Как найти углы правильного десятиугольника решение

Десятиугольник: правильный, неправильный, свойства, примеры

Содержание:

В десятиугольник представляет собой плоскую фигуру в форме многоугольника с 10 сторонами и 10 вершинами или точками. Декагоны могут быть правильными или неправильными, в первом случае все стороны и внутренние углы имеют одинаковую величину, а во втором стороны и / или углы отличаются друг от друга.

На рисунке 1 показаны примеры десятиугольника каждого типа, и, как мы видим, правильный десятиугольник очень симметричен.

Основными элементами каждого десятиугольника являются:

-Стороны, отрезки линии, которые при соединении образуют десятиугольник.

-Vertices или точки между каждой последовательной стороной.

-Внутренние и внешние углы между соседними сторонами.

-Диагональные, сегменты, соединяющие две непоследовательные вершины.

Вершины названы заглавными буквами, как показано на рисунке 1, где использовались первые буквы алфавита, но можно использовать любую букву.

Стороны обозначены двумя буквами вершин, между которыми они находятся, например, сторона AB – это сторона между вершинами A и B. То же самое сделано с диагоналями, поэтому у нас есть диагональ AF, которая соединяет точки A и F.

Для углов мы используем этот символ: ∠, похожий на наклонную L. Например, угол ∠ ABC – это угол, вершиной которого является B, а сторонами являются отрезки AB и BC.

Обычный десятиугольник

В правильном десятиугольнике все стороны имеют одинаковую меру, как и внутренние углы. Поэтому говорят, что это равносторонний (равные стороны) и равносторонний (равные углы). Это очень симметричная фигура

Внутренние углы правильного десятиугольника

Чтобы найти меру внутренних углов правильного многоугольника, включая правильный десятиугольник, используется следующая формула:

-I – мера угла в градусах.

-n – количество сторон многоугольника. В случае десятиугольника n = 10.

Подставляя n = 10 в предыдущую формулу, получаем следующее:

Говорят, что многоугольник выпуклый если его угловые размеры меньше 180 °, иначе многоугольник вогнутый. Поскольку любой внутренний угол правильного десятиугольника составляет 144º и меньше 180º, то это выпуклый многоугольник.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов любого многоугольника в градусах:

S = (n-2) x 180 °; n всегда больше 2

В этой формуле мы имеем:

-S – это сумма размеров внутренних углов.

-n – количество сторон. Для десятиугольника n = 10

Применяя формулу для n = 10, получаем:

S = (10 – 2) x 180º = 1440º

Внешние углы

Между одной стороной и продолжением соседней стороны образуется внешний угол, посмотрим:

Сумма угла ∠ ABC плюс внешний угол составляет 180 °, то есть они равны дополнительный. Следовательно, внешний угол равен 180º-144º = 36º, как мы видим на рисунке.

Количество диагоналей

Как было сказано ранее, диагонали – это отрезки, соединяющие непоследовательные вершины. Сколько диагоналей мы можем нарисовать в десятиугольнике? Когда количество вершин невелико, их легко сосчитать, но когда это число увеличивается, вы можете потерять счет.

К счастью, есть формула, по которой можно узнать, сколько диагоналей многоугольника. п стороны:

Подставляем десятиугольник n = 10 и получаем:

D = 10 х (10 – 3) / 2 = 35

В правильном десятиугольнике все диагонали пересекаются в одной точке, которая является центром фигуры:

Центр

Центр многоугольника определяется как точка, равноудаленная от любой вершины. На рисунке выше центр совпадает с точкой пересечения всех диагоналей.

Периметр

Если у правильного десятиугольника есть сторона a, его периметр P равен сумме всех сторон:

Площадь

Зная длину к сбоку площадь правильного десятиугольника рассчитывается по формуле:

Приблизительная формула для площади:

И третий способ найти площадь – по длине апофемы L_К. Это сегмент, который соединяет середину одной стороны с центром многоугольника.

В этом случае площадь можно рассчитать по формуле:

Неправильный десятиугольник

Неправильный десятиугольник не является равносторонним или равноугольным, и обычно ему не хватает симметрии правильной фигуры, хотя некоторые десятиугольники могут иметь ось симметрии.

Они также могут быть выпуклыми или вогнутыми, если внутренние углы превышают 180º.

Неправильный десятиугольник на фиг. 1 вогнут, поскольку некоторые из его внутренних углов больше 180 °. Ясно, что существует множество комбинаций углов и сторон, которые приводят к неправильному десятиугольнику.

