Под углом между прямой 
и осью абсцисс 
принимается угол 
между направляющим вектором 
прямой и ортом 
оси . Для данной прямой
Угол с осью определим из формулы
. (1)
Аналогично определяются углы 
и 
между прямой и осями 
и 
:
(2)
Величины 
называются Направляющими косинусами прямой .
Пример. Найти углы, образуемые прямой
С осями координат.
Решение. Найдем координаты направляющего вектора, как векторное произведение нормалей к данным плоскостям 
и 
. Координаты нормальных векторов плоскостей 
и 
:
т. е. 
.
Используя формулы (1)-(2), получим
Следовательно,
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Углы 
образуемые прямой 
(в одном из двух ее направлений) с осями координат, находятся из соотношений:
где 
направляющие коэффициенты прямой L. Вытекает из § 101.
Величины 
называются направляющими косинусами прямой 
Пример. Найти углы, образуемые прямой
с осями координат.
Решение. За направляющие коэффициенты данной прямой (§ 143, пример) можно принять 
Значит, 
отсюда 
Углы α, β, γ образуемые прямой L
A1x+B1y+C1z+D1=0 (1)
A2X+B2y+C2Z+D2=0 (2)
(в одном из двух ее направлений) с осями координат, находятся из соотношений:
где l, m, n — направляющие коэффициенты прямой L.
Величины cosα , cosβ, cosγ называются направляющими косинусами прямой L.
Пример
Найти углы, образуемые прямой 2x-2y-z+8=0, x+2y-2z+1=0 с осями координат
Решение
Находим направляющие коэффициенты данной прямой
$vec N_1 times vec N_2 = left| {begin{array}{*{20}{c}} {vec i}&{vec j}&{vec k} \ 2&{ — 2}&{ — 1} \ 1&2&{ — 2} end{array}} right| =$
$=6i — 3j + 6k$
можно принять (похожий пример) ι=6, m=3, n=6
Подставляя значения в формулу выше, получаем:
cosα=6/9=2/3,
cosβ=3/9=1/3,
cosγ=6/9=2/3
Отсюда
α≈480, β≈700, γ≈480
2832
Калькулятор углового коэффициента прямой может не только рассчитать коэффициент, но и найдет точки пересечения прямой с осями абсцисс и ординат (x и y), а также покажет решение и построит график прямой.
Содержание:
- калькулятор углового коэффициента прямой
- определение углового коэффициента прямой
- формула углового коэффициента прямой
- геометрический смысл углового коэффициента
- k>0
- k<0
- k=0
- k не определен (k=∞)
- угловой коэффициент параллельных прямых
- угловой коэффициент перпендикулярных прямых
- примеры расчета углового коэффициента прямой по заданным координатам точек
Определение углового коэффициента прямой
Угловой коэффициент прямой – это число, которое определяет наклон прямой относительно положительного направления оси OX. Численно он равен тангенсу угла (отсчитываемого против часовой стрелки) между положительным направлением оси OX и прямой.
Угловой коэффициент прямой обозначается буковой k.
Угловой коэффициент показывает, как быстро прямая меняет свое положение по оси OX при изменении координаты y и является ключевым понятием в геометрии и физике, используемым для описания многих физических явлений, например, движения тела в пространстве или распространение света.
В геометрии, угловой коэффициент прямой используется для определения угла наклона прямой относительно оси абсцисс и для вычисления ее точек пересечения с осями координат. Также угловой коэффициент прямой используется для записи уравнения прямой в общем виде. Знание углового коэффициента прямой является необходимым при решении многих задач геометрии, таких как построение перпендикуляров и параллельных линий, определение углов между прямыми и плоскостями, а также решение задач на поиск расстояний между прямыми и плоскостями.
Формула углового коэффициента прямой
Формула вычисления углового коэффициента прямой определяется как отношение изменения координаты y к изменению координаты x между любыми двумя точками на прямой. Математически это можно записать следующим образом:
{k=dfrac{y_b – y_a}{x_b – x_a} = tg(alpha)}
k – угловой коэффициент прямой,
xa, ya – координаты точки A,
xb, yb – координаты точки B
α – угол между осью OX и прямой (против часовой стрелки).
Если прямая задана уравнением в общем виде y = kx + b, то угловой коэффициент прямой равен коэффициенту при x, то есть k.
Геометрический смысл углового коэффициента прямой
Рассмотрим возможные значения углового коэффициента и какой геометрический смысл он несет.
Угловой коэффициент прямой больше нуля
Если угловой коэффициент прямой больше нуля (k>0), то угол между осью OX и прямой является острым, а график прямой возрастающий. Обратное утверждение также справедливо – если график прямой возрастает, то ее угловой коэффициент больше нуля.
