Как найти углы правильного шестиугольника формула

Определение

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.

Замечание

Т.к. сумма всех углов (n)–угольника равна (180^circ(n-2)), то каждый угол правильного (n)–угольника равен [alpha_n=dfrac{n-2}n cdot 180^circ]

Пример

Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен (dfrac {4-2}4cdot 180^circ=90^circ);

каждый угол правильного шестиугольника равен (dfrac{6-2}6cdot
180^circ=120^circ)
.

Теоремы

1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствия

1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.

2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.

Теорема

Если (a) – сторона правильного (n)–угольника, (R) и (r) – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: [begin{aligned}
S&=dfrac n2ar\
a&=2Rcdot sindfrac{180^circ}n\
r&=Rcdot cosdfrac{180^circ}n end{aligned}]

Свойства правильного шестиугольника

1. Сторона равна радиусу описанной окружности: (a=R).

2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.

3. Все углы правильного шестиугольника равны (120^circ).

4. Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна (dfrac{3sqrt{3}}{2}a^2).

5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу (r) вписанной в правильный шестиугольник окружности.

6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный (60^circ) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).

Замечание

В общем случае правильный (n)-угольник инвариантен относительно поворота на угол (dfrac{360^circ}{n}).

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 28 февраля 2022 года; проверки требуют 2 правки.

Шестиугольник
Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник
Тип Правильный многоугольник
Рёбра 6
Символ Шлефли {6}, t{3}
Диаграмма Коксетера — Дынкина CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Вид симметрии Диэдрическая группа (D6)
Площадь {displaystyle {frac {3{sqrt {3}}}{2}}R^{2}}
{displaystyle ={frac {3{sqrt {3}}}{2}}t^{2}}
{displaystyle =2{sqrt {3}}r^{2}}
Внутренний угол 120°
Свойства
выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Правильный шестиугольник (или гексагон от греч. εξάγωνο) — правильный многоугольник с шестью сторонами.

Свойства[править | править код]

Построение[править | править код]

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.

Построение правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре[править | править код]

  • Пчелиные соты показывают разбиение плоскости на правильные шестиугольники.
  • Некоторые сложные молекулы углерода (напр., графит) имеют гексагональную кристаллическую решётку.
  • Гигантский гексагон — атмосферное явление на Сатурне.
  • Сечение гайки и многих карандашей имеет вид правильного шестиугольника.
  • Игровое поле гексагональных шахмат составляют шестиугольники, в отличие от квадратов традиционной шахматной доски.
  • Гексаграмма — шестиконечная звезда, образованная двумя правильными треугольниками. Под названием звезда Давида она является символом иудаизма.
  • Гексагоном[fr] иногда называют материковую часть Франции, потому что её географические очертания напоминают данную геометрическую фигуру.

Примечания[править | править код]

  1. А. М. Райгородский. Проблема Борсука. — М.: Издательство МЦНМО, 2006. — С. 9. — 56 с. — (Библиотека „Математическое просвещение“). — ISBN ISBN 5-94057-249-9.

См. также[править | править код]

  • Шестиугольник
  • Упаковка кругов на плоскости

Ссылки[править | править код]

  • Шестиугольный мир (ЖЖ-сообщество)

Шестиугольник, виды, свойства и формулы.

Шестиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.

Шестиугольник, выпуклый и невыпуклый шестиугольник

Правильный шестиугольник (понятие и определение)

Свойства правильного шестиугольника

Формулы правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре

Звездчатый шестиугольник

Восьмиугольник

Шестиугольник, выпуклый и невыпуклый шестиугольник:

Шестиугольник – это многоугольник с шестью углами.

Шестиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.

Шестиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый шестиугольник – это шестиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Шестиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 1. Выпуклый шестиугольник

  Шестиугольник, виды, свойства и формулыРис. 2. Невыпуклый шестиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 720°.

Шестиугольник, виды, свойства и формулы.

Правильный шестиугольник (понятие и определение):

Правильный шестиугольник (гексагон) – это правильный многоугольник с шестью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный шестиугольник – это шестиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 120°.

Шестиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 3. Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник имеет 6  сторон, 6 углов и 6 вершин.

Углы правильного шестиугольника образуют шесть равносторонних треугольников.

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки.

Свойства правильного шестиугольника:

1. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой.

a1 = a2 = a3 = a4= a5 = a6. 

2. Все углы равны между собой и составляют 120°.

α1 = α2 = α3 = α4 = α5 = α6 = 120°.

Шестиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 4. Правильный шестиугольник

3. Сумма внутренних углов любого правильного шестиугольника равна 720°.

4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного шестиугольника O.

Шестиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 5. Правильный шестиугольник

5. Количество диагоналей правильного шестиугольника равно 9.

Шестиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 6. Правильный шестиугольник

6. Центр вписанной окружности O1 совпадает с центром описанной окружности O2, что и образуют центр многоугольника O.

Шестиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 7. Правильный шестиугольник

7. Правильные шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).

8. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника и его сторона равны.

Шестиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 8. Правильный шестиугольник

R = a

Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре:

Пчелиные соты имеют форму правильного шестиугольника.

Графит, графен имеют гексагональную кристаллическую решетку.

Гигантский гексагон – атмосферное явление на Сатурне – имеет форму правильного шестиугольника.

Шестиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 9. Гигантский гексагон на Сатурне

Сечение гайки и многих карандашей имеет вид правильного шестиугольника.

Игровое поле гексагональных шахмат составляют шестиугольники, в отличие от квадратов традиционной шахматной доски.

Панцирь черепахи состоит из шестиугольников.

Гексагоном иногда называют материковую часть Франции, потому что её географические очертания напоминают данную геометрическую фигуру.

Шестиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 10. Материковая часть Франции

Формулы правильного шестиугольника:

Пусть a – сторона шестиугольникаr – радиус окружности, вписанной в шестиугольник,– радиус описанной окружности шестиугольника, P – периметр шестиугольника, S – площадь шестиугольника.

Формулы периметра правильного шестиугольника:

Шестиугольник, виды, свойства и формулы

Формулы площади правильного шестиугольника:

Шестиугольник, виды, свойства и формулы

Формула радиуса окружности, вписанной в правильный шестиугольник:

 Шестиугольник, виды, свойства и формулы

Формула радиуса окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника:

R = a

Звездчатый шестиугольник:

Звездчатый шестиугольник (гексаграмма) – это многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника.

Гексаграмма (др.-греч. ἕξ – «шесть» и γραμμή – «черта, линия») – это звезда с шестью углами, которая образуется из двух наложенных друг на друга равносторонних треугольников.

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Шестиугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Коэффициент востребованности
7 416

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — это такой шестиугольник у которого все шесть сторон равны и его шесть углов равны.

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник

Центр правильного шестиугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.

Светлая линия обозначающая высоту треугольника AOB : h называется — апофемой.

Отрезки OA, OB — радиусы правильного шестиугольника.

Обозначения на рисунке для правильного шестиугольника

n=6 число сторон и вершин правильного шестиугольника, шт
α центральный угол правильного шестиугольника, радианы, °
β половина внутреннего угла правильного шестиугольника, радианы, °
γ внутренний угол правильного шестиугольника, радианы, °
a сторона правильного шестиугольника, м
R радиусы правильного шестиугольника, м
p полупериметр правильного шестиугольника, м
L периметр правильного шестиугольника, м
h апофемы правильного шестиугольника, м

Основные формулы для правильного шестиугольника

Периметр правильного шестиугольника

[ L = 6a ]

Полупериметр правильного шестиугольника

[ p = 3a ]

Центральный угол правильного шестиугольника в радианах

[ α = frac{π}{3} ]

Центральный угол правильного шестиугольника в градусах

[ α = frac{180°}{3} = 60° ]

Половина внутреннего угла правильного шестиугольника в радианах

[ β = frac{π}{3} ]

Половина внутреннего угла правильного шестиугольника в градусах

[ β = frac{180°}{3} = 60° ]

