Как найти у наибольшее без графика наименьшее

Наибольшее и наименьшее значение функции теория. Исследование графика функции. Квадратичная функция записана через координаты вершины параболы

На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.

Обычно мы определяем эти значения в рамках некоторого интервала x , который может в свою очередь соответствовать всей области определения функции или ее части. Это может быть как отрезок [ a ; b ] , так и открытый интервал (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , бесконечный интервал (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) либо бесконечный промежуток — ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

В этом материале мы расскажем, как вычисляется наибольшее и наименьшее значение явно заданной функции с одной переменной y=f(x) y = f (x) .

Основные определения

Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.

Определение 1

Наибольшее значение функции y = f (x) на некотором промежутке x – это значение m a x y = f (x 0) x ∈ X , которое при любом значении x x ∈ X , x ≠ x 0 делает справедливым неравенство f (x) ≤ f (x 0) .

Определение 2

Наименьшее значение функции y = f (x) на некотором промежутке x – это значение m i n x ∈ X y = f (x 0) , которое при любом значении x ∈ X , x ≠ x 0 делает справедливым неравенство f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Данные определения являются достаточно очевидными. Еще проще можно сказать так: наибольшее значение функции – это ее самое большое значение на известном интервале при абсциссе x 0 , а наименьшее – это самое маленькое принимаемое значение на том же интервале при x 0 .

Определение 3

Стационарными точками называются такие значения аргумента функции, при которых ее производная обращается в 0 .

Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или наибольшее значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.

Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.

Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы может определить наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с бесконечным интервалом. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения.

В этих случаях определить наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.

Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:

Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения (m a x y и m i n y) в стационарных точках, расположенных на отрезке [ — 6 ; 6 ] .

Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [ 1 ; 6 ] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.

На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка [ — 3 ; 2 ] . Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.

Теперь посмотрим на четвертый рисунок. В нем функция принимает m a x y (наибольшее значение) и m i n y (наименьшее значение) в стационарных точках на открытом интервале (- 6 ; 6) .

Если мы возьмем интервал [ 1 ; 6) , то можно сказать, что наименьшее значение функции на нем будет достигнуто в стационарной точке. Наибольшее значение нам будет неизвестно. Функция могла бы принять наибольшее значение при x , равном 6 , если бы x = 6 принадлежала интервалу. Именно этот случай нарисован на графике 5 .

На графике 6 наименьшее значение данная функция приобретает в правой границе интервала (- 3 ; 2 ] , а о наибольшем значении мы не можем сделать определенных выводов.

На рисунке 7 мы видим, что функция будет иметь m a x y в стационарной точке, имеющей абсциссу, равную 1 . Наименьшего значения функция достигнет на границе интервала с правой стороны. На минус бесконечности значения функции будут асимптотически приближаться к y = 3 .

Если мы возьмем интервал x ∈ 2 ; + ∞ , то увидим, что заданная функция не будет принимать на нем ни наименьшего, ни наибольшего значения. Если x стремится к 2 , то значения функции будут стремиться к минус бесконечности, поскольку прямая x = 2 – это вертикальная асимптота. Если же абсцисса стремится к плюс бесконечности, то значения функции будут асимптотически приближаться к y = 3 . Именно этот случай изображен на рисунке 8 .

В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором отрезке.

1. Для начала найдем область определения функции. Проверим, входит ли в нее заданный в условии отрезок.
2. Теперь вычислим точки, содержащиеся в данном отрезке, в которых не существует первой производной. Чаще всего их можно встретить у функций, аргумент которых записан под знаком модуля, или у степенных функций, показатель которых является дробно рациональным числом.
3. Далее выясним, какие стационарные точки попадут в заданный отрезок. Для этого надо вычислить производную функции, потом приравнять ее к 0 и решить получившееся в итоге уравнение, после чего выбрать подходящие корни. Если у нас не получится ни одной стационарной точки или они не будут попадать в заданный отрезок, то мы переходим к следующему шагу.
4. Определим, какие значения будет принимать функция в заданных стационарных точках (если они есть), или в тех точках, в которых не существует первой производной (если они есть), либо же вычисляем значения для x = a и x = b .
5. 5. У нас получился ряд значений функции, из которых теперь нужно выбрать самое больше и самое маленькое. Это и будут наибольшее и наименьшее значения функции, которые нам нужно найти.

Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.

Пример 1

Условие:
задана функция y = x 3 + 4 x 2 . Определите ее наибольшее и наименьшее значение на отрезках [ 1 ; 4 ] и [ — 4 ; — 1 ] .

Решение:

Начнем с нахождения области определения данной функции. В этом случае ей будет множество всех действительных чисел, кроме 0 . Иными словами, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Оба отрезка, заданных в условии, будут находиться внутри области определения.

Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:

y » = x 3 + 4 x 2 » = x 3 + 4 » · x 2 — x 3 + 4 · x 2 » x 4 = = 3 x 2 · x 2 — (x 3 — 4) · 2 x x 4 = x 3 — 8 x 3

Мы узнали, что производная функции будет существовать во всех точках отрезков [ 1 ; 4 ] и [ — 4 ; — 1 ] .

Теперь нам надо определить стационарные точки функции. Сделаем это с помощью уравнения x 3 — 8 x 3 = 0 . У него есть только один действительный корень, равный 2 . Он будет стационарной точкой функции и попадет в первый отрезок [ 1 ; 4 ] .

Вычислим значения функции на концах первого отрезка и в данной точке, т.е. для x = 1 , x = 2 и x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Мы получили, что наибольшее значение функции m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 будет достигнуто при x = 1 , а наименьшее m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – при x = 2 .

Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Значит, m a x y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y (- 4) = — 3 3 4 .

Ответ:
Для отрезка [ 1 ; 4 ] — m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , для отрезка [ — 4 ; — 1 ] — m a x y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y (- 4) = — 3 3 4 .

См. на рисунке:

Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.

1. Для начала нужно проверить, будет ли заданный интервал являться подмножеством области определения данной функции.
2. Определим все точки, которые содержатся в нужном интервале и в которых не существует первой производной. Обычно они бывают у функций, где аргумент заключен в знаке модуля, и у степенных функций с дробно рациональным показателем. Если же эти точки отсутствуют, то можно переходить к следующему шагу.
3. Теперь определим, какие стационарные точки попадут в заданный промежуток. Сначала приравняем производную к 0 , решим уравнение и подберем подходящие корни. Если у нас нет ни одной стационарной точки или они не попадают в заданный интервал, то сразу переходим к дальнейшим действиям. Их определяет вид интервала.

