Как найти угловой коэффициент нормали функции

Рассмотрим
кривую, уравнение которой имеет вид

Уравнение
касательной к данной кривой в точке
имеет вид:

(34)

Нормалью
к кривой в данной точке называется
прямая, проходящая через данную точку,
перпендикулярную к касательной в этой
точке.

Уравнение
нормали к данной кривой в точке
имеет вид:

(35)

Длина
отрезка касательной, заключенного между
точкой касания и осью абсцисс называется
длиной
касательной
,
проекция этого отрезка на ось абсцисс
называется
подкасательной.

Длина
отрезка нормали, заключенного между
точкой касания и осью абсцисс называется
длиной
нормали
,проекция
этого отрезка на ось абсцисс называется
поднормалью.

Пример
17

Написать
уравнения касательной и нормали к кривой
в точке, абсцисса которой равна.

Решение:

Найдем
значение функции в точке
:

Найдем
производную заданной функции в точке

Уравнение
касательной найдем по формуле (34):

Уравнение
нормали найдем по формуле (35):

Ответ:
Уравнение
касательной :

Уравнение
нормали :.

Пример
18

Написать
уравнения касательной и нормали, длины
касательной и подкасательной, длины
нормали и поднормали для эллипса

в
точке
,
для которой.

Решение:

Найдем
как производную функции, заданной
параметрически по формуле (10):

Найдем
координаты точки касания
:
и значение производной в точке касания
:

Уравнение
касательной найдем по формуле (34):

Найдем
координаты
точкипересечения
касательной с осью:

Длина
касательной равна длине отрезка
:

Согласно
определению, подкасательная
равна

Где
угол
– угол между касательной и осью. Поэтому,– угловой коэффициент касательной,
равный

Таким
образом, подкасательная
равна

Уравнение
нормали найдем по формуле (35):

Найдем
координатыточкипересечения нормали с осью:

Длина
нормали равна длине отрезка
:

Согласно
определению, поднормаль
равна

Где
угол
– угол между нормалью и осью. Поэтому,– угловой коэффициент нормали, равный

Поэтому,
поднормаль
равна:

Ответ:
Уравнение
касательной :

Уравнение
нормали :

Длина
касательной
;
подкасательная;

Длина
нормали
; поднормаль

Задания
7.
Написать
уравнения касательной и нормали:

1. К параболе в точке, абсцисса которой

.

2.
К окружности
в точках пересечения её с осью абсцисс

.

3.
К циклоиде
в точке, для которой

.

4.
В каких точках кривой
касательная параллельна:

а)
оси Оx; б) прямой

.

10.
Промежутки монотонности функции.
Экстремумы функции.

Условие
монотонности функции:

Для
того, чтобы дифференцируемая на
функцияне возрастала, необходимо и достаточно,
чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неположительна .

(36)

Для
того, чтобы дифференцируемая на
функцияне убывала, необходимо и достаточно,
чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неотрицательна.

(37)

Промежутки,
на которых производная функции сохраняет
определенный знак, называются промежутками
монотонности
функции

Пример
19

Найти
промежутки монотонности функции
.

Решение:

Найдем
производную функции
.

Найдем
промежутки знакопостоянства полученной
производной. Для этого

разложим полученный
квадратный трехчлен на множители:

.

Исследуем
знак полученного выражения, используя
метод интервалов.

Таким
образом, получаем согласно (36), (37),что
заданная функция возрастает на
и убывает на.

Ответ:
Заданная
функция
возрастает наи убывает на.

Определение
Функция
имеет в точкелокальный
максимум (минимум)
,
если существует такая окрестность
точки
,
что для всехвыполняется условие

().

Локальный
минимум или максимум функции
называетсялокальным
экстремумом.

Необходимое
условие существования экстремума
.

Пусть
функция
определена в некоторой окрестности
точки.
Если функцияимеет
в точкеэкстремумом, то производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Точка
называетсякритической
точкой

функции
,
если производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Достаточные
условия наличия экстремума в критической
точке
.

Пусть
точка
является критической.

Первое
достаточное условие экстремума:

Пусть
функция
непрерывна в некоторой окрестноститочкии дифференцируема в каждой точке.

Точка
является локальным максимумом, если
при переходе через

производная
функции меняет знак с плюса на минус.

Точка
является локальным минимумом, если при
переходе через

производная
функции меняет знак с минуса на плюс.

Пример
20

Найти
экстремумы функции
.

Решение:

Найдем
производную заданной функции

Приравнивая
в полученной производной к нулю числитель
и знаменатель, найдем критические точки:

Исследуем
знак производной, используя метод
интервалов.

Из
рисунка видно, что при переходе через
точку
производная меняет знак с плюса на
минус. Следовательно, в точке
локальный максимум.

При
переходе через точку
производная меняет знак с минуса на
плюс.

Следовательно,
в точке

локальный минимум.

При
переходе через точку
производная не меняет знак. Следовательно,
критическая точкане является экстремумом заданной
функции.

Ответ:

локальный максимум,

локальный минимум.

Второе
достаточное условие экстремума:

Если
первые
производные функциив точкеравны нулю, а-ная
производная функциив точкеотлична от нуля, то точкаявляется экстремумом функции,
причем,

если

,
(38)

то
-локальный
минимум

если

,
(39)

то
-локальный
максимум.

Пример
21

Найти
экстремумы функции, пользуясь второй
производной
.

Решение:

ОДЗ:
.

