Как найти углы равнобедренной трапеции по сторонам

Трапеция —  геометрическая фигура представляет собой выпуклый четырехугольник с параллельными
противоположными сторонами. Они называются основаниями. Две другие стороны — боковые.
Трапеция, у которой они одинакового размера, называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон
образует у основания угол в 90 градусов-прямоугольной.

Прямая линия, проведенная от одного основания
к другому, именуется высотой трапеции. Величина ее высчитывается делением суммы оснований на 2.
Диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные углы фигуры. У равнобедренной трапеции
они равны по длине. Средняя линия-прямая, делящая пополам боковые стороны.

Угол трапеции при основании через высоту и прилегающую боковую сторону

Введем обозначения: h-высота, с — боковая сторона. Угол трапеции α при основании вычисляется с
помощью формулы

sin α = h/с

где: h — высота трапеции, c — боковая сторона.

Пример. Заменим буквенные обозначения условными цифрами. Пример: если высота равна
9см, боковая сторона-11см, получим: sin α = 9 / 11 = 0,818 , отсюда α =
55º. Указанное значение находим в таблице синусов. Данный показатель синуса угла соответствует
величине 55 градусов.

Через нижнее основание, среднию линию и боковую сторону в равнобедренной трапеции

Угол равнобедренной трапеции через нижнее основание, среднюю линию и боковую сторону находится по
формуле:

cos α = (2a-2m) / 2c

где а — нижнее основание, m — средняя линия, с — боковая сторона.

Пример.Заменим буквы условными цифровыми значениями. Если нижнее основание равно 8
см, средняя линия-6, а боковая сторона-4,8 см, то косинус угла равен 0,41666, что соответствует 65
градусам. cos α = (2 * 8 — 2 * 6) / 2 * 4,8 = 0, 41666, отсюда α =
65º. Равнобедренная трапеция — геометрическая фигура с нижними острыми углами. Это ее
особенность.

Угол трапеции, зная размер нижнего основания, боковой стороны и диагонали

Если известны эти величины, воспользуемся формулой:

cos α= (a²+c²-d²) / 2ac

где а-нижнее основание, d-диагональ, с-боковая сторона.

Пример. При условной величине нижнего основания 4 см, диагонали — 5.7 см,
боковой стороны — 4,4 см косинус равняется 0,081534, что соответствует углу 85 градусов по
таблице функций. cos α= (4² + 4,4² — 5,7²) / 2*4*4,4 = 0,081534,
отсюда α = 85º.

Через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону в равнобедренной трапеции

Нахождение угла равнобедренной трапеции через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону
выполняется по предложенной формуле:

cos α = (2m-2b) / 2c

где m — средняя линия, b — верхнее основание, c — боковая сторона.

Пример. Введем условные цифровые значения. Допустим, что у равнобедренной трапеции
верхнее основание равно 4 см, средняя линия-6, боковая сторона-4 см. Косинус составляет 0,5.
Значение соответствует 60 градусам по таблице Брадиса. cos α = (2 * 6 — 2 * 4) / 2 * 4 = 0,5,
отсюда α = 60º

Вычисление острого угла при нижнем основании, если известны величины обоих оснований и боковой
стороны в прямоугольной трапеции

Находится по формуле

cos α = (a — b) / c

где a,b — основания, c — боковая сторона.

Пример. Если буквенные выражения заменить условными цифровыми, получится наглядный
пример вычисления. Допустим, длина нижнего основания а 8 см, верхнего b-5,8 см, размер боковой
стороны с-4,8. Подставив в формулу цифровые значения, получим итог: косинус равен 0,45833.
Сравниваем показатель с таблицей вычисления Брадиса: он соответствует углу 63 градуса. cos α=(8 — 5,8) / 4,8 = 0,45833, отсюда α = 63º

Острый угол при нижнем основании, зная высоту и размеры двух оснований прямоугольной трапеции

При известных указанных величинах воспользуемся следующей формулой:

tg(α) = h / (a-b)

где h — высота, a,b — верхнее и нижнее основания.

