Как найти угловой коэффициент нормали к графику

Рассмотрим
кривую, уравнение которой имеет вид

Уравнение
касательной к данной кривой в точке
имеет вид:

(34)

Нормалью
к кривой в данной точке называется
прямая, проходящая через данную точку,
перпендикулярную к касательной в этой
точке.

Уравнение
нормали к данной кривой в точке
имеет вид:

(35)

_{Длина
отрезка касательной, заключенного между
точкой касания и осью абсцисс называется
длиной
касательной,
проекция этого отрезка на ось абсцисс
называется подкасательной.}

_{Длина
отрезка нормали, заключенного между
точкой касания и осью абсцисс называется
длиной
нормали,проекция
этого отрезка на ось абсцисс называется
поднормалью.}

Пример
17

Написать
уравнения касательной и нормали к кривой
в точке, абсцисса которой равна.

Решение:

Найдем
значение функции в точке
:

Найдем
производную заданной функции в точке

Уравнение
касательной найдем по формуле (34):

Уравнение
нормали найдем по формуле (35):

Ответ:
Уравнение
касательной :

Уравнение
нормали :.

Пример
18

Написать
уравнения касательной и нормали, длины
касательной и подкасательной, длины
нормали и поднормали для эллипса

в
точке
,
для которой.

Решение:

Найдем
как производную функции, заданной
параметрически по формуле (10):

Найдем
координаты точки касания
:
и значение производной в точке касания
:

Уравнение
касательной найдем по формуле (34):

Найдем
координаты
точкипересечения
касательной с осью:

Длина
касательной равна длине отрезка
:

Согласно
определению, подкасательная
равна

Где
угол
– угол между касательной и осью. Поэтому,– угловой коэффициент касательной,
равный

Таким
образом, подкасательная
равна

Уравнение
нормали найдем по формуле (35):

Найдем
координатыточкипересечения нормали с осью:

Длина
нормали равна длине отрезка
:

Согласно
определению, поднормаль
равна

Где
угол
– угол между нормалью и осью. Поэтому,– угловой коэффициент нормали, равный

Поэтому,
поднормаль
равна:

Ответ:
Уравнение
касательной :

Уравнение
нормали :

Длина
касательной
;
подкасательная;

Длина
нормали
; поднормаль

Задания
7. Написать
уравнения касательной и нормали:

1. К параболе в точке, абсцисса которой

.

2.
К окружности
в точках пересечения её с осью абсцисс

.

3.
К циклоиде
в точке, для которой

.

4.
В каких точках кривой
касательная параллельна:

а)
оси Оx; б) прямой

.

10.
Промежутки монотонности функции.
Экстремумы функции.

Условие
монотонности функции:

Для
того, чтобы дифференцируемая на
функцияне возрастала, необходимо и достаточно,
чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неположительна .

(36)

Для
того, чтобы дифференцируемая на
функцияне убывала, необходимо и достаточно,
чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неотрицательна.

(37)

Промежутки,
на которых производная функции сохраняет
определенный знак, называются промежутками
монотонности
функции

Пример
19

Найти
промежутки монотонности функции
.

Решение:

Найдем
производную функции
.

Найдем
промежутки знакопостоянства полученной
производной. Для этого

разложим полученный
квадратный трехчлен на множители:

.

Исследуем
знак полученного выражения, используя
метод интервалов.

Таким
образом, получаем согласно (36), (37),что
заданная функция возрастает на
и убывает на.

Ответ:
Заданная
функция
возрастает наи убывает на.

_{Определение}
Функция
имеет в точкелокальный
максимум (минимум),
если существует такая окрестность
точки
,
что для всехвыполняется условие

().

Локальный
минимум или максимум функции
называетсялокальным
экстремумом.

Необходимое
условие существования экстремума.

Пусть
функция
определена в некоторой окрестности
точки.
Если функцияимеет
в точкеэкстремумом, то производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Точка
называетсякритической
точкой
функции
,
если производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Достаточные
условия наличия экстремума в критической
точке
.

Пусть
точка
является критической.

Первое
достаточное условие экстремума:

Пусть
функция
непрерывна в некоторой окрестноститочкии дифференцируема в каждой точке.

Точка
является локальным максимумом, если
при переходе через

производная
функции меняет знак с плюса на минус.

Точка
является локальным минимумом, если при
переходе через

производная
функции меняет знак с минуса на плюс.

Пример
20

Найти
экстремумы функции
.

Решение:

Найдем
производную заданной функции

Приравнивая
в полученной производной к нулю числитель
и знаменатель, найдем критические точки:

Исследуем
знак производной, используя метод
интервалов.

Из
рисунка видно, что при переходе через
точку
производная меняет знак с плюса на
минус. Следовательно, в точке–
локальный максимум.

При
переходе через точку
производная меняет знак с минуса на
плюс.

Следовательно,
в точке
–
локальный минимум.

При
переходе через точку
производная не меняет знак. Следовательно,
критическая точкане является экстремумом заданной
функции.

Ответ:
–
локальный максимум,
–
локальный минимум.