В любом случае верно, что:

-Внутренние углы неправильного десятиугольника также составляют в сумме 1440º.

-Также имеет 35 диагоналей.

Площадь неправильного десятиугольника по гауссовским определителям

В общем, не существует единой формулы для определения площади неправильного многоугольника, поскольку стороны и углы разные. Однако его можно найти, зная координаты вершин и вычисливГауссовские детерминанты:

-Позвоним (х_п , Y_п ) к координатам вершин, причем п варьируется от 1 до 10.

-Вы можете начать с любой вершины, до которой координаты (x₁, Y₁ ). Теперь нам нужно подставить значения каждой координаты в эту формулу:

Где детерминанты – это именно операции в скобках.

-Важно отметить, что последний определитель снова включает первую вершину вместе с последней. Для десятиугольника это будет выглядеть так:

Важный: Полоски имеют абсолютное значение и означают, что окончательный результат дается с положительным знаком. всегда.

Процедура может быть трудоемкой, если у фигуры много вершин, в случае с десятиугольником – 10 операций, поэтому желательно составить таблицу или список.

Упражнение решено

Вычислите площадь неправильного десятиугольника, показанного на рисунке. Координаты вершин – A, B, C… J, значения которых показаны слева.

Решение

-Делаем каждую из 10 операций:

• 2×6 – 4×0 = 12 – 0 =12
• 0×4 – 6×(-2) = 0 + 12 =12
• (-2)×7- 4×(-5) = -14 + 20 = 6
• (-5)×2 – 7×(-6) = -10 + 42 = 32
• (-6)×(-4) – 2×(-4) = 24 + 8 =32
• (-4)×(-2) – (-4)×(-2) = 8 – 8 =0
• (-2)×0 – (-2)×(-1) =0 -2
• (-1)×0 – 0×(2) = 0 – 0 = 0
• 2×2 – 0×8 = 4 – 0 = 4
• 8×4 -2×2 = 32 – 4 = 28

-Давайте добавим результаты:

12 + 12 + 6 + 32 + 32 + 0 + (-2) + 0 + 4 + 28 = 124

Положительный результат получается даже без столбцов абсолютного значения, но если он отрицательный, знак меняется.

-Предыдущий результат делится на 2, и это площадь многоугольника:

Свойства Десятиугольника

Вот краткое изложение общих свойств десятиугольника, правильного или неправильного:

-У него 10 сторон и 10 вершин.

-Сумма внутренних углов 1440º.

-Есть 35 диагоналей.

-Периметр – это сумма всех сторон.

-Вы можете создавать треугольники внутри многоугольника, рисуя сегменты от одной вершины ко всем остальным. В десятиугольнике можно нарисовать 8 треугольников таким образом, как показано ниже:

Ссылки

1. Александр, Д. 2013. Геометрия. 5-е. Издание. Cengage Learning.
2. Decagon.com. Декагон. Получено с: decagono.com
3. Открытый справочник по математике. Декагон. Получено с: mathopenref.com.
4. Sangaku Maths. Элементы многоугольника и их классификация. Получено с: sangakoo.com.
5. Википедия. Декагон. Получено с: es.wikipedia.com.

15 примеров сотрудничества

Яйцекладущие: характеристика, размножение, примеры, эмбриональное развитие

Построение правильного десятиугольника

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

Построение правильного
десятиугольника

Геометрия 9 класс
Правильные многоугольники
Авторы презентации: учителя информатики Приволжского района г.Казани -Талызина Л.К. ,Ларина А.У

Описание слайда:

Компьютерное тестирование
Задачи на построение
Построение правильного десятиугольника
Творческое задание на компьютере: «Математические человечки»;
Творческое домашнее задание
Используемая литература

Описание слайда:

Верно ли утверждение: если в многоугольнике все углы равны, то он правильный?
Найти число сторон правильного многоугольника, если его центральный угол равен 200.
Найти углы правильного десятиугольника.
Чему равна сумма внешних углов правильного n –угольника?
Пчелиные соты имеют форму многоугольника, сумма внутренних углов которого равна 7200.Найти число сторон этой соты.
Определить вид многоугольника., если каждая сторона его равна радиусу описанной окружности?
Найти отношение сторон правильного треугольника и шестиугольника, вписанных в окружность.
Вопросы компьютерного тестирования

Описание слайда:

Задачи на построение
Задача о построении циркулем и линейкой правильных многоугольников изучалась еще древнегреческими геометрами, а окончательно была решена лишь в 1801 году великим немецким математиком Карлом Гауссом.

