Задачи на нахождение производной касательной включены в ЕГЭ по математике и встречаются там ежегодно. При этом статистика последних лет показывает, что подобные задания вызывают у выпускников определенные затруднения. Поэтому, если учащийся рассчитывает получить достойные баллы по итогам прохождения ЕГЭ, то ему непременно стоит научиться справляться с задачами из раздела «Угловой коэффициент касательной как значение производной в точке касания», подготовленными специалистами образовательного портала «Школково». Разобравшись с алгоритмом их решения, ученик сможет успешно преодолеть аттестационное испытание.
Основные моменты
Приступая к решению задач ЕГЭ по данной теме, необходимо вспомнить основное определение: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Необходимо освежить в памяти и другое важное определение. Оно звучит следующим образом: угловой коэффициент равняется тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс.
Какие еще важные моменты стоит отметить в этой теме? При решении задач на нахождение производной в ЕГЭ необходимо помнить, что угол, который образует касательная, может быть меньше, больше 90 градусов или равняться нулю.
Как подготовиться к экзамену?
Для того, чтобы задания в ЕГЭ на тему «Угловой коэффициент касательной как значение производной в точке касания» давались вам достаточно легко, воспользуйтесь при подготовке к выпускному испытанию информацией по этому разделу на образовательном портале «Школково». Здесь вы найдете необходимый теоретический материал, собранный и понятно изложенный нашими специалистами, а также сможете попрактиковаться в выполнении упражнений.
Для каждого задания, например, задач на тему «Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона», мы прописали правильный ответ и алгоритм решения. При этом учащиеся могут выполнять упражнения различного уровня сложности в режиме онлайн. В случае необходимости задачу можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы потом обсудить ее решение с преподавателем.
Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.
Определения и понятия
Угол наклона прямой y=kx+b называется угол α, который отсчитывается от положительного направления оси ох к прямой y=kx+b в положительном направлении.
На рисунке направление ох обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.
Угловой коэффициент прямой y=kx+b называют числовым коэффициентом k.
Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k=tg α.
- Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности ох и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0. Значит, вид уравнения будет y=b.
- Если угол наклона прямой y=kx+b острый, тогда выполняются условия 0<α<π2 или 0°<α<90°. Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию tg α>0, причем имеется возрастание графика.
- Если α=π2, тогда расположение прямой перпендикулярно ох. Равенство задается при помощи равенства x=c со значением с, являющимся действительным числом.
- Если угол наклона прямой y=kx+b тупой, то соответствует условиям π2<α<π или 90°<α<180°, значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f(x). Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.
По рисунку видно, что АВ является секущей, а f(x) – черная кривая, α – красная дуга, означающая угол наклона секущей.
Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника АВС можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.
Получаем формулу для нахождения секущей вида:
k=tg α=BCAC=f(xB)-fxAxB-xA, где абсциссами точек А и В являются значения xA, xB, а f(xA), f(xB) – это значения функции в этих точках.
Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k=f(xB)-f(xA)xB-xA или k=f(xA)-f(xB)xA-xB, причем уравнение необходимо записать как y=f(xB)-f(xA)xB-xA·x-xA+f(xA) или
y=f(xA)-f(xB)xA-xB·x-xB+f(xB).
Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.
По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.
Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у=0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.
Касательная к графику функции f(x) в точке x0; f(x0) называется прямая, проходящая через заданную точку x0; f(x0), с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x0.
Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y=x+1, считается касательной к y=2x в точке с координатами (1; 2). Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к (1; 2) значениями. Функция y=2x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.
Очевидно, что y=2x сливается с прямой у=х+1.
Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной АВ при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок.
Секущая АВ, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной αx.
Касательной к графику функции y=f(x) в точке А считается предельное положение секущей АВ при В стремящейся к А, то есть B→A.
Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.
Геометрический смысл производной функции в точке
Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где А и В с координатами x0, f(x0) и x0+∆x, f(x0+∆x), а ∆x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆y=∆f(x)=f(x0+∆x)-f(∆x). Для наглядности приведем в пример рисунок.
Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆y∆x=tg α. Из определения касательной следует, что lim∆x→0∆y∆x=tg αx. По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆x→0, тогда обозначим как f(x0)=lim∆x→0∆y∆x.
Отсюда следует, что f'(x0)=lim∆x→0∆y∆x=tg αx=kx, где kx обозначают в качестве углового коэффициента касательной.
То есть получаем, что f’(x) может существовать в точке x0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x0, f0(x0), где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x0. Тогда получаем, что kx=f'(x0).
Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.
Уравнение касательной прямой
Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x0 при пересечении.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0, f0(x0) принимает вид y=f'(x0)·x-x0+f(x0).
Имеется в виду, что конечным значением производной f'(x0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии limx→x0+0f'(x)=∞ и limx→x0-0f'(x)=∞ или отсутствие вовсе при условии limx→x0+0f'(x)≠limx→x0-0f'(x).
Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента kx=f'(x0). При параллельности к оси ох получаем, что kk=0, при параллельности к оу – kx=∞, причем вид уравнения касательной x=x0 возрастает при kx>0, убывает при kx<0.
Произвести составление уравнения касательной к графику функции y=ex+1+x33-6-33x-17-33 в точке с координатами (1; 3) с определением угла наклона.
Решение
По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, (1; 3) является точкой касания, тогда x0=-1, f(x0)=-3.
Необходимо найти производную в точке со значением -1. Получаем, что
y’=ex+1+x33-6-33x-17-33’==ex+1’+x33′-6-33x’-17-33’=ex+1+x2-6-33y'(x0)=y'(-1)=e-1+1+-12-6-33=33
Значение f’(x) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.
Тогда kx=tg αx=y'(x0)=33
Отсюда следует, что αx=arctg33=π6
Ответ: уравнение касательной приобретает вид
y=f'(x0)·x-x0+f(x0)y=33(x+1)-3y=33x-9-33
Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.
Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.
Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y=3·x-15+1 в точке с координатами (1;1). Составить уравнение и определить угол наклона.
Решение
По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.
Перейдем к нахождению производной
y’=3·x-15+1’=3·15·(x-1)15-1=35·1(x-1)45
Если x0=1, тогда f’(x) не определена, но пределы записываются как limx→1+035·1(x-1)45=35·1(+0)45=35·1+0=+∞ и limx→1-035·1(x-1)45=35·1(-0)45=35·1+0=+∞, что означает существование вертикальной касательной в точке (1;1).
Ответ: уравнение примет вид х=1, где угол наклона будет равен π2.
Для наглядности изобразим графически.
Найти точки графика функции y=115x+23-45×2-165x-265+3x+2, где
- Касательная не существует;
- Касательная располагается параллельно ох;
- Касательная параллельна прямой y=85x+4.
Решение
Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x∈-∞; 2 и [-2; +∞). Получаем, что
y=-115×3+18×2+105x+176, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12, x∈[-2; +∞)
Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что
y’=-115×3+18×2+105x+176′, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12′, x∈[-2; +∞)⇔y’=-15(x2+12x+35), x∈-∞; -215×2-4x+3, x∈[-2; +∞)
Когда х=-2, тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:
limx→-2-0y'(x)=limx→-2-0-15(x2+12x+35=-15(-2)2+12(-2)+35=-3limx→-2+0y'(x)=limx→-2+015(x2-4x+3)=15-22-4-2+3=3
Вычисляем значение функции в точке х=-2, где получаем, что
- y(-2)=115-2+23-45(-2)2-165(-2)-265+3-2+2=-2, то есть касательная в точке (-2;-2) не будет существовать.
- Касательная параллельна ох, когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда kx=tg αx=f'(x0). То есть необходимо найти значения таких х, когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f’(x) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной ох.
Когда x∈-∞; -2, тогда -15(x2+12x+35)=0, а при x∈(-2; +∞) получаем 15(x2-4x+3)=0.