Второе
достаточное условие экстремума:

Если
первые
производные функциив точкеравны нулю, а-ная
производная функциив точкеотлична от нуля, то точкаявляется экстремумом функции,
причем,

если

,
(38)

то
-локальный
минимум

если

,
(39)

то
-локальный
максимум.

Пример
21

Найти
экстремумы функции, пользуясь второй
производной
.

Решение:

ОДЗ:
.

Найдем
первую производную заданной функции

Найдем
критические точки функции:

Точку
мы не рассматриваем, так как функция
определена только в левой окрестности.

Найдем
вторую производную

Находим

Таким
образом, на основании (39) делаем вывод
о том, что при
– локальный максимум.

Ответ:
–
локальный максимум.

Задания
8.

Исследовать
на возростание и убывание функции:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Исследовать
на экстремумы функции:

7.
8.
9.
	10.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Касательная и нормаль к графику функции

Основные формулы

Пусть на некотором интервале X задана функция . Нас интересуют геометрические характеристики графика этой функции в некоторой заданной точке при значении аргумента , где . Пусть функция имеет в производную, которую будем обозначать как . Тогда через точку мы можем провести касательную к графику. Тангенс угла α между осью абсцисс x и касательной равен производной функции в точке :
(1) .
А само уравнение касательной имеет вид:
(2) .
В аналитической геометрии тангенс угла между прямой и осью абсцисс называют угловым коэффициентом прямой. Таким образом производная равна угловому коэффициенту касательной в .
См. Геометрический смысл производной

Прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через точку , называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали имеет вид:
(3) .
См. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ⇓

Пусть две кривые и пересекаются в точке . Тогда угол φ между касательными к этим кривым в точке называется углом между кривыми. Он определяется по формуле:
(4) , где .
Отсюда .
при .
Вывод формулы ⇓

Определения

Здесь мы приводим определения, которые встречаются в литературе, и имеют отношение к касательной и нормали. Вывод формул приводится в примере 1 ⇓.

Определение касательной приводится здесь. Уравнение касательной:
.

Касательная TM₀, нормаль M₀N, подкасательная TP, поднормаль PN. Нормалью к графику функции в точке называется прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через эту точку. Уравнение нормали:
.
Отрезком касательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и точкой .
.
Отрезком нормали называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и точкой .
.
Подкасательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Поднормалью называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым, проведенных через точку .

Полезные формулы из аналитической геометрии

Далее приводятся некоторые сведения из аналитической геометрии, которые могут оказаться полезными при решении задач.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
Здесь – направляющий вектор прямой.

Умножив это уравнение на , получим уравнение прямой в другом виде:
.
Здесь – вектор нормали прямой. Тогда само уравнение означает равенство нулю скалярного произведения векторов и .

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:
.
Вектор называется направляющим вектором данной прямой. Это уравнение можно написать в параметрическом виде, введя параметр t :

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид:
.
Вектор называется вектором нормали данной прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку :
.
Угол α между прямой и осью x определяется по формуле:
.
Если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты и связаны соотношением:
.

Уравнение прямой в отрезках, пересекающей оси координат в точках :
.

Примеры решения задач

Все примеры Ниже рассмотрены примеры решений следующих задач.
1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Решение ⇓
2. Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде
, проведенных в точке . Решение ⇓
3. Заданной в неявном виде . Решение ⇓
4. Найти угол между кривыми и Решение ⇓

Пример 1

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.

Находим значение функции при :
.

Находим производную:
.
Находим производную в точке :
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2):
;
;
;
– уравнение касательной.
Строим касательную на графике. Поскольку касательная – это прямая, то нам нужно знать положения двух ее точек, и провести через них прямую.
При ;
при .
Проводим касательную через точки и .

Касательная и нормаль к графику функции y=x 2 в точке M₀(1;1).

Найдем угол α между касательной и осью абсцисс по формуле (1):
.
Подставляем :
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3):
;
;
;
;
;
– уравнение нормали.
Строим нормаль по двум точкам.
При ;
при .
Проводим нормаль через точки и .

Находим длину отрезка касательной . Из прямоугольника имеем:
.
Поясним использованную формулу. Поскольку , то . Тогда
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка подкасательной . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка нормали . Поскольку и , то треугольники и подобны. Тогда . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка поднормали . Из прямоугольника имеем:
.

Примечание.
При выводе формул, можно сначала определить длины отрезков подкасательной и поднормали, а затем из прямоугольников, по теореме Пифагора, найти длины отрезков касательной и нормали:
;
.

Уравнение касательной: ; уравнение нормали: ;
длина отрезка касательной: ; длина отрезка нормали: ; длина подкасательной: ; длина поднормали: .

Пример 2

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде , проведенных в точке .

Находим значения переменных при .
;
.
Обозначим эту точку как .

Находим производные переменных x и y по параметру t .
;
;
;
;
.

Подставляя , находим производную y по x в точке .
.

Касательная и нормаль к циссоиде в точке (2;2).

Применяя формулу (2), находим уравнение касательной к циссоиде, проходящей через точку .
;
;
;
.

Применяя формулу (3), находим уравнение нормали к циссоиде в точке .
;
;
;
.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в неявном виде:
(П3) ,
проведенных в точке .

