Как найти углы в египетском треугольнике

Египетский треугольник – прямоугольный, со сторонами 3, 4 и 5. Эта фигура является простейшей из Героновых треугольников со сторонами равными целым числам, которая одна из первых получила широкое применение.

Почему же он так необычно называется?

Название он получил ещё в Древнем Египте, где активно применялся для построения прямых углов на местности. Это было важно для земледельцев, так как ежегодно разливы Нила размывали границы между полями и приходилось заново размечать их с помощью египетского треугольника. Этот способ не занимал много времени и был доступен всем, достаточно было на верёвке узлами отмерить 12 равных отрезков, а потом из нее сложить треугольник и угол, оказавшийся напротив стороны 5 (гипотенузы), являлся прямым.

Кроме того, этот треугольник применялся для разработки пропорциональных схем и чертежей, что позволяло правильно проецировать центр тяжести пирамид на середину опоры– это гарантировало надёжность строения.

Этот чудо-треугольник имеет ряд замечательных особенностей:

– радиус окружности, вписанной в него, равен единице;

– все стороны состоят из целых чисел;

– для создания можно использовать любые подходящие подручные средства, например, шнур или шест.

Если усерднее покопаться в истории появления этого треугольника, то можно обнаружить, что официально принято считать его создателем – Пифагора. Благодаря долгим измерениям и анализам построенных моделей, греческий математик смог описать все их геометрические свойства.

По просьбе древнегреческого философа и математика Фалеса, Пифагор отправился в Египет, чтобы изучить математические, архитектурные и астрономические наработки египтян. Путешествуя, он впервые увидел высокие и величественные пирамиды, которые поистине поражали своей монументальностью. Математические умения позволили Пифагору выявить закономерность в самой форме пирамиды Хеопса. Увиденное им, стало прообразом египетского треугольника и его знаменитой теоремы, что послужит универсальным инструментом для строительства сооружений с правильными во всех соотношениях углами.

Окунувшись немного в математику, приходит понимание, что свойства чудо-фигуры подчиняются аксиоме (истине) – в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна сумме квадрата гипотенузы (теорема Пифагора),

Путем вычислений находим ответ – длина гипотенузы равна 5.

Если подставить по аналогии другие значения, например, a=2, b=3 или a=6, b=7, то гипотенуза уже не будет равна 4 или 8, в этом и есть уникальность египетского треугольника со сторонами 3, 4, 5.

Подводя итог сказанному, теперь понятно, как древним египтянам удавалось так точно и выверено строить одно из семи чудес света.

ПРАВИЛО ВЕРЁВКИ ИЛИ ЕГИПЕТСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке “Файлы работы” в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Из различных источников информации мы узнали, что древние египтяне более 4000 лет назад умели строить прямые углы на земле после разлива Нила. Для этого они изобрели специальный прибор и умело им пользовались. Эту работу выполняли особые люди –геометры – землемеры, гарпедонапты.

В настоящее время прямые углы строятся новыми, современными способами. Но возникает вопрос: сумели бы мы сегодня построить прямые углы так, как это делали в древнем мире, применим ли древний способ сегодня? В нахождении ответа на этот вопрос заключается актуальность исследования.

Объект исследования. Построение прямого угла.

Предмет исследования. Способы построения прямого угла.

Гипотеза: Выполнив работу мы узнаем древние и современные способы построения прямого угла в различных ситуациях, сравним эти способы и сделаем соответствующий вывод о практической значимости этих способов.

Цель работы: установить и сравнить способы построения прямого угла в Древнем Египте и современные способы построения прямого угла на бумаге и на местности.

Задачи исследования:

1.Собрать информацию о построении прямого угла на бумаге и на местности в школьных учебниках, справочниках, Интернет – ресурсах.

2. Установить :

причины необходимости построения прямого угла в Древнем Египте;

какие инструменты применялись в Египте для построения геометрических построений на больших площадях;

кто такие гарпедонапты;

правило веревки;

кто автор конструкции «3:4:5»

3. Провести эксперимент построения прямого угла с помощью веревки с 12 узлами.

4. Установить примеры применения правила веревки в настоящее время.

Методы исследования:

Анализ учебников, справочной математической литературы.

