Как найти углы сферического треугольника

Сферический треугольник — геометрическая фигура на поверхности сферы, состоящая из трёх точек и трёх дуг больших кругов, соединяющих попарно эти точки. Три больших круга на поверхности сферы, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Соотношения между элементами сферических треугольников изучает сферическая тригонометрия.

Сторона сферического треугольника измеряется величиной опирающегося на неё центрального угла. Угол сферического треугольника измеряется величиной двугранного угла между плоскостями, в которых лежат стороны этого угла. Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, а углы меньше π, называется эйлеровым^[1]:9. Далее рассматриваются эйлеровы треугольники.

Свойства[править | править код]

• Помимо трёх признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников верен ещё один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны^[1]:16. В евклидовой геометрии такие треугольники являются подобными. В сферической геометрии любое преобразование подобия является изометрическим (то есть коэффициент подобия всегда равен единице), поэтому в сферической геометрии нет неравных подобных фигур (то есть фигур, переводящихся друг в друга преобразованием подобия).
• Полярным для данного сферического треугольника (ABC) называется такой сферический треугольник (A’B’C’), вершины которого A’, B’, C’ являются полюсами^[a] по отношению к сторонам BC, CA, AB соответственно. При этом точки A и A’, B и B’, C и C’ лежат по одну сторону относительно BC, CA, AB соответственно.^[3]

• Для сторон сферического треугольника выполняются 3 неравенства треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности^[1]:11.

• Если от двух углов сферического треугольника отнимем третий, получим угол, меньший ^[1]:15.
• В отличие от плоского треугольника, у сферического треугольника может быть два или три прямых или тупых угла.

Решение сферических треугольников[править | править код]

Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера. А чтобы решить косоугольный сферический треугольник, необходимо знать три его элемента. Для решения можно использовать следующие соотношения между ними^{[1]:102—139}:

• Формула половины стороны и формула половины угла — при решении по трём сторонам и трём углам;
• Формулы аналогии Непера — при решении по двум сторонам и углу между ними и по двум углам и прилежащей к ним стороне;
• Теорема синусов и формулы аналогии Непера — при решении по двум сторонам и противолежащему одной из них углу и по двум углам и противолежащей одному из них стороне.

Комментарии[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. — М., 1995. (§ 1. Сферическая геометрия.)
• Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики. — Физматгиз, 1963. — Т. 4 (геометрия). — С. 518—558.

Ссылки[править | править код]

• Краткий справочник по сферической тригонометрии
• Статья на Wolfram MathWorld [1]

Часть
сферы, заключенная между тремя попарно
пересекающимися дугами больших кругов,
называется сферическим
треугольником.

Вершины
сферического
треугольника
обозначаются
заглавными буквами А,
В, С, а
противолежащие им стороны одноименными
малыми буквами а,
b, с. Стороны
и углы при вершинах называются
элементами
сферического
треугольника.

Будем
рассматривать сферические треугольники,
элементы которых меньше 180°. Такие
треугольники называются треугольниками
Эйлера.

Для
того, чтобы решить сферический треугольник
необходимо знать три из шести его
элементов. При решении сферических
треугольников будем использовать четыре
основные теоремы сферической тригонометрии.

1.
Теорема косинуса
стороны.

В
сферическом треугольнике косинус
стороны равен произведению косинусов
двух других сторон плюс произведение
синусов тех же сторон на косинус угла
между ними:

cos
а=
cos
b
cos
с
+
sin b
sin
с
cos
A

2.
Теорема
косинуса
угла.

В
сферическом треугольнике косинус угла
равен отрицательному произведению
косинусов двух других углов плюс
произведение синусов этих углов на
косинус стороны между ними:

cos
А
= –
cos В
cos
С
+
sin В
sin
С cos a

В
сферическом треугольнике на рис.3.1,
элементы, отмеченные двумя черточками,
лежат рядом. В данном случае сторона
а
и
угол А
называются
крайними элементами, а сторона с
и
угол В
называются
средними элементами.