Для получения уравнение касательной и нормали, нам нужно знать значение производной функции в заданной точке. Функция (П3) задана неявно. Поэтому применяем правило дифференцирования неявной функции. Для этого дифференцируем (П3) по x , считая, что y является функцией от x .
;
;
;
.
Отсюда
.

Находим производную в заданной точке, подставляя .
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2).
;
;
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3).
;
;
;
.

Касательная и нормаль к циссоиде изображены на рисунке ⇑.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 4

Найти угол между кривыми и .

Найдем множество точек пересечения кривых, решая систему уравнений.

Левые части равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования.
;
(П4) .
Поскольку функция строго монотонна, то уравнение (П4) имеет один корень:
.
При . Кривые пересекаются в единственной точке . Обозначим ее как , где .

Введем обозначения для функций, с помощью которых заданы кривые:
.
Найдем их производные.
;
.
Найдем значения производных в точке , подставляя .
;
.

Ниже приводятся графики функций ⇓ и вывод формулы угла между кривыми.

Вывод формулы для угла между кривыми

Изложим вывод формулы (4). Для иллюстрации используем только что рассмотренный пример ⇑, в котором .

Рассмотрим две кривые, заданные уравнениями и , и пересекающиеся в некоторой точке . Докажем, что угол между кривыми определяется по формуле (4):
, где .
Или ;
при .

Проведем касательные к графикам функций в точке . Углы, которые образуют касательные с осью x обозначим как и . За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. На рисунке . Считаем, что значения углов принадлежат интервалам . Согласно геометрическому смыслу производной,
.

В аналитической геометрии принято, что угол φ между прямыми равен наименьшему значению угла между ними.
Если , то ;
если , то .
Таким образом величина угла φ между касательными может находиться только в пределах
(Ф2) .

На рисунке угол между лучами и больше 90°, а между лучами и – меньше. Поэтому .

При доказательстве мы будем использовать соотношение:
, которое выполняется при .
Тогда в силу (Ф2),
.
Случай мы рассмотрим отдельно.

1) Пусть .
Тогда угол между прямыми . И мы имеем:
.
В конце мы подставили (Ф1).

2) Пусть .
Тогда ; . Поэтому . Это можно записать так: . Также применим формулу: . В результате получаем:

.

Этот случай изображен на рисунке ⇑.

3) Пусть .
При этом касательные взаимно перпендикулярны, . В этом случае , что указано в (4).

Использованная литература:
П.Е. Данько, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Москва, Высшая школа, 1980.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, Физматлит, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-06-2021

Вывод уравнения нормали к графику функции

Вы будете перенаправлены на Автор24

Нормаль — это прямая, которая образует с касательной к графику функции угол в $90°$.

Рисунок 1. Нормальный перпендикуляр к графику касательной. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В связи с тем, что нормаль перпендикулярна к касательной, её угловой коэффициент будет величиной, обратной к угловому коэффициенту касательной:

Пользуясь полученным выводом, запишем уравнение нормали к графику функции:

$y – y_0 = – frac<1> cdot (x – x_0) left(1right) $, здесь $x_0$ и $y_0$ — координаты точки для которой строится искомая линия, при этом производная в этой точке $f’(x_0) ≠ 0$.

Порядок действий при поиске уравнения нормальной прямой если задана координата $x_0$:

1. Вычисляется, чему равен нулевой игрек $y(x_0)$ для функции.
2. Затем нужно определить производную.
3. Нужно высчитать затем, чему равен $f’(x)$ в точке $x_0$, найденное значение — коэффициент касательной.
4. Все найденные значения подставляются в формулу $(1)$.

Напомним также как выглядит само уравнение касательной:

$y – y_0 = f’(x_0) cdot (x – x_0)$.

Найдите уравнение нормали для функции $y=x^2$ в точке $x_0=2$.

Решение:

Производная данной функции составит $y’(x) = 2x$, затем найдём, чему равен наш подопытный кролик-функция в заданной точке $y_0= x^2 = 2^2 = 4$.

Теперь нужно высчитать производную функции в точке $x_0$: $y’(2) = 2 x = 2 cdot 2= 4$.

Все полученные значения расставляем по своим местам в формулу $(1)$:

Уравнение нормали найдено.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 07 05 2021

Геометрическое применение производной: уравнения касательной и нормали, угол между кривыми

Касательная и нормаль к кривой

Касательная прямая – прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.

Если кривая определена уравнением $y=f(x)$, то уравнение касательной к ней в точке $M(x_0;y_0)$ имеет вид:

а уравнение нормали:

Задание. Написать уравнение касательной и нормали к кривой $y=x^2-3x+4$ в точке с абсциссой $x_0=0$.

Решение. Находим значение функции в заданной точке:

Далее вычислим значение производной функции в точке $x_0=0$:

а тогда уравнение касательной запишется в виде:

или после упрощения:

$$y-4=-frac<1><-3>(x-0) Rightarrow x-3 y+12=0$$

Ответ. Уравнение касательной: $3x+y-4=0$

Уравнение нормали: $x-3y+12=0$

Угол между кривыми

Углом между кривыми на плоскости в их общей точке $M(x_0;y_0)$ называется наименьший из двух возможных углов между касательными к этим кривым в данной точке. Если уравнения касательных, проведенных к кривым $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$, соответственно $y=k_<1>x+b_<1>$ и $y=k_<2>x+b_2$, то тангенс угла между кривыми определяется соотношением:

Задание. Найти тангенс угла между кривыми $y=x^2-1$ и $y=x^3-1$ в точке их пересечения, которая имеет большую абсциссу.