Найдем
первую производную заданной функции

Найдем
критические точки функции:

Точку
мы не рассматриваем, так как функция
определена только в левой окрестности.

Найдем
вторую производную

Находим

Таким
образом, на основании (39) делаем вывод
о том, что при
– локальный максимум.

Ответ:

локальный максимум.

Задания
8.

Исследовать
на возростание и убывание функции:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Исследовать
на экстремумы функции:

7.

8.

9.

10.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Вывод уравнения нормали к графику функции

Автор статьи

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Замечание 1

Нормаль — это прямая, которая образует с касательной к графику функции угол в $90°$.

Нормальный перпендикуляр к графику касательной. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Нормальный перпендикуляр к графику касательной. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В связи с тем, что нормаль перпендикулярна к касательной, её угловой коэффициент будет величиной, обратной к угловому коэффициенту касательной:

$k_{норм}=- frac{1}{k_{к}}= -1 frac{1}{f’(x_0)}$.

Пользуясь полученным выводом, запишем уравнение нормали к графику функции:

$y – y_0 = – frac{1}{f’(x_0)} cdot (x – x_0) left(1right) $, здесь $x_0$ и $y_0$ — координаты точки для которой строится искомая линия, при этом производная в этой точке $f’(x_0) ≠ 0$.

Порядок действий при поиске уравнения нормальной прямой если задана координата $x_0$:

  1. Вычисляется, чему равен нулевой игрек $y(x_0)$ для функции.
  2. Затем нужно определить производную.
  3. Нужно высчитать затем, чему равен $f’(x)$ в точке $x_0$, найденное значение — коэффициент касательной.
  4. Все найденные значения подставляются в формулу $(1)$.

Напомним также как выглядит само уравнение касательной:

$y – y_0 = f’(x_0) cdot (x – x_0)$.

Пример 1

Найдите уравнение нормали для функции $y=x^2$ в точке $x_0=2$.

Решение:

Производная данной функции составит $y’(x) = 2x$, затем найдём, чему равен наш подопытный кролик-функция в заданной точке $y_0= x^2 = 2^2 = 4$.

Теперь нужно высчитать производную функции в точке $x_0$: $y’(2) = 2 x = 2 cdot 2= 4$.

Все полученные значения расставляем по своим местам в формулу $(1)$:

$y-4=-frac{1}{4} cdot (x – 2)$

Уравнение нормали найдено.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 07.05.2023

Рассмотрим график функции в декартовой системе координат (рис. 10.2). Возьмем на графике точку и точку . Проведем через эти точки прямую . Эта прямая называется Секущей. Ее уравнением будет , а угловой коэффициент этой прямой равен тангенсу угла наклона секущей:

Если то секущая MN поворачивается вокруг точки и переходит в касательную с угловым коэффициентом

Если , то секущая MN поворачивается вокруг точки М и в пределе переходит в касательную с угловым коэффициентом .

Угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению производной функции в этой
точке: .

Геометрический смысл производной состоит в том, что производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке.

Значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной (рис. 10.3).

Нормаль – это прямая, перпендикулярная к касательной в точке касания (рис. 10.3).

Уравнение касательной к кривой в точке запишем как уравнение прямой, которая проходит через заданную точку: .

Уравнение нормали к кривой в точке запишем так: .

Пример 1. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Решение. 1) Найдем значение функции, если : .

2) Найдем первую производную функции: .

3) Найдем значение производной, если : .

4) Запишем уравнение касательной, которая проходит через данную точку : или .

Ответ. Уравнение касательной: .

Пример 2. Напишите уравнение нормали к графику функции в точке с абсциссой .

Решение. 1) Найдем значение функции, если : .

2) Найдем первую производную функции: .

3) Найдем значение производной, если : .

4) Запишем уравнение нормали, которая проходит через данную точку : или .

Ответ. Уравнение нормали: .

Рассмотрим задачу о свободном падении тела и найдем мгновенную скорость его движения.

Из физики мы знаем, что , где H – высота падения, G – ускорение свободного падения, T – время падения.

За время тело проходит расстояние , а за время – расстояние . Приращение аргумента (времени T) будет равно , откуда .

Приращение функции будет равно:

Найдем предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента T , если ΔT Стремится к нулю:

.

В левой части равенства мы получили значение производной функции , а в правой части значение мгновенной скорости тела в момент времени T0.

Физический смысл производной. Производная функции в точке есть мгновенная скорость изменения функции в точке , т. е. скорость протекания процесса, который описывается зависимостью .

Например, если дана функция , то ее производная будет , тогда значение производной в точке будет , а значение производной в точке будет . Это значит, что в точке функция изменяется в 4 раза быстрее аргумента , а в точке изменяется в 6 раз быстрее (т. е. различная скорость изменения функции или протекания процесса). В этом и состоит физический смысл производной.

Операция нахождения (взятия) производной функции называется Дифференцированием функции.

Ответьте на вопросы

1. Что показывает угловой коэффициент K в уравнении прямой ?

2. Чему равен угловой коэффициент касательной к кривой в точке ?

3. Как найти угловой коэффициент нормали к кривой в точке ?

4. В чем состоит геометрический смысл производной?

5. В чем состоит физический смысл производной?

< Предыдущая   Следующая >


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Угловой коэффициент характеризует угол наклона прямой к оси абсцисс (угловой коэффициент численно равен тангенсу этого угла). Угловой коэффициент присутствует в уравнении прямой и используется в математическом анализе кривых, где всегда равен производной функции. Для облегчения понимания углового коэффициента представьте, что он влияет на скорость изменения функции, то есть чем больше значение углового коэффициента, тем больше значение функции (при одном и том же значении независимой переменной).