• Если интервал имеет вид [ a ; b) , то нам надо вычислить значение функции в точке x = a и односторонний предел lim x → b — 0 f (x) .
• Если интервал имеет вид (a ; b ] , то нам надо вычислить значение функции в точке x = b и односторонний предел lim x → a + 0 f (x) .
• Если интервал имеет вид (a ; b) , то нам надо вычислить односторонние пределы lim x → b — 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
• Если интервал имеет вид [ a ; + ∞) , то надо вычислить значение в точке x = a и предел на плюс бесконечности lim x → + ∞ f (x) .
• Если интервал выглядит как (- ∞ ; b ] , вычисляем значение в точке x = b и предел на минус бесконечности lim x → — ∞ f (x) .
• Если — ∞ ; b , то считаем односторонний предел lim x → b — 0 f (x) и предел на минус бесконечности lim x → — ∞ f (x)
• Если же — ∞ ; + ∞ , то считаем пределы на минус и плюс бесконечности lim x → + ∞ f (x) , lim x → — ∞ f (x) .

1. В конце нужно сделать вывод на основе полученных значений функции и пределов. Здесь возможно множество вариантов. Так, если односторонний предел равен минус бесконечности или плюс бесконечности, то сразу понятно, что о наименьшем и наибольшем значении функции сказать ничего нельзя. Ниже мы разберем один типичный пример. Подробные описания помогут вам понять, что к чему. При необходимости можно вернуться к рисункам 4 — 8 в первой части материала.

Пример 2

Условие: дана функция y = 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 . Вычислите ее наибольшее и наименьшее значение в интервалах — ∞ ; — 4 , — ∞ ; — 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Решение

Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен, который не должен обращаться в 0:

x 2 + x — 6 = 0 D = 1 2 — 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = — 1 — 5 2 = — 3 x 2 = — 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; — 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.

Теперь выполним дифференцирование функции и получим:

y » = 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 » = 3 · e 1 x 2 + x — 6 » = 3 · e 1 x 2 + x — 6 · 1 x 2 + x — 6 » = = 3 · e 1 x 2 + x — 6 · 1 » · x 2 + x — 6 — 1 · x 2 + x — 6 » (x 2 + x — 6) 2 = — 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x — 6 x 2 + x — 6 2

Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.

Перейдем к нахождению стационарных точек. Производная функции обращается в 0 при x = — 1 2 . Это стационарная точка, которая находится в интервалах (- 3 ; 1 ] и (- 3 ; 2) .

Вычислим значение функции при x = — 4 для промежутка (- ∞ ; — 4 ] , а также предел на минус бесконечности:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) — 6 — 4 = 3 e 1 6 — 4 ≈ — 0 . 456 lim x → — ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 = 3 e 0 — 4 = — 1

Поскольку 3 e 1 6 — 4 > — 1 , значит, m a x y x ∈ (- ∞ ; — 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 — 4 . Это не дает нам возможности однозначно определить наименьшее значение функции. Мы можем только сделать вывод, что внизу есть ограничение — 1 , поскольку именно к этому значению функция приближается асимптотически на минус бесконечности.

Особенностью второго интервала является то, что в нем нет ни одной стационарной точки и ни одной строгой границы. Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения функции мы вычислить не сможем. Определив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к — 3 с левой стороны, мы получим только интервал значений:

lim x → — 3 — 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 — 0 3 e 1 (x + 3) (x — 3) — 4 = 3 e 1 (- 3 — 0 + 3) (- 3 — 0 — 2) — 4 = = 3 e 1 (+ 0) — 4 = 3 e + ∞ — 4 = + ∞ lim x → — ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = 3 e 0 — 4 = — 1

Значит, значения функции будут расположены в интервале — 1 ; + ∞

Чтобы найти наибольшее значение функции в третьем промежутке, определим ее значение в стационарной точке x = — 1 2 , если x = 1 . Также нам надо будет знать односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к — 3 с правой стороны:

y — 1 2 = 3 e 1 — 1 2 2 + — 1 2 — 6 — 4 = 3 e 4 25 — 4 ≈ — 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 — 6 — 4 ≈ — 1 . 644 lim x → — 3 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x — 2) — 4 = 3 e 1 — 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 — 2) — 4 = = 3 e 1 (- 0) — 4 = 3 e — ∞ — 4 = 3 · 0 — 4 = — 4

У нас получилось, что наибольшее значение функция примет в стационарной точке m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y — 1 2 = 3 e — 4 25 — 4 . Что касается наименьшего значения, то его мы не можем определить. Все, что нам известно, – это наличие ограничения снизу до — 4 .

Для интервала (- 3 ; 2) возьмем результаты предыдущего вычисления и еще раз подсчитаем, чему равен односторонний предел при стремлении к 2 с левой стороны:

y — 1 2 = 3 e 1 — 1 2 2 + — 1 2 — 6 — 4 = 3 e — 4 25 — 4 ≈ — 1 . 444 lim x → — 3 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = — 4 lim x → 2 — 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x — 2) — 4 = 3 e 1 (2 — 0 + 3) (2 — 0 — 2) — 4 = = 3 e 1 — 0 — 4 = 3 e — ∞ — 4 = 3 · 0 — 4 = — 4

Значит, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y — 1 2 = 3 e — 4 25 — 4 , а наименьшее значение определить невозможно, и значения функции ограничены снизу числом — 4 .

Исходя из того, что у нас получилось в двух предыдущих вычислениях, мы можем утверждать, что на интервале [ 1 ; 2) наибольшее значение функция примет при x = 1 , а найти наименьшее невозможно.

На промежутке (2 ; + ∞) функция не достигнет ни наибольшего, ни наименьшего значения, т. е. она будет принимать значения из промежутка — 1 ; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x — 2) — 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3) (2 + 0 — 2) — 4 = = 3 e 1 (+ 0) — 4 = 3 e + ∞ — 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = 3 e 0 — 4 = — 1

Вычислив, чему будет равно значение функции при x = 4 , выясним, что m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 — 4 , и заданная функция на плюс бесконечности будет асимптотически приближаться к прямой y = — 1 .

Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.

Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

• область определения функции
• область значений функции
• нули функции
• промежутки возрастания и убывания
• точки максимума и минимума
• наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Уточним терминологию:

Абсцисса
— это координата точки по горизонтали.
Ордината
— координата по вертикали.
Ось абсцисс
— горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .
Ось ординат
— вертикальная ось, или ось .

Аргумент
— независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .

Область определения
функции — множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
Обозначается: или .

На нашем рисунке область определения функции — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции
— это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок — от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции
— точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .

Значения функции положительны
там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны
там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции
на некотором множестве . В качестве множества можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция возрастает

Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.

Функция убывает
на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции
.

Точка максимума
— это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше
, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке — точка максимума.

Точка минимума
— внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке — точка минимума.

Точка — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции
. В нашем случае это и .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции
на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции
— это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .

Можно сказать, что экстремумы функции равны и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции
на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции
на отрезке равно и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Иногда в задачах B15 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ.

В этом случае работают другие приемы, один из которых — монотонность
.

Функция f
(x
) называется монотонно возрастающей на отрезке , если для любых точек x
1 и x
2 этого отрезка выполняется следующее:

x
1

Функция f
(x
) называется монотонно убывающей на отрезке , если для любых точек x
1 и x
2 этого отрезка выполняется следующее:

x
1 f
(x
2
).

Другими словами, для возрастающей функции чем больше x
, тем больше f
(x
). Для убывающей функции все наоборот: чем больше x
, тем меньше
f
(x
).

Например, логарифм монотонно возрастает, если основание a
> 1, и монотонно убывает, если 0 0.

f
(x
) = log a
x
(a
> 0; a
≠ 1; x
> 0)

Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:

Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a
> 1 и убывает при 0 0:

f
(x
) = a x
(a > 0)

Наконец, степени с отрицательным показателем. Можно записывать их как дробь. Имеют точку разрыва, в которой монотонность нарушается.

Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. В них добавляют многочлены, дроби и прочий бред, из-за которого становится тяжело считать производную. Что при этом происходит — сейчас разберем.

Координаты вершины параболы

Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен
вида y
= ax
2 + bx
+ c
. Его график — стандартная парабола, в которой нас интересуют:

1. Ветви параболы — могут уходить вверх (при a
   > 0) или вниз (a
2. Вершина параболы — точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее (для a
   > 0) или наибольшее (a

Наибольший интерес представляет именно вершина параболы
, абсцисса которой рассчитывается по формуле:

Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее точка x
0 тоже будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

Точки экстремума квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно искать x
0 для квадратного трехчлена, а на функцию — забить.

Из приведенных рассуждений остается непонятным, какую именно точку мы получаем: максимума или минимума. Однако задачи специально составляются так, что это не имеет значения. Судите сами:

1. Отрезок в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять f
   (a
   ) и f
   (b
   ) не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума;
2. Но таких точек всего одна — это вершина параболы x
   0 , координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.

Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:

1. Выписать уравнение параболы y
   = ax
   2 + bx
   + c
   и найти ее вершину по формуле: x
   0 = −b
   /2a
   ;
2. Найти значение исходной функции в этой точке: f
   (x
   0). Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

На первый взгляд, этот алгоритм и его обоснование могут показаться сложными. Я намеренно не выкладываю «голую» схему решения, поскольку бездумное применение таких правил чревато ошибками.

Рассмотрим настоящие задачи из пробного ЕГЭ по математике — именно там данный прием встречается чаще всего. Заодно убедимся, что таким образом многие задачи B15 становятся почти устными.

Под корнем стоит квадратичная функция y
= x
2 + 6x
+ 13. График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a
= 1 > 0.

Вершина параболы:

x
0 = −b
/(2a
) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке x
0 = −3 функция y
= x
2 + 6x
+ 13 принимает наименьшее значение.

Корень монотонно возрастает, значит x
0 — точка минимума всей функции. Имеем:

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

y
= log 2 (x
2 + 2x
+ 9)

Под логарифмом снова квадратичная функция: y
= x
2 + 2x
+ 9. График — парабола ветвями вверх, т.к. a
= 1 > 0.

Вершина параболы:

x
0 = −b
/(2a
) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1

Итак, в точке x
0 = −1 квадратичная функция принимает наименьшее значение. Но функция y
= log 2 x
— монотонная, поэтому:

y
min = y
(−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = … = log 2 8 = 3

В показателе стоит квадратичная функция y
= 1 − 4x
− x
2 . Перепишем ее в нормальном виде: y
= −x
2 − 4x
+ 1.

Очевидно, что график этой функции — парабола, ветви вниз (a
= −1

x
0 = −b
/(2a
) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Исходная функция — показательная, она монотонна, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке x
0 = −2:

Внимательный читатель наверняка заметит, что мы не выписывали область допустимых значений корня и логарифма. Но этого и не требовалось: внутри стоят функции, значения которых всегда положительны.

Следствия из области определения функции

Иногда для решения задачи B15 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка
, а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений
исходной функции. А именно:

Обратите внимание еще раз: ноль вполне может быть под корнем, но в логарифме или знаменателе дроби — никогда. Посмотрим, как это работает на конкретных примерах:

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

Под корнем снова квадратичная функция: y
= 3 − 2x
− x
2 . Ее график — парабола, но ветви вниз, поскольку a
= −1

Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):

3 − 2x
− x
2 ≥ 0 ⇒ x
2 + 2x
− 3 ≤ 0 ⇒ (x
+ 3)(x
− 1) ≤ 0 ⇒ x
∈ [−3; 1]

Теперь найдем вершину параболы:

x
0 = −b
/(2a
) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Точка x
0 = −1 принадлежит отрезку ОДЗ — и это хорошо. Теперь считаем значение функции в точке x
0 , а также на концах ОДЗ:

y
(−3) = y
(1) = 0

Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее — это число 2.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

y
= log 0,5 (6x
− x
2 − 5)

Внутри логарифма стоит квадратичная функция y
= 6x
− x
2 − 5. Это парабола ветвями вниз, но в логарифме не может быть отрицательных чисел, поэтому выписываем ОДЗ:

6x
− x
2 − 5 > 0 ⇒ x
2 − 6x
+ 5

Обратите внимание: неравенство строгое, поэтому концы не принадлежат ОДЗ. Этим логарифм отличается от корня, где концы отрезка нас вполне устраивают.