Решение. Вначале найдем точки пересечения графиков заданных функций, для этого совместно разрешим уравнение заданных кривых:

Таким образом, искомая точка $x=1$.

Далее находим производные заданных функций в найденной точке:

Итак, искомый тангенс:

Ответ. $operatorname phi=frac<1><7>$

[spoiler title=”источники:”]

http://spravochnick.ru/matematika/vyvod_uravneniya_normali_k_grafiku_funkcii/

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_8_10.php

[/spoiler]

Содержание:

Дифференциальное исчисление

Понятие производной

Приращение аргумента и функции

Пусть дан график непрерывной функции.

Определение: Разность между конечным и начальным значениями аргумента называется его приращением, т.е.

Рис. 69. Приращения аргумента и функции

Теорема: Если , то функция непрерывна в точке .

Доказательство: Приращение функции следовательно, функция определена как в самой точке так и в ее -окрестности. При аргумент поэтому

Отсюда следует, что следовательно, функция непрерывна в точке

Задачи, приводящие к понятию производной

1. Физика. Пусть материальная точка движется прямолинейно согласно закону где s – путь, который проходит точка за время t. Требуется определить скорость движения точки в момент времени Обозначим через путь, пройденный за время Очевидно, что Средняя скорость, с которой движется точка определяется как Для того чтобы определить скорость в момент времени вычислим предел

2. Геометрия. Пусть дан график функции Требуется найти такую прямую линию, которая касается графика функции только в одной точке

Определение: Касательной называется предельное положение секущей прямой при стремлении произвольным образом (Рис. 70).

Рис. 70. Касательная к графику функции

Вычислим тангенс угла наклона секущей Следовательно, тангенс А х угла касательной к положительному направлению оси абсцисс будет равен предельному значению приведенной выше величины

Производная функции. Ее механический и геометрический смысл

Определение: Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении по- средней величины к нулю произвольным образом, т.е.

Из рассмотренных выше задач следует, что с точки зрения механики производная определяет мгновенную скорость движения, а с геометрической точки зрения производная функции равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс в заданной точке, в которой вычисляется значение производной.

Уравнение касательной и нормали в заданной точке графика функции f(x)

Пусть дан график функции (Рис. 71):

Рис. 71. Касательная и нормаль.

Требуется составить уравнения касательной и нормали в точке Для составления уравнения касательной воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом: В силу того, что уравнение касательной имеет вид:

Так как нормаль перпендикулярна к касательной, то ее угловой коэффициент связан с угловым коэффициентом касательной соотношением: .

Следовательно, уравнение нормали имеет следующий вид:

Пример:

Найти угловой коэффициент касательной в точке к графику функции

Решение:

Так как то вычислим производную функции, используя определение производной:

следовательно,

Вычислим значение производной в точке а тем самым и угловой коэффициент касательной в заданной точке

Дифференцируемость непрерывных функций

Определение: Нахождение конечной производной от непрерывной функции называется дифференцированием.

Теорема: Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке функция непрерывна.

Доказательство: Если функция дифференцируема в точке то в этой точке существует конечный предел . Используя свойство 4 для бесконечно малых функций (см. Лекцию № 12), можно записать, что – бесконечно малая функция в -окрестности точки Отсюда следует, что Вычислим предел этого выражения при Так как при функция как бесконечно малая функция, а производная остается неизменной, то

По теореме получаем, что функция непрерывна в точке . В силу произвольности точки функция будет непрерывна в любой точке своей области определения.

Замечание: Утверждение, обратное к рассмотренному в теореме что всякая непрерывная в точке функция будет в этой точке дифференцируема, будет верным не во всех случаях, т.е. не всякая непрерывная функция является дифференцируемой.

Пример:

Дифференцируема ли функция в точке Изобразим график данной функции (Рис. 72):

Рис. 72. График функции

Решение:

В точке данная функция определена, имеет равные леао- и правосторонние пределы (пределы равны нулю), которые равны значению функции в этой точке, следовательно, функция непрерывна в точке Однако в этой точке производная не существует, так как слева , Отсюда следует, что в точке производной нет.

Пример:

Дифференцируема ли функция

Решение:

В точке данная функция непрерывна (доказать самостотельно). Производная функции равна

Следовательно, в точке производная бесконечна, и функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Вычисление производной согласно определению является трудоемкой задачей. В связи с этим были получены следующие правила дифференцирования:

1. Производная от суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных от этих функций, т.е.

Доказательство: Пусть тогда в приращенной точке функция равна

Приращение функции будет равно: а значит производная от приведенной функции

Замечание: Производная от суммы (разности) любого числа функций равна сумме (разности) производных от этих функций.

