √ p * ( p – x ) * ( p – y ) * ( p – z ) , S = √ 10 * ( 10 – 9 ) * ( 10 – 5 ) * ( 10 – 6 ) = √ 10 * 1 * 5 * 4 = √ 200 = 10 √ 2
Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники.
Виды треугольников
Остроугольный треугольник — это треугольник,
в котором все углы острые.
Прямоугольный треугольник — это треугольник,
в котором один из углов прямой.
Тупоугольный треугольник — это треугольник,
в котором один из углов тупой.
Как определить вид треугольника
Для того, чтобы понять какой треугольник — остроугольный, прямоугольный или тупоугольный
нужно знать какая градусная мера у углов в треугольнике.
Если один из углов в треугольнике прямой, значит треугольник прямоугольный. Все углы острые в треугольнике — значит треугольник остроугольный. Если в треугольнике один из углов тупой, значит треугольник тупоугольный.
В произвольном треугольнике все углы острые, или два угла острые, а третий прямой или тупой. Если в треугольнике вам известно, что один углов тупой или прямой, значит сумма двух других углов не больше 90 градусов.
В прямоугольном треугольнике стороны напротив острых углов называются катетами, а сторона напротив прямого угла называется гипотенузой.
Градусные меры острого, тупого, прямого углов в треугольниках
Чтобы понять как называется угол и как называется треугольник с этими углами — надо знать его градусную меру:
- Острый угол в любом из треугольников не больше 90 градусов.
- Прямой угол в любом из треугольников равен 90 градусам.
- Тупой угол в любом из треугольников больше 90 градусов, но меньше 180 градусов.
[spoiler title=”источники:”]
http://wika.tutoronline.ru/geometriya/class/7/tupougolnyj-treugolnik
http://colibrus.ru/ostrougolnyy-pryamougolnyy-i-tupougolnyy-treugolniki/
[/spoiler]
Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы.
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой.
Тупоугольный треугольник (понятие и определение)
Элементы тупоугольного треугольника
Свойства тупоугольного треугольника
Формулы тупоугольного треугольника
Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник
Тупоугольный треугольник (понятие и определение):
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, а два других – острые. В свою очередь, тупой угол – это угол, градусная мера которого составляет 90° до 180°, а острый угол – это угол, градусная мера которого составляет менее 90 градусов
Рис. 1. Тупоугольный треугольник
∠ BАC– тупой угол треугольника,
∠ АВС, ∠ BСA – острые углы треугольника
По определению, тупоугольным треугольником не может быть правильный (равносторонний) треугольник, т.к. у него каждый угол составляет 60°.
Рис. 2. Равносторонний треугольник
АВ = ВС = АС – стороны треугольника,
∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника
По определению, тупоугольным треугольником не может быть прямоугольный треугольник , т.к. у него один угол составляет 90° и сумма двух других углов также составляет 90°.
Рис. 3. Прямоугольный треугольник
Тупоугольный треугольник также может быть одновременно равнобедренным треугольником. Но не всякий равнобедренный треугольник тупой.
Рис. 4. Равнобедренный треугольник
АВ = AС – боковые стороны, BС – основание,
∠ ВАС – вершинный угол, ∠ АBC и ∠ BСA – углы при основании
Хотя в тупоугольном треугольнике тупой угол больше 90 градусов, сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам.
Элементы тупоугольного треугольника:
Кроме сторон и углов у тупоугольного треугольника также имеются внешние углы. Внешний угол это угол, смежный с внутренним углом треугольника. У любого треугольника, в т.ч. тупоугольного, 6 внешних углов, по 2 на каждый внутренний. Внешний угол тупого угла тупоугольного треугольника всегда будет острым углом. Внешний угол острого угла тупоугольного треугольника всегда будет тупым углом.
Рис. 5. Тупоугольный треугольник и внешний угол
∠ ВAD – острый угол
Медиана тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника), соединяющая вершину треугольника с противоположной стороной, делит ее пополам, т.е. на два одинаковых отрезка.
Рис. 6. Тупоугольный треугольник и медиана тупоугольного треугольника
MA – медиана тупоугольного треугольника
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Рис. 7. Тупоугольный треугольник и высота тупоугольного треугольника
MС – высота тупоугольного треугольника
Высота тупоугольного треугольника может лежать за пределами треугольника.
Биссектриса в тупоугольном треугольнике (как и в любом другом треугольнике) делит угол пополам. Биссектрисы пересекаются в точке, которая является центром вписанной окружности.