Внутренний угол правильного шестиугольника в радианах

[ γ = 2β = frac{2}{3}π ]

Внутренний угол правильного шестиугольника в градусах

[ γ = frac{2}{3}180° = 120° ]

Площадь правильного шестиугольника

[ S = ph = 3ha ]

Или учитывая формулу Площади правильного шестиугольника получим

[ S = frac{3sqrt{3}}{2}a^2 ]

Отсюда получим апофему правильного шестиугольника

[ h = frac{sqrt{3}}{2}a ]

Правильный шестиугольник

стр. 270

Содержание

  1. Определение правильного многоугольника
  2. Элементы правильного многоугольника
  3. Диагонали n — угольника
  4. Внешний угол многоугольника
  5. Сумма внутренних углов
  6. Сумма внешних углов
  7. Виды правильных многоугольников
  8. Основные свойства правильного многоугольника
  9. Свойство 1
  10. Свойство 2
  11. Свойство 3
  12. Свойство 4
  13. Свойство 5
  14. Свойство 6
  15. Доказательства свойств углов многоугольника
  16. Правильный n-угольник — формулы
  17. Формулы длины стороны правильного n-угольника
  18. Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника
  19. Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника
  20. Формулы площади правильного n-угольника
  21. Формула периметра правильного многоугольника:
  22. Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:
  23. Формулы правильного треугольника:
  24. Формулы правильного четырехугольника:
  25. Формулы правильного шестиугольника:
  26. Формулы правильного восьмиугольника:
  27. Сторона правильного многоугольника через радиус описанной вокруг него окружности
  28. Шаг 1
  29. Шаг 2
  30. Шаг 3

Определение правильного многоугольника

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и углы.

Правильный шестиугольник

Признаки правильного n-угольника

  • a1 = a2 = a3 = … an-1 = an
  • α1 = α2 = α3 = … αn-1 = αn

Примечание: n – количество сторон/углов фигуры.

Элементы правильного многоугольника

Для рисунка выше:

  • a – сторона/ребро;
  • α – угол между смежными сторонами;
  • O – центр фигуры/масс (совпадает с центрами описанной и вписанной окружностей);
  • β – центральный угол описанной окружности, опирающийся на сторону многоугольника.

Диагонали n — угольника

Фигура Рисунок Описание
Диагональ
многоугольника
диагонали многоугольника Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника
Диагонали
n – угольника, выходящие из одной вершины
диагонали многоугольника Диагонали, выходящие из одной вершины
n – угольника, делят n – угольник на
n – 2 треугольника
Все диагонали
n – угольника
диагонали многоугольника Число диагоналейn – угольника равно
Диагональ многоугольника
диагонали многоугольника

Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника

Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины
диагонали многоугольника

Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника

Все диагонали n – угольника
диагонали многоугольника

Число диагоналей n – угольника равно

Внешний угол многоугольника

Определение 5 . Два угла называют смежными, если они имеют общую сторону, и их сумма равна 180° (рис.1).

Внешний угол многоугольника смежные углы

Рис.1

Определение 6 . Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с внутренним углом многоугольника (рис.2).

Внешний угол многоугольника смежные углы

Рис.2

Замечание. Мы рассматриваем только выпуклые многоугольники выпуклые многоугольники .

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению  180°  и количеству сторон без двух.

s = 2d(n — 2),

где  s  — это сумма углов,  2d  — два прямых угла (то есть  2 · 90 = 180°),  а  n  — количество сторон.

Если мы проведём из вершины  A  многоугольника  ABCDEF  все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

сумма внутренних углов многоугольника

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна  180°  (2d),  то сумма углов всех треугольников будет равна произведению  2d  на их количество:

s = 2d(n — 2) = 180 · 4 = 720°.