  1. Изображение с названием Find the Slope of an Equation Step 1

    1

    Используйте угловой коэффициент для нахождения угла наклона прямой к оси абсцисс и направления этой прямой. Вычислить угловой коэффициент довольно легко, если вам дано уравнение прямой. Запомните, что в любом уравнении прямой:

  2. Изображение с названием Find the Slope of an Equation Step 2

    2

    Для нахождения углового коэффициента необходимо найти значение k (коэффициент при «х»). Если данное вам уравнение имеет вид y=kx+b, то для нахождения углового коэффициента вам нужно просто посмотреть на число, стоящее перед «х». Обратите внимание, что k (угловой коэффициент) всегда находится при независимой переменной (в данном случае «х»). Если вы запутались, просмотрите следующие примеры:

  3. Изображение с названием Find the Slope of an Equation Step 3

    3

    Если данное вам уравнение имеет вид, отличный от y=kx+b, обособьте зависимую переменную. В большинстве случаев зависимая переменная обозначается как «у», а для ее обособления можно выполнять операции сложения, вычитания, умножения и другие. Помните, что любая математическая операция должна быть выполнена на обеих сторонах уравнения (чтобы не менять его исходного значения). Вам необходимо привести любое данное вам уравнение к виду y=kx+b. Рассмотрим пример:

    Реклама

  1. Изображение с названием Find the Slope of an Equation Step 4

    1

    Для вычисления углового коэффициента воспользуйтесь графиком и двумя точками. Если вам дан просто график функции (без уравнения), вы все еще можете найти угловой коэффициент. Для этого вам понадобятся координаты любых двух точек, лежащих на этом графике; координаты подставляются в формулу: {frac  {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}. Чтобы избежать ошибок при вычислении углового коэффициента, запомните следующее:

    • Если график возрастает, то угловой коэффициент имеет положительное значение.
    • Если график убывает, то угловой коэффициент имеет отрицательное значение.
    • Чем больше значение углового коэффициента, тем круче график (и наоборот).
    • Угловой коэффициент прямой, параллельной оси абсцисс, равен 0.
    • Угловой коэффициент прямой, параллельной оси ординат, не существует (он бесконечен).[4]
  2. Изображение с названием Find the Slope of an Equation Step 5

    2

    Найдите координаты двух точек. На графике отметьте любые две точки и найдите их координаты (х,у). Например, на графике лежат точки А(2,4) и В(6,6).[5]

    • В паре координат первое число соответствует «х», а второе – «у».
    • Каждому значению «х» соответствует определенное значение «у».
  3. Изображение с названием Find the Slope of an Equation Step 6

    3

    Приравняйте x1, y1, x2, y2 к соответствующим значениям. В нашем примере с точками А(2,4) и В(6,6):

    • x1: 2
    • y1: 4
    • x2: 6
    • y2: 6[6]
  4. Изображение с названием Find the Slope of an Equation Step 7

    4

    Подставьте найденные значения в формулу для вычисления углового коэффициента. Чтобы найти угловой коэффициент, используются координаты двух точек и следующая формула: {frac  {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}. Подставьте в нее координаты двух точек.

  5. Изображение с названием Find the Slope of an Equation Step 8

    5

    Объяснение сути формулы. Угловой коэффициент равен отношению изменения координаты «у» (двух точек) к изменению координаты «х» (двух точек). Изменение координаты – это разность между значениями соответствующей координаты первой и второй точек.

  6. Изображение с названием Find the Slope of an Equation Step 9

    6

    Другой вид формулы для вычисления углового коэффициента. Стандартная формула для вычисления углового коэффициента: k = {frac  {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}. Но она может иметь следующий вид: k = Δy/Δx, где Δ – это греческая буква «дельта», обозначающая в математике разность. То есть, Δx = x_2 – x_1, а Δy = y_2 – y_1.[8]

    Реклама

  1. Изображение с названием Find the Slope of an Equation Step 10

    1

    Научитесь брать производные от функций. Производная характеризует скорость изменения функции в определенной точке, лежащей на графике этой функции. В данном случае графиком может быть как прямая, так и кривая линия. То есть производная характеризует скорость изменения функции в конкретный момент времени. Вспомните общие правила, по которым берутся производные, и только потом переходите к следующему шагу.

    • Прочитайте статью Как брать производную.
    • Как брать простейшие производные, например, производную показательного уравнения, описано этой статье. Вычисления, представленные в следующих шагах, будут основаны на описанных в ней методах.
  2. Изображение с названием Find the Slope of an Equation Step 11

    2

    Научитесь различать задачи, в которых угловой коэффициент требуется вычислить через производную функции. В задачах не всегда предлагается найти угловой коэффициент или производную функции. Например, вас могут попросить найти скорость изменения функции в точке А(х,у). Также вас могут попросить найти угловой коэффициент касательной в точке А(х,у). В обоих случаях необходимо брать производную функции.