2. Производная от произведения двух функций вычисляется по формуле:

Доказательство: Пусть тогда в приращенной точке функция равна

Приращение функции будет равно: а значит производная от приведенной функции

(так функции непрерывны, то при и приращение )

3. Производная от частного двух функций вычисляется согласно формуле:

(доказать самостоятельно).

4. Производная от обратной функции вычисляется по формуле:

Доказательство: Так как и приращение следовательно,)

5. Производная от сложной функции вычисляется по формуле:

Доказательство: Так как и приращение следовательно,) = Лекция № 17 “Производная от элементарных, параметрически и неявно заданных функций”

Производная от основных элементарных функций

1. Постоянная функция Вычислим приращение постоянной функции . Отношение приращения функции к приращению аргумента Следовательно, т.е. производная от постоянной величины равна нулю:

Следствие: При вычислении производной от произведения константы С на функцию получаем т.е. постоянный множитель можно выносить за знак производной .

Следствие: Аналогично поступают при вычислении производной от частного или

2. Логарифмическая функция Используя определение производной, находим

(выражение в квадратных скобках стремится к числу е по второму замеча-1 тельному пределу) =

Следствие: Производная от сложной логарифмической функции равна

.

Следствие: Если основание логарифма , то

3. Степенная функция Для нахождения производной от этой функции воспользуемся методом логарифмического дифференцирования, то есть

Возьмем натуральный логарифм от степенной функции

Отсюда находим Таким образом, Для сложной функции эта формула имеет следующий вид

Следствие: Наиболее распространенными являются случаи:

• а)
• б) ;
• в)

4. Показательная функция Воспользуемся логарифмическим дифференцированием Отсюда находим Для сложной функции эта формула имеет следующий вид

Следствие: Если основание показательной функции а=е, то В случае сложной функции производная равна

5. Тригонометрические функции: a) Вычислим производную от синуса

Следовательно, При выводе формулы был использован первый замечательный предел (см. Лекцию № 14). Для сложной функции производная равна Самостоятельно получить формулы для других тригонометрических функций:

6. Обратные тригонометрические функции:

a) Вычислим производную от арксинуса, для чего от обеих частей равенства возьмем функцию синус, то есть найдем обратную функцию Беря производную от обеих частей равенства с учетом того факта, что функция, стоящая справа, является сложной, получим Отсюда находим, что Таким образом, Для сложной функции Самостоятельно получить формулы для других обратных тригонометрических функций:

Пример:

Найти производную функции

Решение:

По правилу дифференцирования сложной функции и с учетом выражения для логарифмической и показательной функций имеем

Пример:

Найти производную функции

Решение:

В данном случае производная

Полученные производные от элементарных функций сведем в таблицу:

Пример:

Найти производную функции

Решение:

По правилу дифференцирования сложной функции и с учетом выражения для логарифмической – в данном примере аргументом является переменная t) имеем

(воспользуемся формулой для ко- синуса

(производная от где внутренняя функция (вычислим производную от сложной функции (последняя производная берётся от элементарной функции

Пример:

Найти производную функции

Решение:

По правилу дифференцирования разности функций и правила взятия производной от произведения константы С на функцию получаем: :

Пример:

Найти производную функции

Решение:

По правилу дифференцирования произведения функций

В результате действий, получаем:

Пример:

Найти производную функции

Решение:

По условию задачи дана показательно-степенная функция Для отыскания производной от такой функции воспользуемся логарифмическим дифференцированием с применением формулы:

и правила дифференцирования произведения функций

Производная от параметрически и неявно заданных функций

Определение: Если функция задается в виде системы уравнений то говорят, что функция задана в параметрическом виде.

Чтобы продифференцировать параметрически заданную функцию, надо из первого уравнения системы найти обратную функцию t(x) и подставить ее во второе уравнение системы. В результаты этих действий получается сложная функция, производная от которой равна Так как производная от обратной функции связана с производной исходной функции равенством то формула для производной от параметрически заданной функции принимает вид:

Пример:

Найти производную функции

Решение:

Вычислим производные от заданных функций по параметру t:

Определение: Если функция y = f(x) задается в виде соотношения F(x, у) = 0, из которого нельзя явно выразить переменную у через х или наоборот, то говорят, что функция задана в неявном виде.

Дифференцирование таких функций осуществляется с учетом того, что переменная у является сложной функцией, т.е. зависит от переменной х.

Пример:

Найти производную функции

Решение:

Продифференцируем данное соотношение с учетом вышеизложенного материала получим Отсюда находим, С учетом исходного равенства полученное выражение определяет производную от неявно заданной функции:

—–вышмат

Дифференциальное исчисление

Производная функции, ее геометрический и физический смыслы

При изучении различных экономических процессов, описываемых функциями, существенную роль играют скорость роста процесса, ускорение роста, оптимальный режим и другие характеристики, которые исследуются с помощью производной.

Рассмотрим геометрическую задачу о проведении касательной к плоской кривой Пусть на плоскости Оху дана непрерывная кривая y=f(x). Необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке Уравнение прямой, проходящей через точку имеет вид:

Касательной называется прямая, к которой стремится секущая при стремлении второй точки секущей к первой. Дадим аргументу приращение и перейдем на кривой y=f(x) от точки к точке Угловой коэффициент (или тангенс угла наклона) секущей может быть найден по формуле: Тогда угловой коэффициент касательной

Это и есть производная функции y=f(x) в точке Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению ее производной в точке касания (геометрический смысл производной).