Решим:
-15(x2+12x+35)=0D=122-4·35=144-140=4×1=-12+42=-5∈-∞; -2×2=-12-42=-7∈-∞; -2 15(x2-4x+3)=0D=42-4·3=4×3=4-42=1∈-2; +∞x4=4+42=3∈-2; +∞
Вычисляем соответствующие значения функции
y1=y-5=115-5+23-45-52-165-5-265+3-5+2=85y2=y(-7)=115-7+23-45(-7)2-165-7-265+3-7+2=43y3=y(1)=1151+23-45·12-165·1-265+31+2=85y4=y(3)=1153+23-45·32-165·3-265+33+2=43
Отсюда -5; 85, -4; 43, 1; 85, 3; 43 считаются искомыми точками графика функции.
Рассмотрим графическое изображение решения.
Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.
- Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 85 . Для этого нужно решить уравнение вида y'(x)=85. Тогда, если x∈-∞; -2, получаем, что -15(x2+12x+35)=85, а если x∈(-2; +∞), тогда 15(x2-4x+3)=85.
Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что
-15×2+12x+35=85×2+12x+43=0D=122-4·43=-28<0
Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда
15(x2-4x+3)=85×2-4x-5=0D=42-4·(-5)=36×1=4-362=-1∈-2; +∞x2=4+362=5∈-2; +∞
Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что
y1=y(-1)=115-1+23-45(-1)2-165(-1)-265+3-1+2=415y2=y(5)=1155+23-45·52-165·5-265+35+2=83
Точки со значениями -1; 415, 5; 83 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y=85x+4.
Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y=85x+4, синяя линия – касательные в точках -1; 415, 5; 83.
Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.
Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y=3cos32x-π4-13, которые располагаются перпендикулярно прямой y=-2x+12.
Решение
Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется -1, то есть записывается как kx·k⊥=-1. Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k⊥=-2, тогда kx=-1k⊥=-1-2=12.
Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х, после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x0 получаем, что kx=y'(x0). Из данного равенства найдем значения х для точек касания.
Получаем, что
y'(x0)=3cos32x0-π4-13’=3·-sin32x0-π4·32×0-π4’==-3·sin32x0-π4·32=-92·sin32x0-π4⇒kx=y'(x0)⇔-92·sin32x0-π4=12⇒sin32x0-π4=-19
Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.
32×0-π4=arcsin-19+2πk или 32×0-π4=π-arcsin-19+2πk
32×0-π4=-arcsin19+2πk или 32×0-π4=π+arcsin19+2πk
x0=23π4-arcsin19+2πk или x0=235π4+arcsin19+2πk, k∈Z
Z- множество целых чисел.
Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у:
y0=3cos32x0-π4-13
y0=3·1-sin232x0-π4-13 или y0=3·-1-sin232x0-π4-13
y0=3·1–192-13 или y0=3·-1–192-13
y0=45-13 или y0=-45+13
Отсюда получаем, что 23π4-arcsin19+2πk; 45-13, 235π4+arcsin19+2πk; -45+13 являются точками касания.
Ответ: необходимы уравнения запишутся как
y=12x-23π4-arcsin19+2πk+45-13,y=12x-235π4+arcsin19+2πk-45+13, k∈Z
Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.
Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [-10;10], где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y=-2x+12. Красные точки – это точки касания.
Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе
Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.
Касательная к окружности
Для задания окружности с центром в точке xcenter; ycenter и радиусом R применяется формула x-xcenter2+y-ycenter2=R2.
Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:
y=R2-x-xcenter2+ycentery=-R2-x-xcenter2+ycenter
Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.
Для составления уравнения окружности в точке x0; y0, которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y=R2-x-xcenter2+ycenter или y=-R2-x-xcenter2+ycenter в указанной точке.
Когда в точках xcenter; ycenter+R и xcenter; ycenter-R касательные могут быть заданы уравнениями y=ycenter+R и y=ycenter-R, а в точках xcenter+R; ycenter и
xcenter-R; ycenter будут являться параллельными оу, тогда получим уравнения вида x=xcenter+R и x=xcenter-R.
Касательная к эллипсу
Когда эллипс имеет центр в точке xcenter; ycenter с полуосями a и b, тогда он может быть задан при помощи уравнения x-xcenter2a2+y-ycenter2b2=1.
Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что
y=ba·a2-(x-xcenter)2+ycentery=-ba·a2-(x-xcenter)2+ycenter
Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны ох или оу. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.
Написать уравнение касательной к эллипсу x-324+y-5225=1 в точках со значениями x равного х=2.
Решение
Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х=2. Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что
x-324x=2+y-5225=114+y-5225=1⇒y-52=34·25⇒y=±532+5
Тогда 2; 532+5 и 2; -532+5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.
Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y. Получим, что
x-324+y-5225=1y-5225=1-x-324(y-5)2=25·1-x-324y-5=±5·1-x-324y=5±524-x-32
Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y=5+524-x-32, а нижний y=5-524-x-32.
Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2; 532+5 будет иметь вид
y’=5+524-x-32’=52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==-52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=-52·2-34-(2-3)2=523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=523(x-2)+532+5
Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2; -532+5 принимает вид
y’=5-524-(x-3)2’=-52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=52·2-34-(2-3)2=-523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=-523(x-2)-532+5
Графически касательные обозначаются так:
Касательная к гиперболе
Когда гипербола имеет центр в точке xcenter; ycenter и вершины xcenter+α; ycenter и xcenter-α; ycenter, имеет место задание неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=1, если с вершинами xcenter; ycenter+b и xcenter; ycenter-b, тогда задается при помощи неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=-1.
Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида
y=ba·(x-xcenter)2-a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2-a2+ycenter или y=ba·(x-xcenter)2+a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2+a2+ycenter
В первом случае имеем, что касательные параллельны оу, а во втором параллельны ох.
Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.
Составить уравнение касательной к гиперболе x-324-y+329=1 в точке 7; -33-3.
Решение
Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что
x-324-y+329=1⇒y+329=x-324-1⇒y+32=9·x-324-1⇒y+3=32·x-32-4 или y+3=-32·x-32-4⇒y=32·x-32-4-3y=-32·x-32-4-3
Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7; -33-3.
Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y(7)=32·(7-3)2-4-3=33-3≠-33-3, тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.
Для второй функции имеем, что y(7)=-32·(7-3)2-4-3=-33-3≠-33-3, значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.
Получаем, что
y’=-32·(x-3)2-4-3’=-32·x-3(x-3)2-4⇒kx=y'(x0)=-32·x0-3×0-32-4×0=7=-32·7-37-32-4=-3
Ответ: уравнение касательной можно представить как
y=-3·x-7-33-3=-3·x+43-3
Наглядно изображается так:
Касательная к параболе
Чтобы составить уравнение касательной к параболе y=ax2+bx+c в точке x0, y(x0), необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y=y'(x0)·x-x0+y(x0). Такая касательная в вершине параллельна ох.
Следует задать параболу x=ay2+by+c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что
x=ay2+by+c⇔ay2+by+c-x=0D=b2-4a(c-x)y=-b+b2-4a(c-x)2ay=-b-b2-4a(c-x)2a
Графически изобразим как:
Для выяснения принадлежности точки x0, y(x0) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна оу относительно параболы.
Написать уравнение касательной к графику x-2y2-5y+3, когда имеем угол наклона касательной 150°.
Решение
Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что
-2y2-5y+3-x=0D=(-5)2-4·(-2)·(3-x)=49-8xy=5+49-8x-4y=5-49-8x-4
Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.
Получаем:
kx=y'(x0)=tg αx=tg 150°=-13
Отсюда определим значение х для точек касания.
Первая функция запишется как
y’=5+49-8x-4’=149-8x⇒y'(x0)=149-8×0=-13⇔49-8×0=-3
Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150° для такой функции не существует.
Вторая функция запишется как
y’=5-49-8x-4’=-149-8x⇒y'(x0)=-149-8×0=-13⇔49-8×0=-3×0=234⇒y(x0)=5-49-8·234-4=-5+34
Имеем, что точки касания – 234; -5+34.
Ответ: уравнение касательной принимает вид
y=-13·x-234+-5+34
Графически изобразим это таким образом:
п.1. Уравнение касательной
Рассмотрим кривую (y=f(x)).
Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.
Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin{gather*} (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end{gather*}
Уравнение касательной к кривой (y=f(x)) в точке (x_0) имеет вид: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) $$ при условии, что производная (f'(x_0)=aneinfty) – существует и конечна.
Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace{f'(x_0)}_{=k}x+underbrace{f(x_0)-f'(x_0)cdot x_0}_{=b} $$
Уравнение касательной с угловым коэффициентом: begin{gather*} y=kx+b\ k=f'(x_0), b=f(x_0)-f'(x_0)cdot x_0 end{gather*}
п.2. Алгоритм построения касательной
На входе: уравнение кривой (y=f(x)), абсцисса точки касания (x_0).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания (f(x_0))
Шаг 2. Найти общее уравнение производной (f’ (x))
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания (f'(x_0 ))
Шаг 4. Записать уравнение касательной (y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)), привести его к виду (y=kx+b)
На выходе: уравнение касательной в виде (y=kx+b)
Например:
 |
Пусть (f(x)=x^2+3). Найдем касательную к этой параболе в точке (x_0=1). (f(x_0)=1^2+3=4 ) |
п.3. Вертикальная касательная
В случае, если производная (f'(x_0)=pminfty) – существует, но бесконечна, в точке (x_0) проходит вертикальная касательная (x=x_0).
Внимание!
Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода (x_0notin D), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку (x_0in D), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку ((x_0,y_0)).
Вертикальные касательные характерны для радикалов вида (y=sqrt[n]{x}).
Например:
 |
Пусть (f(x)=sqrt[5]{x-1}+1). Найдем касательную к этой кривой в точке (x_0=1). (f(x_0)=sqrt[5]{1-1}+1=1) |
п.4. Примеры
Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.
 |
Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0Rightarrow 2x(x+2)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x=-2 end{array} right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0). Касательная в точке (x_0=0): begin{gather*} f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot 0+4=4\ y=4(x-0)+0=4x end{gather*} Касательная в точке (x_0=-2): begin{gather*} f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot (-2)+4=-4\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 end{gather*} |
б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.
 |
Общее уравнение касательной: (f'(x)=4x+4) По условию (f'(x_0)=tgalpha=tg45^circ=1) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1Rightarrow 4x_0=-3Rightarrow x_0=-frac34 $$ Точка касания (x_0=-frac34) begin{gather*} f(x_0)=2cdotleft(-frac34right)^2+4cdotleft(-frac34right)=frac98-3=-frac{15}{8} end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=1cdotleft(x+frac34right)-frac{15}{8}=x-frac98 end{gather*} |
в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.
 |
Найдем угловой коэффициент заданной прямой: (y=-2x+6Rightarrow k=-2). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже (k=-2). Получаем уравнение: begin{gather*} f'(x_0)=-2\ 4x_0+4=-2Rightarrow 4x_0=-6Rightarrow x_0=-frac32 end{gather*} Точка касания (x_0=-frac32) begin{gather*} f(x_0)=2cdotleft(-frac32right)^2+4cdotleft(-frac32right)=\ =frac92-6=-frac32 end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=-2cdotleft(x+frac32right)-frac32=-2x-frac92 end{gather*} Или, в каноническом виде: begin{gather*} 2x+y+frac92=0 end{gather*} |
г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.
