Как найти углы между диагоналями параллелограмма векторы

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Векторная алгебра.
• Высшая математика.
• Векторная алгебра.
• Скалярное произведение векторов, свойства. Длина вектора. Угол между векторами.

Скалярное произведение векторов, свойства. Длина векторов. Угол между векторами.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Длина вектора.

Пусть вектор $overline a=(x, y, z)$ представлен своими координатами в прямоугольном базисе. Тогда его длину можно вычислить по формуле $$|overline a|=sqrt.$$

Скалярное произведение векторов.

Если заданы координаты точек $A(x_1, y_1, z_1) $ и $B(x_2, y_2, z_2),$ то координаты вектора $overline$ можно найти по формулам $$overline=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1).$$ Скалярным произведением ненулевых векторов $a_1$ и $a_2$ называется число $$(a_1, a_2)=|a_1||a_2|cos(widehat).$$

Для скалярного произведения наряду с обозначением $(a_1,a_2)$ используется также обозначение $a_1a_2.$

Геометрические свойства скалярного произведения:

1) $a_1perp a_2Leftrightarrow a_1a_2=0$ (условие перпендикулярности векторов).

2) Если $varphi=(widehat),$ то $$0leqvarphi 0; qquadqquad frac <pi>

Алгебраические свойства скалярного произведения:

2) $(lambda a_1)a_2=lambda (a_1 a_2);$

Если векторы $a_1(X_1, Y_1, Z_1)$ и $a_2(X_2, Y_2, Z_2)$ представлены своими координатами в прямоугольном базисе, то скалярное произведение равно $$a_1a_2=X_1X_2+Y_1Y_2+Z_1Z_2. $$

Из этой формулы, в частности, следует формула для определения косинуса угла между векторами:

Решение.

а) $$a_1^2=(a_1, a_1)=|a_1||a_1|cos(widehat)=|a_1|^2=3^2=9.$$

б) $(3a_1-2a_2)(a_1+2a_2);$

Поскольку скалярное произведение зависит от длин векторов и угла между ними, то заданные векторы можно выбрать произвольно учитывая эти характеристики. Пусть $a_1=(3; 0). $ Тогда вектор $a_2,$ имея длину $|a_2|=4,$ и, образуя угол $frac<2pi><3>$ с положительной полуосью оси $OX,$ имеет координаты $x=|a_2|cosfrac<2pi><3>=-frac<4><2>=-2; $

$3a_1-2a_2=3(3;0)-2(-2;2sqrt 3)=(9;0)-(-4; 4sqrt 3)=(13;-4sqrt 3);$

$a_1+2a_2=(3; 0)+2(-2;2sqrt 3) = (3; 0)+ (-4; 4sqrt 3)= (-1; 4sqrt 3).$

$(3a_1-2a_2)(a_1+2a_2)=(13; -4sqrt 3)(-1; 4sqrt 3) =-13-48=-61.$

в) $(a_1+a_2)^2.$

$a_1+a_2$=$(3; 0)+(-2; 2sqrt 3)=(1; 2sqrt 3).$

$(a_1+a_2)^2=(1; 2sqrt3) (1; 2sqrt 3)=1+12=13.$

Ответ: a) 9; б) -61; в) 13.

2.67. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах $a=p-3q, $ $b=5p+2q,$ если известно, что $|p|=2sqrt<2>, |q|=3, (widehat)=frac<pi><4>.$

Решение.

Способ 1.

Из треугольника $ABC$ имеем $AC=AB+BC=a+b=p-3q+5p+2q=6p-q.$

Зная длину векторов $p$ b $q$ и угол между этими векторами, можно найти длину вектора $AC$ по теореме косинусов:

Из треугольника $ABD$ имеем: $BD=AD-AB=b-a=5p+2q-p+3q=4p+5q.$

По теореме косинусов находим длину вектора $BD:$

$|BD|^2=|4p|^2+|5q|^2-8p5qcos widehat<(6p, q)>=$ $128+225+240=593.$

Пусть $q=(3; 0). $ Тогда вектор $p,$ имея длину $|p|=2sqrt 2,$ и образуя угол $frac<pi><4>$ с положительной полуосью оси $OX$ имеет координаты

Из треугольника $ABC$ имеем

Из треугольника $ABD$ имеем

$BD=AD-AB=b-a=5p+2q-p+3q=4p+5q=$ $=4(2; 2)+5(3;0)=(8; 8)+(15; 0)=(23; 8).$

Ответ: $15, sqrt <593>.$

2.68. Определить угол между векторами $a$ и $b$ если известно, что $(a-b)^2+(a+2b)^2=20$ и $|a|=1, |b|=2.$

Ответ: $2pi/3$

$|a_1|=3; |a_2|=5. $ Определить, при каком значении $alpha$ векторы $a_1+alpha a_2$ и $a_1-alpha a_2$ будут перпендикулярны.