  3. Изображение с названием Find the Slope of an Equation Step 12

    3

    Возьмите производную данной вам функции. Здесь строить график не нужно – вам понадобится только уравнение функции. В нашем примере возьмите производную функции f(x)=2x^{2}+6x. Берите производную согласно методам, изложенным в упомянутой выше статье:

    • Производная: f'(x)=4x+6
  4. Изображение с названием Find the Slope of an Equation Step 13

    4

    В найденную производную подставьте координаты данной вам точки, чтобы вычислить угловой коэффициент. Производная функции равна угловому коэффициенту в определенной точке. Другими словами, f'(х) – это угловой коэффициент функции в любой точке (x,f(x)). В нашем примере:

  5. Изображение с названием Find the Slope of an Equation Step 14

    5

    Если возможно, проверьте полученный ответ на графике. Помните, что угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке. Дифференциальное исчисление рассматривает сложные функции и сложные графики, где угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке, а в некоторых случаях точки вообще не лежат на графиках. Если возможно, используйте графический калькулятор, чтобы проверить правильность вычисления углового коэффициента данной вам функции. В противном случае проведите касательную к графику в данной вам точке и подумайте, соответствует ли найденное вами значение углового коэффициента тому, что вы видите на графике.

    • Касательная будет иметь тот же угловой коэффициент, что и график функции в определенной точке. Для того, чтобы провести касательную в данной точке, двигайтесь вправо/влево по оси Х (в нашем примере на 22 значения вправо), а затем вверх на единицу по оси Y. Отметьте точку, а затем соедините ее с данной вам точкой. В нашем примере соедините точки с координатами (4,2) и (26,3).

    Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 143 928 раз.

Была ли эта статья полезной?

Содержание:

Дифференциальное исчисление

Понятие производной

Приращение аргумента и функции

Пусть дан график непрерывной функции.

Определение: Разность между конечным и начальным значениями аргумента называется его приращением, т.е. Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 69. Приращения аргумента и функции

Теорема: Если Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения, то функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения непрерывна в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения.

Доказательство: Приращение функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения следовательно, функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияопределена как в самой точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения так и в ее Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения-окрестности. При Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения аргумент Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения поэтому

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда следует, что Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения следовательно, функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения непрерывна в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Задачи, приводящие к понятию производной

1. Физика. Пусть материальная точка движется прямолинейно согласно закону Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения где s – путь, который проходит точка за время t. Требуется определить скорость движения точки в момент времени Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Обозначим через Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения путь, пройденный за время Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Очевидно, что Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Средняя скорость, с которой движется точка определяется как Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Для того чтобы определить скорость в момент времени Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения вычислим предел Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

2. Геометрия. Пусть дан график функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Требуется найти такую прямую линию, которая касается графика функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения только в одной точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Касательной называется предельное положение секущей прямой Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения при стремлении Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения произвольным образом (Рис. 70). Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 70. Касательная к графику функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Вычислим тангенс угла наклона секущей Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, тангенс А х угла касательной к положительному направлению оси абсцисс будет равен предельному значению приведенной выше величины Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Производная функции. Ее механический и геометрический смысл

Определение: Производной функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения называется предел отношения приращения функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения к приращению аргумента Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения при стремлении по- средней величины к нулю произвольным образом, т.е. Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Из рассмотренных выше задач следует, что с точки зрения механики производная определяет мгновенную скорость движения, а с геометрической точки зрения производная функции равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс в заданной точке, в которой вычисляется значение производной.

Уравнение касательной и нормали в заданной точке графика функции f(x)

Пусть дан график функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения (Рис. 71):

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 71. Касательная и нормаль.

Требуется составить уравнения касательной и нормали в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Для составления уравнения касательной воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения В силу того, что Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения уравнение касательной имеет вид:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Так как нормаль перпендикулярна к касательной, то ее угловой коэффициент Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решениясвязан с угловым коэффициентом касательной соотношением: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения.

Следовательно, уравнение нормали имеет следующий вид:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти угловой коэффициент касательной в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения к графику функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения то вычислим производную функции, используя определение производной: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения следовательно, Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Вычислим значение производной в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения а тем самым и угловой коэффициент касательной в заданной точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Дифференцируемость непрерывных функций

Определение: Нахождение конечной производной от непрерывной функции называется дифференцированием.

Теорема: Если функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения, то в этой точке функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения непрерывна.

Доказательство: Если функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения то в этой точке существует конечный предел Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения. Используя свойство 4 для бесконечно малых функций (см. Лекцию № 12), можно записать, что Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения – бесконечно малая функция в Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения-окрестности точки Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Отсюда следует, что Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Вычислим предел этого выражения при Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Так как при Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения как бесконечно малая функция, а производная остается неизменной, то Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

По теореме получаем, что функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения непрерывна в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения. В силу произвольности точки Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения будет непрерывна в любой точке своей области определения.

Замечание: Утверждение, обратное к рассмотренному в теореме что всякая непрерывная в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения функция будет в этой точке дифференцируема, будет верным не во всех случаях, т.е. не всякая непрерывная функция является дифференцируемой.

Пример:

Дифференцируема ли функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Изобразим график данной функции (Рис. 72): Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 72. График функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

В точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения данная функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения определена, имеет равные леао- и правосторонние пределы (пределы равны нулю), которые равны значению функции в этой точке, следовательно, функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения непрерывна в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияОднако в этой точке производная не существует, так как слева Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения, Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Отсюда следует, что в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения производной нет.

Пример:

Дифференцируема ли функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

В точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения данная функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения непрерывна (доказать самостотельно). Производная функции равна

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения производная Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения бесконечна, и функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Вычисление производной согласно определению является трудоемкой задачей. В связи с этим были получены следующие правила дифференцирования:

1. Производная от суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных от этих функций, т.е. Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Пусть Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения тогда в приращенной точке функция равна Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Приращение функции будет равно: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения а значит производная от приведенной функцииДифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: Производная от суммы (разности) любого числа функций равна сумме (разности) производных от этих функций.