Пример. Введя условные цифровые значения h = 15, a = 11, b = 10 получим tg(α) = 15 / (11-10) = 15. При вычислении получим значение тангенса: 15.
По таблице функций показатель соответствует 86 градусам.

Следует знать несколько закономерностей данной геометрической конструкции. У трапеции четыре угла,
общая сумма которых составляет 360 градусов.

Равнобедренная отличается двумя равными острыми, прилегающими к нижнему основанию, и тупыми
одинаковой величины-к верхнему. У прямоугольной трапеции два угла по 90 градусов, другие —
острый и тупой. Если он прилегает к нижнему основанию, величина такого угла определяется делением
высоты на разность между нижним и верхним основаниями. Угол трапеции при основании равен отношению
высоты к боковой стороне.

Как найти углы равнобедренной трапеции

Трапеция – это плоская четырехугольная геометрическая фигура, отличительной особенностью которой является обязательная параллельность одной пары несоприкасающихся сторон. Эти стороны называются ее основаниями, а две непараллельные составляющие – боковыми сторонами. Разновидность трапеции, у которой длины боковых сторон одинаковы, называется равнобокой или равнобедренной. Формулы нахождения углов такой трапеции легко вывести из свойств прямоугольного треугольника.

Инструкция

Если известны длины обоих оснований (b и c) и одинаковых по определению боковых сторон (a) равнобедренной трапеции, то для вычисления величины одного из ее острых углов (γ) можно использовать свойства прямоугольного треугольника. Для этого опустите высоту из любого прилегающего к короткому основанию угла. Прямоугольный треугольник будет образован высотой (катет), боковой стороной (гипотенуза) и отрезком длинного основания между высотой и ближней боковой стороной (второй катет). Длину этого отрезка можно найти, отняв от длины большего основания длину меньшего и поделив результат пополам: (c-b)/2.

Получив значения длин двух смежных сторон прямоугольного треугольника, переходите к вычислению угла между ними. Отношение длины гипотенузы (a) к длине катета ((c-b)/2) дает значение косинуса этого угла (cos(γ)), а функция арккосинус поможет преобразовать его в величину угла в градусах: γ=arccos(2*a/(c-b)). Так вы получите величину одного из острых углов трапеции, а поскольку она равнобедренна, то и второй острый угол будет иметь такую же величину. Сумма всех углов четырехугольника должна составлять 360°, а это значит, что сумма двух тупых углов будет равна разности между этим числом и удвоенной величиной острого угла. Поскольку оба тупых угла тоже будут одинаковы, то для нахождения величины каждого из них (α) эту разность надо поделить пополам: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2*a/(c-b)). Теперь у вас есть формулы вычисления всех углов равнобедренной трапеции по известным длинам ее сторон.

Если длины боковых сторон фигуры неизвестны, но дана ее высота (h), то действовать нужно по такой же схеме. В этом случае в прямоугольном треугольнике, составленном из высоты, боковой стороны и короткого отрезка длинного основания, вам будут известны длины двух катетов. Их соотношение определяет тангенс нужного вам угла, а эта тригонометрическая функция тоже имеет своего антипода, преобразующего значение тангенса в величину угла – арктангенс. Полученные в предыдущем шаге формулы острого и тупого углов трансформируйте соответствующим образом: γ=arctg(2*h/(c-b)) и α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

В равнобокой трапеции боковые стороны и углы при основаниях равны между собой, следовательно, все формулы значительно упрощаются. Периметр такой трапеции равен сумме двух оснований и удвоенной боковой стороны.
P=2a+b+d

Высота равнобокой трапеции является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза – боковая сторона трапеции, а второй катет – половина разности большего и меньшего оснований. Вычислить высоту в равнобокой трапеции можно с помощью теоремы Пифагора в этом треугольнике. (рис.104.1)
h=√(a^2-(c-b)^2/4)

Средняя линия трапеции не связана с боковыми сторонами и представляет собой сумму большего и меньшего основании, разделенную на два.
m=(b+c)/2