Ответ: $alpha=pmfrac<3><5>$

В треугольнике $ABC$ $overline=3e_1-4e_2;$ $overline=e_1+5e_2.$ Вычислить длину его высоты $overline,$ если известно, что $e_1$ и $e_2$ взаимно перпендикулярные орты.

Вычислите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a = 2m + n и b = m – 2n , где m и n ― единичные векторы, угол между которыми o 60 ?

Математика | 10 – 11 классы

Вычислите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a = 2m + n и b = m – 2n , где m и n ― единичные векторы, угол между которыми o 60 .

d1 = 2m + n + m – 2n = 3m – n

|d1|² = (3m – n)(3m – n) = 9m² – 6mn + n² = 9|m|² – 6|m||n|cosa + |n|² = 9 * 1 – 6 * 1 * 1 * 1 / 2 + 1 = 9 – 3 + 1 = 7

d2 = 2m + n – m + 2n = m + 3n

|d2|² = (m + 3n(m + 3n) = m² + 6mn + 9n² = |m|² + 6|m||n|cosa + 9|n|² = 1 + 6 * 1 * 1 * 1 / 2 + 9 * 1 = 1 + 3 + 9 = 13.

Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах : Полное решение?

Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах : Полное решение.

Параллелограмм построен на векторах а = (1 ; 2 ; – 3) b = (2 ; – 1 ; – 1), нужно определить косинус угла между диагоналями и найти длину высоты, опущенной на вектор а?

Параллелограмм построен на векторах а = (1 ; 2 ; – 3) b = (2 ; – 1 ; – 1), нужно определить косинус угла между диагоналями и найти длину высоты, опущенной на вектор а.

Найдите координаты вектора единичной длины, коллинеарного прямой 3x – 2y + 1 = 0?

Найдите координаты вектора единичной длины, коллинеарного прямой 3x – 2y + 1 = 0.

Дан параллелограмм ABCD?

Дан параллелограмм ABCD.

Найдите сумму векторов вектор АВи АD.

Вычислить длину вектора а?

Вычислить длину вектора а.

Найдите а вектор * в вектор если угол между векторами равен 45° ?

Найдите а вектор * в вектор если угол между векторами равен 45° .

Вектор а = √2, вектор в = 6.

Четырехугольник АВСD – параллелограмм , О – точка пересечения его диагоналей?

Четырехугольник АВСD – параллелограмм , О – точка пересечения его диагоналей.

Назовите вектор с началом О , равный вектору – OD.

Дана система координат Oe1e2 , причем |e1| = 2, |e2| = корень из 3 , угол между ними равен 5pi / 6 ?

Дана система координат Oe1e2 , причем |e1| = 2, |e2| = корень из 3 , угол между ними равен 5pi / 6 .

Найти угол между векторами a(1 ; 2) и b(2 ; 2) и площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.

Найдите угол между диагоналями параллелограмма построенного на векторах p = 2a – b b q = a + b как на сторонах если a и b единичные векторы и угол между векторами a и b = 60°?

Найдите угол между диагоналями параллелограмма построенного на векторах p = 2a – b b q = a + b как на сторонах если a и b единичные векторы и угол между векторами a и b = 60°.

Дан параллелограмм ABCD?

Дан параллелограмм ABCD.

Выразите вектор ba через векторы bc и ac.

На этой странице сайта размещен вопрос Вычислите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a = 2m + n и b = m – 2n , где m и n ― единичные векторы, угол между которыми o 60 ? из категории Математика с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 10 – 11 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.

Задание № 4 : В коробке 5 красных, 6 зелёных и 7 синих карандашей. В темноте из коробки берут карандаши. Какое наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них обязательно был красный или зелёный карандаш? В худшем случае сначала выйдут 7 с..