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна  360°  (или  4d).

s = 4d,

где  s  — это сумма внешних углов,  4d  — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна  180°  (2d),  так как они являются смежными углами. Например,  ∠1  и  ∠2:

Сумма внешних углов многоугольника

Следовательно, если многоугольник имеет  n  сторон (и  n  вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех  n  вершинах будет равна  2dn.  Чтобы из этой суммы  2dn  получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть  2d(n — 2):

s = 2dn — 2d(n — 2) = 2dn — 2dn + 4d = 4d.

Виды правильных многоугольников

  1. Правильный (равносторонний) треугольник
  2. Правильный четырехугольник (квадрат)
  3. Правильный пяти-, шести-, n-угольник

Основные свойства правильного многоугольника

  • Все стороны равны:
    a1 = a2 = a3 = … = an-1 = an2. Все углы равны:
    α1 = α2 = α3 = … = αn-1 = αn3. Центр вписанной окружности Oв совпадает з центром описанной окружности Oо, что и образуют центр многоугольника O4. Сумма всех углов n-угольника равна:

180° · (n — 2)

  • Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:

β1 + β2 + β3 + … + βn-1 + βn = 360°

  • Количество диагоналей (Dn) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:
  • В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:
  • Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O

Свойство 1

Внутренние углы в правильном многоугольнике (α) равны между собой и могут быть рассчитаны по формуле:

Формула расчета внутреннего угла правильного многоугольника

где n – число сторон фигуры.

Свойство 2

Сумма всех углов правильного n-угольника равняется: 180° · (n-2).

Свойство 3

Количество диагоналей (Dn) правильного n-угольника зависит от количества его сторон (n) и определяется следующим образом:

Формула расчета количества диагоналей правильного многоугольника

Свойство 4

В любой правильный многоугольник можно вписать круг и описать окружность около него, причем их центры будут совпадать, в том числе, с центром самого многоугольника.

В качестве примера на рисунке ниже изображен правильный шестиугольник (гексагон) с центром в точке O.

Площадь (S) образованного окружностями кольца вычисляется через длину стороны (a) фигуры по формуле:

Формула расчета площади кольца, образованного описанной и вписанной в правильный многоугольник окружностями

Между радиусами вписанной (r) и описанной (R) окружностей существует зависимость:

Зависимость между радиусами описанной и вписанной в правильный многоугольник окружностей

Свойство 5

Зная длину стороны (a) правильного многоугольника можно рассчитать следующие, относящиеся к нему величины:

  • Площадь (S):

Формула расчета площади правильного многоугольника через длину его стороны

  • Периметр (P):Формула расчета периметра правильного многоугольника через длину его стороны
  • Радиус описанной окружности (R):

Формула расчета радиуса описанной около правильного многоугольника окружности через длину его стороны

  • Радиус вписанной окружности (r):

Формула расчета радиуса вписанной в правильный многоугольник окружности через длину его стороны

Свойство 6

Площадь (S) правильного многоугольника можно выразить через радиус описанной/вписанной окружности:

Формула расчета площади правильного многоугольника через радиус вписанной в него окружности

Формула расчета площади правильного многоугольника через радиус описанной около него окружности

Доказательства свойств углов многоугольника

Теорема 1. В любом треугольнике сумма углов равна 180°.

Доказательство. Проведем, например, через вершину B произвольного треугольника ABC прямую DE, параллельную прямой AC, и рассмотрим полученные углы с вершиной в точке B (рис. 3).

Свойства углов треугольника доказательство

Рис.3

Углы ABD и BAC равны как внутренние накрест лежащие. По той же причине равны углы ACB и CBE. Поскольку углы ABD, ABC и CBE в сумме составляют развёрнутый угол, то и сумма углов треугольника ABC равна 180°. Теорема доказана.

Теорема 2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство. Проведём через вершину C прямую CE, параллельную прямой AB, и продолжим отрезок AC за точку C (рис.4).

Свойства углов треугольника доказательство
Свойства углов треугольника доказательство

Рис.4

Углы ABC и BCE равны как внутренние накрест лежащие. Углы BAC и ECD равны как соответственные равны как соответственные . Поэтому внешний угол BCD равен сумме углов BAC и ABC. Теорема доказана.

Замечание. Теорема 1 является следствием теоремы 2.