Производная функции имеет несколько обозначений:

Следовательно, уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке можно записать в виде:

Нахождение мгновенной скорости прямолинейно движущейся точки

Пусть точка М движется прямолинейно и s=f(t) – путь, проходимый ею за время t. Средней скоростью прямолинейного движения за время называется отношение пройденного пути к затраченному времени: Если существует предел то он называется (мгновенной) скоростью в некоторый момент времени В этом состоит физический смысл производной.

Если v=f(t) – функция, описывающая процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени t, то (мгновенное) ускорение материальной точки в фиксированный момент времени есть производная от скорости по времени:

Вывод. Производная есть предел отношения приращения функции к бес- конечно малому приращению аргумента.

Важно отметить, что запись имеет не только символическое значение как способ написания производной, но и смысловое: производная функции есть отношение ее дифференциала dy к дифференциалу аргумента dx.

Дифференциалом функции одной переменной называется произведение ее производной на приращение аргумента: Для функции у=х получаем Следовательно, дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Отсюда dy=y’dx (подробнее см. литературу).

Нахождение для заданной функции ее производной называется дифференцированием данной функции. А учение о производной и ее приложениях является предметом дифференциального исчисления. Фундамент дифференциального исчисления составляют основные правила и формулы дифференцирования функций. Используя их, можно найти производную и дифференциал любой элементарной функции.

Основные правила дифференцирования

Внимание! Для существования производной в некоторой точке необходимо, чтобы функция была непрерывна в этой точке. Однако не всякая непрерывная в точке функция имеет в ней производную.

Теорема 1. Производная постоянной равна нулю: с’=0.

Теорема 2. Пусть u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции. Тогда:

1. производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций: (u+v)’=u’+v’;
2. производная произведения конечного числа дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные: (uv)’=u’v+v’u; в частности, постоянный множитель можно выносить за знак производной: (cu)’=cu’;
3. производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

Теорема 3. Производная сложной функции равна ее производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента.

Действительно, пусть задана сложная функция y=f[u(x)]. Тогда

Теорема 4. Производная обратной функции есть величина, обратная производной прямой функции.

Так, если – взаимно обратные функции и то

Таблица производных

Приведем основные формулы дифференцирования функций. Пусть u=u(x) – дифференцируемая функция.

Тогда

Выведем производные некоторых функций.

1. Если y=sinx, то

Используя формулу разности синусов

получим

Так как любую тригонометрическую функцию можно вывести через синус, то нетрудно найти производные остальных тригонометрических функций.

2. Пусть y=cosx. Тогда по теореме о производной сложной функции

3. Для функции y=tgx воспользуемся правилом дифференцирования частного:

4. Представим y=ctgx как степенную функцию от тангенса. Тогда

5. Вычислим производную y=arcsinx, где Обратная функция имеет вид x=siny. Причем если По теореме дифференцирования обратной функции

и при х=±1 производная не существует.

6. Производную y=arccosx получим из соотношения Следовательно,

Предельный анализ в экономике

Задача о производительности труда

Пусть функция y=f(t) выражает количество произведенной продукции у за время t и необходимо найти производительность труда в момент времени . Очевидно, за период времени от до количество произведенной продукции изменится от до и составит

Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е.

Производительность труда в момент времени можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от до при т.е.

Пример №34

Объем продукции хлебобулочных изделий, произведенных бригадой пекарей в течение смены, может быть описан функцией

где t – время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы.

Решение:

Производительность труда выражается производной

В заданный момент времени соответственно имеем:

Задача о предельных издержках производства

Издержки производства у будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции х. Тогда – приращение издержек производства с увеличением объема произведенной продукции на . Среднее приращение издержек производства на единицу продукции есть Производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельная полезность и другие предельные величины. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса во времени или относительно исследуемого фактора.

Для исследования экономических процессов часто используется понятие эластичности функции. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной, если приращение переменной стремится к нулю: Эластичность дает приближенный процентный прирост функции при изменении независимой переменой на 1%. Например, эластичность спроса у относительно цены х показывает приближенно, на сколько процентов изменится спрос при изменении цены на 1%. Если эластичность спроса по абсолютной величине больше единицы |Ех(у)|>1, то спрос считают эластичным, если |Ех(у)|= 1 – нейтральным, если |Ех(у)|<1 – неэластичным относительно цены.

Пример №35

Опытным путем установлены функции спроса и предложения s=p+0.5, где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, р – цена товара. Найти:

• 1) равновесную цену, при которой спрос и предложение совпадают;
• 2) эластичность спроса и предложения для этой цены;
• 3) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.

Решение:

1) равновесная цена определяется из условия q=s: откуда р=2 ден. ед.

2) найдем эластичности спроса и предложения:

Для равновесной цены p=2 имеем:

T.к. полученные значения эластичности по абсолютной величине меньше 1, то спрос и предложение данного товара при рыночной цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. А именно, при увеличении цены на 1% спрос уменьшится на 0.3%, предложение увеличится на 0.8%.