Км = 100000см 8. 8 : 44000000 = 0. 2 : 1000000 = 1 : 5000000 Ответ : масштаб 1 : 5000000.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах – формула и примеры решения задач

Четырехугольник и вектор на плоскости

Каждый школьник понимает, что параллелограмм является специальным видом плоских четырехугольников. Эта фигура состоит из двух пар параллельных пересекающихся отрезков. Она обладает следующими важными свойствами:

• ее противоположные стороны и углы равны друг другу;
• сумма всех четырех углов составляет 360 градусов;
• если просуммировать лишь два смежных (прилежащих к одной стороне) угла, то получится значение 180 градусов;
• любая диагональ делит фигуру на две равные части (треугольники);
• пересечение диагоналей происходит в точке, которая является геометрическим и массовым центром параллелограмма;
• любая секущая, которая проходит через геометрический центр, делит фигуру на две равные по площади части.

Специальные типы

Исходя из определения параллелограмма, как четырехугольника с параллельными и равными по длине противоположными сторонами, можно привести несколько видов фигуры, которые обладают высокой симметрией по отношению к ряду элементарных операций. Это следующие геометрические типы:

1. Квадрат. Все четыре стороны его равны по длине между собой, а углы составляют 90 градусов. Он является фигурой с достаточно высокой симметрией, и его площадь вычисляется просто как квадрат длины любой его стороны.
2. Прямоугольник. Еще один вид параллелограмма, все углы которого являются прямыми. Его симметрия несколько ниже, чем у квадрата, поскольку длины сторон равны лишь попарно. Площадь фигуры можно вычислить, перемножив длины смежных сторон.
3. Ромб. Специальный геометрический тип параллелограмма, который характеризуется тем, что длины всех его сторон являются одинаковыми. Углы фигуры попарно равны и отличаются от 90 градусов (два тупых и два острых).

Направленные отрезки и операция умножения

Площадь параллелограмма через векторы рассчитать легко, если знать понятие направленного отрезка и уметь работать с соответствующими математическими операциями. Поскольку любая точка на плоскости может быть представлена в виде набора двух координат в декартовой прямоугольной системе, то для P и Q можно записать:

P (x1, y1); Q (x2, y2).

Где числа x1, y1, x2 и y2 являются соответствующими координатами для точек P и Q по осям абсцисс и ординат. Чтобы получить вектор PQ-, который будет направлен из P в точку Q, необходимо из координат Q попарно вычесть значения для P:

PQ- = Q — P = (x2-x1, y2-y1).

Координаты направленного отрезка на плоскости определяются так же, как и для точки, набором из двух чисел. Чтобы построить такой вектор в системе координат, необходимо его начало расположить в точке (0, 0), а конец со стрелкой будет располагаться в точке (x2-x1, y2-y1). Из этой геометрической интерпретации следует, что существует бесконечное множество направленных отрезков, которые эквивалентны между собой. Получаются они друг из друга с помощью параллельного переноса по всей плоскости координат.

Как и числа, направленные отрезки также можно складывать между собой, вычитать и умножать. Рассматривая вопрос построение параллелограмма на векторах и нахождения его площади, необходимо изучить свойства векторного произведения. Оно представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат исходные направленные отрезки. Пусть a- и b- необходимо умножить векторно. Результатом произведения будет следующий вектор c-:

c- = [a-*b-] = |a-|*|b-|*sin (alfa).

Здесь alfa — угол между a- и b-, а |a-| и |b-| – длины соответствующих направленных отрезков.

Направление c- принято определять с помощью правила правой руки. Оно гласит: если четыре пальца ладони направить от конца первого умножаемого вектора к концу второго, то оттопыренный большой палец укажет направление результирующего векторного умножения.

Координаты вектора c- можно вычислить также, если воспользоваться понятием определителя матрицы. Пусть a- имеет координаты (a1, a2), а b- = (b1, b2), тогда формула для определения c- запишется в следующем виде:

c- = (0, 0, (a1*b2-b1*a2)).

Вектор c- имеет первые две нулевые координаты, поскольку он перпендикулярен плоскости, в которой находятся a- и b-.