 |
У горизонтальной прямой (k=0). Получаем уравнение: (f'(x_0)=0). begin{gather*} 4x_0+4=0Rightarrow 4x_0=-4Rightarrow x_0=-1 end{gather*} Точка касания (x_0=-1) begin{gather*} f(x_0)=2cdot(-1)^2+4cdot(-1)=-2 end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=0cdot(x+1)-2=-2 end{gather*} |
Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)
Пример 2. Напишите уравнение касательной к графику функции в заданной точке:
a) ( f(x)=frac5x+frac x5, x_0=4 ) begin{gather*} f(x_0)=frac54+frac45=frac{25+16}{20}=frac{41}{20}\ f'(x)=left(frac5xright)’+left(frac x5right)’=-frac{5}{x^2}+frac15=frac{-25+x^2}{5x^2}=frac{x^2-25}{5x^2}\ f'(x_0)=frac{4^2-25}{5cdot 4^2}=-frac{9}{80} end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=-frac{9}{80}(x-4)+frac{41}{20}=-frac{9}{80}x+frac{9}{20}+frac{41}{20}=-frac{9}{80}x+2,5 $$
б) ( f(x)=frac{x^2+5}{3-x}, x_0=2 ) begin{gather*} f(x_0)=frac{2^2+5}{3-2}=frac91=9\ f'(x)=frac{(x^2+5)'(3-x)-(x^2+5)(3-x)’}{(3-x)^2}=frac{2x(3-x)+(x^2+5)}{(3-x)^2}=\ =frac{6x-2x^2+x^2+5}{(3-x)^2}=frac{-x^2+6x+5}{(3-x)^2}\ f'(x_0)=frac{-2^2+6cdot 2+5}{(3-2)^2}=13 end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=13(x-2)+9=13x-26+9=13x-17 $$
Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции (f(x)=frac{x^2+2}{x+3}-x) перпендикулярна прямой (y=11x+3). Напишите уравнение этой касательной.
Угловой коэффициент данной прямой (k_1=11).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой (k_2=-frac{1}{k_1}=-frac{1}{11}) begin{gather*} f'(x)=left(frac{x^2+2}{x+3}right)’-x’=frac{2x(x+3)-(x^2+2)cdot 1}{(x+3)^2}-1=frac{2x^2+6x-x^2-2-(x+3)^2}{(x+3)^2}=\ =frac{x^2+6x-2-x^2-6x-9}{(x+3)^2}=- frac{11}{(x+3)^2} end{gather*} В точке касания: begin{gather*} f'(x_0)=k_2Rightarrow=-frac{11}{(x+3)^2}=-frac{1}{11}Rightarrow (x+3)^2=121Rightarrow (x+3)^2-11^2=0Rightarrow\ Rightarrow (x+14)(x+8)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=-14\ x=8 end{array} right. end{gather*} 
Уравнение касательной при (x_0=-14) begin{gather*} f(x_0)=frac{(-14)^2+2}{-14+3}+14=frac{198}{-11}+14=-18+14=-4\ y=-frac{1}{11}(x+14)-4=-frac{x+58}{11} end{gather*} Уравнение касательной при (x_0=8) begin{gather*} f(x_0)=frac{8^2+2}{8+3}-8=frac{66}{11}-8=-2\ y=-frac{1}{11}(x-8)-2=-frac{x+14}{11} end{gather*}
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение (y=-frac{x+58}{11})
и точка касания (8;-2), уравнение (-frac{x+14}{11})
Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам (y=x^2-5x+6) и (y=x^2+x+1). Укажите точки касания.
Найдем производные функций: begin{gather*} f_1′(x)=2x-5, f_2′(x)=2x+1 end{gather*} Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b – для второй.
Запишем уравнения касательных (g_1(x)) и (g_2(x)) через эти переменные. begin{gather*} g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\ \ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) end{gather*} Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: begin{gather*} begin{cases} 2a-5=2b+1\ 6-a^2=1-b^2 end{cases} Rightarrow begin{cases} 2(a-b)=6\ a^2-b^2=5 end{cases} Rightarrow begin{cases} a-b=3\ (a-b)(a+b)=5 end{cases} Rightarrow begin{cases} a-b=3\ a+b=frac53 end{cases} Rightarrow \ Rightarrow begin{cases} 2a=3+frac53\ 2b=frac53-3 end{cases} Rightarrow begin{cases} a=frac73\ b=-frac23 end{cases} end{gather*} Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2cdotfrac73-5=-frac13, b=6-a^2=6-frac{49}{9}=frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-frac x3+frac59 $$ 
Точки касания: begin{gather*} a=frac73, f_1(a)=left(frac73right)^2-5cdotfrac73+6=frac{49}{9}-frac{35}{3}+6=frac{49-105+54}{9}=-frac29\ b=-frac23, f_2(b)=left(-frac23right)^2-frac23+1=frac49-frac23+1frac{4-6+9}{9}=frac79 end{gather*}
Ответ: касательная (y=-frac x3+frac59); точки касания (left(frac73;-frac29right)) и (left(-frac23;frac79right))
Пример 5*. Докажите, что кривая (y=x^4+3x^2+2x) не пересекается с прямой (y=2x-1), и найдите расстояние между их ближайшими точками.