Рис. 8. Тупоугольный треугольник и биссектриса угла тупоугольного треугольника
MA – биссектриса тупого угла тупоугольного треугольника
Кроме того, биссектриса тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника) делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Свойства тупоугольного треугольника:
Свойства тупоугольного треугольника аналогичны свойствам обычного треугольника:
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Рис. 9. Тупоугольный треугольник
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
Рис. 10. Тупоугольный треугольник с равными боковыми сторонами
АВ = АС
3. Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°.
4. Любая сторона тупоугольного треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
-
- a < b + c;
- a > b – c;
- b < a + c,
- b > a – c;
- c < a + b;
- c > a – b.
Квадрат
Овал
Остроугольный треугольник
Полукруг
Прямой угол
Прямоугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Ромб
Трапеция
Тупой угол
Тупоугольный треугольник
Шестиугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
Коэффициент востребованности
20 293
Тупоугольный треугольник
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 145.
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 145.
Тупоугольный треугольник мало чем отличается от обычных произвольных остроугольных треугольников, но тупой угол делает треугольник непривычным для восприятия. Это зачастую приводит в недоумение, поэтому стоит рассмотреть различные варианты решения задач на нахождение параметров тупоугольного треугольника.
Опыт работы учителем математики – более 33 лет.
Определения
Тупоугольным треугольником будет называться любой треугольник, содержащий тупой угол. Тупоугольный треугольник может быть равнобедренным, но при этом не может быть равносторонним или прямоугольным. Собственно на этом свойства этой фигуры заканчиваются. В остальном, это обычный треугольник и подход к решению таких фигур ничем не отличается.
В треугольнике сумма углов равна 180 градусам, поэтому только один угол треугольника может быть тупым, два других при этом всегда острые. Площадь тупоугольного треугольника находится так же, как площадь произвольного треугольника.
Только в тупоугольном треугольнике высота может лежать за пределами треугольника.
Рассмотрим несколько интересных задач на нахождение данных в тупоугольном треугольнике.
Пример решения задачи
В тупоугольном треугольнике АВС известно, что косинус тупого угла равен $-2/sqrt{13}$. Сторона АС находится напротив тупого угла, $АВ=sqrt{13}$, ВС=2. Необходимо найти внешнюю высоту треугольника АМ.
Для решения любой задачи можно найти несколько способов. В данной ситуации можно пойти через площадь треугольников, достроить тупоугольный треугольник до прямоугольного или воспользоваться теоремой косинусов. Каждый из способов дает представление о том, как можно решать задачи с тупоугольным треугольником. Воспользуемся каждым из них.
Ответ в каждом случае должен быть одинаков. Но если округлять неточные ответы, то в одной задаче при одинаковых решениях можно получить разные величины. Будьте внимательны, результат не должен отличаться больше, чем на 1.
- Через площадь треугольников. Площадь можно найти как половину произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. А можно – как половину произведения двух сторон на синус угла между ними. Нам известен косинус угла, а через косинус всегда можно найти синус.
$$sin(ABC)=sqrt{1-cos^2(ABC)}=sqrt{13-4 over13}=sqrt{9 over13}={3oversqrt{13}}$$
Теперь запишем две формулы площади, выразим через них высоту и найдем ее значение.
$$S={1over2}*AM*BC$$
$$S={1over2}*AB*BC sin(ABC)$$
$${1over2}*AM*BC={1over2}*AB*BC*sin(ABC)$$
$$AM*ВС=AB*BC*sin(ABC)$$
$$AM=AB*sin(ABC)$$
$$AM=sqrt{13}*{3 over sqrt{13}}=3$$
- Второй способ – это достроить тупоугольный треугольник до прямоугольного. Если присмотреться, то можно заметить на чертеже два прямоугольных треугольника – это треугольники АМС и АМВ. В треугольнике АМВ можно найти косинус угла АВМ с помощью формул-приведений. Затем, через значение косинуса найти значение синуса того же угла. А синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащей катет – это искомая нами высота, а гипотенуза – это сторона АВ прямоугольного треугольника.
$$cos(ABM)=cos(180-ABC)=-cos(ABC)$$
$$cos(ABM)=-cos(ABC)={2over sqrt{13}}$$
Тогда синус, как и в первом способе, выразим через основное тригонометрическое тождество.
$$Sin(ABM)=sqrt{1-cos(ABM)^2}=sqrt{13-4over13}=sqrt{9over13}={3oversqrt{13}}$$
$$Sin(ABM)=AM/AB$$
$$AM=AB*sin(ABM)=sqrt{13}*{3oversqrt{13}}=3$$
- Третий метод – это теорема синусов и косинусов. Для того, чтобы воспользоваться этим способом, через теорему косинусов найдем значение АС, потом через теорему синусов найдем синус угла АСВ и определим АМ из синуса угла АСВ большого прямоугольного треугольника АМС.
$$АС=sqrt{AB^2+BC^2-2AB*BC*cos(ABC)}=$$
$$sqrt {sqrt{13}^2+2^2-2*sqrt{13}*{-2oversqrt{13}}}=$$
$$sqrt{13+4+8}=sqrt{25}=5$$ – по теореме косинусов.
$${АСover{sin(ABC)}}={ABover{sin(ACB)}}$$ – по теореме синусов.