На рисунке изображена лишь небольшая часть правильного многоугольника. Как узнать, сколько у него сторон? Закончить построение многоугольника.

2. Около правильного шестиугольника описана окружность. Предложить три способа нахождения центра этой окружности

Описание слайда:

Построение правильного десятиугольника
Алгоритм построения
1.Провести окружность O радиуса OA.
2.Из точки O1, как из центра, провести окружность, радиуса OO1.
3.Соединить точки A и O1.
4. Точку пересечения отрезка OA1 с окружностью обозначить B
5.AB- будет равен стороне искомого десятиугольника.
6.Из точки A , как из центра, провести окружность радиуса AB
7. Соединить точку пересечения окружности с точкой A
8.Полученный отрезок будет 1 стороной десятиугольника
и т.п.
Задание выполнено на компьютере в среде Free Hand

Описание слайда:

Математические человечки
Игра – шутка
Нарисовать на компьютере в среде Free Hand несколько человечков с помощью математических фигур. Затем подсчитать количество треугольников, квадратов, окружностей. По результатам можно определить какое качество преобладает в человеке: треугольник – ум, окружность – доброта, квадрат – интеллигентность. Затем можно выбрать самого умного, доброго, интеллигентного.

Описание слайда:

Творческое домашнее задание
Сделать паркет из правильных многоугольников

Описание слайда:

Используемая литература
Б. А. Кордемский. «Великие жизни в математике»
Н. Л. Вадченко «Проверьте свои знания»
С. Коваль «От развлечения к знаниям»
А. В. Погорелов «Геометрия. 7-11 классы»
Справочная литература
Дополнительная литература

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

• Сейчас обучается 355 человек из 65 регионов

Курс повышения квалификации

Охрана труда

• Сейчас обучается 93 человека из 45 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

• Сейчас обучается 214 человек из 53 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Похожие материалы

Влияние изменения солнечной активностина напряженное состояние и геодинамику земной коры Урала Зубк

Каждый байт под защитой!

УТЁСОВА Е.А. УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ МОУ СОШ№80 г. СОЧИ

Уральский экономический район

Реки города Челябинска Шкерина С.В., учитель географии и краеведения МОУ СОШ № 65 г.Челябинска

Подземные богатства Южного Урала

Инвестиционный стандарт: выполнение требований по информации

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5457255 материалов.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения готовит рекомендации по построению «идеальной школы»

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Детский омбудсмен предложила ужесточить наказание за преступления против детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Построение правильных многоугольников. Решение задач

Разделы: Математика

Цели урока: закрепить знание формул стороны и площади правильного многоугольника, совершенствовать навык построения правильных многоугольников, научить строить правильный десятиугольник и правильный пятиугольник.

1. Проверка домашнего задания: пункт 108, №№ 1081, 1093, 1094(а,б).

Учебник Геометрия 7 – 9, Л.С. Атанасян.2003г.

а) = 180 = 60

б) = 180 = 3 · 36

в) = 180 = 120

г) = 180 = 144

д) = · 180 = 160

Дано: АВС – правильный

Окр.(О;R) – описана около АВС

Окр.(О;r) – вписанна в АВС

1. АО – биссектриса А OАD = 30

2. AOD – прямоугольный, т.к. OD = r проведён в точку касания (теорема о касательной к окружности).

3. В прямоугольном AOD катет r лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы R, т.е. R = 2r – ч.т.д.

Задача № 1094(а,б) (данное задание на закрепление знания формул:

S = Рr, a_n = 2R, r = R )

a₄ = 2R = 2 * 3 * = 2 * 3* = 6 см,

r = 3 * = 3 * = 3 см,

S = Рr = · 24 · 3 = 36 см 2

б) Решение: a₃ = = 8 см

Выразим r через a_n : r = ( a_n * ctg)/2

r = 4* ctg = см

S = (1/2)Рr = 16 см 2 Ответ: 16 см 2 .

2. Актуализация знаний учащихся (устный опрос):

1. Какой многоугольник называется правильным?

2. Какая окружность называется вписанной в многоугольник?

3. По какой формуле можно найти сторону правильного n-угольника? (записать на доске)

4. Какая точка называется центром правильного многоугольника?

5. Можно ли найти площадь правильного шестиугольника, зная только радиус вписанной в него окружности? Как это сделать? (показать на доске)

3. Изучение нового материала.