Решим уравнение: (x^4+3x^2+2x=2x-1) begin{gather*} x^4+3x^2+1=0Rightarrow D=3^2-4=5Rightarrow x^2=frac{-3pmsqrt{5}}{2} end{gather*} Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, (xinvarnothing) – решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.
Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом (k=2), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой (y=2x-1).
Строим уравнение касательной. По условию: (f'(x)=4x^3+6x+2=2) begin{gather*} 4x^3+6x=0Rightarrow 2x(2x^2+3)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ 2x^2+3=0 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x^2=-frac32 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ xinvarnothing end{array} right. Rightarrow x=0 end{gather*} Точка касания (x_0=0, y_0=0^4+3cdot 0^2+2cdot 0=0).
Уравнение касательной: (y=2(x-0)+0=2x)
 |
Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: (y=2x) и (y=2x-1). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую (y=2x-1) имеет угловой коэффициент (k=-frac12), его уравнение: (y=-frac12 x+b). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и (b=0). |
Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin{gather*} 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac{0,4}{2}=-0,2 end{gather*} Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние (OA=sqrt{0,4^2+(-0,2)^2}=0,2sqrt{2^2+1^2}=frac{sqrt{5}}{5})
Ответ: (frac{sqrt{5}}{5})
Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке xо, – это прямая, проходящая через точку (xо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f ′(xо).
Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b. Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.
Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс: k = tgα
Здесь угол α – это угол между прямой y = kx + b и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой (рис.1 и 2).
Если угол наклона прямой y = kx + b острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1).
Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).
Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).
Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c, где c – некоторое действительное число (рис.4).
Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке xо:
y = f(xо) + f ′(xо) (x – xо)
Алгоритм решения уравнения касательной к графику функции y = f(x):
- Вычислить f ( x0 )
- Вычислить производные f ‘( x) и f ‘( x0 )
- Внести найденные числа x0, f ( x0 ) ,f ‘( x0 ) в уравнение касательной и решить его
Пример: Найдем уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 2x2 + 1 в точке с абсциссой 2.
Решение.
Следуем алгоритму.
1) Точка касания xо равна 2. Вычислим f(xо):
f(xо) = f(2) = 23 – 2 ∙ 22 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Находим f ′(x). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х2 = 2х, а х3 = 3х2. Значит:
f ′(x) = 3х2 – 2 ∙ 2х = 3х2 – 4х.
Теперь, используя полученное значение f ′(x), вычислим f ′(xо):
f ′(xо) = f ′(2) = 3 ∙ 22 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Итак, у нас есть все необходимые данные: xо = 2, f(xо) = 1, f ′(xо) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:
у = f(xо) + f ′(xо) (x – xо) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.
Ответ: у = 4х – 7.
Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x0 =
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x0 = 2
Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой (-1)
Дана функция f(x)=х2- 4x+1. Найдите координаты точки, в которой угловой коэффициент касательной к графику функции равен 2
Укажите абсциссу точки графика функции у = 12 -3х + х2 в которой угловой коэффициент касательной равен 2.
Цель:
Составить уравнение касательной к
графику функции в заданной точке.
Теоретический материал:
Углом наклона
прямой y
= kx+b называют
угол
,
отсчитываемый от положительного
направления оси абсцисс до прямой y
= kx+b в
положительном направлении (то есть,
против часовой стрелки). Угловым
коэффициентом прямой
y = kx+b
называют числовой коэффициент k.
Угловой коэффициент
прямой равен тангенсу угла наклона
прямой, то
есть,
.
Угол наклона прямой
равен нулю, когда прямая параллельна
оси абсцисс. В этом случае нулю равен и
угловой коэффициент, так как тангенс
нуля есть ноль. Следовательно, уравнение
прямой будет иметь вид y
= b.
Когда угол наклона
прямой y =
kx+b является
острым (
),
то угловой коэффициент k
является положительным числом (так как
тангенс острого угла
принимает
положительные значения
)
и указывает на возрастание графика
прямой.
В случае, когда
прямая располагается перпендикулярно
оси абсцисс (параллельно оси ординат)
и задается равенством x
= c, где c
– некоторое действительное число.
Когда угол наклона
прямой y =
kx+b является
тупым (
),
то угловой коэффициент k
является отрицательным числом и указывает
на убывание графика прямой.
Касательной к
графику функции y
= f(x) в
точке
называют
прямую, проходящую через точку
,
с отрезком которой практически сливается
график функции при значениях х
сколь угодно близких к
.
Для этого покажем, что будет происходить
с секущей АВ,
если точку В
бесконечно приближать к точке А.
Рисунок ниже
иллюстрирует этот процесс.
Секущая АВ
(показана синей пунктирной прямой) будет
стремиться занять положение касательной
прямой (показана синей сплошной линией),
угол наклона секущей
(показан
красной прерывистой дугой) будет
стремиться к углу наклона касательной
(изображен
красной сплошной дугой). Таким образом,
касательная
к графику функции y
= f(x) в точке
А
– это предельное положение секущей
AB
при
.
Геометрический смысл производной функции в точке.
Рассмотрим секущую
АВ
графика функции y
= f(x) такую,
что точки А
и В
имеют соответственно координаты
и
,
где
–
приращение аргумента. Обозначим через
приращение
функции. Отметим все на чертеже:
Из прямоугольного
треугольника АВС
имеем
.
Так как по определению касательная –
это предельное положение секущей, то
.
Вспомним определение
производной функции в точке:
производной функции y
= f(x) в точке
называется
предел отношения приращения функции к
приращению аргумента при
,
обозначается
.
Следовательно,
,
где
–
угловой коэффициент касательной. Таким
образом, существование производной
функции y =
f(x) в точке
эквивалентно
существованию касательной к графику
функции y =
f(x) в точке
касания
,
причем угловой
коэффициент касательной равен значению
производной в точке
,
то есть
.
Составление уравнения касательной прямой
Для записи уравнения
любой прямой на плоскости достаточно
знать ее угловой коэффициент и точку,
через которую она проходит. Уравнение
касательной к графику функции y
= f(x) в точке
имеет
вид:
.
Алгоритм
составления уравнения касательной к
графику функции y = f(x)
1. Обозначить
буквой a абсциссу точки касания.
2. Найти
f(a).
3. Найти f ‘(x) и f ‘(a).
4. Подставить
найденные числа a, f(a), f ‘(a) в общее
уравнение касательной y – f(a) = f ‘(a)(x
– a).
Примеры составления
уравнения касательной.
Пример 1. Составьте
уравнение касательной в точке M(3; – 2)
к графику функции
.
Решение. Точка
M(3; – 2) является точкой касания, так
как
1. a = 3 – абсцисса
точки касания.
2. f(3) = – 2.
3. f ‘(x)
= x2
– 4, f ‘(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x –
17 – уравнение касательной.
Задание для
практической работы по теме «Нахождение
углового коэффициента касательной к
графику функции в указанной точке.
Составление уравнения касательной».
Составить уравнения касательных к
графикам функции в заданной точке с
абсциссой а=2:
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
Вариант 4 |
|
Уровень А. Уровень Y=3x3-x Уровень
|
Уровень А. Уровень Y=-x3+x Уровень
|
Уровень А. Уровень Y=2x2-8x Уровень
|
Уровень А. Уровень Y=-3x2+12x Уровень
|
|
Вариант 5 |
Вариант 6 |
Вариант 7 |
Вариант 8 |
|
Уровень А. Уровень Y=x2+5x+4 Уровень
|
Уровень А. Уровень Y=-x2+2x+15 Уровень
|
Уровень А. Уровень Y=1/3x3-9 Уровень
|
Уровень А. Уровень Y=x3-3x Уровень
|
Практическое
Занятие №3
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