Формула площади из геометрии

Чтобы получить формулу площади параллелограмма на векторах, необходимо вспомнить, как рассчитывается эта величина для треугольника. Если известна одна сторона (основание a) и высота, которая на нее опущена (h), то получается простое выражение:

Где S3 — площадь треугольника. Поскольку две таких плоских фигуры, которые соединены одной из своих сторон, образуют четырехугольник-паралелограм, то для него рассмотренную величину можно вычислить по формуле:

Пусть вторая сторона параллелограмма равна b, тогда с высотой h она связана через определение тригонометрической функции синус:

sin (alfa) = h/b => h = b*sin (alfa).

Если подставить это равенство в выражение для S4, то нахождение площади фигуры сведется к расчету произведения двух его смежных сторон и синуса угла между ними:

Поскольку угол alfa изменяется от 0 до 180 градусов, то функция синус всегда имеет положительное значение. Этой формулой часто пользуются на практике. Распространение инженерных калькуляторов позволяет быстро и с высокой точностью вычислять синусы любых углов.

Построение параллелограмма

Определить площадь четырехугольника с попарно параллельными сторонами можно не только через длины его сторон. Если внимательно посмотреть на формулу для S4, то можно заметить, что она идентична по виду векторному произведению направленных отрезков.

Пусть имеется два вектора a- и b-. Угол между ними равен alfa. Если их начала совместить в одной точке на плоскости, затем, от конца a- продолжить вектор b-, а из b- начертить a-, то получится параллелограмм, побудованый на a- и b-. Очевидно, что модуль векторного произведения этих направленных отрезков будет равен площади полученной фигуры:

S4 = a*b*sin (alfa) = |[a-*b-]|.

Применяя координатное выражение этого произведения, можно записать следующую формулу для площади:

Где a- = (a1,a2) и b-=(b1,b2). Знак модуля необходим потому, что по правилу правой руки могут получаться отрицательные векторы. Площадь же является всегда величиной положительной.

Преимущество последней записанной формулы для S4 по сравнению с выражением, где необходимо знать длины и углы, заключается в том, что ее использование не требует никаких предварительных вычислений. Достаточно лишь знать координаты конца и начала образующих параллелограмм векторов.

Задача с тремя точками

Чтобы научиться пользоваться записанной простой формулой, следует решить простую задачу. Имеется три точки, координаты которых следующие:

На вершинах этих точек следует построить параллелограмм, а затем, рассчитать его площадь S4.

Задачу проще всего решать через использование векторов. Выберем произвольную точку из трех заданных. Пусть это будет A. Из нее выходит два вектора: AB- и AC-. Их координаты определяются таким образом:

AB- = (2−1, 0-(-1)) = (1, 1); AC- = (-4−1, 3- (-1)) = (-5, 4).

Чтобы определить площадь параллелограмма на этих векторах, следует применить формулу для их векторного произведения. Порядок умножения направленных отрезков не имеет значения. Получается следующий результат:

S4 = [AB-*AC-] = 1*4 — (-5)*1 = 9.

Результат получен в единицах квадратных соответствующей двумерной системы координат.

Если была выбрана в качестве исходной не точка A, а B или C, то получился бы тот же результат, что можно доказать, проделав аналогичные вычисления.

Диагонали фигуры

Некоторые задачи по геометрии параллелограммов в качестве начального условия предлагают знание одной или двух его диагоналей. По этим данным необходимо вычислить характеристики всей фигуры, включая ее площадь. Решать такие задачи также удобно с использованием понятия векторов.

Если дана диагональ, выраженная вектором f- и основание, представленное направленным отрезком a-, то формула для площади параллелограмма имеет вид:

Где beta — угол между a- и f-. Видно, что это выражение не отличается от предыдущих для S4. Доказать его справедливость несложно, если рассмотреть построенные на указанных векторах треугольники и использовать признаки их подобия.

Другой случай, когда даны обе диагонали параллелограмма f- и e-. Воспользовавшись геометрическими построениями на плоскать, можно показать справедливость следующего выражения:

Здесь teta — это угол пересечения e- и f-. Таким образом, чтобы вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат вектора, следует вычислить половину модуля их векторного произведения.

Пример решения

Все разнообразие задач на определение площади параллелограмма сводится к знанию единственной формулы векторного произведения. Пусть известны две диагонали фигуры. Они имеют координаты:

Чтобы определить величину S4, достаточно без промежуточных вычислений воспользоваться формулой векторного произведения заданных направленных отрезков:

В связи с развитием интернета, всегда можно использовать калькулятор-онлайн для расчета величины S4. Соответствующий электронный ресурс можно знайти, воспользовавшись любой поисковой системой в браузере.