2. Производная от произведения двух функций вычисляется по формуле: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Пусть Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения тогда в приращенной точке функция равна Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Приращение функции будет равно: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения а значит производная от приведенной функции

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения (так функции непрерывны, то при Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения и приращение Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения)

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

3. Производная от частного двух функций вычисляется согласно формуле:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения (доказать самостоятельно).

4. Производная от обратной функции вычисляется по формуле: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Так как Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения и приращение Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения следовательно,) Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

5. Производная от сложной функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения вычисляется по формуле:Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Так как Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения и приращение Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения следовательно,) = Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Лекция № 17 “Производная от элементарных, параметрически и неявно заданных функций”

Производная от основных элементарных функций

1. Постоянная функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Вычислим приращение постоянной функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения. Отношение приращения функции к приращению аргумента Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения т.е. производная от постоянной величины равна нулю: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Следствие: При вычислении производной от произведения константы С на функцию Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения получаемДифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения т.е. постоянный множитель можно выносить за знак производной Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения.

Следствие: Аналогично поступают при вычислении производной от частного Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения или Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

2. Логарифмическая функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Используя определение производной, находим Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения (выражение в квадратных скобках стремится к числу е по второму замеча-1 тельному пределу) = Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Следствие: Производная от сложной логарифмической функции равна Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения.

Следствие: Если основание логарифма Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения, то Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

3. Степенная функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Для нахождения производной от этой функции воспользуемся методом логарифмического дифференцирования, то есть

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Возьмем натуральный логарифм от степенной функции

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда находим Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Для сложной функции эта формула имеет следующий вид Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Следствие: Наиболее распространенными являются случаи:

  • а) Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения
  • б) Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения;
  • в) Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

4. Показательная функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Воспользуемся логарифмическим дифференцированием Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Отсюда находим Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияДля сложной функции эта формула имеет следующий видДифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Следствие: Если основание показательной функции а=е, то Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения В случае сложной функции производная равна Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

5. Тригонометрические функции: a) Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Вычислим производную от синуса Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияДифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения При выводе формулы был использован первый замечательный предел (см. Лекцию № 14). Для сложной функции производная равна Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Самостоятельно получить формулы для других тригонометрических функций: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

6. Обратные тригонометрические функции:

a) Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Вычислим производную от арксинуса, для чего от обеих частей равенства возьмем функцию синус, то есть найдем обратную функцию Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Беря производную от обеих частей равенства с учетом того факта, что функция, стоящая справа, является сложной, получим Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Отсюда находим, что Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияТаким образом, Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Для сложной функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Самостоятельно получить формулы для других обратных тригонометрических функций: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти производную функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

По правилу дифференцирования сложной функции и с учетом выражения для логарифмической и показательной функций имеем Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти производную функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

В данном случае производная Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Полученные производные от элементарных функций сведем в таблицу:Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти производную функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

По правилу дифференцирования сложной функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения и с учетом выражения для логарифмической Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения– в данном примере аргументом является переменная t) имеем

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения (воспользуемся формулой для ко- синуса Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияДифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения(производная от Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения где внутренняя функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения(вычислим производную от сложной функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения(последняя производная берётся от элементарной функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти производную функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

По правилу дифференцирования разности функций Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения и правила взятия производной от произведения константы С на функцию Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения получаем: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти производную функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

По правилу дифференцирования произведения функций Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

В результате действий, получаем:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти производную функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

По условию задачи дана показательно-степенная функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Для отыскания производной от такой функции воспользуемся логарифмическим дифференцированием с применением формулы: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

и правила дифференцирования произведения функций

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Производная от параметрически и неявно заданных функций

Определение: Если функция Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения задается в виде системы уравнений Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения то говорят, что функция задана в параметрическом виде.

Чтобы продифференцировать параметрически заданную функцию, надо из первого уравнения системы найти обратную функцию t(x) и подставить ее во второе уравнение системы. В результаты этих действий получается сложная функция, производная от которой равна Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Так как производная от обратной функции связана с производной исходной функции равенством Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения то формула для производной от параметрически заданной функции принимает вид: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти производную функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Вычислим производные от заданных функций по параметру t:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Если функция y = f(x) задается в виде соотношения F(x, у) = 0, из которого нельзя явно выразить переменную у через х или наоборот, то говорят, что функция задана в неявном виде.

Дифференцирование таких функций осуществляется с учетом того, что переменная у является сложной функцией, т.е. зависит от переменной х.

Пример:

Найти производную функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Продифференцируем данное соотношение с учетом вышеизложенного материала получим Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Отсюда находим, Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения С учетом исходного равенства полученное выражение определяет производную от неявно заданной функции: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

—–вышмат

Дифференциальное исчисление

Производная функции, ее геометрический и физический смыслы

При изучении различных экономических процессов, описываемых функциями, существенную роль играют скорость роста процесса, ускорение роста, оптимальный режим и другие характеристики, которые исследуются с помощью производной.

