Как найти углы дифракции

Как определить угол дифракции

Световые волны отклоняются от своего прямолинейного пути при прохождении через малые отверстия или мимо таких же малых препятствий. Это явление возникает, когда размеры препятствий или отверстий сравнимы с длиной волны, и называется дифракцией. Задачи на определение угла отклонения света приходится решать чаще всего применительно к дифракционным решеткам – поверхностям, в которых чередуются прозрачные и непрозрачные участки одинаковых размеров.

Инструкция

Выясните период (d) дифракционной решетки – так называют суммарную ширину одной прозрачной (a) и одной непрозрачной (b) ее полос: d = a+b. Эту пару обычно называют одним штрихом решетки, а измеряют в количестве штрихов на один миллиметр. Например, дифракционная решетка может содержать 500 штрихов на 1 мм, и тогда d = 1/500.

Для вычислений имеет значение угол (α), под которым свет падает на дифракционную решетку. Он отсчитывается от нормали к поверхности решетки, а в формуле участвует синус этого угла. Если в исходных условиях задачи сказано, что свет падает по нормали (α=0), этой величиной можно пренебречь, так как sin(0°)=0.

Выясните длину волны (λ) падающего на дифракционную решетку света. Это одна из наиболее важных характеристик, определяющих угол дифракции. Нормальный солнечный свет содержит целый спектр длин волн, но в теоретических задачах и лабораторных работах, как правило, речь идет о точечном участке спектра – о «монохроматическом» свете. Видимой области соответствуют длины примерно от 380 до 740 нанометров. Например, один из оттенков зеленого цвета имеет длину волны, равную 550нм (λ=550).

Прошедший через дифракционную решетку свет отклоняется на разные углы, образуя при этом неоднородную картину распределения с чередующимися максимумами и минимумами освещенности – дифракционный спектр. Каждому максимуму соответствует собственный угол дифракции. Выясните: угол которого максимума (k) требуется рассчитать. Отсчет ведется от нулевого – центрального – уровня. Например, условия могут требовать расчета искомой величины для второго (k=2) максимума дифракционного спектра.

Воспользуйтесь формулой, связывающей длину волны падающего на дифракционную решетку света с углом дифракции (φ) максимумов определенного порядка: d*(sin(φ)-sin(α)) = k*λ. Выведите из нее определение угла φ – у вас должно получиться такое равенство: φ = arcsin(sin(α)+(k*λ)/d). Подставьте определенные на предыдущих шагах значения в эту формулу и произведите расчеты.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Дифракция
на одной щели.

При
нормальном падении лучей на щель шириной
a

условие
дифракционных максимумов

a
sin 
= (2k+1)
/2
, (k=1,
2, 3 …)

условие
дифракционных минимумов

a
sin 
= k
, (k=1,
2, 3 …)

Дифракция
на плоской дифракционной решетке.

При
нормальном падении лучей на решетку с
периодом d

условие
главных дифракционных максимумов

d
sin 
= k

, (k=1,
2, 3 …)

условие
добавочных минимумов

d
sin 
= k
/N
,

где
N
– число щелей (штрихов решетки), k
= 1, 2, 3
… , кроме значений k
= N,
2N,
3N
…

Разрешающая
способность дифракционной решетки

R
= /(
)
= kN,

где

– наименьшая разность длин волн двух
соседних спектральных линий (
и 
+
),
при которой эти линии могут быть видны
раздельно.

Угловая дисперсия дифракционной решетки

D_
= d

/ d
= k
/ (d

cos ).

Линейная
дисперсия дифракционной решетки D_l
=

.

Для
малых углов дифракции D_l

FD_
,

где
F
– фокусное расстояние линзы, собирающей
на экране дифракционную картину.

Примеры решения задач

Задача
6. На пути
луча, идущего в воздухе, поставили
диафрагму с круглым отверстием,
пропускающим: 1) половину первой зоны
Френеля; 2) первую зону Френеля; 3) первые
полторы зоны Френеля. Как изменилась
при этом интенсивность света в точке
наблюдения, находящейся на оси отверстия?

Решение

а	б	в	г
	Рис. 6

1)
Задачу решаем методом графического
сложения амплитуд. В случае, когда идет
луч в воздухе, векторная диаграмма имеет
вид, представленный на рис. 6, а. Вектор,
соединяющий начало диаграммы (т. О) с
конусом (т. А), является вектором амплитуды
колебания, возбуждаемого в точке
наблюдения всей волновой поверхностью.

На
рис.6,б представлена векторная диаграмма,
соответствующая случаю, когда отверстие
пропускает половину первой зоны Френеля.
Световой эффект в этом случае определяется
вектором
.

Из
рис. 6 видно, что ОВ = ОА / (cos45˚) = OA.
Интенсивность световой волны
пропорциональна квадрату ее амплитуды
J~A²,
следовательно, интенсивность света в
первом случае (рис. 6, а) J₁~ОA²,
во втором случае (рис. 6, б) J₂~ОВ².