Построения с помощью циркуля и линейки.

Компьютерное моделирование математических объектов с помощью ИГС GeoGebra.

Анализ, сравнение, сопоставление и обобщение объектов, полученных в результате моделирования, проверка выдвинутых гипотез.

Аналитические рассуждения.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Правило верёвки или египетский треугольник

1. Построение прямого угла в тетради и н местности

В современном мире люди постоянно сталкиваются с решением геометрических задач и мало кто задумывается, что решением таких задач занимались еще тысячи лет назад .

Одной из таких задач является построение прямого угла. На уроках математики, начиная с 3-го класса нам приходится изображать прямой угол в тетради. Для этого мы пользуемся чертежным треугольником, соблюдая определенные правила (Приложение 1). Умеем строить прямые углы по клеточкам в тетради, строить прямой угол с помощью транспортира. А если нет под рукой угольника, транспортира и бумага без клеточек, можно любой лист бумаги перегнуть два раза, и прямой угол готов.(Приложение 1). Специалисты прямые углы на земельных участках строят с помощью специальных приборов экера и астролябии. Созданоптический измерительный прибор – теодолит, при помощи которого с высокой точностью выполняются измерения и построения вертикальных и горизонтальных углов (Приложение 2).

Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны. Такой прибор можно сделать в школьных мастерских и даже дома.

Чтобы построить прямой угол на местности  с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился точно над точкой О, а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, поставленной на луче. Затем провешивают прямую линию по направлению другого бруска (прямая ОВ на рисунке).

 2.Практическая необходимость построения прямых углов в древности

Необходимость построения прямых углов возникла в древние времена за сотни лет до нашей эры. После разлива рек нужно было восстановить прежние границы земельных участков. Построения на земле выполнялись с помощью циркуля и линейки – это древнейшие способы в евклидовой геометрии, известные со времен Древней Греции. При строительстве пирамид нужно было уметь построить прямые углы в вертикальной плоскости, что делалось с помощью огромных прямоугольных треугольников. Это был тяжелый труд. Затрачивалось много времени и сил. Уже в те далекие времена был изобретен угол – измеритель.

На рисунке изображены древние египтяне – землемеры, гарпедонапты. Именно они по преданиям выработали практическую геометрию при обмерах земельных участков и фундаментов строений.

Единственным рабочим инструментом у них была веревка с узлами. Для построения прямого угла они отмеряли 3,4 и 5 узлов, при этом получался прямой угол.

3.Египетский треугольник

В истории математики не найдено фактов более раннего применения приспособления для построения прямых углов на местности, поэтому его называют египетским треугольником. Придумали подобный способ замеров не древние египтяне, как могло бы показаться, судя по названию. На самом деле таким методом разметки пользовались строители ещё задолго до появления пирамид. Суть метода заключается в том, чтобы разделить квадрат будущего строения на два одинаковых треугольника со сторонами, относящимися друг к другу как 3:4:5. В Древнем Египте числа 3, 4, 5, 12 считались священными. В священном египетском треугольнике отношение сторон равно 3 : 4 : 5, сумма всех чисел равняется 12 – самому популярному числу всех времен и народов.

Интересно, что до древнего Египта, таким способом строили в Китае, Вавилоне, Месопотамии.

4.Практическое применение «правила веревки»

В древнейшие времена египтяне, приступая к постройке пирамиды, дворца или обыкновенного дома, сначала отмечали направление сторон горизонта (это очень важно, так как освещенность в строении зависит от положения его окон и дверей по отношению к солнцу). Действовали они следующим образом. Для того чтобы найти направление север – юг, втыкали вертикально палку и следили за ее тенью. Она становилась наименьшей, когда ее конец указывал на север. Этот треугольник, полученный из замкнутой веревки с 12 узлами, древние египтяне использовали для ориентации по частям света. Направление на юг определялось самой короткой за день тенью от вертикальной палки. От ее основания откладывали 3 узла на север, тогда 4 узла показывали на восток.

«Правило веревки» использовали для построения алтарей, которые по священному предписанию должны были иметь строгую ориентацию четырех сторон горизонта, а так же при строительстве великих храмов в Египте, Вавилоне, Китае и в Мексике.