Рассмотрим геометрическую задачу о проведении касательной к плоской кривой Пусть на плоскости Оху дана непрерывная кривая y=f(x). Необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Уравнение прямой, проходящей через точку Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения имеет вид:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Касательной называется прямая, к которой стремится секущая при стремлении второй точки секущей к первой. Дадим аргументу Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияприращение Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияи перейдем на кривой y=f(x) от точки Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения к точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияУгловой коэффициент (или тангенс угла наклона) секущей Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения может быть найден по формуле: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Тогда угловой коэффициент касательной

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Это и есть производная функции y=f(x) в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению ее производной в точке касания (геометрический смысл производной).

Производная функции имеет несколько обозначений:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияможно записать в виде:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Нахождение мгновенной скорости прямолинейно движущейся точки

Пусть точка М движется прямолинейно и s=f(t) – путь, проходимый ею за время t. Средней скоростью прямолинейного движения за время Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияназывается отношение пройденного пути к затраченному времени: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Если существует предел Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения то он называется (мгновенной) скоростью в некоторый момент времени Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения В этом состоит физический смысл производной.

Если v=f(t) – функция, описывающая процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени t, то (мгновенное) ускорение материальной точки в фиксированный момент времени Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияесть производная от скорости по времени: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Вывод. Производная есть предел отношения приращения функции к бес- конечно малому приращению аргумента.

Важно отметить, что запись Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения имеет не только символическое значение как способ написания производной, но и смысловое: производная функции есть отношение ее дифференциала dy к дифференциалу аргумента dx.

Дифференциалом функции одной переменной называется произведение ее производной на приращение аргумента: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Для функции у=х получаем Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Отсюда dy=y’dx (подробнее см. литературу).

Нахождение для заданной функции ее производной называется дифференцированием данной функции. А учение о производной и ее приложениях является предметом дифференциального исчисления. Фундамент дифференциального исчисления составляют основные правила и формулы дифференцирования функций. Используя их, можно найти производную и дифференциал любой элементарной функции.

Основные правила дифференцирования

Внимание! Для существования производной в некоторой точке необходимо, чтобы функция была непрерывна в этой точке. Однако не всякая непрерывная в точке функция имеет в ней производную.

Теорема 1. Производная постоянной равна нулю: с’=0.

Теорема 2. Пусть u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции. Тогда:

  1. производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций: (u+v)’=u’+v’;
  2. производная произведения конечного числа дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные: (uv)’=u’v+v’u; в частности, постоянный множитель можно выносить за знак производной: (cu)’=cu’;
  3. производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 3. Производная сложной функции равна ее производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента.

Действительно, пусть задана сложная функция y=f[u(x)]. Тогда Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 4. Производная обратной функции есть величина, обратная производной прямой функции.

Так, если Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения – взаимно обратные функции и Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения тоДифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Таблица производных

Приведем основные формулы дифференцирования функций. Пусть u=u(x) – дифференцируемая функция.

Тогда

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Выведем производные некоторых функций.

1. Если y=sinx, то

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Используя формулу разности синусов

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения получим Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Так как любую тригонометрическую функцию можно вывести через синус, то нетрудно найти производные остальных тригонометрических функций.

2. Пусть y=cosx. Тогда по теореме о производной сложной функции

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

3. Для функции y=tgx воспользуемся правилом дифференцирования частного:Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

4. Представим y=ctgx как степенную функцию от тангенса. Тогда

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения 5. Вычислим производную y=arcsinx, где Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Обратная функция имеет вид x=siny. Причем Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения если Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения По теореме дифференцирования обратной функции

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

и при х=±1 производная не существует.

6. Производную y=arccosx получим из соотношения Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Предельный анализ в экономике

Задача о производительности труда

Пусть функция y=f(t) выражает количество произведенной продукции у за время t и необходимо найти производительность труда в момент времени Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения. Очевидно, за период времени от Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решениядо Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения количество произведенной продукции изменится от Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения до Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения и составит Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е.

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Производительность труда в момент времени Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияможно определить как предельное значение средней производительности за период времени от Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решениядо Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения при Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения т.е.

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Пример №34

Объем продукции хлебобулочных изделий, произведенных бригадой пекарей в течение смены, может быть описан функцией

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

где t – время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы.

Решение:

Производительность труда выражается производной

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

В заданный момент времени соответственно имеем: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Задача о предельных издержках производства

Издержки производства у будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции х. Тогда Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения – приращение издержек производства с увеличением объема произведенной продукции на Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения. Среднее приращение издержек производства на единицу продукции есть Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Производная Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельная полезность и другие предельные величины. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса во времени или относительно исследуемого фактора.

Для исследования экономических процессов часто используется понятие эластичности функции. Эластичностью функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной, если приращение переменной стремится к нулю: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Эластичность дает приближенный процентный прирост функции при изменении независимой переменой на 1%. Например, эластичность спроса у относительно цены х показывает приближенно, на сколько процентов изменится спрос при изменении цены на 1%. Если эластичность спроса по абсолютной величине больше единицы |Ех(у)|>1, то спрос считают эластичным, если |Ех(у)|= 1 – нейтральным, если |Ех(у)|<1 – неэластичным относительно цены.

Пример №35

Опытным путем установлены функции спроса Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения и предложения s=p+0.5, где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, р – цена товара. Найти:

  • 1) равновесную цену, при которой спрос и предложение совпадают;
  • 2) эластичность спроса и предложения для этой цены;
  • 3) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.

Решение:

1) равновесная цена определяется из условия q=s: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения откуда р=2 ден. ед.