Строить правильные треугольники и четырёхугольники с помощью циркуля и линейки мы уже умеем. Рассмотрим способ построения правильного шестиугольника.

Задача № 1 из п.109 (работа с учебником).

Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

1. Строим окружность радиусом R равным данному отрезку.

2. На окружности произвольно выбираем точку A₁ .

3. Не меняя раствора циркуля, на окружности откладываем точку A₂ , так чтобы A₁A₂ = R.

4. Аналогично от точки A₂ откладываем точку A₃ и т. д. до точки A₆ .

5. Соединяя последовательно построенные точки отрезками, получаем искомый правильный шестиугольник .

Доказательство: (можно провести устно)

1. Стороны 6 – угольника равны (по построению). (*)

2. О A₁A₂ = О A₂A₃ = О A₃A₄ = : = О A₆A₁ – по третьему признаку равенства -ов.

Все они равносторонние. A₁A₂A₃ = : = A₆A₁A₂ = 120° (**)

3. Из (*) и (**) A₁A₂A₃A₄A₅A₆ – правильный 6 – угольник – ч.т.д.

11Задача № 1279. На рисунке 370 изображён правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса R, АС – биссектриса угла ОАВ. Докажите, что:

а) AВС

ОАВ

б) АВ = АС = ОС = R

(т.к. данная задача является задачей повышенной трудности, то перед решением её у доски необходимо дать учащимся две – три минуты на обдумывание, если не будет идей, то задавать наводящие вопросы.)

1. Рассмотрим равнобедренный ОАВ:

АО и ВО – биссектрисы углов правильного десятиугольника ( = 144)

Следовательно: = = 72, а значит = 36.

2. = 72, а т.к. АС – биссектриса этого угла, то = 36, т.е. = (*)

3. – общий для AВС и ОАВ. (**)

4. Из (*) и (**) следует (по первому признаку подобия треугольников),

что AВС

ОАВ – ч.т.д.

б) 1. В AВС: = 36, = 72 = 72, значит АВ = АС.

2. В ОАС: = = 36 АС = ОС

3. Обозначим АВ через х, ОС также равно х. АО = R , BC = R – x .

Из подобия AВС и ОАВ следует: x 2 + Rх – R 2 = 0

(получили квадратное уравнение относительно х)

x₁ = – решений нет, т.к. длина отрезка не может быть отрицательной

x₂ = = R – ч.т.д.

Исследование: зададимся вопросом – чему равен и .

1. В ОАВ проведём медиану ОК (она же высота и биссектриса).

АК = x/2= R·

R = R·

Итак: =

2. = 2* = 2* * = · = = =

=

11Задача № 1280. Докажите, что отрезок АК, изображённый на рисунке, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром О.

А и В Окр(О;R);

АООВ;

Окр(С; r = СВ)АС = К

Доказать: АК = R (по предыдущей задачи)

1. АО = R, OC = , AC = = ;

2. КС = , АК = АС – КС = – = R – ч.т.д.

Вывод: данный способ можно использовать для построения правильного десятиугольника.+

4. Закрепление изученного материала.

Задача № 1283: В данную окружность впишите правильный пятиугольник.

Мы рассмотрим иной способ построения, не тот который предлагают в ответе.

1. Строим окружность произвольного радиуса R и проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и СD.

2. Делим пополам радиус АО точкой Е.

3. Из Е радиусом ЕС проводим дугу CF, пересекая ею диаметр АВ в точке F.

4. Из С радиусом CF проводим дугу FG, пересекая ею данную окружность в точке G; CG(равная CF) есть одна сторона искомой фигуры.

5. Проводим тем же радиусом дугу из точки G как из центра, получаем ещё одну вершину Н искомой фигуры и т. д.

6. CGHKL – правильный пятиугольник.

1. Сторона правильного пятиугольника вписанного в Окр.(О;R) равна .

11 ОМ – биссектриса, медиана и высота равнобедренного ОСG.

СМ = R a₅ = 2СМ = 2 R

Учитывая, что = ,

окончательно получаем: a₅ = .

2. У нас по построению

1) ЕО = ; ЕС = ЕF =

2) OF = EF – EO = R

3) CG = CF = = = .

Итак, по построению CG = – ч.т.д.

5. Подведение итогов урока.

Домашнее задание: пункт 109, № 1282, №1284.

[spoiler title=”источники:”]

http://infourok.ru/postroenie-pravilnogo-desyatiugolnika-4866754.html

http://urok.1sept.ru/articles/612987

[/spoiler]