Площадь равнобокой трапеции вычисляется также как и обычной – произведением высоты на среднюю линию.
S=hm

Найти диагонали в равнобокой трапеции проще, так как высоты, входящие с ними в прямоугольные треугольники, делят большее основание на три части, одна из которых равна меньшему основанию, а две другие равны между собой. Сами диагонали также равны друг другу и вычислить их можно по формулам, приведенным из теоремы Пифагора. (рис.104.2)
d=√(h^2+((b+c)/2)^2 )=√(a^2-(c-b)^2/4+(b+c)^2/4)=√((2a^2-b^2-c^2)/2)

Внутри равнобокой окружности можно вписать окружность, радиус которой будет равен квадратному корню из произведения оснований, деленному на два, если сумма боковых сторон равна сумме оснований (что представляет собой половину высоты) (рис.104.3)
r=√bc/2

Радиус окружности, описанной вокруг равнобокой трапеции, ищется как радиус описанной окружности треугольника, образованного ее диагональю со сторонами. (рис.104.4)
R=abd/√((a+b+d)(a+b)(a+d)(b+d))

   Углы равнобедренной трапеции. Здравствуйте! В этой статье речь пойдёт о решении задач с трапецией. Данная группа заданий входит в состав экзамена, задачки простые. Будем вычислять углы трапеции, основания и высоты. Решение ряда задач сводится к решению прямоугольного треугольника, как говориться: куда мы без теоремы Пифагора, синуса и косинуса?

Работать будем с равнобедренной трапецией. У неё равны боковые стороны и углы при основаниях. О трапеции есть статья на блоге, посмотрите.

Отметим небольшой и важный нюанс, который в процессе решения самих заданий подробно расписывать не будем. Посмотрите, если у нас дано два основания, то большее основание высотами, опущенными к нему, разбивается на три отрезка – один равен меньшему основанию (это противолежащие стороны прямоугольника), два других равны друг другу (это катеты равных прямоугольных треугольников):

Простой пример: дано два основания равнобедренной трапеции 25 и 65. Большее основание разбивается на отрезки следующим образом:

*И ещё! В задачах не введены буквенные обозначения. Это сделано умышленно, чтобы не перегружать решение алгебраическими изысками. Согласен, что это математически неграмотно, но цель донести суть. А обозначения вершин и прочих элементов вы всегда можете сделать сами и записать математически корректное решение.

Рассмотрим задачи:

27439. Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.

Для того чтобы найти угол необходимо построить высоты. На эскизе обозначим данные в условии величины. Нижнее основание равно 65, высотами оно разбивается на отрезки 7, 51 и 7:

В прямоугольном треугольнике нам известна гипотенуза и катет, можем найти второй катет (высоту трапеции) и далее уже вычислить синус угла.

По теореме Пифагора указанный катет равен:

Таким образом:

Ответ: 0,96

27440. Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции равен 5/7. Найдите боковую сторону.

Построим высоты и отметим данные в условии величины, нижнее основание разбивается на отрезки 15, 43 и 15:

Ответ: 21

27441. Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен (2√10)/7. Найдите меньшее основание.

Построим высоты. Для того чтобы найти меньшее основание нам необходимо найти чему равен отрезок являющийся катетом в прямоугольном треугольнике (обозначен синим):

Можем вычислить высоту  трапеции, а затем найти катет:

По теореме Пифагора вычисляем катет:

Таким образом, меньшее основание равно:

Ответ: 22

27442. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс острого угла равен 5/11. Найдите высоту трапеции.

Построим высоты и отметим данные в условии величины. Нижнее  основание разбивается на отрезки:

Что делать? Выражаем тангенс известного нам угла при основании в прямоугольном треугольнике:

Ответ: 10

27443. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 23. Высота трапеции равна 39. Тангенс острого угла равен 13/8. Найдите большее основание.

Строим высоты и вычисляем чему равен катет:

Таким образом большее основание будет равно:

Ответ: 71

27444. Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87. Высота трапеции равна 14. Найдите тангенс острого угла.