2) найдем эластичности спроса и предложения:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Для равновесной цены p=2 имеем:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения T.к. полученные значения эластичности по абсолютной величине меньше 1, то спрос и предложение данного товара при рыночной цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. А именно, при увеличении цены на 1% спрос уменьшится на 0.3%, предложение увеличится на 0.8%.

3) при увеличении цены на 5% относительно равновесной спрос уменьшится на Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения и, следовательно, доход возрастет на 3.5%.

Пример №36

Зависимость между издержками производства у и объемом выпускаемой продукции х выражается функцией Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Требуется:

Решение:

1) функция средних издержек (на единицу продукции) выражается отношением Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения При х=0.25 средние издержки равны

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Функция предельных издержек выражается производной

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

При х=0.5 предельные издержки составят

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения что вдвое меньше средних издержек.

2) эластичность издержек у относительно объема выпускаемой продукции х рассчитывается по формуле:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

При Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Это означает, что при увеличении количества произведенной продукции на 1% (с 1 до 1.01) издержки уменьшатся на 1%.

При Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения т.е. с увеличением количества произведенной продукции на 1% (с 3 до 3.01) затраты уменьшатся на 17%.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Уравнение нормали к плоской кривой

Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. Если касательная в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения к графику непрерывной функции y=f(x) имеет вид Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения (см. п. 4.1), то перпендикулярная к ней прямая имеет угловой коэффициент Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, при Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения уравнение нормали в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения имеет вид Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Если же Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения то нормаль параллельна оси Оу: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Пример №37

Показать, что для гиперболы ху=-1 площадь треугольника, образованного координатными осями и касательной в точке А(-1,1), равна квадрату полуоси гиперболы.

Решение:

В общем курсе аналитической геометрии давалось каноническое уравнение гиперболы. «Школьная» гипербола ху=а получается из уравнения Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияпреобразованием поворота, которое нашей программой не предусмотрено. Полуось гиперболы определим как расстояние между вершиной и центром симметрии гиперболы. Очевидно, вершины гиперболы ху=-1 находятся в точках А(-1,1) и В( 1 ,-1), а центр симметрии совпадает с началом координат. Тогда полуось гиперболы равна Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, квадрат полуоси гиперболы равен 2.

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Составим уравнение касательной к гиперболе ху=-1 в вершине А(-1,1). Общее уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения имеет вид:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

В нашем случае Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Искомое уравнение касательной имеет вид:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Найдем точки пересечения касательной с осями координат:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Тогда треугольник, образованный координатными осями и касательной, будет иметь вершины О(0,0), К(-2,0) и L(0,2). Т.к. треугольник прямоугольный, то его площадь равна

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

2=2. Задача решена.

Производные высших порядков

До сих пор мы рассматривали производную y’=f'(x) от функции y=f(x), называемую производной первого порядка. По производная y’=f'(x) сама является функцией, которая также может иметь производную. Производной второго порядка называется производная от производной первого порядка (у’)’ и обозначается Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения и т.д. В общем случае, производной n-го порядка называется производная от производной (n-l)-гo порядка (для обозначения производных выше третьего порядка используются арабские цифры в скобках): Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Ранее было установлено, что если точка движется прямолинейно по закону s=s(t) (где s – путь, t – время), то Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения представляет скорость изменения пути в момент Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, ускорение точки в момент Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения есть вторая производная пути по времени:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

В этом состоит механический смысл второй производной.

Пример №38

Известно, что траекторией брошенного камня является парабола. Найти его скорость и ускорение.

Решение:

Запишем уравнение траектории брошенного камня Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения – парабола с вершиной в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения ветви которой направлены вниз, g – гравитационная постоянная. Тогда Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения – скорость камня; Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения – его ускорение, что согласуется с известным физическим законом: всякое брошенное тело испытывает постоянное ускорение свободного падения.

Производная неявной функции

Выше было рассмотрено дифференцирование явных функций, заданных формулой y=f(x), правая часть которых не содержала зависимой переменной. Если же функция y=f(x) задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно зависимой переменной, то говорят, что функция у задана неявно.

Внимание! Не всякое уравнение F(x,y)=0 определяет неявную функцию. Например, уравнение Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения в действительной области не определяет никакой функции. Иногда одно уравнение такого вида может определять несколько функций. Например, уравнение Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения определяет две функции: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения иДифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Часто разрешить уравнение F(x,y)=0 относительно переменной затруднительно. В таком случае функцию приходится изучать, пользуясь непосредственно уравнением, определяющим ее. Рассмотрим дифференцирование неявной функции, заданной уравнением F(x,y)=0.

Для нахождения производной функции у, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая у как функцию от х. Затем из полученного уравнения найти производную у’.

Пример №39

Покажите, что функция y=f(x), заданная неявно выражением Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияудовлетворяет уравнению Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Найдем первую производную данной функции. Для этого продифференцируем обе части уравнения Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения используя формулы и правила дифференцирования:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Найдем вторую производную:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Подставим найденные выражения в дифференциальное уравнение:Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения – верное тождество.

Правило Лопиталя

С помощью производной можно находить многие пределы. Следующее утверждение позволит свести предел отношения двух функций с случае неопределенностей вида Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения к пределу отношения производных, который очень часто вычисляется проще.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если этот предел существует:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Внимание! В правой части формул берется отношение производных, а не производная отношения.