3) при увеличении цены на 5% относительно равновесной спрос уменьшится на и, следовательно, доход возрастет на 3.5%.

Пример №36

Зависимость между издержками производства у и объемом выпускаемой продукции х выражается функцией Требуется:

Решение:

1) функция средних издержек (на единицу продукции) выражается отношением При х=0.25 средние издержки равны

Функция предельных издержек выражается производной

При х=0.5 предельные издержки составят

что вдвое меньше средних издержек.

2) эластичность издержек у относительно объема выпускаемой продукции х рассчитывается по формуле:

При Это означает, что при увеличении количества произведенной продукции на 1% (с 1 до 1.01) издержки уменьшатся на 1%.

При т.е. с увеличением количества произведенной продукции на 1% (с 3 до 3.01) затраты уменьшатся на 17%.

• Заказать решение задач по высшей математике

Уравнение нормали к плоской кривой

Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. Если касательная в точке к графику непрерывной функции y=f(x) имеет вид (см. п. 4.1), то перпендикулярная к ней прямая имеет угловой коэффициент Таким образом, при уравнение нормали в точке имеет вид Если же то нормаль параллельна оси Оу:

Пример №37

Показать, что для гиперболы ху=-1 площадь треугольника, образованного координатными осями и касательной в точке А(-1,1), равна квадрату полуоси гиперболы.

Решение:

В общем курсе аналитической геометрии давалось каноническое уравнение гиперболы. «Школьная» гипербола ху=а получается из уравнения преобразованием поворота, которое нашей программой не предусмотрено. Полуось гиперболы определим как расстояние между вершиной и центром симметрии гиперболы. Очевидно, вершины гиперболы ху=-1 находятся в точках А(-1,1) и В( 1 ,-1), а центр симметрии совпадает с началом координат. Тогда полуось гиперболы равна Следовательно, квадрат полуоси гиперболы равен 2.

Составим уравнение касательной к гиперболе ху=-1 в вершине А(-1,1). Общее уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке имеет вид:

В нашем случае

Искомое уравнение касательной имеет вид:

Найдем точки пересечения касательной с осями координат:

Тогда треугольник, образованный координатными осями и касательной, будет иметь вершины О(0,0), К(-2,0) и L(0,2). Т.к. треугольник прямоугольный, то его площадь равна

2=2. Задача решена.

Производные высших порядков

До сих пор мы рассматривали производную y’=f'(x) от функции y=f(x), называемую производной первого порядка. По производная y’=f'(x) сама является функцией, которая также может иметь производную. Производной второго порядка называется производная от производной первого порядка (у’)’ и обозначается и т.д. В общем случае, производной n-го порядка называется производная от производной (n-l)-гo порядка (для обозначения производных выше третьего порядка используются арабские цифры в скобках):

Ранее было установлено, что если точка движется прямолинейно по закону s=s(t) (где s – путь, t – время), то представляет скорость изменения пути в момент Следовательно, ускорение точки в момент есть вторая производная пути по времени:

В этом состоит механический смысл второй производной.

Пример №38

Известно, что траекторией брошенного камня является парабола. Найти его скорость и ускорение.

Решение:

Запишем уравнение траектории брошенного камня – парабола с вершиной в точке ветви которой направлены вниз, g – гравитационная постоянная. Тогда – скорость камня; – его ускорение, что согласуется с известным физическим законом: всякое брошенное тело испытывает постоянное ускорение свободного падения.

Производная неявной функции

Выше было рассмотрено дифференцирование явных функций, заданных формулой y=f(x), правая часть которых не содержала зависимой переменной. Если же функция y=f(x) задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно зависимой переменной, то говорят, что функция у задана неявно.

Внимание! Не всякое уравнение F(x,y)=0 определяет неявную функцию. Например, уравнение в действительной области не определяет никакой функции. Иногда одно уравнение такого вида может определять несколько функций. Например, уравнение определяет две функции: и

Часто разрешить уравнение F(x,y)=0 относительно переменной затруднительно. В таком случае функцию приходится изучать, пользуясь непосредственно уравнением, определяющим ее. Рассмотрим дифференцирование неявной функции, заданной уравнением F(x,y)=0.

Для нахождения производной функции у, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая у как функцию от х. Затем из полученного уравнения найти производную у’.

Пример №39

Покажите, что функция y=f(x), заданная неявно выражением удовлетворяет уравнению

Решение:

Найдем первую производную данной функции. Для этого продифференцируем обе части уравнения используя формулы и правила дифференцирования:

Найдем вторую производную:

Подставим найденные выражения в дифференциальное уравнение:

– верное тождество.

Правило Лопиталя

С помощью производной можно находить многие пределы. Следующее утверждение позволит свести предел отношения двух функций с случае неопределенностей вида к пределу отношения производных, который очень часто вычисляется проще.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если этот предел существует:

Внимание! В правой части формул берется отношение производных, а не производная отношения.