Ищем вершину параболы:

x
0 = −b
/(2a
) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Вершина параболы подходит по ОДЗ: x
0 = 3 ∈ (1; 5). Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только в точке x
0:

y
min = y
(3) = log 0,5 (6 · 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

(blacktriangleright)
Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке ()
, необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания ((f»>0)
) и убывания ((f»

(blacktriangleright)
Не стоит забывать, что наибольшее/наименьшее значение функция может принимать не только во внутренних точках отрезка ()
, а также на его концах. 2 + 1}} = 0qquadLeftrightarrowqquad x = 0,.]
Производная существует при любом (x)
.

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y»)
:

3) Найдём промежутки знакопостоянства (y»)
на рассматриваемом отрезке ([-1; 1])
:

4) Эскиз графика на отрезке ([-1; 1])
:

Таким образом, наибольшего на ([-1; 1])
значения функция достигает в (x = -1)
или в (x = 1)
. Сравним значения функции в этих точках.

Итого: (2)
– наибольшее значение функции (y)
на ([-1; 1])
.

Ответ:
2

Задание
3
#2356

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции (y = cos 2x)
на отрезке ()
.

ОДЗ: (x)
– произвольный.

1)

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0)
или не существует): [-2cdot sin 2x = 0qquadLeftrightarrowqquad 2x = pi n, ninmathbb{Z}qquadLeftrightarrowqquad x = dfrac{pi n}{2}, ninmathbb{Z},. 2 — 12x + 36 + 2ln 2)})
.

С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования… Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X
, который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X
может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком .

В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x)
.

Навигация по странице.

Наибольшее и наименьшее значение функции — определения, иллюстрации.

Кратко остановимся на основных определениях.

Наибольшим значением функции
, что для любого справедливо неравенство .

Наименьшим значением функции
y=f(x)
на промежутке X
называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .

Стационарные точки
– это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X
в одной из стационарных точек из этого промежутка.

Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.

Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:»Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции»? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X
совпадают с границами области определения функции или интервал X
бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.

На отрезке

На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y
) и наименьшее (min y
) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6]
.

Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на
. В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее — в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.

На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2]
являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.

На открытом интервале

На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y
) и наименьшее (min y
) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6)
.

На интервале
, о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.

На бесконечности

В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y
) в стационарной точке с абсциссой x=1
, а наименьшее значение (min y
) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3
.

На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2
справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2
является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3
. Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке
.

Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок
   .
2. Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке
   (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
3. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок
   . Для этого, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
4. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a
   и x=b
   .
5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее — они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.

Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

• на отрезке
  ;
• на отрезке [-4;-1]
  .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.

Находим производную функции по :

Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков
и [-4;-1]
.

Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2
. Эта стационарная точка попадает в первый отрезок
.

Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1
, x=2
и x=4
:

Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1
, а наименьшее значение – при x=2
.

Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1]
(так как он не содержит ни одной стационарной точки):

Решение.

Начнем с области определения функции. Квадратный трехчлен в знаменателе дроби не должен обращаться в ноль:

Легко проверить, что все интервалы из условия задачи принадлежат области определения функции.

Продифференцируем функцию:

Очевидно, производная существует на всей области определения функции.

Найдем стационарные точки. Производная обращается в ноль при . Эта стационарная точка попадает в интервалы (-3;1]
и (-3;2)
.

А теперь можно сопоставить полученные в каждом пункте результаты с графиком функции. Синими пунктирными линиями обозначены асимптоты.

На этом можно закончить с нахождением наибольшего и наименьшего значения функции. Алгоритмы, разобранные в этой статье, позволяют получить результаты при минимуме действий. Однако бывает полезно сначала определить промежутки возрастания и убывания функции и только после этого делать выводы о наибольшем и наименьшем значении функции на каком-либо интервале. Это дает более ясную картину и строгое обоснование результатов.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