,
следовательно, интенсивности увеличиваются
в два раза.

2)
Во второй задаче отверстие пропускает
первую зону Френеля. Векторная диаграмма
для этого случая представлена на рис. 6,
в. Результирующая амплитуда – вектор
ОС.
Из рис. 6, в видно, что ОС=2 · ОА,
следовательно,
,
то есть интенсивность увеличивается в
4 раза.

3)
Векторная диаграмма для решения третьей
задачи представлена на рис. 6, г.
Результирующий вектор амплитуды –
вектор ОD.
Сравнение рис. 6, б и 6, г показывает, что
ОD
= ОВ, следовательно, ответ будет такой
же, как на первый вопрос задачи.

Ответ:
1) увеличивается в 2 раза;

2) увеличивается
в 4 раза;

3) увеличивается
в 2 раза.

Задача
7. На диафрагму
с диаметром отверстия 1,96 мм рис. 7 падает
нормально параллельный пучок
монохроматического света (=600
нм). При каком наибольшем расстоянии
между диафрагмой и экраном в центре
дифракционной картины еще будет
наблюдаться темное пятно?

Дано: D = 1,96 мм  = 600 нм	Решение
lmax –?

Так
как на диафрагму падает параллельный
пучок монохроматического света, то
фронт этих лучей –
плоскость.
Диафрагма будет вырезать из плоскости
волнового фронта кружок диаметром D,
в котором укладывается определенное
число (n)
зон Френеля. Расстояние АВ = r =
l
+ n^./2.

Из
треугольника ОАВ

(l
+
n·/2)²
=
(D/2)²
+ l²
,

l²
+
l·n·
+ n^2
. (
²/4)
= D²/4+
l².

Ввиду
малости величины 
(
<< l)
величиной ²
можно пренебречь, тогда

n
= D²/(4
l).

Последняя
формула свидетельствует о том, что с
увеличением расстояния между диафрагмой
и экраном число зон Френеля, укладывающихся
в отверстии диафрагмы, изменяется. От
того, четное или нечетное число зон
Френеля укладывается в отверстии
диафрагмы, зависит результат дифракции:
при четном числе наблюдается минимум,
при нечетном – максимум.

Зависимость
интенсивности света в центре дифракционной
картины от расстояния между диафрагмой
и экраном представлена на рис. 9.

Из рис. 9 видно, что интенсивность максимумов падает, а интенсивность минимумов растет, приближаясь к интенсивности при полностью открытом фронте (n). При приближении к диафрагме

последний
минимум наблюдается при числе открытых
зон Френеля n=2,
это соответствует искомому расстоянию
l_max.
Подставляя значение n=2
в последнюю формулу, получим

2
= D²
/(4 l_max
),
откуда l_max
= D²
/( 8 )
.

l_max
= (1,96)^2
. 10^‑6
/(8 6 ^.
10^‑7)
=0,8 (м).

Ответ:
l_max
= 0,8 (м).

Задача
8. На
дифракционную решетку шириной 1 см
падает нормально белый свет. Спектр
проектируется линзой на экран, отстоящий
от решетки на 3 м. Ширина спектра первого
порядка 66 см. Определить: 1) постоянную
решетки; 2) общее число главных максимумов,
даваемых решеткой; 3) разрешающую
способность решетки для максимума
наибольшего порядка. Границы видимости
спектра _кр = 780 нм,
_ф = 400 нм.

Дано: L=1 см=10‑2 м F=3 см=3.10‑2 м кр=780 нм=7,80.10–7м ф = 400 нм=4.10–7м	Решение Рис. 10
1) d – ? 2) N – ? 3) R – ?

На
рис.10 _ф
– угол дифракции, соответствующий углу
отклонения от первоначального направления
фиолетовых лучей, _кр
– красных лучей. В точке О
(центре дифракционной картины) собираются
лучи, прошедшие дифракционную решетку
без отклонения (=0).
В этой точке наблюдается центральный
дифракционный максимум.

l_ф
–
расстояние от центрального максимума
до фиолетовой линии первого порядка,
l_кр
– до
красной линии; 
l
– длина
спектра первого порядка. Так как углы
дифракции первого порядка малы, можно
считать, что

sin


tg 


(рад).

Из
рисунка видно, что

_ф

l_ф
/F
; _кр

l_кр
/F
; 
l
= l_кр–
l_ф
= F(_кр
– _ф).

Постоянная
решетки d,
длина волны 
и угол дифракции 
связаны между собой соотношением

dsin
= k
(условие главного максимума),

где
k
– порядок максимума.

По
условию задачи k
=1, sin


= /d.