Строим высоты и отмечаем известные величины на эскизе. Нижнее основание разбивается на отрезки 35, 17, 35:

По определению тангенса:

Ответ: 0,4

77152. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.

Построим эскиз, построим высоты и отметим известные величины, большее основание разбивается на отрезки 3, 6 и 3:

Выразим гипотенузу обозначенную как х через косинус:

Из основного тригонометрического тождества найдём cosα

Таким образом:

Ответ: 5

27818. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50⁰? Ответ дайте в градусах.

Из курса геометрии нам известно, что если имеем две параллельные прямые и секущую, что сумма внутренних односторонних углов равна 180⁰_.  В нашем случае это

C условии сказано, что разность противолежащих углов равна 50⁰, то есть

Так как у равнобедренной трапеции углы  при основании равны, то есть угол А равен углу В, то можем записать

Имеем два уравнения с двумя  неизвестными, можем решить систему:

*Конечно, эту задачу можно было легко решить просто перебирая пары углов )

27833. В равнобедренной трапеции большее основание равно 25, боковая сторона равна 10, угол между ними 60⁰. Найдите меньшее основание.

Построим высоты DE и CF:

Меньшее основание равно отрезку EF, так как DC и EF это противолежащие стороны прямоугольника. Отрезок EF мы можем найти если вычислим АЕ. Выразим этот катет прямоугольного треугольника ADE через функцию косинуса:

Так как AE=FB=5, то EF=25–5–5=15. Следовательно и DC=15.

Ответ: 15

27837. Основания равнобедренной трапеции равны 15 и 9, один из углов равен 45⁰. Найдите высоту трапеции.

Из точек D и C опустим две высоты:

Как уже сказано выше они разбивают большее основание на три отрезка: один равен меньшему основанию, два других равны друг другу.

В данном случае они равны 3, 9 и 3 (в сумме 15). Кроме того, отметим что высотами отсекаются прямоугольные треугольники, причём они являются равнобедренными, так как углы при основании равны по 45⁰. Отсюда следует, что высота трапеции будет равна 3.

Ответ: 3

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр.

P.S: Расскажите о сайте в социальных сетях!

Здравствуйте, дорогие читатели. В этом выпуске разберемся, что нужно знать из 7 класса для легкого вычисления углов в параллелограмме и трапеции.

Как вы знаете, параллелограмм, прямоугольник, ромб и квадрат – это все параллелограммы. Параллелограмм – это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Значит для вычисления углов в параллелограмме и трапеции нам нужно вспомнить теоремы об углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей.

1) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 градусам.

Теперь применим это знание для решения задач из ОГЭ.

Задача №1

Для решения, воспользуемся свойством односторонних углов.

Для задания такого типа, можно мысленно продолжить стороны, у вас получится пересечение двух параллельных прямых секущей. Поэтому в данном случае воспользуемся тем, что сумма односторонних углов равна 180 градусов. Больший угол параллелограмма равен 180-61=119

Внимание!!! Будьте внимательны, в задании такого типа может быть написано, что нужно найти меньший угол. Меньший угол – это острый, больший угол – это тупой.

Точно также решается задача №2 с трапецией.

Меньший угол – это острый угол. Значит 180-131=49

Задача №3

Для решения такого типа задачи, нужно найти целый больший угол параллелограмма, он равен 70+35=105.

Найдем меньший угол параллелограмма – он острый, равен 180-105=75

2) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Для этой теоремы подходят следующие задачи:

Задача №4

Решение:

Угол 1 и угол 2 накрест лежащие, значит они раны. Так как АЕ биссектриса, то угол 2 равен углу 3. Значит угол А равен 33+33=66

Задача №5

Решение:

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основаниях равны. Значит нам достаточно найти чему равен угол А, тогда мы найдем угол ADC.

Так как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны, то угол А равен 50+30=80, значит угол ADC равен 80

В следующем выпуске, поговорим о том, как найти углы в параллелограмме, где используются другие свойства и теоремы, такие как свойство равнобедренного треугольника, сумма углов треугольника, свойство диагоналей ромба.

Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.