3.
Теорема котангенсов
или
четырех
рядом лежащих элементов;

В
сферическом треугольнике для четырех
рядом лежащих элементов котангенс
крайнего угла, умноженный на синус
среднего угла равен произведению
котангенса крайней стороны на синус
средней стороны, минус произведение
косинусов средних элементов

ctgA
sin
В
= ctg a sin
с
– cos
В
cos
с

4.
Теорема синусов:

В
сферическом треугольнике отношение
синуса угла к синусу противолежащей
стороны есть величина постоянная:

sinA/sina=sinB/sinb=sinC/sinc
= M,

где
М-
модуль
сферического треугольника.

Будем
использовать независимое
решение,
т.е. определять искомые элементы только
через заданные, применяя для этого
первые три теоремы. Для проверки
правильности решения используется
теорема синусов.

Решение
сферических треугольников выполним в
следующем порядке:

1.
Записываем заданные элементы
треугольника. Если требуется, для
используемого типа калькулятора, данные
записать в градусах и десятичных долях
градуса (не менее трех значащих цифр
после запятой).

2.
Начертить произвольный сферический
треугольник и отметить на нем заданные
элементы.

3.
С помощью основных теорем сферической
тригонометрии установить связь между
заданными и искомыми элементами, помня
о том, что решение должно быть независимым.

4.
Привести формулы к рабочему виду, для
чего неизвестный элемент перенести в
левую часть, а известные в правую.
Преобразовать формулы таким образом,
чтобы в них присутствовали только те
прямые тригонометрические функции,
которые можно вычислить с помощью
данного калькулятора (как правило – sin,
cos, tg).

5.
Найти
значения искомых элементов, стараясь
при этом не делать лишних промежуточных
записей (лучше вообще обходиться без
них). Если калькулятор дает искомые
элементы в градусах и долях градусов,
перевести десятичные доли градусов в
минуты и доли минут. Следует помнить,
что главное значение функции arctg
находится
в интервале от -90° до +90″. Если полученное
значение arctg
отрицательное,
необходимо к результату прибавить 180°.

6.
Произвести контроль по теореме синусов.

7.
Записать ответ.

Пример
3.1.
В
сферическом треугольнике заданы две
стороны и угол между ними: а
=117°14,5′;
B = 60°08,9′; c=77°41,3′. Определить: А,
b, С.

Решение.

Дано:

а=
117°
14,5′ =117,242°;

B=
60°08,9′ = 60,148°;

с=
77°41,3’= 77,688°.

Найти:
А,
b, С.

Основные
формулы:

ctgA
sin
В
=
ctg a
sin
с
– cos В
cos
с;

cos
b
=
cos a cos с
+ sin b sin c cos B;

ctg
С
sin
В
= ctg с
sin a
–
cos a cos B.

Рабочие
формулы:

tgA
=
sin В
/ (sin с/tg
a – cos В
cos c);
A=125°04,9′;

cos
b
=
cos a cos с
+ sin a
sin
с
cos B;
b=
70°26,5′;

tg
С
= sin B / (sin a/
tg
с
– cos a
cos
B);
C=
64°03,6′.

Проверка:

sin
A / sin a = 0,92042; sin В/Sin
b = 0,92042; sin С
/sin
с
= 0,92042,

Ответ:

A=125°04,9′;
b=70°26,5′;
C=64°03,6′.

В
задачах №№ 61-120 заданы две стороны и
угол сферического треугольника: а,
b, С. Определить
два угла и сторону: А,
В, с.