Общее
число главных максимумов, даваемых
решеткой, определяется максимальным
порядком k_max
и равно N_max=2
k_max+1,
так как дифракционная картина симметрична:
число максимумов справа от центрального,
слева от центрального и сам центральный
максимум. Максимальный порядок, даваемый
решеткой, получим из условия дифракционного
максимума, положив sin
= 1, так как угол отклонения лучей решеткой
не может превышать 90˚,
при этом

k_max=d/_min;
k_max=1,7^.10^‑6/4^.10^–7=4,(25),
то есть максимальный порядок равен 4
(всегда округляем в сторону уменьшения,
так как максимум следующего порядка не
виден).

Общее
число главных дифракционных максимумов

N_max
= 2 ^.
4 + 1 =9.

Разрешающая
способность дифракционной решетки
определяется соотношением

R
= k
^.
N,

где
N
– общее число штрихов (щелей) решетки,
k
– порядок дифракционного максимума.

По
условию задачи k = k_max
= 4.
Число щелей найдем из ширины L
дифракционной решетки, так как L=N
^. d
,

N=L/d.

R
= k_max
^.
L/d;

R
= (4^.
10–2)/(1,7^.10^–6)
= 23529.

Ответ:
d
= 17 мкм, N_max
= 9, R
= 23529.

Задача
9. Минимальное
значение угловой дисперсии некоторой
дифракционной решетки D=1,266^.10^–3
рад/нм. Найти угловое расстояние между
линиями с ₁=480 нм
и ₂=680 нм
в спектре первого порядка.

Дано: D=1,266.10–3 рад/нм 1=480нм=4,8.10–7 м 2=680нм=6,8.10–7 м k =1	Решение Угловое расстояние между линиями равно разности углов дифракции, соответствующих этим линиям  = 2 – 1.
 – ?	Угловая дисперсия определяется соотношением D=k /(d . cos ).

Минимальное
значение угловой дисперсии соответствует
минимальному значению k=1
и максимальному значению cos

=1, то есть

D_min
=1/d,

следовательно,
можно определить период решетки

d=1/
D_min;

d=1/
1,266 ^.10^‑6=7,9
^.10^‑7
(м).

Из
условия дифракционного максимума

d
sin
₁
= ₁
(k=1
по условию задачи )

d
sin ₂
= ₂

sin
₁
= ₁/d
=4,8^.10^‑7/7,9
^.10^‑7
=0,6; ₁

37˚;

sin
₂
= ₂/d
=4,8^.10^‑7/7,9
^.10^‑7
=0,6; ₂

59˚;

 =
59˚
– 37˚=22˚.

Ответ:

= 22˚.

Задача
10. Будут ли
разрешены дифракционной решеткой,
имеющей 100 штрихов, спектральные линии
с длиной волн ₁=598нм
и ₂
= 602 нм в
спектре а) первого б) второго порядка?

Дано: N=100 1=598нм=5,98.10‑7м 2=602нм=6,02.10‑7м k=1, k=2	Решение Разрешающая способность дифракционной решетки R==/()=k N, (1) где  – наименьшая разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре,
R – ?	полученном посредством данной решетки.

Если
разность длин волн 
< ,
две линии сливаются в одну, то есть не
разрешаются дифракционной решеткой.

Для
порядка k=1
R₁=1^.100=100,
для порядка k=2
R₂=2^.100=200.

В
формуле (1) 
=₂
– ₁=602
– 598 = 4 (нм);

 =(₂
+ ₁)/2
= 600 (нм);

 /
= 600(нм)/4(нм)=150, что больше R₁
и меньше R₂.

Это
означает, что для первого порядка 
< 
и указанные в условии задачи линии не
разрешаются данной дифракционной
решеткой.

Для
второго порядка 
> 
и линии видны раздельно.

Ответ:
а) не разрешены; б) разрешены.

Соседние файлы в папке FIZIKA

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Enter the number of slits, the wavelength, and the distance between slits into the Diffraction Angle Calculator. The calculator will evaluate the Diffraction Angle. 

• Diffraction Limit Calculator
• Grating Density Calculator
• Diffraction Efficiency Calculator

Diffraction Angle Formula

The following formula is used to calculate the Diffraction Angle. 

Variables:

• DA is the Diffraction Angle (degrees)
• n is the number of slits 
• w is the wavelength 
• d is the distance between slits 

To calculate the diffraction angle multiply the number of slits by the wavelength, divide by the distance between slits, then take the inverse sine of the result.

How to Calculate Diffraction Angle?

The following steps outline how to calculate the Diffraction Angle.

---

1. First, determine the number of slits.
2. Next, determine the wavelength. 
3. Next, determine the distance between slits. 
4. Next, gather the formula from above = DA = SIN^-1(n*w/d).
5. Finally, calculate the Diffraction Angle.
6. After inserting the variables and calculating the result, check your answer with the calculator above. 

---

Example Problem:

Use the following variables as an example problem to test your knowledge.

number of slits = 5

wavelength = 6

distance between slits = 10

DA = SIN^-1(n*w/d) =  ?