5.Еще один способ построения прямых углов в Древнем Египте

Такой способ построения прямого угла на земле трудоемок, но в школьных тетрадях вполне можно строить перпендикулярные прямые таким способом. Обоснование этого способа мы делаем на уроках геометрии при изучение взаимного расположения двух окружностей.

6. Применение правила веревки в современных задачах

Египетский треугольник широко использовался в строительстве более 2,5 веков. И сегодня иногда приходится применять данную методику, при отсутствии необходимых инструментов, чтобы получить прямые углы. Свойства этой фигуры уникальны, что гарантирует точность в архитектуре и строительстве, без которой не обойтись Строительство с применением египетского треугольника – древний способ, но он активно используемый до сих пор современными строителями. Например при разметке фундамента для дома, при разметке дачного участка . (Приложение ).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполнив работу мы восстановили историю построения прямого угла от “Правила веревки” – с помощь треугольника, отношение сторон которого 3:4:5, до построения прямого угла в настоящее время с помощью современных инструментов в тетради (прямоугольного треугольника, циркуля, линейки) и приборов, которые применяются на земельных участках: экера ( применяется и на школьных площадках, и на дачных участках, отличается простотой изготовления), специальные приборы – астролябии и оптический прибор – теодолит, которые применяются при строительстве различных объектов, при планировки дорог, предприятий, дачных поселков. Убедились в том, что “Правило веревки” может применяться в некоторых случаях и в сегодняшней практике.

ВЫВОДЫ

Гипотеза работы подтвердилась, цель и задачи выполнены.

Жизнь египтян была тесно связана с наукой. Они регулярно пользовались знаниями при разметки полей, при создании архитектурных шедевров, существовали специальные люди, которые применяли геометрические правила.

Во многих исторических письменах имеются следы, что уникальные свойства “египетского треугольника” были известны и широко использовались за много веков до Пифагора и не только в Египте, но и далеко за его пределами: в Месопотамии, в древнем Китае, в Вавилоне.

В настоящее время существуют специальные инструменты и приборы для построения прямого угла в тетради, на доске, на участке земли, но старинный способ построения прямого угла «правило веревки» может применяться и сегодня, причем отношения сторон могут выражаться пифагоровыми тройками чисел.

ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ

Глейзер Г.И. «История математики в школе VII – VIII кл. Пособие для учителей.. – М: «Просвещение»,1983г. – 240с.;

Рыбников К.А. «Возникновение и развитие математической науки». Книга для учителя.- М: «Просвещение», 1967г. – 159с.

 «Энциклопедическом словаре юного математика», сост. Савин А.П. –М: «Педагогика»,1989г.-352с.;

Интернет – источники

Египетский треугольник и качества… domsdetat.ru (дата обращения 12/10/2021);

Египетский треугольник в строительстве – История…… domsdetat.ru (дата обращения 12/10/2021);

Египетский треугольник – любопытные подробности lubopinie.ru (дата обращения 12/10/2021);

Египетский треугольник Пифагора, свойства, углы, стороны dasinok.ru (дата обращения 12/10/2021);

Зачем египетский треугольник был нужен pulse.vail/ru (дата обращения 12.10. 2021);

Приложение 1. Построение прямого угла в тетради

1.Алгоритм построения прямого угла с помощью прямоугольного треугольника

1.Провести луч RС—это одна сторона угла, точка R– его вершина.

2.Расположить чертёжный треугольник так, чтобы его вершина совпала с точкой R и одна из его сторон пошла по лучу RC.

3.Карандашом по второй стороне прямого угла прямоугольника провести вторую сторону прямого угла, обозначить его RN. Угол CRN – прямой.

 2 Можно построить прямой угол по клеточкам в тетради

3. Можно построить прямой угол с помощью транспортира

4.Построение с помощью циркуля

а) Можно построить прямой угол, применив свойство пересечения двух окружностей: прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, образует прямой угол с прямой, проходящей через центры окружностей.

б) Построить окружность , выбрать любую точку окружности и соединить ее отрезками с концами диаметра окружности. Эти радиусы образуют прямой угол.

Приложение 2. Измерительные приборы для построения прямого угла на местности.