№	а	b	С	№	а	b	С
61	83°54.3′	90°18.1	162°56.6′	66	92°28.8′	92°20.3′	160°54.4′
62	86 56.9	11 53.2	34 46.1	67	88 59.1	7 49.1	28 39.5
63	20 36.9	62 48.4	138 31.9	68	21 59.1	64 50.6	142 36.1
64	59 27.2	66 49.9	115 15.2	69	61 29..4	62 45.7	110 08.6
65	32 02.4	35 18.7	83 35.2	70	27 58.2	37 20.9	87 39.4

№	а	b	С	№	а	b	С
71	22°40.2′	64°51.7′	144°38.2′	96	0°54.1′	16°10.7′	66°45.1′
72	102 03.1	94 22.5	158 22.2	97	1 01.6	2 10.7	40 49.3
73	84 54.9	9 51.2	32 43.7	98	36 12.4	0 54.2	55 46.8
74	23 21.3	66 58.2	145 40.3	99	92 01.3	2 14.3	78 53.8
75	63 31.6	59 41.5	104 30.7	100	38 17.6	1 32.8	2 14.5
76	23 54.1	38 43.5	92 10.6	101	1 50.6	0 43.8	45 10.4
77	112 33.2	97 23.5	155 45.1	102	2 15.4	3 01.9	73 46.9
78	80 50.7	12 45.3	37 46.7	103	0 29.5	3 11.7	86 56.8
79	24 43.5	67 21.3	151 10.4	104	56 23.9	73 12.7	122 57.6
80	65 33.8	54 37.3	99 40.5	105	38 08.7	33 10.4	78 23.7
81	19 49.8	42 45.2	96 13.4	106	77 25.5	88 54.2	162 55.7
82	122 35.4	97 45.2	152 46.8	107	85 55.8	12 42.7	39 40.5
83	76 46.5	12 10.7	41 34.1	108	19 55.8	63 57.1	132 36.3
84	17 47.7	43 56.2	98 10.5	109	58 26.1	69 01.2	120 13.6
85	26 05.7	69 10.8	156 23.7	110	34 04.5	35 55.1	80 54.1
86	67 36.1	52 53.7	93 11.4	111	87 27.7	92 20.4	158 36.2
87	15 45.6	44 10.8	101 54.2	112	87 58.1	10 10.6	29 14.7
88	132 37.6	99 54.8	150 35.7	113	21 18.2	64 39.7	142 54.2
89	72 42.3	16 10.4	46 51.8	114	60 28.3	65 10.4	114 56.7
90	27 27.9	73 14.2	159 42.1	115	30 00.3	37 51.2	87 42.9
91	69 38.2	47 45.2	88 35.9	116	97 29.9	94 13.5	153 26.8
92	1141.4	46 23.8	104 10.2	117	86 57.1	9 15.7	32 18.4
93	142 39.8	101 56.4	148 23.1	118	62 30.5	59 41.7	109 46.2
94	68 38.1	19 14.5	50 00.5	119	25 56.1	39 35.5	90 57.8
95	28 50.1	76 35.2	163 14.5	120	10 32.1	96 47.3	155 14.7

В
задачах №№ 121-150 заданы три
стороны сферического треугольника a,
b ,c. Определить
три угла А,
В, С.

№	a	b	с	№	a	b	с
121	75°09.1′	123°14.2′	57°12.5′	129	32°17.8′	59°13.5′	84°22.1′
122	62 30.3	101 34.7	69 40.4	130	63 01.7	141 10.2	92 47.6
123	98 38.8	73 22.6	51 47.3	131	33 48.6	61 29.4	83 15.7
124	78 40.2	46 23.5	109 01.2	132	88 27.5	50 40.7	122 14.1
125	38 42.6	31 45.7	63 10.2	133	43 16.1	101 52.5	86 10.4
126	92 13.5	73 45.8	138 54.5	134	60 59.3	75 12.2	105 30.6
127	28 51.3	67 40.5	77 12.9	135	73 18.6	87 10.7	99 12.6
128	87 20.4	75 12.3	122 14.5	136	35 43.6	40 15.7	50 22.4

№	а	b	с	№	а	b	с
137	70°19.3′	125°19.4′	88°40.9′	144	76°01.3′	59°12.4′	30°40.7′
138	62 34.5	109 11.7	73 54.8	145	38 34.6	13122.7	97 20.5
139	57 14.5	68 12.7	101 35.6	146	111 12.4	73 10.2	61 45.7
140	24 42.9	15 10.7	33 54.6	147	1133.6	29 12.7	36 40.2
141	37 57.1	64 25.3	77 11.9	148	56 31.5	122 10.4	102 36.6
142	57 13.7	102 04.5	83 45.7	149	78 23.3	53 50.1	85 36.9
143	100 34.5	122 10.4	63 24.8	150	35 17.4	17 45.2	27 10.1

В
задачах №№ 151-180 заданы три
угла сферического треугольника A, В,
С. Определить
три стороны а,
b ,с.