функция возрастает
Предположим, что функция f
не имеет на отрезке [а; b] критических
точек.
наибольшее
значение
наименьшее
значение
Тогда она возрастает (рис. 1) или
убывает (рис. 2) на этом отрезке.
a
b
функция убывает
наибольшее
значение
наименьшее
значение
a
b
Значит,
наибольшее и наименьшее значения
функции f на отрезке [а; b] — это
значения в концах а и b.
Примеры
Пусть теперь функция f имеет на
отрезке [а; b] конечное число
критических точек.
наибольшее
значение
наименьшее
значение
a c
b
наибольшее
значение
наибольшее
значение
наименьшее
значение
наименьшее
значение
a c
n b
Наибольшее и наименьшее
значения функция f может
принимать в критических точках
функции или в точках а и b.
Чтобы найти наибольшее и
наименьшее значения функции,
имеющей на отрезке конечное
число критических точек, нужно
вычислить значения функции во
всех критических точках и на
концах отрезка, а затем из
полученных чисел выбрать
наибольшее и наименьшее.
1.
Этапы
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее или
наибольшее
Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3×2 – 27
3
-3
2) y / = 3×2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
x = 3 [0; 4]
x = –3 [0; 4]
3) y(0) = 0
y(4) = 43– 27 4 = – 44
y(3) = 33– 27 3 = –54
В 11
— 5 4
3
10 х
х
Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.
Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
Значения функции в
концах отрезка.
1) y(0) = 0
y(4) = 43– 27 4 = – 44
3
-3
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
2) y / = 3×2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
y(3) = 33– 27 3 = –54
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
x = 3 [0; 4]
x = –3 [0; 4]
В 11
— 5 4
3
10 х
х
2. Найдите наибольшее значение функции y = x3 – 3x + 4
на отрезке [– 2; 0]
Значения функции в
концах отрезка.
1) y(0) = 4
y(-2) = (-2)3– 3 (-2) +4 = 2
1
-1
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
2) y / = 3×2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1)
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
y(-1) = (-1)3– 3 (-1) + 4 = 6
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
x = 1 [-2; 0]
x = –1 [-2; 0]
В 11
6
3
10 х
х
3. Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 2×2 + x +3
на отрезке [ 1; 4 ]
Значения функции в
концах отрезка.
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
1) y(1) = 1 – 2 + 1 + 3 = 3
y(4) = 43– 2 42 + 4 + 3 = 39
2) y / = 3×2 – 4x + 1= 3(x – 1)(x – 1 )
3
3×2 – 4x + 1 = 0
D=16–4*3*1=4
4+2
x1=
= 1 [1; 4]
6
4-2
1
= [1; 4]
x2=
6
3
y(1) = 3
В 11
3
3
10 х
х
x3
9x 7
4. Найдите наибольшее значение функции y
3
на отрезке [ -3; 3 ]
3
( 3)
Значения функции в
у ( 3)
9( 3) 7 9 27 7 11
концах отрезка.
3
33
у (3) 9 3 7 9 27 7 25
3
2
Найдем критические
3
х
точки, которые
у/
9 х 2 9 ( х 3)( х 3)
3
принадлежат
заданному отрезку.
x = 3 [-3; 3]
x = –3 [-3; 3]
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
y(-3) = 11
y(-3) = -25
В 11
1 1
3
10 х
х
5. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]
Значения функции в
концах отрезка.
3
2
3
2
3
2
y x 3x 1
у(1) 1 3 1 1 1 3 1 1
3
2 2
у (9) 9 3 9 1 (3 ) 27 1
27 27 1 1
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
3
х 3 0
3
3
/
у х 3
х 3 2
2
2
3 х 6 0
1
2
х 2
х 4 [1; 9]
3
2
3
2 2
у (4) 4 3 4 1 (2 ) 12 1
8 12 1 3
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
В 11
1
3
10 х
х
2
6. Найдите наименьшее значение функции y x х 3 x 1
3
на отрезке [ 1; 9 ]
Значения функции в
концах отрезка.
3
2
3
2
y x 2 31x 1
х 21 3
x 1 1 1
у(1) 1 3y
1 x1
3
2 2
у (9) 9 3 9 13 (3 ) 27 1
y х 2 3x 1
27 27 1 1
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
1
Запишем функцию
3 в удобном
х 3 виде
0 2
для дифференцирования
3 2
3
/
у х 3
х 3 2
2
2
3 х 6 0
х 2
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
х 4 [1; 9]
3
2
3
2 2
у (4) 4 3 4 1 (2 ) 12 1
8 12 1 3
В 11
— 3
3
10 х
х
х 2 25
7. Найдите наименьшее значение функции y
х
на отрезке [-10; 1 ]
1
D(y): x = 0
y x 25
х
Значения функции в
1
2
концах отрезка.
х
25
у ( 10) 10 25
10 2,5 12,5
y
10
/
х
х
1
1
у (1) 1 25 26
2
1
х
y х 25
х
2
1
25
х
25
х
Найдем критические
у / 1 Запишем
25 функцию
1
в
2
2 удобном
2
точки, которые
х
хвиде
х
для
дифференцирования
принадлежат
( х 5)( х 5)
x = 5 [-10; 1]
заданному отрезку.
х2
x = –5 [-10; 1]
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
x = 0 D(y)
1
у ( 5) 5 25
5 5 10
5
В 11
— 1 2 , 5
3
10 х
х
Задание 1
Найти наибольшее и наименьшее
значение функции у = х³ — 3х² — 45х + 1
на [-4; 6] без построения графика.
Задание 2.
Найти наибольшее и наименьшее
значение функции у = х³ — 5х² + 7х
на [-1; 2] без построения графика.

English    
Русский
Правила

Наибольшее и наименьшее значения функции

Программа Python для поиска наименьшего числа в списке

Нам дан список чисел, и наша задача состоит в том, чтобы написать программу Python для поиска наименьшего числа в заданном списке. Для следующей программы мы можем использовать различные методы, включая встроенный метод min, сортировку массива и возврат последнего элемента и т. д.
Пример:

 Ввод: list1 = [10, 20, 4]
Выход : 4
Ввод: список2 = [20, 10, 20, 1, 100]
Вывод: 1 

Сортировка списка для поиска наименьшего числа в списке

В порядке возрастания

Здесь пишем программу на Python, в которой мы сортируем весь список, а затем возвращаем первый элемент, поскольку он будет наименьшим элементом, присутствующим в списке.

Python3

Output: 

 наименьший элемент: 4 

В порядке убывания

Здесь мы сортируем с помощью функции sort() весь список, а затем возвращаем последний элемент, поскольку он будет самым маленьким элементом в списке.

Python3

 Наименьший элемент: 1 

 Введите количество элементов в списке: 4
Введите элементы: 12
Введите элементы: 19
Введите элементы: 11
Введите элементы: 99
Smallest element is: 11 

 Список: 23, -1,45,22. 6,78,1006, -5 
 
 
: 23, -1,45,22,6,6,78,1008 
 
 
 
 
. 
  Вывод:    
 
 Список ['23', '-1', '45', '22,6', '78', '100', '-5']
Наименьший элемент в списке - -5 
 Использование лямбда-функции для поиска наименьшего числа в списке 
 Здесь мы используем лямбда-функцию для вывода наименьшего числа, присутствующего в списке. 
 Python3 

   lst     =    [    20    ,     10    ,     20    ,     1    ,     100    ]  
   print    (    min    (lst, key    =    lambda    value:     int    (value)) )   

  Вывод:  
 1 
 Использование функции enumerate для поиска наименьшего числа в списке 
 Здесь мы перебираем список с помощью функции enumerate() и возвращаем последний элемент.  
 Python3 

   lst     =    [    20    ,     10    ,     20    ,     1    ,     100    ]   
   a,i     =    min    ((a,i)     for    (i,a)     in    enumerate    (lst))   
   print    ( a)  

  Вывод:  
 1 
 
 Макс и Мин куба без исчисления – Доктора математики 
 . Другая стандартная задача исчисления — найти максимум или минимум функции; это обычно делается в случае параболы (квадратичной функции) с помощью алгебры, но можно ли это сделать с кубической функцией? Да, если вы немного предприимчивы! 
 Вот вопрос из 2003 года: 
 Максимум и минимум функций без производной

Мне было любопытно узнать, есть ли общий способ найти максимум и минимум кубических функций без использования производных.  В нашей книге это делается с помощью графических калькуляторов, но мне было интересно, есть ли способ найти критические точки без производных. Любая помощь приветствуется! 
 Я не думаю, что когда-либо думал об этом раньше, но идеи, подобные тем, что мы видели в прошлый раз, подсказывали способ сделать это. Я ответил: 
 Да, есть способ, и он может оказаться очень поучительным!

Посмотрите на график куба и вспомните, что если многочлен имеет двойной корень, он будет касаться оси x (здесь Q): 
 (двойной корень соответствует квадрату множителя .) 
 Таким образом, если мы сместим общую кубическую фигуру по вертикали на нужную величину, она будет иметь двойной корень в одной из точек поворота. 
 На этом рисунке сплошная линия представляет заданный кубик, а пунктирная линия — результат его смещения вниз на некоторое значение D, так что точка поворота находится на оси x. D, очевидно, является координатой Y точки поворота. 92 = д-д
У нас есть три уравнения (игнорируя первое, просто потому, что я умножил свою факторизованную форму на a в первую очередь) с тремя неизвестными, p, q и D, поэтому мы можем найти двойной корень q, который равен расположение точки поворота. 2 + 2bq + c = 0), как и следовало ожидать, учитывая, что x = q; поэтому нам не нужно выполнять этот шаг. 
 Еще один сюрприз — или был? Как только мы узнаем q, мы находим координату y точки поворота, просто оценивая исходное уравнение при x = q. Нам вообще не нужно было использовать это четвертое уравнение. 
 Это работа, которую нужно было проделать до того, как была изобретена математика. Во многих случаях исчисление на самом деле является просто сокращением от алгебры.

Спасибо, что задали вопрос, потому что я никогда раньше не рассматривал подход к нему без исчисления! 
 Рой ответил, 92 = 0
«-D» немного сбивает с толку, чтобы понять, откуда вы это взяли. Как (или где?) вы получили его для составления первого уравнения? Какое значение оно играет в этой аналогии?
Я думаю, что понимаю основную суть того, чего вы пытаетесь достичь здесь. Я понимаю аналогию с тем, что (я ДУМАЮ) мы сначала изображаем общий кубический граф, у которого нет поворотных точек, касающихся оси x.  Если мы сможем переместить такой график на нужную величину по вертикали, мы получим кубический график, в котором одна из точек поворота касается оси X, делая ось касательной к этой точке (мы получаем двойной корень).
Таким образом, с учетом сказанного (каким бы глупым это ни казалось, но я, возможно, ответил на свой вопрос), является ли «D» разностью вертикальной составляющей вектора, используемого для перевода общего кубического графа для получения второго графа, который имеет хотя бы одну точку поворота по оси абсцисс? 92
Здесь появляется двойной корень; и, следовательно, ось x является касательной к кривой в точке x = 3, что дает минимум. Связана ли как-то буква «Д» с этой аналогией? Является ли D разницей между исходным пересечением графика (-11) и переведенным графиком (-9)? Так будет ли D (в этом конкретном примере) равным -11 - (-9) = -2?
Но, сказав все это, доктор Математика... если приведенная выше аналогия верна, это было достигнуто благодаря чистой удаче: я сознательно выбрал уравнение (x - 1)(x - 3)^2 и просто манипулировал им. 2 + 15x - 11 - D
Здесь «==» означает «тождественно равно». То есть они должны быть равны для всех x. Обратите внимание, что наше «а» равно 1,9.2 - 22/27
Вы можете проверить это, чтобы убедиться, что это правда.
Надеюсь, это поможет! Было интересно вернуться к этому старому обсуждению и посмотреть на него с другой стороны. 
 Юсуф ответил: 
 Я хочу сказать вам ОГРОМНОЕ спасибо за то, что помогли прояснить эту статью самым тонким способом. Вы объяснили это в примере, и все это отлично щелкнуло. Теперь я могу легко связать пункты в примере с алгебраическим доказательством — и все благодаря вашей помощи! 
 Excel MIN и MAX Примеры функций Видео MINIFS MAXIFS 




 МИН. и МАКС. с критериями 
 В Excel 2019 или Excel для Office 365 вы можете использовать функции MINIFS и MAXIFS, показанные ниже, чтобы найти минимальное или максимальное значение на основе одного или нескольких критериев. 
 В более ранних версиях Excel функции МИНИ-СЛИМН и МАКС-СЛИ-ФМ недоступны, поэтому вы можете использовать формулу МИН-ЕСЛИ или функцию МАКСИ-СЛИ, показанную ниже.  
 Функция MINIFS 
 Используйте функцию MINIFS, чтобы найти наименьшее число на основе одного или нескольких критериев. 
 MINIFS имеет 3 обязательных аргумента в своем синтаксисе: 

  min_range  : Диапазон, в котором будет найдено минимальное значение 
  range1  : Первый диапазон для проверки критерия 
  критерии1  : Первый критерий 

 MINIFS — один критерий 
 Например, эта формула (для Excel 365) находит минимальное количество для названия продукта в ячейке B6. 

  =MINIFS(tblProdCust[Qty], tblProdCust[Product], B4#)  

 В ячейке B4 есть формула разлива для создания уникального списка продуктов. В формуле MINIFS есть оператор сброса (#) в конце этой ссылки на ячейку —  B4#  — так что результаты MINIFS также переносятся вниз.  
  Excel 2019  : формулы переноса недоступны в Excel 2019. В этой версии обратитесь к ячейке B4 без оператора переноса и вручную скопируйте формулу вниз. 

  =MINIFS(tblProdCust[Qty], tblProdCust[Product], B4   )  

 MINIFS - два критерия 
 Чтобы использовать два или более критериев с MINIFS, используйте необязательные аргументы для дополнительных диапазонов критериев и критериев. 
 MINIFS имеет необязательные пары аргументов в своем синтаксисе для диапазонов критериев и критериев: 

  от диапазона 1 до диапазона 126  : необязательные диапазоны для проверки критерия 
  Критерий 1 - Критерий 126  : необязательные критерии, для диапазонов критериев соответствия 

 Например, эта формула (для Excel 365) находит минимальное количество для клиента, выбранного в ячейке C3, и название продукта в ячейке B6.  