Специалисты прямые углы на земельных участках строят с помощью специальных приборов экера и астролябии. Созданоптический измерительный прибор – теодолит, при помощи которого с высокой точностью выполняются измерения и построения вертикальных и горизонтальных углов.

Простейший прибор -экер

Астролябия -угловой прибор, которм пользовалиь геодезисты, посланные Петром Веиким для геодезической съемки Камчатки и Курильских островов. Предназначен главным образом для измерения горизонтальных углов. Появилась астролябия в III ввеке до нашей эры.

Теодолит

Измерительный прибор для определения горизонтальных и вертикальных углов при топографических съёмках, геодезических работах, в строительстве и т. п.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Буклет “Правило веревки или египетский треугольник”

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Буклеты “Построение прямого угла в тетради и на местности”

Просмотров работы: 640

Известный математик Пифагор совершил множество различных открытий, но большинству людей, которым не приходится регулярно сталкиваться с алгеброй и геометрией, он известен благодаря своей теореме. Ученый открыл ее, пребывая в Египте, где его очаровала красота и изящность пирамид, а это, в свою очередь, натолкнуло его на мысль о том, что в их формах прослеживается определенная закономерность.

История открытия

Своим названием египетский треугольник обязан эллинам, которые часто посещали Египет в VII-V веках до н. э., среди них был и Пифагор. Основой пирамиды Хеопса является прямоугольный многоугольник, а

пирамиды Хефрена – так называемый египетский треугольник, который древние называли священным. Плутарх писал, что жители Египта соотносили природу с этой геометрической фигурой: вертикальный катет символизировал мужчину, основание – женщину, а гипотенуза – ребенка. Соотношение сторон в нем равно 3:4:5, а это приводит к теореме Пифагора, так как 3² х 4²= 5². Следовательно, тот факт, что в основании пирамиды Хефрена лежит египетский треугольник, позволяет утверждать, что знаменитая теорема была известна жителям древнего мира еще до того, как ее сформулировал Пифагор. Особенностью этой фигуры также считается то, что благодаря такому соотношению сторон она является первым и простейшим из Героновых треугольников, поскольку ее стороны и площадь целочисленные.

Применение

Египетский треугольник с древности пользовался популярностью в архитектуре и строительстве.

В основном он использовался тогда, когда строили прямые углы с помощью шнура или веревки, разделенной на 12 частей. По отметкам на такой веревке можно было очень точно создать прямоугольную фигуру, катеты которой будут служить направляющими для установки прямого угла строения. Известно, что такие свойства этой геометрической фигуры использовались не только в Древнем Египте, но и, задолго до этого, в Китае, Вавилоне и Месопотамии. Для создания пропорциональных сооружений в Средние века также использовался египетский треугольник.

Углы

Соотношение сторон этого треугольника 3:4:5 приводит к тому, что он является прямоугольным, т. е. один угол равен 90 градусам, а два других – 53,13 и 36,87 градусам. Прямым является угол между сторонами, соотношение которых равно 3:4.

Доказательство

При помощи некоторых простых вычислений можно доказать, что треугольник является прямоугольным. Если следовать теореме обратной той, которую создал Пифагор, т. е. в случае, если сумма квадратов двух сторон будет равняться квадрату третьей, то он прямоугольный, а поскольку его стороны приводят к равенству 3² х 4² = 5², следовательно, он является прямоугольным.
Подводя итог, надо отметить, что египетский треугольник, свойства которого уже в течение многих столетий известны человечеству, на сегодняшний день продолжает использоваться в архитектуре. Это вовсе неудивительно, ведь такой способ гарантирует точность, которая очень важна при строительстве. Кроме этого, он очень прост в использовании, что тоже значительно облегчает процесс. Все преимущества использования этого метода прошли проверку веками и остаются популярными до сих пор.

Ка-ж-дый, кто внимательно слушал в школе преподавателя геометрии, очень хорошо знаком с тем, что представляет собой египетский треугольник. От других видов подобных с углом в 90 градусов он отличается особым соотношением сторон. Когда человек впервые слышит словосочетание «египетский треугольник», на ум приходят картины величественных пирамид и фараонов. А что же говорит история?