№	А	В	С	№	А	В	С
151	101°25.4′	69°10.7′	55°45.6′	166	58°27.4′	61°45.7′	72°30.5′
152	126 04.9	133 57.1	128 18.4	167	101 28.2	43 55.7	82 14.3
153	113 50.4	13135.6	139 11.7	168	79 09.5	66 30.4	136 55.1
154	87 42.1	81 55.6	55 45.7	169	28 45.2	85 23.4	9751.8
155	111 10.7	56 45.3	87 36.8	170	60 09.2	72 45.1	56 41.8
156	38 40.6	98 12.5	65 14.7	171	128 12.5	137 23.8	145 54.1
157	81 33.5	62 45.1	74 36.7	172	8129.2	96 34.2	116 42.7
158	129 11.1	130 25.7	108 45.8	173	151 29.4	124 30.2	140 22.7
159	64 18.1	104 10.3	82 45.1	174	63 18.6	57 52.4	70 35.9
160	129 02.3	125 23.8	139 54.2	175	93 27.8	110 50.2	81 22.6
161	58 18.8	97 51.2	76 13.4	176	102 50.1	100 17.5	136 44.3
162	83 32.8	55 13.4	70 42.1	177	148 07.3	101 42.8	125 16.7
163	116 30.7	130 25.4	119 54.2	178	133 09.5	80 15.2	109 42.1
164	69 18.7	97 05.5	39 53.1	179	83 11.7	80 25.6	116 45.9
165	120 07.1	150 25.5	140 40.4	180	59 10.2	73 52.1 122 35.2

В
задачах №№ 181-210 заданы сторона и два
угла сферического треугольника а,
В, С. Определить
угол и две стороны А,
b ,с.

№	а	В	С	№	а	В	С
181 182 183 184	130°11.9′ 45 40.6 102 42.2 18 10.9	94°55.1′ 55 14.2 80 15.5 40 12.6	54°33.2′ 137 12.4 77 51.3 161 35.7	185 186 187 188	75°12.5′ 130 56.7 47 42.8 104 44.4	70°14.3′ 96 55.1 55 11.4 82 35.6	104°22.7′ 47 31.4 131 56.9 77 23.9

№	а	В	С	№	а	В	С
189	20°13.1′	42°57.1′	160°23.7′	200	81°19.1′	73°45.1′	98°14.7′
190	77 14.7	71 36.4	105 19.8	201	138 20.7	98 11.4	46 49.1
191	134 16.3	97 33.5	48 25.6	202	53 49.4	60 12.5	126 45.7
192	49 45.1.	56 13.4	132 10.4	203	110 51.1	88 15.7	67 13.5
193	106 46.6	86 11.3	72 55.1	204	26 19.7	44 23.9	161 13.5
194	22 15.3	42 56.4	161 13.5	205	83 21.3	74 55.2	99 10.5
195	79 16.9	72 14.3	105 46.2	206	140 22.9	100 55.1	38 14.6
196	136 18.5	101 50.4	48 13.7	207	55 51.6	55 51.6	130 41.8
197	51 47.2	58 55.1	131 16.2	208	15 07.6	39 34.3	170 32.8
198	108 48.8	87 14.2	75 31.9	209	72 09.2	66 36.6	111 23.4
199	24 17.5	43 12.6	161 55.1	210	129 10.8	98 11.4	50 13.7

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Сферические треугольники решение и формулы (Таблица)

Сферические треугольники.

На поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр шара. Вершины сферического треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара, и сферической поверхности. Сторонами а, b, с сферического треугольника  называют те углы  между лучами, которые меньше 180°. Каждой стороне треугольникасоответствует дуга большого круга на поверхности шара (рис. 1). Углы A, В, С сферического треугольника, противолежащие сторонам а, b, с соответственно, представляют собой, по определению, меньшие, чем 180°, углы между дугами больших кругов, соответствующими сторонам треугольника, или углы между плоскостями, определяемыми данными лу­чами.

Свойства сферических треу­гольников.

Каждая сторона и угол сфери­ческого треугольника по определению мень­ше 180°. Геометрия на поверхности шара являет­ся неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и 360°, сумма углов заключена между 180° и 540°. В каждом сферическом треуголь­нике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180° плюс третий угол.

Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии):

•   тремя сторонами,
•   тремя углами,
•   двумя сторонами и заключенным между ними углом,
•   стороной и двумя прилежащими к ней углами.

Решение сферических треугольников (Таблица)

(смотрите формулы ниже и рис. 1 выше)

Случай	Даны	Формулы для вычисления	Условия существования решения
1	Три стороны а, Ь, с	А, В, С из (8) и циклической перестановки	Сумма двух сторон должна быть больше третьей
2	Три угла А, В, С	а, Ь, с из (8) и циклической перестановки	Сумма двух углов должна быть меньше 180° плюс третий угол
3	Две стороны и заключенный между ними угол b, с, А	из (6), затем В и С; а из (7), (8) или (4)
4	Два угла и заключенная между ними сторона В, С, а	из (6), затем b и с; А из (7), (8) или (5)
5	Две стороны и противолежащий одной из них угол Ь, с, В	С из (3); А и а из (6)	Задача имеет одно или два решения, если sin с sin В ≤ sin b. Сохраняются те из величин с, для которых А — В и а — b имеют одинаковый знак; A + B — 180° и а + b — 180° также должны быть одного знака
6	Два угла и противолежащая одному из них сторона В, С, b	с из (3); А и а из (6)	Задача имеет одно или два решения, если sin b sin С ≤ sin В. Сохраняются те из величин с, для которых A — В и а — b имеют одинаковый знак; A + В – 180° и а + Ь – 180° также должны быть одного знака

Формулы для решения сферических треугольников

В следующих ниже соотношениях А, В, С являются углами, противолежащими соответственно сторонам а, b, с сферического треугольника. «Радиусы» описанного и вписанного конусов обозначены соответственно через г и р. Формулы, не включенные в перечень, могут быть получены одновременной циклической перестановкой А, В, С и а, Ь, с. Таблица выше позволяет вы­числять стороны и углы любого сферического треугольника потрем подходящим образом заданным сторонам и/или углам. Неравенства, отмеченные в начале п. 2, должны быть приняты во внимание, для того чтобы исключить посторонние результаты при решении треугольников.

	теорема синусов	(1)
	теорема косинусов для сторон	(2)
	теорема косинусов для углов	(3)
	аналогии Непера	(4)
	аналогии Деламбра и Гаусса	(5)
	формулы половинных углов	(6)
		(7)
		(8)
	уравнение Люилье	(9)
	Некоторые тригонометрические соотношения становятся особенно удобными для вычислений с помощью логарифмов, если в них использованы новые тригонометрические функции	(10)
	Таким образом, если имеются в наличии таблицы функции hav, то для решения сфе­рических треугольников можно использовать эти формулы:	(11)
Другие аналогичные соотношения можно получить циклической перестановкой

Сумма углов сферического треугольника

§ 28. Сферический треугольник и основные формулы сферической тригонометрии

Многие задачи астрономии, связанные с видимыми положениями и движениями небесных тел, сводятся к решению сферических треугольников.

Сферическим треугольником называется фигура АВС на поверхности сферы, образованная дугами трех больших кругов (рис. 15).