  =MINIFS(tblProdCust[Qty], tblProdCust[Product], B6#, tblProdCust[Cust], $C$3)  

 В ячейке B6 есть формула разлива для создания уникального списка продуктов. Формула MINIFS относится к той ячейке с оператором разлива —  B6#  — поэтому результаты MINIFS тоже разливаются вниз. 
  Excel 2019  : формулы переноса недоступны в Excel 2019. В этой версии обратитесь к ячейке B6 без оператора сброса и вручную скопируйте формулу вниз. 

  =MINIFS(tblProdCust[Qty], tblProdCust[Product], B6, tblProdCust[Cust], $C$3)  







 Функция МАКСИФС 
 В Excel 2019 или Excel для Office 365 вы можете использовать функцию МАКСИФМН, чтобы найти максимальное значение на основе одного или нескольких критериев. Для более ранних версий Excel используйте функцию MAXIFS, показанную ниже.  
 MAXIFS имеет 3 обязательных аргумента в своем синтаксисе: 

  max_range  : Диапазон, в котором будет найдено максимальное значение 
  range1  : Первый диапазон для проверки критерия 
  критерии1  : Первый критерий 

 MAXIFS — один критерий 
 MAXIFS имеет необязательные пары аргументов в своем синтаксисе для диапазонов критериев и критериев: 

  диапазон от 1 до диапазон 126  : необязательные диапазоны для проверки критерия 
  Критерий 1 - Критерий 126  : необязательные критерии, для диапазонов критериев соответствия 

 Например, эта формула (для Excel 365) находит максимальное количество для названия продукта в ячейке B6. 

  =MAXIFS(tblProdCust[Qty], tblProdCust[Product], B4#)  

 В ячейке B6 есть формула разлива для создания уникального списка продуктов.  Формула MAXIFS имеет оператор разлива (#) в конце этой ссылки на ячейку --  B4#  -- так что результаты MAXIFS тоже выпадают. 
  Excel 2019  : формулы переноса недоступны в Excel 2019. В этой версии обратитесь к ячейке B4 без оператора переноса и вручную скопируйте формулу вниз. 

  =MAXIFS(tblProdCust[Qty], tblProdCust[Product], B4)  

 MAXIFS — два критерия 
 Чтобы использовать два или более критериев с MAXIFS, используйте необязательные аргументы для дополнительных диапазонов критериев и критериев. 
 Например, эта формула (для Excel 365) находит максимальное количество для клиента, выбранного в ячейке C3, и название продукта в ячейке B6. 

  =MAXIFS(tblProdCust[Qty], tblProdCust[Product], B6#, tblProdCust[Cust], $C$3)  

 В ячейке B6 есть формула разлива для создания уникального списка продуктов.  Формула MAXIFS относится к той ячейке с оператором разлива —  B6#  — поэтому результаты MAXIFS тоже разливаются вниз. 
  Excel 2019  : формулы переноса недоступны в Excel 2019. В этой версии обратитесь к ячейке B6 без оператора сброса и вручную скопируйте формулу вниз. 

  =MAXIFS(tblProdCust[Qty], tblProdCust[Product], B6, tblProdCust[Cust], $C$3)  







 МИН. ЕСЛИ Формула 
 Хотя в Excel есть функции СУММЕСЛИ и СЧЁТЕСЛИ,

            не является функцией MINIF. Чтобы создать свой собственный MINIF, вы можете комбинировать

            Функции МИН и ЕСЛИ в формуле массива. 
 В этом примере мы найдем наименьшее значение для определенного продукта.

            в списке продаж с несколькими продуктами. Формула будет введена

            в ячейке D2, затем копируется в D5. 
 Сначала введите функции МИН и ЕСЛИ и их открывающие скобки: 

  = МИН(ЕСЛИ(  

 Далее выберите названия товаров в списке продаж и нажмите клавишу F4

            ключ, чтобы заблокировать ссылку.  

  = МИН(ЕСЛИ($G$2:$G$17  

 Введите знак равенства и щелкните ячейку с критериями названия продукта.

            Эта ссылка не будет заблокирована. 

  = МИН(ЕСЛИ($G$2:$G$17=C2  

 Введите запятую, затем выберите ячейки количества в списке продаж. Нажимать

            клавишу F4, чтобы заблокировать эту ссылку. 

  = МИН(ЕСЛИ($G$2:$G$17=C2,$H$2:$H$17  

 Чтобы закончить формулу, введите две закрывающие скобки, а затем  нажмите

            Ctrl+Shift+Enter  для массива-введите формулу. 

  = МИН(ЕСЛИ($G$2:$G$17=C2,$H$2:$H$17))  

 В формуле в строке формул, показанной выше, вы можете видеть, что

            фигурные скобки были автоматически добавлены в начале и в конце

            формула, потому что она была введена массивом.  
 Если вы не видите эти фигурные скобки, значит, вы нажали Enter, а не

            Ctrl + Shift + Enter. Чтобы исправить это, щелкните где-нибудь в формуле

            бар и нажмите Ctrl + Shift + Enter. 
 Затем скопируйте формулу вниз, в строки ниже, чтобы увидеть минимум

            для каждого из продуктов. 
 МАКС. ЕСЛИ Формула 
 Хотя в Excel есть функции СУММЕСЛИ и СЧЁТЕСЛИ,

            не является функцией MAXIF. Чтобы создать свой собственный MAXIF, вы можете комбинировать

            Функции MAX и IF в формуле массива. 
 В этом примере мы найдем наибольшее значение для определенного продукта.

            в списке продаж с несколькими продуктами. 
 Сначала введите функции MAX и IF и их открывающие скобки: 

  =МАКС(ЕСЛИ(  

 Далее выберите названия товаров в списке продаж и нажмите клавишу F4

            ключ, чтобы заблокировать ссылку.  

  =МАКС(ЕСЛИ($G$2:$G$17  

 Введите знак равенства и щелкните ячейку с критериями названия продукта.

            Эта ссылка не будет заблокирована. 

  =МАКС(ЕСЛИ($G$2:$G$17=C2  

 Введите запятую, затем выберите ячейки количества в списке продаж. Нажимать

            клавишу F4, чтобы заблокировать эту ссылку. 