Эксперты египетской геометрии назывались «арпедонапти», те, кто связывают веревки. Именно затягивая веревки, они нарисовали две простейшие и наиболее важные линии в геометрии: прямую линию и круг. Во-первых, просто затягивая веревку между двумя точками, вид операции, изображение которой все еще присутствует в выражениях «рисовать линию», «рисовать перпендикуляр»; Второй, заставляя одну из двух точек поворачиваться вокруг другой, которая удерживается фиксированной. Могут ли они представить себе степень развития этих двух элементарных практик?

Как это всегда бывает, в отношении названия «египетский треугольник» есть несколько теорий. Согласно одной из них, известная теорема Пифагора увидела свет именно благодаря данной фигуре. В 535 году до н.э. Пифагор, следуя рекомендации Фалеса, отправился в Египет с целью восполнить некоторые пробелы в познаниях математики и астрономии. Там он обратил внимание на особенности работы египетских землемеров. Они очень необычным способом выполняли построение с прямым углом, стороны которой были взаимосвязаны одна с другой соотношением 3-4-5. Данный математический ряд позволял относительно легко связать квадраты всех трех сторон одним правилом. Именно так и возникла знаменитая теорема. А египетский треугольник как раз и есть та самая фигура, натолкнувшая Пифагора на гениальнейшее решение. Согласно другим историческим данным, фигуре дали название греки: в то время они часто гостили в Египте, где могли заинтересоваться работой землемеров. Существует вероятность, что, как это часто бывает с научными открытиями, обе истории произошли одновременно, поэтому нельзя с уверенностью утверждать, кто же придумал первым название «египетский треугольник». Свойства его удивительны и, разумеется, не исчерпываются одним лишь соотношением размеров сторон. Его площадь и стороны представлены целыми числами. Благодаря этому применение к нему теоремы Пифагора позволяет получить целые числа квадратов гипотенузы и катетов: 9-16-25. Конечно, это может быть простым совпадением. Но как в таком случае объяснить тот факт, что египтяне считали «свой» треугольник священным? Они верили в его взаимосвязь со всей Вселенной.

На самом деле практические потребности древних землемеров, возможно, вскоре вызвали необходимость таких работ, которые сегодня мы называем «квадратом и компасом», и это наиболее правильно следует назвать «кругами и прямыми». В настоящее время естественно рассматривать бумагу как естественную арену геометрии, так что мы понимаем использование квадратов и компасов в одиночку, как произвольный предел, введенный спекулятивными духами, которые предпочли несколько чисел аксиом на множество удобств, вытекающих из Множество инструментов.

Следовательно, разница между экспертом по теоретической геометрии. Таким образом, мы склонны игнорировать полностью геометрию «в поле» в пользу этого «на бумаге», что не позволяет понять, что при передаче геометрических операций от поля к бумаге они потребуют иногда совершенно разных методов и методов.

После того, как информация об этой необычной геометрической фигуре стала общедоступной, в мире начались поиски других подобных треугольников с целочисленными сторонами. Было очевидно, что они существуют. Но важность вопроса состояла не в том, чтобы просто выполнить математические расчеты, а проверить «священные» свойства. Египтяне, при всей своей необычности, никогда не считались глупыми – ученые до сих пор не могут объяснить, как именно были возведены пирамиды. А здесь, вдруг, обычной фигуре приписывалась связь с Природой и Вселенной. И, действительно, найденная клинопись содержит указания о подобном треугольнике со стороной, размер которой описывается 15-значным числом. В настоящее время египетский треугольник, углы которого равны 90 (прямой), 53 и 37 градусов, находят в совершенно неожиданных местах. К примеру, при изучении поведения молекул самой обыкновенной воды, выяснилось, что смена сопровождается перестройкой пространственной конфигурации молекул, в которой можно увидеть…тот самый египетский треугольник. Если вспомнить, что состоит из трех атомов, то можно говорить об условных трех сторонах. Конечно, о полном совпадении знаменитого соотношения речь не идет, но получаемые числа очень и очень близки к искомым. Не потому ли египтяне признавали за своим «3-4-5» треугольником символический ключ к природным явлениям и тайнам Вселенной? Ведь вода, как известно, основа жизни. Без сомнения, еще слишком рано ставить точку в изучении знаменитой египетской фигуры. Наука никогда не спешит с выводами, стремясь доказать свои предположения. А нам же остается лишь ждать и удивляться знаниям