Углами сферического треугольника называются двугранные углы между плоскостями больших кругов, образующих стороны сферического треугольника. Эти углы измеряются плоскими углами при вершинах треугольника между касательными к его сторонам.

Обычно рассматриваются треугольники, углы и стороны которых меньше 180°. Для таких сферических треугольников сумма углов всегда больше 180°, но меньше 540°, а сумма сторон всегда меньше 360°. Разность между суммой трех углов сферического треугольника и 180° называется сферическим избытком s , т.е.

s = Р A + Р B + Р C — 180°.

Площадь сферического треугольника s равна

,

где R — радиус сферы, на поверхности которой образован треугольник.

Сферический треугольник, таким образом, отличается по своим свойствам от плоского, и применять к нему формулы тригонометрии на плоскости нельзя.

Возьмем сферический треугольник АВС (рис. 15), образованный на сфере радиуса R и с центром в точке О.

Из вершины А проведем касательные AD и АЕ к сторонам b и с до пересечения их с продолжениями радиусов ОС и 0В, лежащих в одной плоскости с соответствующей касательной. Соединив прямой точки пересечения D и Е, получим два плоских косоугольных треугольника ADE и ODE с общей стороной DE . Применяя к этим треугольникам теоремы элементарной геометрии, напишем:

DE 2 = OD 2 + ОЕ 2 — 2 OD Ч ОЕ Ч cos a,

DE 2 = AD 2 + АЕ 2 — 2 AD Ч АЕ Ч cos A.

Вычитанием второго равенства из первого получим:

2 OD Ч ОЕ Ч cos a = OD 2 — AD 2 + ОЕ 2 — АЕ 2 + 2 AD Ч АЕ Ч cos A.

Из прямоугольных плоских треугольников ОАЕ и ОА D следует:

OD 2 — AD 2 = R 2 ; OE 2 — AE 2 = R 2 ;

Подставив эти соотношения в формулу (1.31) и произведя соответствующие сокращения и переносы, получим

cos а = cos b cos с + sin b sin с cos A ,

т.е. косинус стороны сферического треугольника равен произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними.

Формулу (1.32) можно написать для любой стороны треугольника. Напишем ее, например, для стороны b :

cos b = cos с cos a + sin с sin a cos B

и, подставив в нее cos сх из формулы (1.32), получим

cos b = cos с (cos b cos с + sin b sin с cos A) + sin с sin a cos B.

Раскрыв скобки и перенеся первый член правой части в левую, будем иметь:

cos b (l — cos 2 с) = sin b sin с cos с cos A + sin c sin a cos B.

Заменив (1 — cos 2 с) на sin 2 с и сократив все на sin c , окончательно получим

sin a cos В = sin c cos b — cos c sin b cos A,

т.е. произведение синуса стороны на косинус прилежащего угла равняется произведению синуса другой стороны, ограничивающей прилежащий угол, на косинус третьей стороны минус произведение косинуса стороны, ограничивающей прилежащий угол, на синус третьей стороны и на косинус угла, противолежащего первой стороне.

Формула (1.33) называется формулой пяти элементов. Ее можно написать по аналогии и для произведений sin a cos С, sin b cos A , sin b cos С, sin с cos A и sin с cos В.

Решим теперь равенство (1.32) относительно cos A :

Возведя обе части последнего равенства в квадрат и вычтя их из 1, получим:

Раскрыв скобки и разделив обе части этого выражения на sin 2 а, получим

Полученное выражение совершенно симметрично относительно a , b и с, и заменяя A на В, а на b или A на С и а на с, напишем

Сумма углов сферического треугольника

Во всей истории науки нет ничего более революционного, чем развитие неевклидовых геометрий, которое до основания потрясло веру в то, что теория Евклида является вечной истиной.

Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен («Математика и воображение», 1941)

Все мы знаем множество геометрических понятий, потому что постоянно используем этот раздел математики в нашей повседневной жизни. Но эти понятия относятся к так называемой «классической», или «евклидовой», геометрии. Однако существуют другие геометрии, которые устроены совсем не так, как нас учили в школе. Эта книга не сделает вас специалистом в нетрадиционных геометриях, зато покажет, что реальность гораздо богаче, чем кажется на первый взгляд.

В этой книге описаны другие способы мышления и отношения к геометрии, способы, отличающиеся от тех, которые прочно укоренились в нашей повседневной жизни, и которые определяют наши действия в соответствии с евклидовой геометрией. Можно подумать, что новые геометрии понятны лишь великим ученым, но мы постараемся в последующих главах в наиболее ясной и понятной форме изложить их основы.

Возможно, самым простым способом открытия новых миров является попытка увидеть их проявления в более понятных и очевидных сферах нашей повседневной жизни. Таким образом, наше изложение начнется с короткого путешествия в «геометрию такси», которая основана на так называемом «расстоянии Минковского», отличающемся от расстояния в обычном понимании. Как бы мы ни хотели улететь в дальние экзотические страны, для начала мы должны не терять землю под ногами. Нам придется обратиться к Евклиду, чтобы понять, как основные элементы геометрии используются в повседневной жизни. Лишь тогда мы сможем перейти к обсуждению таких понятий, как «пятый постулат» и «проблема параллелей», из которых рождаются интересующие нас новые геометрии.

Лишь владея лучшими инструментами математической теории, мы можем вступить в мир новых геометрий. Сначала проведем разведку, чтобы узнать, как обстоят дела. Мы рассмотрим различные попытки доказательства пятого постулата. Ведь только в XVIII в. непоколебимое на протяжении столетий учение Евклида было наконец поставлено под сомнение самыми выдающимися математиками того времени.

Неудачные попытки доказать пятый постулат поставили под сомнение, казалось бы, неоспоримые основы традиционной геометрии. В это время и проявили себя одни из самых замечательных ученых в области математики. История альтернативных интерпретаций пятого постулата является в равной мере историей неудач и гениальных открытий. С ней связаны самые известные в истории математики имена: Лобачевский, Бойяи, Гаусс, Риман… Мы более подробно рассмотрим удивительные результаты первой из новых геометрий — гиперболической геометрии Лобачевского и Бойяи. Мы увидим, как она кардинально изменила наше понимание физической реальности и как она повлияла на исследования Альберта Эйнштейна и открытие им теории относительности.

Эллиптическая геометрия Римана перенесет нас в удивительный мир сфер, где у треугольников сумма внутренних углов больше 180°. Мы воспользуемся сферической геометрией, чтобы ответить на многие вопросы. Что является кратчайшим расстоянием между двумя городами на поверхности Земли? Можно ли измерить внутренние углы треугольника, вершинами которого являются Париж, Лондон и Мадрид? Решения этих геометрических задач оказываются весьма полезными в нашем глобализованном мире, где GPS позволяет определить координаты любой точки нашей планеты.

Словно река, прорвавшая древнюю плотину, новые идеи смели традиционные научные понятия и породили сотни новых. Мы коснемся также геометрии XXI в. — интегральной и вычислительной геометрии, являющейся основой новых технологий.

Читатели, желающие поглубже изучить эти вопросы, найдут в конце книги список литературы. Алфавитный указатель позволит легко ориентироваться в тексте книги.

Поездка на такси

Нам часто приходится в повседневной жизни измерять предметы. Математическую дисциплину, изучающую такие задачи, древние греки называли геометрией. Это слово происходит от греческого geometrein, где geo означает «земля», a metrein — «измерять». Когда мы говорим о геометрии, мы всегда используем единственное число.

Казалось бы, множественное число — геометрии — подразумевает существование целого ряда возможных дисциплин на выбор. Такой подход звучит слишком заумно, эта идея находится за пределами понимания обычных людей. Тем не менее, так оно и есть: другие геометрии существуют.

Разве ученые абсолютно точно знают, что такое на самом деле точка в пространстве или прямая линия, проходящая через нее? Может ли круг иметь форму прямоугольника? Знаем ли мы, что означает «параллельность»?