Трехмерное пространство

В пространственной системе координат каждый вектор задается тремя числами, поэтому их векторное произведение c- также будет представлять набор трех цифр. Построенный в пространстве параллелограмм на двух векторах будет иметь площадь, равную длине направленного отрезка c-. Для расчета его модуля следует использовать известное выражение: сумма квадратов трех координат под корнем.

Таким образом, площадь параллелограмма проще всего вычислять, используя операцию умножения векторов. Этот метод является универсальным не только для задач на плоскости, но и для решения проблем в трехмерной системе координат.

[spoiler title=”источники:”]

http://matematika.my-dict.ru/q/320401_vycislite-dliny-diagonalej-parallelogramma-postroennogo-na/

http://nauka.club/matematika/geometriya/ploshchad-parallelogramma-postroennogo-na-vektorakh.html

[/spoiler]

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

---

---

---

---

---

---

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е. ;

След., вектор .

Задача 2 Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах, если

Рассм. рав-во , из к-рого и опр-м ;

Вычислим

;

Задача 3 Вычислить проекцию вектора на ось вектора , Если

Рассм. ;

Вычислим ;

Задача 4 Определить, при каком векторы будут взаимно перпендикулярными.

Рассм. .

Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке относительно точки , а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ;

;

2) ; направл. косинусы вектора :

Задача 6 Найти координаты вектора , если он перпендикулярен векторам , Образует острый угол с осью и .

Пусть , причём ( т. к. Образует острый угол с осью OZ );

;

;

Решим с-му ур-й (1) – (3) и опр-м координаты вектора : но ,

След. выбираем , т. е. и ; .

Задача 7 При каком значении точки будут лежать в одной плоскости?

Рассм. векторы ;

Рассм. смешанное произведение ; след.

При векторы компланарны и точки лежат в одной плоскости.

Задача 8 В треугольнике найти координаты центра тяжести, длину и уравнение медианы , если известны координаты вершин треугольника:

1) Определим координаты точки (середины отрезка ):

; ; ;

2) составим ур – е прямой : ;

3) ;

4) координаты т.Пересечения медиан в (центр масс) определим из условия, что т.Делит отрезок в отношении 2:1, т. е. ; .

Задача 9 Составить уравнения сторон ромба и найти его площадь, если известны уравнения сторон и координаты вершины

1) Составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку Параллельно

Прямой ;

2) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку Параллельно

Прямой ;

3) определим площадь ромба :

Определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

Определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

Рассм. векторы: ; рассм. векторное произведение:

Площадь ромба равна: .

Задача 10 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки параллельно оси

Пусть – искомая плоскость;

Рассм. вектор ; рассм. направл. вектор оси ;

Рассм. норм. вектор

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ; , т. е. ; .

Задача 11 Через точку провести прямую , параллельную двум плоскостям: .

Рассм. норм. векторы ;

Рассм. направл. вектор прямой : ;

Рассм. ; запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Задача 12 Найти проекцию точки на прямую , заданную как пересечение двух плоскостей:

.

Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой :

;

Рассм. ; определим какую-либо точку ;

Рассм. Положим , тогда ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. параллельно вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Рассм. плоскость , проходящую через точку перпендикулярно прямой : ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

Найдём теперь искомую проекцию точки на прямую как точку пересечения плоскости и прямой : ; .

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке:

.

1) Непосредственное вычисление:

;

2) Разложение по 1-й строке:

.

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : ,

След., матр. – невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

, , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. : , след., матр.– невырожденная и существует обратная матр. ; умножим рав-во (1) слева на матрицу :

Вычислим обратн. матр. : находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

;

Транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. ;

Находим теперь вектор-решение :

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

; ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса:

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера – Капелли данная система уравнений совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;

Объявим Свободной переменной и выпишем общее решение системы в координатной форме:

;

Общее решение системы имеет вид:

Задача 17 Найти матрицу преобразования, выражающего Через , если

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и

Вектор – столбцы имеют вид:

Рассм. ;

Вычислим матрицу

Задача 18 Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

– собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм.

Рассм. Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм.

Рассм. Пусть , тогда вектор ;

В) рассм.