Не следует забывать о том, что точность плана гораздо важнее, чем на бумаге. Архитектор, который имеет четкое представление об общем плане и который помнит процесс, который он выполнял, чтобы пройти через него, нуждался бы в проекте. Сравнительно недавние, а также старые карты, которые неизбежно были нарисованы рудиментарными инструментами и опорами, не воспроизводят границы участка земли точно. На самом деле это невозможно, потому что даже ошибка процентного пункта – наименьшее, что может произойти в достаточно больших масштабах – породила бы абсолютную ошибку, которую вряд ли можно было бы принять на поле.

О египетском треугольнике и его свойствах хорошо известно ещё с древних времён. Эта фигура широко применялась в строительстве для разметки и построения правильных углов.

История египетского треугольника

Создателем этой геометрической конструкции является один из величайших математиков древности Пифагор. Именно благодаря его математическим изысканиям мы можем в полной мере использовать все свойства данного геометрического построения в строительстве.

В этом случае знание формы и меры объекта, которое должно быть описано, являются фундаментальными; это будет не до специалиста по геометрии для воспроизведения на поле точности, отсутствующей на бумаге. То же самое происходит с математиком, которому точность показаний вовсе не пригодится в демонстрациях. Геометрия на бумаге заменяет точность операций на поле с геометрией психического процесса.

Напротив, от логики до материальной точности, как следствие необходимого расширения масштаба, чтобы перейти от плана к фактическому его созданию, действие затягивания веревки оставалось одной из основных операций, поскольку до тех пор, пока Древний Египет и Древняя Греция. Эта практика оставалась неизменной до настоящего времени, передаваемой только изобретением и усовершенствованием некоторых оптических инструментов. Хотя на бумаге довольно легко нарисовать перпендикуляр с помощью правителей и квадратов, то же действие на поле с той же степенью точности требует радикально разных методов.

Можно предположить, что математические навыки позволили Пифагору заметить закономерность в формах строения. Дальнейшее развитие событий можно легко представить. Базовый анализ и построение выводов создали одну из самых значимых фигур в истории. Скорее всего, в качестве прообраза была выбрана именно пирамида Хеопса из-за своих практически совершенных пропорций.

В поле квадрат бесполезен, потому что он слишком мал по отношению к размерам форм. Даже если квадрат чрезвычайно точен, перпендикуляр, который он может нарисовать, достигнет своего самого большого или меньшего метра. Если нам нужно отметить квадрат 30 метров на сторону, мы должны продлить эту линию 30 раз. Это была бы такая неточная операция, что, вероятно, это привело бы к тем же результатам, как если бы мы измерили правильный угол примерно.

Эти размышления возвращают нас к первоначальному вопросу: какие методы использовались египетскими измерителями для рисования квадратного куска земли? Как они получили квадратный угол? Поэтому, если мы растягиваем кольцевой канат длиной 12 единиц, отмеченный в трех точках на расстоянии 3, 4 и 5, в виде треугольника с вершиной в отмеченных точках угол между кратчайшими сторонами треугольник – это прямой угол.

Египетский треугольник в строительстве

Свойства этой уникальной геометрической конструкции заключаются в том, что её построение без применения каких-либо инструментов позволяет построить дом с правильными во всех соотношениях углами.

Важно! Конечно, в идеале лучшим вариантом будет использование транспортира или угольника.

Неизвестно, был ли этот процесс древними землемерниками в свое время, поскольку не доказано, что древние египтяне знали, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным треугольником. Даже если они знают об этом или о других пифагорейских треугольниках, это обязательно означает, что они знали природу или, по крайней мере, как создать правильный угол.

Откуда взялись эти знания? Из-за отсутствия даже частичной документации и свидетелей мы можем попытаться подойти к проблеме с другой точки зрения, математической, а не исторической. Вопрос, который мы должны задать, – это то, что делает правильный угол отличным от других? Или лучше, что является особенностью угла треугольника со сторонами 3, 4 и 5?

Итак, качества египетского треугольника позволяют делать правильные во всех соотношениях углы. Стороны конструкции имеют следующее соотношение друг к другу:

Чтобы проверить ту ли фигуру вы начертили, используйте хорошо известную ещё со школьной скамьи Теорему Пифагора.