Пример №40

Вычислить предел

Решение:

Имеем неопределенность вида Т.к. числитель и знаменатель дроби непрерывны и дифференцируемы, то можно применить правило Лопиталя:

Замечание. Правило Лопиталя можно применять повторно, если вновь приходим к соотношению неопределенностей вида

Пример №41

Вычислить предел

Решение:

Числитель и знаменатель дроби непрерывны, дифференцируемы и стремятся к бесконечности. Следовательно, можно применить правило Лопиталя (в данном примере мы воспользовались им дважды):

Замечание. Другие неопределенности раскрываются по правилу Лопиталя, если их предварительно свести к основному виду с помощью тождественных преобразований.

Пример №42

Найти

Решение:

Преобразуя выражение и используя непрерывность показательной функции, получим:

Оптимизация (процесс нахождения экстремума максимума или минимума экономических функций)

В этом параграфе оптимизацию будем понимать как процесс нахождения экстремума (максимума или минимума) экономических функций, т.е. выбор наилучшего варианта из множества возможных. Говорят, что в точке функция y=f(x) имеет (локальный) максимум, если существует такая окрестность точки , что для всех х из этой окрестности выполнено условие Аналогично, функция y=f(x) в точке имеет (локальный) минимум, если существует такая окрестность точки , что для всех х из этой окрестности выполнено условие Точки (локальных) максимума и минимума называются точками (локального) экстремума, а значение функции в них – (локальными) экстремумами функции.

Внимание! Не следует путать понятие локального экстремума функции с ее наибольшим или наименьшим значением (так называемым глобальным максимумом или минимумом). Па одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем минимум может оказаться больше максимума подобно тому, как впадина в горах может иметь большую отметку над уровнем моря, чем невысокая вершина. А наибольшее и наименьшее значение непрерывной на отрезке функции может достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка.

Геометрически в точке экстремума касательная к графику функции либо горизонтальна, либо не существует. Следовательно, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в тех точках, где производная функции равна нулю или не существует (необходимое условие экстремума). Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими. (Иногда точки, в которых производная обращается в нуль, называют стационарными.)

Замечание Критическая точка не обязательно является точкой экстремума. Это лишь точка возможного экстремума функции.

Достаточное условие экстремума. Если в критической точке вторая производная положительна, то это точка минимума, а если отрицательна – точка максимума.

Для запоминания этой теоремы предлагаем мнемоническое правило: если плюс – котелок наполняется, если минус – опустошается.

Пример №43

Пусть в краткосрочном плане производственная функция зависит только от численности персонала и имеет вид

где у – выпуск продукции, а n- число работающих. Определить численность персонала, при которой выпуск у достигает максимального значения.

Решение:

Выпуск продукции y=f(n) – функция натурального аргумента. Для решения задачи рассмотрим обобщенную функцию действительного аргумента Новая функция везде непрерывна и дифференцируема. Найдем стационарные точки, для чего вычислим производную и приравняем ее к нулю:

.

Решая квадратное уравнение, легко находим Вычисляем вторую производную:

При имеем

следовательно, в данной точке имеется минимум. Это естественно, т.к. нет выпуска продукции, если нет рабочих. Для второй точки

Поэтому в точке максимум. Соответствующий выпуск продукции

Исследование функции на монотонность

С помощью производной можно найти промежутки возрастания и убывания функции. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции:

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Достаточное условие монотонности. Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то она возрастает (убывает) на этом промежутке:

Таким образом, если при переходе через критическую точку производная дифференцируемой функции меняет знак с плюса на минус, то это точка (локального) максимума, а если с минуса на плюс – точка (локального) минимума (достаточное условие экстремума):

Если изменение знака производной не происходит, то экстремума нет.

Пример. Исследовать функцию на монотонность.

Решение. Область определения функции С помощью первой производной найдем точки возможного экстремума:

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности. Результаты исследования удобно представить в таблице.

Итак, функция убывает на интервалах и возрастает на в точке имеем минимум: 0.43

а точка максимума:

Выпуклость и вогнутость графика функции

Точки перегиба

График дифференцируемой функции y=f(x) называется выпуклым (выпуклым вверх) в точке если он расположен ниже касательной в некоторой окрестности этой точки. Аналогично, график дифференцируемой функции y=f(x) называется вогнутым (выпуклым вниз) в точке если он расположен выше касательной в некоторой окрестности этой точки. Однако могут существовать точки, слева от которых в некоторой в достаточно малой окрестности график лежит по одну сторону от касательной, а справа – по другую. Точки графика, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.

Достаточное условие направления выпуклости. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции отрицательна (положительна‘) внутри некоторого промежутка, то функция выпукла (вогнута) на этом промежутке:

Следовательно, если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет знак, то это точка перегиба (достаточное условие перегиба):

точка перегиба или точка перегиба

Отсюда вытекает необходимое условие перегиба: вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю или не существует.

Замечание. Если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то это точка перегиба.

Пример №44

Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.

Решение:

Область определения функции С помощью второй производной найдем точки возможного перегиба:

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы, в которых сохраняется направление выпуклости или вогнутости. Результаты удобно представить в таблице.

Кривая, изображающая график функции, выпукла на интервалах и и вогнута на интервалах В точках имеем перегиб: