Что такое угловая скорость
Угловая скорость (обозначается как (omega)) — векторная величина, характеризующая скорость и направление изменения угла поворота со временем.
Модуль угловой скорости для вращательного движения совпадает с мгновенной угловой частотой вращения, а направление перпендикулярно плоскости вращения и связано с направлением вращения правилом правого винта.
Единица измерения
В Международной системе единиц (СИ) принятой единицей измерения угловой скорости является радиан в секунду (рад/с)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Формула угловой скорости
Вектор угловой скорости определяется отношением угла поворота ((varphi)) к интервалу времени ((mathcal t)), за которое произошел поворот:
(omega=frac{trianglevarphi}{trianglemathcal t})
Зависимость угловой скорости от времени
Зависимость (varphi ) от (mathcal t) наглядно показана на графике:
Угол, на который повернулось тело, характеризуется площадью под кривой.
Угловая скорость вращения, формула
Через частоту
(omega=2pimathcal n)
(mathcal n) — частота вращения ((1/с))
(pi) — число Пи ((approx 3,14))
(mathcal n=frac1T)
(T )— период вращения (время, за которое тело совершает один оборот)
Через радиус
(omega=frac vR)
(v) — линейная скорость(м/с)
(R) — радиус окружности (м)
Как определить направление угловой скорости
Направление скорости в физике можно определять двумя способами:
- Правило буравчика. Буравчик имеет правую резьбу (вращательное движение вправо при закручивании). Если вращать буравчик в направлении вращения тела, он будет завинчиваться (или вывинчиваться) в ту сторону, куда направлена угловая скорость.
- Правило правой руки. Представим, что взяли тело в правую руку. Следует направлять и вращать его туда, куда указывают четыре пальца. Отведенный в сторону большой палец покажет направление угловой скорости при этом вращении.
Связь линейной и угловой скорости
Линейная скорость ((v)) тела, расположенного на расстоянии (R) от оси вращения, прямо пропорциональна угловой скорости.
(v=Romega)
(R) — радиус окружности (м)
Чему равна мгновенная угловая скорость
Мгновенную угловую скорость нужно находить как предел, к которому стремится средняя угловая скорость при (trianglemathcal trightarrow0) :
(omega=lim_{trianglerightarrow0}frac{trianglevarphi}{trianglemathcal t})
Измеряется в рад/с
I. Механика
Тестирование онлайн
Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.
Угловая скорость
Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.
Период и частота
Период вращения T – это время, за которое тело совершает один оборот.
Частота вращение – это количество оборотов за одну секунду.
Частота и период взаимосвязаны соотношением
Связь с угловой скоростью
Линейная скорость
Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.
Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено – это есть период T. Путь, который преодолевает точка – это есть длина окружности.
Центростремительное ускорение
При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.
Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения
Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.
Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.
Вращение Земли
Связь со вторым законом Ньютона
Как вывести формулу центростремительного ускорения
Движение по циклоиде*
Содержание:
- Определение и формула угловой скорости
- Равномерное вращение
- Формула, связывающая линейную и угловую скорости
- Единицы измерения угловой скорости
- Примеры решения задач
Определение и формула угловой скорости
Определение
Круговым движением точки вокруг некоторой оси называют движение, при котором траекторией точки является окружность
с центром, который лежит на оси вращения, при этом плоскость окружности перпендикулярна этой оси.
Вращением тела вокруг оси называют движение, при котором все точки тела совершают круговые движения около этой оси.
Перемещение при вращении характеризуют при помощи угла поворота
$(varphi)$ . Часто используют вектор элементарного поворота
$bar{dvarphi}$ , который равен по величине элементарному углу поворота тела
$(d varphi)$ за маленький отрезок времени dt и направлен по мгновенной оси вращения в сторону,
откуда этот поворот виден реализующимся против часовой стрелки. Надо отметить, что только элементарные угловые перемещения являются векторами.
Углы вращения на конечные величины векторами не являются.