Внимание
! Свойства египетского треугольника таковы, что квадрат гипотенузы равен квадратам двух катетов.

Непосредственный ответ: в отличие от других треугольников, пифагорейские и наиболее простейшие из них, со сторонами 3, 4 и 5, могут быть сделаны, чтобы объединить их с одной стороны, а затем снова с другой. Таким образом получается симметричная конфигурация, которая полностью заполняет все свободное пространство без перекрытия или зазоров.

Никакой другой угол, но правильный имеет эту симметричную характеристику, которая становится ее собственным определением в первой полной книге геометрии, которая когда-либо достигала нашего времени, Элементы Евклида. Когда прямая линия, падающая на другую, образует равные углы, они являются правильными.

Для лучшего понимания возьмём приведенную выше зависимость и составим небольшой пример. Умножим пять на пять. В результате чего получим гипотенузу равную 25. Вычислим квадраты двух катетов. Они составят 16 и 9. Соответственно их сумма будет двадцать пять.

Именно поэтому свойства египетского треугольника так часто используются в строительстве. Вам достаточно взять заготовку и прочертить прямую линию. Её длина всегда должна быть кратной 5. Затем нужно наметить один край и отмерять от него линию кратную 4, а от второго 3.

Характер квадратного угла заключается в том, что углы, возникающие в результате пересечения двух прямых, равны. Это можно сразу же продемонстрировать на бумаге, складывая бумагу вдоль одной из сходящихся линий и проверяя, что другая линия сгибается сама по себе.

Это свойство обладает «классической» геометрической конструкцией, состоящей в маркировке двух кругов, а затем объединении их перекрестков. Симметричный характер формы достаточно очевиден, и это явное доказательство равенства углов. Более того, в отличие от пифагорейского треугольника, который нуждается в дальнейшей конструкции, в этом случае форма сразу предлагает определение квадратного угла через равенство углов и в одно и то же время, строит себя.

Внимание
! Длина каждого отрезка составит 4 и 3 см (при минимальных значениях). Пересечение этих прямых образует прямой угол, равняющийся 90 градусам.

Альтернативные способы построить прямой угол на 90 градусов

Как уже упоминалось выше, наилучшим вариантом будет просто взять угольник или транспортир. Эти инструменты позволяют с наименьшими затратами времени и сил добиться нужных пропорций. Главное же свойство египетского треугольника заключается в его универсальности. Фигуру можно построить, не имея в арсенале практически ничего.

Это все еще простые предположения. Без сомнения, этот процесс определенно проще и с большей точностью, чем первый. Можно сказать так, что мы можем только отметить перпендикуляр, проходящий через центр данного сегмента, также называемый осью отрезка. Тем не менее, нетрудно заметить, что если нам нужен перпендикуляр на одном краю, как в случае рисования квадрата, необходимо удвоить сегмент, продлевая его до того места, где мы хотим нарисовать перпендикуляр, а затем повторить Предшествующий процесс.

Необходимо отметить, что все эти методы особенно подходят для плоских земель, таких как египетская равнина. Чтобы лучше понять некоторые проблемы, связанные с самолетами и двигателями, необходимо использовать некоторые математические идеи из тригонометрии для изучения треугольников. Начнем с некоторых определений и терминологии, которые мы будем использовать на этом слайде. Начнем с правильного треугольника. Правый треугольник представляет собой трехгранную фигуру с одним углом, равным 90 градусам.

Сильно в построении прямого угла помогают простые печатные издания. Возьмите любой журнал или книгу. Дело в том, что в них соотношение сторон всегда составляет ровно 90 градусов. Типографические станки работают очень точно. В противном случае рулон, который заправляется в станок, будет резаться непропорциональными кривыми углами.

Угол 90 градусов называется прямым углом, и именно там правый треугольник получает свое название. Это самая длинная сторона трех сторон правого треугольника. Слово «гипотенуза» происходит от двух греческих слов, означающих «растянуть», поскольку это самая длинная сторона.