Угловой коэффициент прямой меньше нуля
Если угловой коэффициент прямой меньше нуля (k<0), то угол между осью OX и прямой является тупым, а график прямой убывающий. И наоборот – если график прямой убывает, то ее угловой коэффициент меньше нуля.
Угловой коэффициент равен нулю
Если угловой коэффициент прямой равен нулю (k=0), то это значит, что прямая параллельна оси x.
Угловой коэффициент не определен (равен бесконечности)
Если угловой коэффициент прямой не определен (или можно сказать обращается в бесконечность) (k=∞), то это значит, что прямая параллельна оси y.
Угловой коэффициент параллельных прямых
Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны и наоборот – если у прямых равные угловые коэффициенты, то они параллельны друг другу.
Угловой коэффициент перпендикулярных прямых
Если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и имеют противоположный знак.
Для примера рассмотрим две прямые, заданные угловыми коэффициентами:
y = k_{m} x + b_m
y = k_{n} x + b_n
Прямые будет перпендикулярны, если k_{m} = – dfrac{1}{k_{n}}
Как рассчитать угловой коэффициент прямой по заданным координатам точек
Чтобы закрепить материал, рассмотрим решение задачи.
Задача 1
Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A(5, -2) и B(-3, 1).
Решение
Воспользуемся формулой углового коэффициента прямой. Для начала найдем разницу между соответствующими координатами двух точек:
{Delta x = x_b – x_a = -3 -5 -= -8}
{Delta y = y_b – y_a = 1 – -(2) = 3}
Осталось применить формулу и поделить Delta y на Delta x:
k = dfrac{Delta y}{Delta x} = dfrac{3}{-8} = – dfrac{3}{8} approx -0.375
Это и есть угловой коэффициент прямой AB.
А если вы внимательно читали статью, то, учитывая, что полученный угловой коэффициент отрицательный, можно сказать, что прямая AB убывающая.
Ответ: k = – dfrac{3}{8} approx -0.375
Проверить ответ нам поможет калькулятор .
Угловой коэффициент прямой. В этой статье мы с вами рассмотрим задачи связанные с координатной плоскостью включённые в ЕГЭ по математике. Это задания на:
— определение углового коэффициента прямой, когда известны две точки через которые она проходит;
— определение абсциссы или ординаты точки пересечения двух прямых на плоскости.
Что такое абсцисса и ордината точки было описано в прошлой статье данной рубрики. В ней мы уже рассмотрели несколько задач связанных с координатной плоскостью. Что необходимо понимать для рассматриваемого типа задач? Немного теории.
Уравнение прямой на координатной плоскости имеет вид:
где k – это и есть угловой коэффициент прямой.
Следующий момент! Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой. Это угол между данной прямой и осью ох.
Он лежит в пределах от 0 до 180 градусов.
То есть, если мы приведём уравнение прямой к виду y = kx + b, то далее всегда сможем определить коэффициент k (угловой коэффициент).
Так же, если мы исходя из условия сможем определить тангенс угла наклона прямой, то тем самым найдём её угловой коэффициент.
Следующий теоретический момент! Уравнение прямой походящей через две данные точки. Формула имеет вид:
Подробнее об этой формуле рассказано в этой статье!
Рассмотрим задачи (аналогичные задачам из открытого банка заданий):
Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (–6;0) и (0;6).
В данной задаче самый рациональный путь решения это найти тангенс угла между осью ох и данной прямой. Известно, что он равен угловому коэффициенту. Рассмотрим прямоугольный треугольник образованный прямой и осями ох и оу:
Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике является отношение противолежащего катета к прилежащему:
*Оба катета равны шести (это их длины).
Конечно, данную задачу можно решить используя формулу нахождения уравнения прямой проходящей через две данные точки. Но это будет более длительный путь решения.
Ответ: 1
Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (5;0) и (0;5).
Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:
Наши точки имеют координаты (5;0) и (0;5). Значит,
Приведём формулу к виду y = kx + b
Получили, что угловой коэффициент k = – 1.
Ответ: –1
Прямая a проходит через точки с координатами (0;6) и (8;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;10) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью оx.
В данной задаче можно найти уравнение прямой a, определить угловой коэффициент для неё. У прямой b угловой коэффициент будет такой же, так как они параллельны. Далее можно найти уравнение прямой b. А затем, подставив в него значение y = 0, найти абсциссу. НО!
В данном случае, проще использовать свойство подобия треугольников.
Прямоугольные треугольники, образованные данными (параллельными) прямыми о осями координат подобны, а это значит, что отношения их соответствующих сторон равны.
Искомая абсцисса равна 40/3.
Ответ: 40/3
Прямая a проходит через точки с координатами (0;8) и (–12;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; –12) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью оx.