Определение
Угловой скоростью называют скорость изменения угла поворота и обозначают ее обычно буквой
$omega$ . Математически определение угловой скорости записывают так:
$$bar{omega}=frac{d bar{varphi}}{d t}=dot{bar{varphi}}(1)$$
Угловая скорость – векторная величина (это аксиальный вектор). Она имеет направление вдоль мгновенной оси вращения совпадающее
с направлением поступательного правого винта, если его вращать в сторону вращения тела (рис.1).
Вектор угловой скорости может претерпевать изменения как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (изменение модуля угловой скорости),
так и за счет поворота оси вращения в пространстве ($bar{omega}$ при этом изменяет направление).
Равномерное вращение
Если тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол,
то такое вращение называют равномерным. При этом модуль угловой скорости находят как:
$$omega=frac{varphi}{t}(2)$$
где $(varphi)$ – угол поворота, t – время, за которое этот поворот совершён.
Равномерное вращение часто характеризуют при помощи периода обращения (T), который является временем, за которое тело производит один оборот
($Delta varphi=2 pi$). Угловая скорость связана с периодом обращения как:
$$omega=frac{2 pi}{T}(3)$$
С числом оборотов в единицу времени ($nu) угловая скорость связана формулой:
$$omega=2 pi nu(4)$$
Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени иногда используют и для описания неравномерного вращения,
но понимают при этом под мгновенным значением T, время за которое тело делало бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно
с данной мгновенной величиной скорости.
Формула, связывающая линейную и угловую скорости
Линейная скорость $bar{v}$ точки А (рис.1), которая расположена
на расстоянии R от оси вращения связана с вектором угловой скорости следующим векторным произведением:
$$bar{v}=[bar{omega} bar{R}](5)$$
где $bar{R}$ – перпендикулярная к оси вращения компонента радиус-вектора точки
$A (bar{r})$ (рис.1). Вектор
$bar{r}$ проводят от точки, находящейся на оси вращения к рассматриваемой точке.
Единицы измерения угловой скорости
Основной единицей измерения угловой скорости в системе СИ является: [$omega$]=рад/с
В СГС: [$omega$]=рад/с
Примеры решения задач
Пример
Задание. Движение тела с неподвижной осью задано уравнением
$varphi=2 t-4 t^{3}$,
$(varphi)$ в рад, t в сек.
Начало вращения при t=0 c. Положительным считают углы указанные направлением стрелки (рис.2). В каком направлении (
относительно часовой стрелки поворачивается тело) в момент времени t=0,5 c.
Решение. Для нахождения модуля угловой скорости применим формулу:
$$omega=frac{d varphi}{d t}(1.1)$$
Используем заданную в условии задачи функцию
$varphi(t)$, возьмем производную от нее по времени, получим функцию
$omega(t)$:
$$omega(t)=2-8 t^{2}(1.2)$$
Вычислим, чему будет равна угловая скорость в заданный момент времени (при t=0,5 c):
$$omega(t)=2-8(0,5)^{2}=0left(frac{r a d}{c}right)$$
Ответ. В заданный момент времени тело имеет угловую скорость равную нулю, следовательно, она останавливается.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Скорости вращения тела заданы системой уравнений:
$$left{begin{array}{c}bar{omega}_{1}=t^{2 bar{i}} \ bar{omega}_{2}=2 t^{2} bar{j}end{array}right.$$
где $bar{i}$ и
$bar{j}$ – единичные ортогональные векторы. На какой угол $(varphi)$ поворачивается тело за время равное 3 с?
Решение. Определим, какова функция, которая связывает модуль скорости вращения тела и время (t)
($omega(t)$). Так как вектора
$bar{i}$ и
$bar{j}$ перпендикулярны друг другу, значит:
$$omega=sqrt{omega_{1}^{2}+omega_{2}^{2}}=sqrt{left(t^{2}right)^{2}+left(2 t^{2}right)^{2}}=t^{2} sqrt{5}(2.2)$$
Модуль угловой скорости связан с углом поворота как:
$$omega=frac{d varphi}{d t}(2.3)$$
Следовательно, угол поворота найдем как:
$$varphi=int_{t_{1}}^{t_{2}} omega d t=int_{0}^{3} t^{2} sqrt{5} d t=left.sqrt{5} frac{t^{3}}{3}right|_{0} ^{3} approx 20(mathrm{rad})$$
Ответ. $varphi = 20$ рад.
Читать дальше: Формула удельного веса.
Рассмотрим
твердое тело, которое вращается
вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные
точки этого тела будут описывать
окружности разных радиусов, центры
которых лежат на оси вращения. Пусть
некоторая точка движется по окружности
радиуса R
(рис.6).
Ее положение через промежуток времени
t
зададим
углом .
Элементарные (бесконечно малые) углы
поворота рассматривают как векторы.
Модуль вектора d
равен
углу поворота, а его направление совпадает
с направлением поступательного
движения острия винта, головка которого
вращается в направлении движения
точки по окружности, т. е. подчиняется
правилу
правого, винта (рис.6).
Векторы, направления которых связываются
с направлением вращения, называются
псевдовекторами
или
аксиальными
векторами. Эти
векторы не имеют определенных точек
приложения: они могут откладываться
из любой точки оси вращения.
Угловой
скоростью называется
векторная величина, равная первой
производной угла поворота тела по
времени:
Вектор
«в направлен вдоль оси вращения по
правилу правого винта, т. е. так же, как
и вектор d
(рис. 7). Размерность угловой скорости
dim=T-1,
a .
ее единица — радиан в секунду (рад/с).
Линейная скорость
точки (см. рис. 6)
В векторном виде
формулу для линейной скорости можно
написать как векторное произведение:
При
этом модуль векторного произведения,
по определению, равен
,
а
направление совпадает с
направлением
поступательного движения правого винта
при его вращении от
к R.
Если
=const,
то
вращение равномерное и его можно
характеризовать периодом
вращения Т
—
временем, за которое точка совершает
один полный оборот, т. е. поворачивается
на угол 2.
Так как промежутку времени t=T
соответствует =2,
то =
2/Т,
откуда
Число
полных оборотов, совершаемых телом при
равномерном его движении по окружности,
в единицу времени называется частотой
вращения:
Угловым
ускорением называется
векторная величина, равная первой
производной угловой скорости по
времени:
При вращении тела
вокруг неподвижной оси вектор углового
ускорения направлен вдоль оси вращения
в сторону вектора элементарного
приращения угловой скорости. При
ускоренном движении вектор
13
сонаправлен
вектору
(рис.8),
при замедленном.— противонаправлен
ему (рис. 9).
Тангенциальная
составляющая ускорения
Нормальная
составляющая ускорения
Таким
образом, связь между линейными (длина
пути s,
пройденного
точкой по дуге окружности радиуса R,
линейная
скорость v,
тангенциальное
ускорение а,
нормальное ускорение аn)
и угловыми величинами (угол поворота
,
угловая скорость (о, угловое ускорение
)
выражается следующими формулами:
В
случае равнопеременного движения точки
по окружности (=const)
где
0
— начальная угловая скорость.
Контрольные
вопросы
• Что
называется материальной точкой? Почему
в механике вводят такую модель?
• Что
такое система отсчета?
• Что
такое вектор перемещения? Всегда ли
модуль вектора перемещения равен отрезку
пути,
пройденному точкой?
• Какое
движение называется поступательным?
вращательным?
• Дать
определения векторов средней скорости
и среднего ускорения, мгновенной
скорости
и мгновенного
ускорения. Каковы их направления?
• Что
характеризует тангенциальная
составляющая ускорения? нормальная
составляющая
ускорения? Каковы
их модули?
• Возможны
ли движения, при которых отсутствует
нормальное ускорение? тангенциальное
ускорение? Приведите
примеры.
• Что
называется угловой скоростью? угловым
ускорением? Как определяются их
направления?
• Какова
связь между линейными и угловыми
величинами?
Задачи
1.1.
Зависимость
пройденного телом пути от времени
задается уравнением s
= A+Вt+Сt2+Dt3
(С
= 0,1 м/с2,
D
= 0,03 м/с3).