Ответы на эти вопросы не являются вечными истинами, а меняются на протяжении времени. Евклид с полной убежденностью утверждал, что «через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной», но Лобачевский показал, что можно провести много параллельных прямых, практически бесконечное число. Риман был не согласен с обоими и считал, что параллельные прямые не существуют. Кто же из этих великих математиков прав? Может, все они правы?

Или они все ошибаются?

В данной главе мы как раз и разрешим все эти неопределенности, но, пожалуй, нам лучше начать с простого примера, который наглядно демонстрирует, почему возникает путаница относительно самой природы физической реальности.

Отправляясь из дома на работу или в другое место, мы вычисляем время, которое потребуется на дорогу, исходя из расстояния. Но часто оказывается, что расчеты не соответствуют реальному времени. Пробки, светофоры, дорожные работы — список таких задержек можно продолжать бесконечно. Все это, казалось бы, идет наперекор нашим тщательным планам.

Проблема заключается в том, что мысленно мы моделируем наше путешествие геометрически идеальным образом, представляя наш путь в виде почти прямой линии. Однако реальность вовсе не является геометрически идеальной. Наши расчеты нарушают не только неисправные светофоры или разгружающие товары грузовики. Дело еще и в том, что блоки городских зданий не образуют идеальных квадратов, а улицы не пересекаются под идеально прямыми углами… Означает ли это, что невозможно найти оптимальную дорогу, чтобы утром добраться до работы?

ИЛЬДЕФОНСО СЕРДА (1815–1876)

Известный главным образом как инженер и архитектор, Ильдефонсо Серда обладал многими талантами, занимаясь также экономикой, правом и политикой. Его реформа городского планирования в Барселоне в XIX в., получившая название «План Серда», изменила лицо города, в результате чего появился один из самых впечатляющих районов — Эшампле. По-каталонски (I’Eixample) или по-испански (el Ensanche) это означает «расширение». Улицы Эшампле образуют прямоугольные кварталы, пересекаясь на равных расстояниях друг от друга.

Вид с воздуха на район Эшампле в Барселоне.

Как и следовало ожидать, реальность никогда не бывает геометрически идеальной, иначе бы мир был очень скучным, представляя из себя утомительные повторения упорядоченных форм. Однако рациональность и упорядоченность являются важными критериями, которые необходимо учитывать на практике, например, в городском планировании. По вполне разумным причинам улицы многих современных городов образуют квадратные блоки. Одним из первых примеров такого городского планирования был район Эшампле в испанском городе Барселоне, детище архитектора Ильдефонсо Серда. Этот район послужит идеальным вводным примером к нашей теме.

Сферические треугольники решение и формулы (Таблица)

Сферические треугольники.

На поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр шара. Вершины сферического треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара, и сферической поверхности. Сторонами а, b, с сферического треугольника называют те углы между лучами, которые меньше 180°. Каждой стороне треугольникасоответствует дуга большого круга на поверхности шара (рис. 1). Углы A, В, С сферического треугольника, противолежащие сторонам а, b, с соответственно, представляют собой, по определению, меньшие, чем 180°, углы между дугами больших кругов, соответствующими сторонам треугольника, или углы между плоскостями, определяемыми данными лу­чами.

Свойства сферических треу­гольников.

Каждая сторона и угол сфери­ческого треугольника по определению мень­ше 180°. Геометрия на поверхности шара являет­ся неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и 360°, сумма углов заключена между 180° и 540°. В каждом сферическом треуголь­нике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180° плюс третий угол.

Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии):

• тремя сторонами,
• тремя углами,
• двумя сторонами и заключенным между ними углом,
• стороной и двумя прилежащими к ней углами.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.litmir.me/br/?b=281862&p=19

http://infotables.ru/matematika/41-geometriya/526-sfericheskie-treugolniki-reshenie-i-formuly-tablitsa

[/spoiler]

Макеты страниц