Теорема 3. Сумма углов  – угольникаn равна

Доказательство. Выберем внутри n – угольника произвольную точку O и соединим её со всеми вершинами n – угольника (рис. 5).

Свойства углов многоугольника

Рис.5

Получим n треугольников:

OA1A2,  OA2A3,  …  OAnA1

Сумма углов всех этих треугольников равна сумме всех внутренних углов n – угольника плюс сумма всех углов с вершиной в точке O. Поэтому сумма всех углов n – угольника равна

что и требовалось доказать.

Теорема 4. Сумма внешних углов  – угольникаn , взятых по одному у каждой вершины, равна 360°.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 6.

Свойства углов многоугольника

Рис.6

В соответствии рисунком 6 справедливы равенства

Теорема доказана.

Правильный n-угольник — формулы

Формулы длины стороны правильного n-угольника

  • Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:
  • Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:

Формулы площади правильного n-угольника

  • Формула площади n-угольника через длину стороны:
  • Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:
  • Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула периметра правильного многоугольника:

Формула периметра правильного n-угольника:

P = na

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:

Формула угла между сторонами правильного n-угольника:

Изображение правильного треугольника с обозначениями
Рис.3

Формулы правильного треугольника:

  • Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r √3

  • Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности:

a = R√3

  • Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны:
  • Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:
  • Формула площади правильного треугольника через длину стороны:
  • Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 3√3

  • Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:
  • Угол между сторонами правильного треугольника:

α = 60°

Изображение правильного четырехугольнику с обозначениями
Рис.4

Формулы правильного четырехугольника:

  • Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r

  • Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2

  • Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
  • Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
  • Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны:

S = a2

  • Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

S = 4 r2

  • Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

S =  2 R2

  • Угол между сторонами правильного четырехугольника:

α = 90°

Формулы правильного шестиугольника:

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

a = R

Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

R = a

Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:

Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 2√3

Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

8. Угол между сторонами правильного шестиугольника:

α = 120°

Формулы правильного восьмиугольника:

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r · (√2 — 1)

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2 — √2

Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны:

S = a2 2(√2 + 1)

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 8(√2 — 1)

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

S = R2 2√2

Угол между сторонами правильного восьмиугольника:

α = 135°

Сторона правильного многоугольника через радиус описанной вокруг него окружности

Сторону правильного многоугольника через радиус описанной вокруг него окружности можно найти по формуле

Где:

a – длина его стороны;

R – радиус описанной окружности;

n – число сторон многоугольника.

Формула стороны правильного многоугольника

Шаг 1

Рассмотрим правильный многоугольник А1А2А3…Аn.

Пусть его сторона будет равна a.

Опишем вокруг этого многоугольника окружность с центром в точке О и радиусом R.

Вывод формулы стороны правильного многоугольника.

Шаг 2

Соединим точку О с его вершинами. А1А2А3…Аn.

Рассмотрим треугольник ОА1А2.

Рассматриваемый треугольник будет равнобедренным, так как его стороны А1О и А2О – радиусы описанной окружности.

Проведем в треугольнике А1ОА2 высоту ОК.

Так как треугольник А1ОА2 равнобедренный, то высота будет медианой:

Вывод формулы стороны правильного многоугольника.

Шаг 3

Рассмотрим треугольник А1КО.

Этот треугольник прямоугольный, так как ОК – высота по построению.

Так как точка О – центр правильного многоугольника, то отрезки АnO являются биссектрисами углов этого многоугольника.

Таким образом, если углы многоугольника обозначим буквой α, то угол ОА1К будет равен:

По свойству углов правильного многоугольника, каждый угол равен:

Тогда угол ОА1К будет равен:

Из определения косинуса угла получим:

Отсюда:

Подставим в формулу значения, полученные выше и на шаге 2:

Умножим обе части уравнения на 2:

Воспользуемся формулами приведения

Так как А1О является радиусом описанной окружности, то сторона правильного многоугольника может быть найдена по формуле:

Вывод формулы стороны правильного многоугольника.

Добавить комментарий