Определить: 1) через какое время после
начала движения ускорение а тела будет
равно 2 м/с2;
2) среднее ускорение <а>
тела за этот промежуток времени. [ 1) 10
с; 2) 1,1 м/с2]
1.2.
Пренебрегая сопротивлением воздуха,
определить угол, под которым тело брошено
к горизонту, если максимальная высота
подъема тела равна 1/4 дальности его
полета. [45°]
1.3.
Колесо
радиуса R
=
0,1 м вращается так, что зависимость
угловой скорости от времени задается
уравнением
= 2At+5Вt4
(A=2
рад/с2
и B=1
рад/с5).
Определить полное ускорение точек обода
колеса через t=1
с после начала вращения и число оборотов,
сделанных колесом за это время. [а =
8,5 м/с2;
N
= 0,48]
14
1.4.
Нормальное ускорение точки, движущейся
по окружности радиуса r=4
м,
задается уравнением аn=А+-Bt+Ct2
(A=1
м/с2,
В=6
м/с3,
С=3
м/с4).
Определить: 1) тангенциальное ускорение
точки; 2) путь, пройденный точкой за время
t1=5
с после начала движения; 3) полное
ускорение для момента времени t2=1
с. [ 1) 6 м/с2;
2) 85 м; 3) 6,32 м/с2]
1.5.
Частота
вращения колеса при равнозамедленном
движении за t=1
мин
уменьшилась от 300 до 180 мин-1.
Определить: 1) угловое ускорение колеса;
2) число полных оборотов, сделанных
колесом за это время. [1)
0,21 рад/с2;
2) 360]
1.6.
Диск
радиусом R=10
см вращается вокруг неподвижной оси
так, что зависимость угла поворота
радиуса диска от времени задается
уравнением =A+Bt+Ct2+Dt3
(B
= l рад/с,
С=1
рад/с2,
D=l
рад/с3).
Определить для точек на ободе колеса к
концу второй секунды после начала
движения: 1) тангенциальное ускорение
а;
2) нормальное ускорение аn;
3) полное ускорение а. [ 1) 0,14 м/с2;
2) 28,9 м/с2;
3) 28,9 м/с2]
Соседние файлы в папке Трофимова
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Как найти линейную и угловую скорости движения точек экватора Земли по ее радиусу? Объясните как можно подробнее.
Для решения этой типовой задачи нам понадобятся две вещи: радиус окружности и период обращения точки по ней. В самой задаче этих данных, конечно же, нет, но подразумевается, что они нам известны. Ну или будут известны, когда мы найдем учебник или, еще лучше, спросим у гугла.
Итак, экваториальный радиус Земли – 6370 км, а период вращения вокруг своей оси – 24 часа.
Формулу линейной скорости выведем так: Если радиус равен RR, то точка за один оборот пройдет путь, равный длине окружности, т.е. равный 2πR2πR. Почему так? Ответ в геометрии за седьмой класс.
Далее. Путь этот она пройдет за время, равное периоду TT, а значит v=2πR/Tv = 2πR/T.
Ну а что такое угловая скорость? Это отношение угла поворота ко времени, за которое поворот совершен.
Полный оборот по окружности составляет 2π2π радиан по определению. Угловая скорость зависит от периода вращения, следовательно ω=2π/Tω = 2π/T. К сожалению, эта формула только для равномерного движения. К счастью, это наш случай.
Подставим известные величины в формулы и получим:
v=2πR/T=2⋅3.1415⋅6370⋅103м/24⋅602с=40022710м/86400с=463.22v = 2πR/T = 2 cdot 3.1415 cdot6370cdot10^3 м/ 24 cdot60^2 с = 40 022 710м/86 400с = 463.22м/с
ω=2⋅3.1415/24⋅602с=6.283рад/86400с=7,27⋅10−5ω = 2 cdot 3.1415/24cdot 60^2 с = 6.283рад/86 400с = 7,27cdot10^{-5} рад/с
Ответ: ν=463.22ν = 463.22 м/с, w=7,27⋅10−5w = 7,27cdot10^{-5} рад/с.
Теги: физика, механика, кинематика, вращение, задача
Тест по теме “Скорость движения точек экватора Земли”
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