Пример №40

Вычислить пределДифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем неопределенность вида Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Т.к. числитель и знаменатель дроби непрерывны и дифференцируемы, то можно применить правило Лопиталя: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Правило Лопиталя можно применять повторно, если вновь приходим к соотношению неопределенностей вида Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Пример №41

Вычислить предел Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Числитель и знаменатель дроби непрерывны, дифференцируемы и стремятся к бесконечности. Следовательно, можно применить правило Лопиталя (в данном примере мы воспользовались им дважды):

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Другие неопределенности раскрываются по правилу Лопиталя, если их предварительно свести к основному виду Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения с помощью тождественных преобразований.

Пример №42

Найти Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Преобразуя выражение и используя непрерывность показательной функции, получим:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Оптимизация (процесс нахождения экстремума максимума или минимума экономических функций)

В этом параграфе оптимизацию будем понимать как процесс нахождения экстремума (максимума или минимума) экономических функций, т.е. выбор наилучшего варианта из множества возможных. Говорят, что в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияфункция y=f(x) имеет (локальный) максимум, если существует такая окрестность точки Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения, что для всех х из этой окрестности выполнено условие Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Аналогично, функция y=f(x) в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияимеет (локальный) минимум, если существует такая окрестность точки Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения, что для всех х из этой окрестности выполнено условие Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Точки (локальных) максимума и минимума называются точками (локального) экстремума, а значение функции в них – (локальными) экстремумами функции.

Внимание! Не следует путать понятие локального экстремума функции с ее наибольшим или наименьшим значением (так называемым глобальным максимумом или минимумом). Па одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем минимум может оказаться больше максимума подобно тому, как впадина в горах может иметь большую отметку над уровнем моря, чем невысокая вершина. А наибольшее и наименьшее значение непрерывной на отрезке функции может достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка.

Геометрически в точке экстремума касательная к графику функции либо горизонтальна, либо не существует. Следовательно, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в тех точках, где производная функции равна нулю или не существует (необходимое условие экстремума). Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими. (Иногда точки, в которых производная обращается в нуль, называют стационарными.)

Замечание Критическая точка не обязательно является точкой экстремума. Это лишь точка возможного экстремума функции.

Достаточное условие экстремума. Если в критической точке вторая производная положительна, то это точка минимума, а если отрицательна – точка максимума.

Для запоминания этой теоремы предлагаем мнемоническое правило: если плюс – котелок наполняется, если минус – опустошается.

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Пример №43

Пусть в краткосрочном плане производственная функция зависит только от численности персонала и имеет вид

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

где у – выпуск продукции, а n- число работающих. Определить численность персонала, при которой выпуск у достигает максимального значения.

Решение:

Выпуск продукции y=f(n) – функция натурального аргумента. Для решения задачи рассмотрим обобщенную функцию действительного аргумента Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Новая функция везде непрерывна и дифференцируема. Найдем стационарные точки, для чего вычислим производную и приравняем ее к нулю:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения.

Решая квадратное уравнение, легко находим Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Вычисляем вторую производную:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

При Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения имеем

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

следовательно, в данной точке имеется минимум. Это естественно, т.к. нет выпуска продукции, если нет рабочих. Для второй точки

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения максимум. Соответствующий выпуск продукции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Исследование функции на монотонность

С помощью производной можно найти промежутки возрастания и убывания функции. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Достаточное условие монотонности. Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то она возрастает (убывает) на этом промежутке:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, если при переходе через критическую точку производная дифференцируемой функции меняет знак с плюса на минус, то это точка (локального) максимума, а если с минуса на плюс – точка (локального) минимума (достаточное условие экстремума):

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Если изменение знака производной не происходит, то экстремума нет.

Пример. Исследовать функцию Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения на монотонность.

Решение. Область определения функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения С помощью первой производной найдем точки возможного экстремума:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности. Результаты исследования удобно представить в таблице.Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Итак, функция убывает на интервалах Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияи возрастает на Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения имеем минимум: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения0.43

а Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения точка максимума: Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Выпуклость и вогнутость графика функции

Точки перегиба

График дифференцируемой функции y=f(x) называется выпуклым (выпуклым вверх) в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения если он расположен ниже касательной в некоторой окрестности этой точки. Аналогично, график дифференцируемой функции y=f(x) называется вогнутым (выпуклым вниз) в точке Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения если он расположен выше касательной в некоторой окрестности этой точки. Однако могут существовать точки, слева от которых в некоторой в достаточно малой окрестности график лежит по одну сторону от касательной, а справа – по другую. Точки графика, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.

Достаточное условие направления выпуклости. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции отрицательна (положительна‘) внутри некоторого промежутка, то функция выпукла (вогнута) на этом промежутке:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет знак, то это точка перегиба (достаточное условие перегиба):

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения точка перегиба Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения или Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения точка перегиба Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда вытекает необходимое условие перегиба: вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю или не существует.

Замечание. Если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то это точка перегиба.

Пример №44

Исследовать функцию Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения на выпуклость и точки перегиба.

Решение:

Область определения функции Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения С помощью второй производной найдем точки возможного перегиба:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы, в которых сохраняется направление выпуклости или вогнутости. Результаты удобно представить в таблице.Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

Кривая, изображающая график функции, выпукла на интервалах Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияДифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияи Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения и вогнута на интервалах Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения В точках Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решенияимеем перегиб:

Дифференциальное исчисление - определение и вычисление с примерами решения

  • Исследование функций с помощью производных
  • Формула Тейлора и ее применение
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Интегрирование тригонометрических функций
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Замечательные пределы
  • Непрерывность функций и точки разрыва
  • Точки разрыва и их классификация

Добавить комментарий