Значение синуса угла АВС определим по основному тригонометрическому тождеству.
$$ Sin(ABC)=sqrt{1-cos^2(ABC)}=sqrt{13-{4over{4}}}=sqrt{9over{13}}={3oversqrt{13}}$$
Выразим искомый синус угла АСВ.
$$Sin(ACB)=AB*{sin(ABC)over{AC}}$$
$$Sin(ACB)=(sqrt{13}*{{3oversqrt{13}}over{5}})={3over5}$$
Выразим из треугольника АМС и найденного значения синуса сторону АМ.
$$Sin(ACB)={AMover AC}$$
$$AM=sin(ACB)*AC$$
$$AM={3over5}*{5}=3$$
Ответы всех трех способов совпали, а, значит, задача решена верно.
Что мы узнали?
Мы поговорили об определении тупоугольного треугольника. Узнали и посмотрели на практике, какие методы решения тупоугольных треугольников существуют, а также выяснили ,какие формулы и теоремы необходимо знать для успешного решения тупоугольного треугольника.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
-
Азамат Дильдабаев
5/5
-
Арина Алисултанова
5/5
-
Иван Дарьин
5/5
Оценка статьи
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 145.
А какая ваша оценка?
Содержание
- Виды треугольников
- Как определить вид треугольника
- Градусные меры острого, тупого, прямого углов в треугольниках
- Примеры остроугольного, прямоугольного и
тупоугольного треугольника
Виды треугольников
Остроугольный треугольник — это треугольник,
в котором все углы острые.
Прямоугольный треугольник — это треугольник,
в котором один из углов прямой.
Тупоугольный треугольник — это треугольник,
в котором один из углов тупой.
Как определить вид треугольника
Для того, чтобы понять какой треугольник — остроугольный, прямоугольный или тупоугольный
нужно знать какая градусная мера у углов в треугольнике.
Если один из углов в треугольнике прямой, значит треугольник прямоугольный. Все углы острые в треугольнике — значит треугольник остроугольный. Если в треугольнике один из углов тупой, значит треугольник тупоугольный.
В произвольном треугольнике все углы острые, или два угла острые, а третий прямой или тупой. Если в треугольнике вам известно, что один углов тупой или прямой, значит сумма двух других углов не больше 90 градусов.
В прямоугольном треугольнике стороны напротив острых углов называются катетами, а сторона напротив прямого угла называется гипотенузой.
Градусные меры острого, тупого, прямого углов в треугольниках
Чтобы понять как называется угол и как называется треугольник с этими углами — надо знать его градусную меру:
- Острый угол в любом из треугольников не больше 90 градусов.
- Прямой угол в любом из треугольников равен 90 градусам.
- Тупой угол в любом из треугольников больше 90 градусов, но меньше 180 градусов.
Примеры остроугольного, прямоугольного и
тупоугольного треугольника
Определение
Тупой угол — это угол, больший прямого, но меньший развёрнутого.
Градусная мера тупого угла — от 90º до 180º.
Например,
∠ABC, ∠DEF, ∠PTK — тупые углы.
Построить тупой угол заданной градусной меры можно с помощью транспортира.
Пример.
Построить с помощью транспортира угол 140º.
1) Отмечаем точку — вершину угла.
2) От точки проводим луч — сторону угла.
3) Отметку в центре транспортира (у разных моделей отметка может располагаться в разных местах) совмещаем с вершиной угла таким образом, чтобы отметка 0º находилась на стороне угла.
4) Находим 140º на той шкале, где находится 0º, и ставим точку.
5) От вершины угла к отмеченной точке проводим луч — вторую сторону угла.
На рисунках показано построение угла 140º с началом отсчёта по разным шкалам — по нижней и по верхней.
∠ABC=140º
∠MNK=140º
Чтобы найти тупой угол на рисунке при помощи угольника, нужно приложить вершину угольника к вершине угла так, чтобы сторона угольника проходила вдоль одной из сторон угла. Если угол тупой, то его другая сторона выйдет за вторую сторону угольника.