Рассм. Пусть , тогда вектор ;

След. собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

< Предыдущая		Следующая >

Как найти угол между диагоналями параллелограмма

Прежде чем искать решение поставленной задачи, следует выбрать наиболее подходящий метод ее решения. Геометрический метод требует тдополнительных построений и их обоснования, поэтому в данном случае наиболее удобным представляется использование векторной методики. Для этого используются направленные отрезки – векторы.

Вам понадобится

• – бумага;
• – ручка;
• – линейка.

Инструкция

Пусть параллелограмм задан векторами двух его сторон (остальные две попарно равны) в соответствии с рис. 1. Вообще-то равных векторов на плоскости сколь угодно много. Для этого требуется равенство их длин (точнее модулей – |a|) и направления, которое задается наклоном к какой-либо оси (в декартовых координатах это ось 0Х). Поэтому для удобства в задачах подобного типа векторы, как правило, задают их радиус-векторами r=а, у которых начало всегда лежит в начале координат.

Для нахождения угла между сторонами параллелограмма понадобится вычислить геометрическую сумму и разность векторов, а также их скалярное произведение (a,b). По правилу параллелограмма геометрическая сумма векторов a и b равна некоторому вектору с=а+b, который построен и лежит на диагонали параллелограмма AD. Разность a и b – вектор d=b-a, построенный на второй диагонали BD. Если векторы заданы координатами, а угол между ними составляет ф, тогда их скалярное произведение – это число, равное произведению модулей векторов и cosф (см. рис1): (a, b) = |a||b|cos ф

В декартовых координатах если а={x1, y1} и b={x2, y2}, то (a, b) = x1y2 +x2y1. При этом скалярный квадрат вектора (а,а)=|a|^2=x1^2 +x2^2. Для вектора b – аналогично. Тогда: |a||b|cos ф = x1y2 +x2y1. Следовательно cosф=(x1y2 +x2y1)/(|a||b|). Таким образом алгоритм решения задачи состоит в следующем:1. Нахождение координат векторов диагоналей параллелограмма как векторов суммы и разности векторов его сторон с=а+b и d=b-a. При этом соответствующие координаты a и b просто складываются или вычитаются. c= a+ b ={x3, y3}= { x1+x2, y1+y2},d= b-a ={x4, y4}={ x2 –x1, y2-y1}. 2. Нахождение косинуса угла между векторами диагоналей (назовем его фД) по приведенному общему правилу cosфд=(x3y3 +x4y4)/(|c||d|)

Пример. Найти угол между диагоналями параллелограмма, заданного векторами своих сторон a={1, 1} и b ={1, 4}. Решение. Согласно приведенному алгоритму вам необходимо найти векторы диагоналей c={1+1, 1+4}={2, 5} и d={1-1, 4-1}={0, 3}. Теперь вычислите cosфд =(0+15)/(sqrt(4+25)sqrt9)= 15/3sqrt29=0,92. Ответ: фд= arcos(0,92).

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Примеры решения задач

Задача 1.
Определить длины диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах

и

,
где

таковы, что

.

Решение.
Диагонали параллелограмма есть векторы

и

.
Вычислим длину вектора

:

.

Аналогично
вычисляется длина вектора

.

Задача 2.
Найдите вектор

,
коллинеарный вектору

и удовлетворяющий условию

.

Решение.
Обозначим вектор

,
тогда из условий задачи

или

,

тогда

.
Итак:

.

Задача 3.
Найти проекцию вектора

на направление вектора

.

Решение.

.
По формуле проекции вектора на ось будет
иметь место равенство

.

Задача 4.
Даны векторы:

.

П
роверить,
есть ли среди них коллинеарные. Найти

.

Решение.
Условие коллинеарности имеет вид

.
Этому условию удовлетворяют векторы

.
Следовательно, они коллинеарны. Найдем
длины

векторов

:

.

Угол между векторами
определяется по формуле

.

Т

огда

,

.

Используя формулу

,
получим

.

Задача 5.
На материальную точку действуют силы

.
Найти работу равнодействующей этих сил

при перемещении точки из положения

в положение

.

Решение.
Найдем силу

и вектор перемещения

.

,
тогда искомая работа

.

Задачи

1. Векторы

взаимно перпендикулярны, а вектор

образует с ними углы

.
Зная, что

,
найти: 1)

;
2)

.

2. Вычислить длину
диагоналей параллелограмма, построенного
на векторах

,
если известно, что

.