Теорема Пифагора – это утверждение, связывающее длины сторон любого правого треугольника. Для любого правого треугольника – квадрат гипотенузы. равна сумме квадратов двух других сторон. Математически это написано. Эта теорема известна во многих культурах многими именами на протяжении многих лет. Считается, что он изучил теорему во время учебы в Египте. Вероятно, египтяне знали об отношениях за тысячу лет до Пифагора.

Как получить египетский треугольник при помощи верёвки

Свойства этой геометрической фигуры тяжело переоценить. Неудивительно, что инженерами древности было придумано множество способов её образования с использованием минимальных ресурсов.

Одним из самых простых считается метод образования египетского треугольника со всеми его вытекающими свойствами посредством простой верёвки. Возьмите бечёвку и разрежьте её на 12 абсолютно ровных частей. Из них сложите фигуру с пропорциями 3, 4 и 5.

Пифагор обобщил результат на любой правый треугольник. Существует множество различных алгебраических и геометрических доказательств теоремы. Большинство из них начинается с построения квадратов на эскизе основного правого треугольника. На рисунке вверху этой страницы мы показываем квадраты, нарисованные на трех сторонах треугольника. Квадрат – это особый случай прямоугольника, в котором все стороны равны по длине. Таким образом, для квадрата со стороной, равной а, площадь определяется следующим образом.

Начнем с правого треугольника, на котором мы построили квадраты с двух сторон, один красный и один синий. Мы собираемся разбить кусочки этих двух квадратов и перенести их в область серого квадрата на гипотенузе. Мы не потеряли ни одного материала во время операции. Поэтому, если мы сможем точно заполнить квадрат гипотенузы, мы показали, что области равны.

Как построить угол в 45, 30 и 60 градусов

Безусловно, египетский треугольник и его свойства очень полезны при постройке дома. Но без других углов вам обойтись всё-таки не удастся. Чтобы получить угол, равняющийся 45 градусам, возьмите материал рамки или багета. После чего распилите его под углом в сорок пять градусов и состыкуйте половинки друг с другом.

Что он делает? Первый шаг поворачивает треугольник вниз на синий квадрат. Это разрезает синий квадрат на три части, два треугольника и красный прямоугольник. Два треугольника точно такого же размера, как и исходный треугольник. «Нижняя» первоначального треугольника точно соответствует вертикальной стороне квадрата, так как стороны квадрата равны. Красный прямоугольник имеет свои вертикальные стороны, равные основанию исходного треугольника, а его горизонтальные стороны равны разности между «нижней» стороной и «вертикальной» стороной исходного треугольника.

Важно
! Для получения нужного наклона вырвите лист бумаги из журнала и согните его. При этом линии изгиба будут проходить через угол. Края должны совпасть.

Как видите, свойства фигуры позволяют гораздо проще и быстрее построить геометрический конструкт. Чтобы добиться соотношения сторон в 60 градусов нужно взять один треугольник на 30º и второй такой же. Обычно подобные пропорции необходимы при создании определённых декоративных элементов.

Используя терминологию с рисунка вверху этой страницы, размеры красного прямоугольника. Следующий шаг – переместить красный прямоугольник над красным квадратом. Прямоугольник торчит сверху красной площади, а два треугольника остаются на синем квадрате. Следующий шаг – переместить один из синих треугольников вертикально в квадрат гипотенузы. Он точно соответствует стороне квадрата гипотенузы, потому что стороны квадрата равны. Следующий шаг – переместить другой синий треугольник в квадрат гипотенузы.

Следующий шаг – скопировать форму исходного треугольника влево в красную область. Треугольник разрезает красную область на три части, два треугольника и небольшой желтый квадрат. Оригинальный треугольник точно соответствует этому региону по двум причинам; вертикальные стороны идентичны, а горизонтальная сторона красной области равна длине красного квадрата плюс горизонтальная длина красного прямоугольника, который мы перемещали. Горизонтальная длина красной области.

Внимание
! Соотношение сторон на 30º нужно, чтобы сделать шестиугольники. Их свойства востребованы в столярных заготовках.

Итоги

Свойства египетского треугольника широко использовались в строительстве на протяжении почти, что двух с половиной веков. Даже сейчас при недостатке инструментов строители применяют эту открытую ещё Пифагором методику, чтобы добиться ровных прямых углов.