  =МАКС(ЕСЛИ($G$2:$G$17=C2,$H$2:$H$17  

 Чтобы закончить формулу, введите две закрывающие скобки, а затем  нажмите

            Ctrl+Shift+Enter  для массива-введите формулу. 

  =МАКС(ЕСЛИ($G$2:$G$17=C2,$H$2:$H$17))  

 В формуле в строке формул, показанной выше, вы можете видеть, что

            фигурные скобки были автоматически добавлены в начале и в конце

            формула, потому что она была введена массивом.  
 Если вы не видите эти фигурные скобки, значит, вы нажали Enter, а не

            Ctrl + Shift + Enter. Чтобы исправить это, щелкните где-нибудь в формуле

            бар и нажмите Ctrl + Shift + Enter. 
 Затем скопируйте формулу вниз, в строки ниже, чтобы увидеть минимум

            для каждого из продуктов. 
 МАКС. ЕСЛИ с несколькими критериями 
 В предыдущем примере мы нашли максимальное количество для определенного

            продукта, поэтому критерий был только один — название продукта. 
 Вы также можете использовать метод MAX IF с несколькими критериями,

            включение в формулу дополнительных функций ЕСЛИ. Например, если

            данные включают имя клиента, мы могли бы найти наибольшее количество

            для каждого продукта, для конкретного клиента. 
 Имя клиента вводится в ячейку  D1 .

            В ячейках C4:C7 перечислены названия продуктов.  
 Введите следующую формулу в ячейку D4 и введите ее в виде массива, нажав

            Ctrl+Shift+Ввод. Затем скопируйте формулу в ячейку D7. 

  =МАКС(ЕСЛИ($H$2:$H$17=C4,ЕСЛИ($I$2:$I$17=$D$1,$J$2:$J$17)))  


 Формула проверяет столбец H на наличие названий продуктов, соответствующих записи

              в ячейке С4. 
 Затем он проверяет столбец I на наличие имен клиентов, совпадающих с именем

              в ячейке D1. 
 Для этих строк находит наибольшее количество в столбце J. 







 Получить последнюю цену продукта 
 Если у вас есть список цен и дат продуктов, вы можете использовать формулу, чтобы найти последнюю дату ценообразования для определенного продукта: 

 MAXIFS (Excel 365 или Excel 2019) 
 МАКС./ПЧ (более ранние версии) 

 Затем используйте СУММЕСЛИМН или СУММПРОИЗВ, чтобы получить цену этого продукта,

            в эту дату.  
 Последняя цена с функцией MAXIFS 
 В Excel 2019 или Excel для Office 365 вы можете использовать эту формулу MAXIFS, чтобы найти последнюю цену. 
 В этом примере есть таблица цен с продуктом, клиентом, датой и ценой. 
 В решении можно использовать две формулы: одну для нахождения самой последней цены, а другую для нахождения цены на эту дату. 
 Эта формула в  C4  возвращает последнюю дату для выбранного продукта и клиента: 

  =MAXIFS(tblPrice[Дата], tblPrice[Продукт], A4, tblPrice[Cust], B4)  

 Далее эта формула в ячейке  D4  возвращает цену на эту дату, а также выбранный продукт и клиента: 

  =СУММЕСЛИМН(Ценатаблицы[Цена],Ценатаблицы[Продукт],A4,Ценатаблицы[Заказ],B4,Ценатаблицы[Дата],C4)  

 Или используйте эту универсальную формулу в ячейке  D6 , чтобы найти цену на последнюю дату: 

  =СУММЕСЛИМН(Цена_таблицы[Цена], Цена_таблицы[Продукт], A4, Цена_таблицы[Заказчик], B4, Цена_таблицы[Дата], МАКСИМС(Цена_таблицы[Дата], Цена_таблицы[Продукт], A4, Цена_таблицы[Цена_Заказчика], B4 ))  

 Последняя цена с формулой MAX/IF 
 В этом примере есть прайс-лист с продуктом, датой и ценой.  
 Чтобы найти самую последнюю цену на конкретный продукт, начните с использования MAX

            и ЕСЛИ, чтобы получить последнюю дату для этого продукта. Название продукта

            -- Ручки -- вводится в ячейку A12. 
 Чтобы найти последнюю дату ценообразования для этого продукта, введите следующее

            формула в ячейке B12 и  нажмите Ctrl + Shift

            + Введите  : 

  =МАКС(ЕСЛИ($A$2:$A$9=A12, $B$2:$B$9))  

 Затем, чтобы найти цену на этот продукт на эту дату, введите

            следующие СУММЕСЛИМН

            формула в ячейке C12: 

  =СУММЕСЛИМН($C$2:$C$9, $A$2:$A$9,A12, $B$2:$B$9,B12)  

 Функция СУММЕСЛИМН доступна в Excel 2007 и более поздних версиях.

            Для более ранних версий Excel вы можете использовать функцию СУММПРОИЗВ.

            функция: 

  =СУММПРОИЗВ(($A$2:$A$9=A12) *($B$2:$B$9=B12) *($C$2:$C$9))  







 MIN IF и MAX IF со сводной таблицей 
 При наличии некоторых данных простой способ найти наименьшее и наибольшее значения для определенного элемента — использовать сводную таблицу.  Он автоматически создает список всех элементов, и вы можете отображать суммы как минимум или максимум. 
 В этом видео показаны шаги, а под видео есть письменные инструкции. 
 Сводная таблица MIN IF и MAX IF 
 На приведенном ниже снимке экрана поле TotalPrice дважды добавлено в область значений. В одном столбце сводная функция сводного поля была изменена на MIN, а в другом — на MAX. 
 Из этой сводной таблицы можно быстро увидеть минимальную и максимальную суммы в зависимости от названия продукта. Например: 

 MIN IF Отруби - 48,62 
 MAX IF Брецели - 97,65 

 Сводная таблица MINIFS и MAXIFS 
 С помощью сводной таблицы вы также можете видеть минимальное и максимальное количество на основе нескольких критериев, таких как новые функции Excel MINIFS и MAXIFS. Например: 

 МИНИФС Восток, Барс - 20 
 MAXIFS West, Закуски - 114 

 Извлечь MIN и MAX из сводной таблицы 
 Если вам нужно использовать значения Min и Max из сводной таблицы в других формулах, используйте функцию GetPivotData.
No related posts.