Для данной задачи самый рациональный путь решения — это применение свойства подобия треугольников. Но мы решим её другим путём.
Нам известны точки, через которые проходит прямая а. Можем составить уравнение прямой. Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:
По условию точки имеют координаты (0;8) и (–12;0). Значит,
Приведём к виду y = kx + b:
Получили, что угловой k = 2/3.
*Угловой коэффициент можно было найти через тангенс угла в прямоугольном треугольнике с катетами 8 и 12.
Известно, у параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Значит уравнение прямой проходящей через точку (0;-12) имеет вид:
Найти величину b мы можем подставив абсциссу и ординату в уравнение:
Таким образом, прямая имеет вид:
Теперь чтобы найти искомую абсциссу точки пересечения прямой с осью ох, необходимо подставить у = 0:
Ответ: 18
Найдите ординату точки пересечения оси оy и прямой, проходящей через точку В(10;12) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку А(10;24).
Найдём уравнение прямой проходящей через точки с координатами (0;0) и (10;24).
Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:
Наши точки имеют координаты (0;0) и (10;24). Значит,
Приведём к виду y = kx + b
Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Значит, уравнение прямой, проходящей через точку В(10;12) имеет вид:
Значение b найдём подставив в это уравнение координаты точки В(10;12):
Получили уравнение прямой:
Чтобы найти ординату точки пересечения этой прямой с осью оу нужно подставить в найденное уравнение х = 0:
*Самый простой способ решения. При помощи параллельного переноса сдвигаем данную прямую вниз вдоль оси оу до точки (10;12). Сдвиг происходит на 12 единиц, то есть точка А(10;24) «перешла» в точку В(10;12), а точка О(0;0) «перешла» в точку (0;–12). Значит, полученная прямая будет пересекать ось оу в точке (0;–12).
Искомая ордината равна –12.
Ответ: –12
Найдите ординату точки пересечения прямой, заданной уравнением
3х + 2у = 6, с осью Oy.
Координата точки пересечения заданной прямой с осью оу имеет вид (0;у). Подставим в уравнение абсциссу х = 0, и найдём ординату:
Ордината точки пересечения прямой с осью оу равна 3.
*Решается система:
Ответ: 3
Найдите ординату точки пересечения прямых, заданных уравнениями
3х + 2у = 6 и у = – х.
Когда заданны две прямые, и стоит вопрос о нахождении координат точки пересечения этих прямых, решается система из данных уравнений:
В первом уравнении подставляем – х вместо у:
Ордината равна минус шести.
Ответ: – 6
Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (–2;0) и (0;2).
Посмотреть решение
Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (2;0) и (0;2).
Посмотреть решение
Прямая a проходит через точки с координатами (0;4) и (6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;8) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.
Посмотреть решение
Прямая a проходит через точки с координатами (0;4) и (–6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; –6) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.
Посмотреть решение
Найдите ординату точки пересечения оси оy и прямой, проходящей через точку B (6;4) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку A (6;8).
Посмотреть решение
Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданной уравнением 2х + 2у = 6, с осью ох.
Посмотреть решение
Найдите абсциссу точки пересечения прямых, заданных уравнениями 3х + 2у = 6 и у = х.
Посмотреть решение
Конечно, некоторые задачи, которые мы рассмотрели можно было решить более рациональными способами. Но ставилась цель показать разные подходы к решению. Надеюсь, это удалось.
1. Необходимо чётко усвоить, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой. Это поможет вам при решении многих задач данного типа.
2. Формулу нахождения прямой проходящей через две данные точки нужно понимать обязательно. С её помощью всегда найдёте уравнение прямой, если даны координаты двух её точек.
3. Помните о том, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны.
4. Как вы поняли, в некоторых задачах удобно использовать признак подобия треугольников. Задачи решаются практически устно.
5. Задачи в которых даны две прямые и требуется найти абсциссу или ординату точки их пересечения можно решить графическим способом. То есть, построить их на координатной плоскости (на листе в клетку) и определить точку пересечения визуально. *Но этот способ применим не всегда.
6. И последнее. Если дана прямая и координаты точек её пересечения с осями координат, то в таких задачах удобно находить угловой коэффициент через нахождение тангенса угла в образованном прямоугольном треугольнике. Как «увидеть» этот треугольник при различных расположениях прямых на плоскости схематично показано ниже:
>> Угол наклона прямой от 0 до 90 градусов <<
>> Угол наклона прямой от 90 до 180 градусов <<
В данных двух случаях, по свойству тангенса:
То есть, чтобы найти уголвой коэффициент прямой, необходимо вычислить тангенс бетта в полученном прямоугольном треугольнике и записать результат с отрицательным знаком.
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!
На этом всё. Успеха Вам!
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