3. Доказать, что
вектор

перпендикулярен к вектору

.

4. Зная, что

,
определить, при каком значении коэффициента

векторы

окажутся перпендикулярными.

5. Даны вершины
четырехугольника:

.
Доказать, что его диагонали взаимно
перпендикулярны.

6. Найти острый
угол между диагоналями параллелограмма,
построенного на векторах

.

7. Даны силы

.
Найти работу их равнодействующей при
перемещении точки из начала координат
в точку

.

8. Даны вершины
треугольника:

.
Найти проекцию вектора

на вектор

.

9. Найти вектор

,
перпендикулярный векторам

,
если известно, что его проекция на вектор

равна единице.

10. Сила, определяемая
вектором

,
разложена по трем направлениям, одно
из которых задано вектором

.
Найти составляющую силы

в направлении вектора

.

11. Даны вершины
треугольника:

.
Найти его внутренний угол при вершине
А и внешний угол при вершине В.

12. Даны три
последовательные вершины параллелограмма:

.
Найти его четвертую вершину D
и угол между векторами

.

13. На оси

найти точку, равноудаленную от точек

.

14. Доказать, что
треугольник с вершинами

прямоугольный.

Домашнее задание

1. Вычислить
скалярное произведение двух векторов

,
зная их разложение по трем единичным
взаимно перпендикулярным векторам

;

.

2. Найти длину
вектора

,
зная, что

– взаимно перпендику-

лярные орты.

3. Векторы

попарно образуют друг с другом углы,
каждый из которых равен

.
Зная, что

,
определить модуль вектора

.

4. Доказать, что
вектор

перпендикулярен к вектору

.

5. Даны векторы

,
совпадающие со сторонами треугольника
АВС. Найти разложение вектора, приложенного
к вершине В этого треугольника и
совпадающего с его высотой BD
по базису

.

6. Вычислить угол
между векторами

,
где

–
единичные взаимно перпендикулярные
векторы.

7. Даны силы

,
приложенные к одной точке. Вычислить,
какую работу производит равнодействующая
этих сил, когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается
из положения

в положение

.

8. Даны вершины
треугольника

.
Определить его внутренний угол при
вершине В.

9. Вычислив
внутренние углы треугольника с вершинами

,

,
убедиться, что этот треугольник
равнобедренный.

10. Найти вектор

,
зная, что он перпендикулярен векторам

и

.

11. Найти вектор

,
коллинеарный вектору

и удовлетворяющий условию

,
где

.

12. Вычислить
проекцию вектора

на ось вектора

.

13. Даны векторы

.
Вычислить

.

14. Даны точки

.
Вычислить проекцию вектора

на ось вектора

.

Ответы к задачам

1) -7, 13. 2) 15,

.
4)

.
6)

.
7) 2. 8) -1/3.

9)

.
10)

.
11)

.

12)

.
13)

.

Ответы к домашнему
заданию

1) 9. 2) 5. 3) 10. 5)

.
6)

.
7) 13. 8)

.

10)

.
12) 6. 13) 5. 14) 3.

Занятие 3

Векторое
произведения векторов. Смешанное
произведение векторов

Определение1.
Тройка
некомпланарных векторов

называется правой (левой) если, находясь
внутри телесного угла, образованного
приведенными к общему началу векторами

и от него к

,
човершающимся против часовой стрелки
(по часовой стрелке)

Тройка правая
Тройка левая

Определение
2. Векторным
произведением вектора

на вектор

называется вектор

,
длина и направление которого определяются
условиями:

1.

,
где

– угол между

.

2.

.

3.

– правая тройка векторов.

Свойства
векторного произведения

1.

(свойство антиперестановочности
сомножителей);

2.

(распределительное относительно суммы
векторов);

3.

(сочетательное относиельно числового
множителя);

4.

(равенство нулю векторного произведения
означает коллинеарность векторов);

5.

,
т. е. момент сил равен векторному
произведению силы на плечо.

Если вектор

,
то

.

Определение
3. Смешанным
произведением

трех векторов называется число,
определяемое следующим образом:

.
Если векторы заданы своими координатами:

,
то

~

.

Свойства
смешанного произведения

1. Необходимым и
достаточным условием компланарности
векторов

является равенство

= 0.

2. Объем
параллелепипеда, построенного на
векторах

:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #