Как найти углы вписанного правильного многоугольника - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

План урока:

Понятие правильного многоугольника

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Формулы для правильного многоугольника

Построение правильных многоугольников

Понятие правильного многоугольника

У выпуклого многоугольника могут быть одинаковы одновременно и все стороны, и все углы. В таком случае он именуется правильным многоугольником.

Нам уже известны некоторые правильные многоуг-ки. Например, правильным является равносторонний треугольник. У него все стороны одинаковы по его определению, а все углы составляют по 60°. Поэтому иногда его так и называют – правильный треугольник. Среди четырехугольников правильной фигурой является квадрат, у которого также по определению одинаковы стороны, а углы составляют уже по 90°.

Заметим, что бывают фигуры, у которых одинаковы все стороны, а углы различны. Примером такой фигуры является ромб. Возможна и обратная ситуация – все углы у фигуры одинаковы, но стороны отличаются своей длиной. Таковым является прямоугольник. Важно понимать, такие фигуры (в частности, ромб и прямоугольник) НЕ являются правильными.

Для любого заданного числа n, начиная от n = 3, можно построить правильный n-угольник. На рисунке ниже показано несколько примеров таких n-угольников:

Существует зависимость, которая позволяет определить величину угла правильного многоугольника. Мы уже знаем, что в любом выпуклом n-угольнике сумма углов равна величине 180°(n– 2). Обозначим угол правильного многоуг-ка буквой α. Так как у n-угольника ровно n углов, и все они одинаковы, мы можем записать равенство:

Легко проверить, что эта формула верна для равностороннего треуг-ка и квадрата и позволяет правильно определить углы в этих фигурах. Для треугольника n = 3, поэтому мы получаем 60°:

Задание. Какова величина углов в правильном пятиугольнике, шестиугольнике, восьмиугольнике, пятидесятиугольнике?

Решение. Надо просто подставить в формулу число сторон правильного многоугольник. Сначала считаем для пятиугольника:

Задание. Сколько сторон должно быть у правильного многоуг-ка, чтобы каждый угол в нем был равен 179°?

Решение. В формулу

Задание. Может ли существовать правильный многоуг-к, угол которого равен 145°?

Решение. Предположим, что он существует. Тогда по аналогии с предыдущей задачей найдем количество его сторон:

Получили не целое, а дробное количество сторон. Естественно, что это невозможно, а потому такой многоуг-к существовать не может.

Ответ: не может.

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Докажем важную теорему о правильном многоуг-ке.

Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами А₁, А₂, А₃…А_n. Далее проведем биссектрисы углов ∠А₁ и ∠А₂. Они пересекутся в некоторой точке О. Соединим О с другими вершинами многоуг-ка отрезками ОА₃, ОА₄ и т. д.

∠А₁ и ∠А₂ одинаковы по определению правильного многоуг-ка:

Из этого факта вытекает два равенства:

Получается, что ОА₃ – это также биссектриса ∠А₃. Тогда, повторив все предыдущие рассуждения, мы можем доказать равенство, аналогичное (1):

Это равенство означает, что точка О равноудалена от вершин многоуг-ка. Значит, можно построить окружность с центром в О, на которой будут лежать все вершины многоуг-ка:

Естественно, существует только одна такая описанная окружность, ведь через любые три точки, в частности, через А₁, А₂ и А₃, можно провести только одну окружность, ч. т. д.

Продолжим рассматривать выполненное нами построение с описанной окружностью. Ясно, что ∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄, …, равны, ведь у них одинаковы по 3 стороны. Опустим из О высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃… на стороны многоуг-ка.

Так как высоты проведены в равных треуг-ках, то и сами они равны:

Теперь проведем окружность, центр которой находится в О, а радиус – это отрезок ОН₁. Он должен будет пройти и через точки Н₂, Н₃, … Н_n. Причем отрезки ОН₁, ОН₂, ОН₃ окажутся радиусами. Так как они перпендикулярны сторонам многоуг-ка, то эти самые стороны будут касательными к окружности (по признаку касательной). Стало быть, эта окружность является вписанной:

Ясно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоуг-ка, а потому лежал бы в точке пересечения биссектрис углов ∠А₁, ∠А₂, ∠А₃, то есть в точке О. Так как расстояние от О до А₁А₂ – это отрезок ОН₁, то именно такой радиус был бы у второй окружности. Получается, что вторая окружность полностью совпала бы с первой, так как их центр находился бы в одной точке, и радиусы были одинаковы.

Примечание. Точка, которая центром и вписанной, и описанной окружности, именуется центром правильного многоуг-ка.

Ещё раз вернемся к приведенному доказательству и заметим, что высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃,… проведены в равнобедренных треуг-ках∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄,… Следовательно, эти высоты являются ещё и медианами, то есть точки Н₁, Н₂, Н₃,… – это середины сторон многоуг-ка.

Задание. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоуг-ке, быть параллельными друг другу?

Решение. Центр правильного многоуг-ка находится в точке пересечения всех его биссектрис. То есть любые две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные же прямые общих точек не имеют. Получается, что биссектрисы не могут быть параллельными.

Ответ: не могут.

Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать и для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоуг-ка.

Формулы для правильного многоугольника

Правильный многоуг-к, как и любая другая плоская фигура, имеет площадь (она обозначается буквой S) и периметр (обозначается как Р). Длина стороны многоуг-ка традиционно обозначается буквой a_n, где n– число сторон у многоуг-ка. Например a₄– это сторона квадрата, a₆– сторона шестиугольника. Наконец, мы выяснили, что для каждого правильного многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность. Радиус описанной окружности обозначается большой буквой R, а вписанной – маленькой буквой r.

Оказывается, все эти величины взаимосвязаны друг с другом. Ранее мы уже получили формулу

для многоуг-ка, в который вписана окружность. Подходит она и для правильного многоуг-ка.

Для вывода остальных формул правильного многоугольника построим n-угольники соединим две его вершины с центром:

Теперь можно найти и ∠А₁ОН₁, рассмотрев ∆А₁ОН₁:

Теперь у нас есть формула, связывающая друг с другом Rи r. Наконец, прямо из определения периметра следует ещё одна формула:

С их помощью, зная только один из параметров правильного n-угольника, легко найти и все остальные параметры (если известно и число n).

Задание. Докажите, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности.

Решение. Запишем следующую формулу:

Это равенство как раз и надо было доказать в этом задании.

Задание. Около окружности описан квадрат. В свою очередь и около квадрата описана окружность радиусом 4. Найдите длину стороны квадрата и радиус вписанной окружности.

Решение. Запишем формулу:

Задание. Вычислите площадь правильного многоугольника с шестью углами, длина стороны которого составляет единицу.

Решение.

Найдем периметр шестиугольника:

Задание. Около правильного треугольника описана окружность. В ту же окружность вписан и квадрат. Какова длина стороны этого квадрата, если периметр треугольника составляет 18 см?

Решение. Зная периметр треуг-ка, легко найдем и его сторону:

Далее вычисляется радиус описанной около треугольника окружности:

Задание. Необходимо изготовить болт с шестигранной головкой, причем размер под ключ (так называется расстояние между двумя параллельными гранями головки болта) должен составлять 17 мм. Из прутка какого диаметра может быть изготовлен такой болт, если диаметр прутков измеряется целым числом?

Решение. Здесь надо найти диаметр окружности, описанной около шестиугольника. Ранее мы уже доказывали, что у шестиугольника длина этого радиуса совпадает с длиной его стороны:

Осталось найти сторону шестиугольника. Для этого соединим две его вершины (обозначим их А и С) так, как это показано на рисунке:

Отрезок АС как раз и будет расстоянием между двумя параллельными гранями, что легко доказать. Каждый угол шестиугольника будет составлять 120°:

В частности ∠АВС = 120°. Так как АВ = ВС, то ∆АВС – равнобедренный, и углы при его основании одинаковы:

Аналогично можно показать, что и ∠ACD – прямой. Таким образом, АС перпендикулярен сторонам AF и CD, а значит является расстоянием между ними, и по условию равно 17 мм:

AC = 17 мм

∆АВС – равнобедренный. Опустим в нем высоту НВ, которая одновременно будет и медианой. Тогда АН окажется вдвое короче АС:

AH = AC/2 = 17/2 = 8,5 мм

Теперь сторону АВ можно найти из ∆АВН, являющегося прямоугольным:

Здесь мы округлили ответ до ближайшего большего целого числа, так как по условию можно использовать лишь пруток с целым диаметром.

Ответ: 20 мм.

Построение правильных многоугольников

При использовании транспортира или иного прибора, позволяющего откладывать заранее заданные углы, построение правильного многоуг-ка проблем не вызывает. Например, пусть надо построить пятиугольник со стороной, равной 5 см. Сначала по известной формуле вычисляем величину его угла:

Однако напомним, что в геометрии большой интерес вызывают задачи, связанные с построением с помощью всего двух инструментов – циркуля и линейки, то есть без использования транспортира. В таком случае построение многоугольников правильной формы становится значительно более сложной задачей. Если речь идет не о таких простых фигурах, как квадрат и равносторонний треугольник, то при построении обычно приходится использовать описанную окружность.

Сначала рассмотрим построение правильного шестиугольника по заранее заданной стороне. Ранее мы уже узнали, что его сторона имеет такую же длину, как и радиус описанной окружности:

a₆ = R

На основе этого факта предложен следующий метод построения шестиугольника. Сначала строится описанная окружность, причем в качестве ее радиуса берется заданная сторона а₆. Далее на окружности отмечается произвольная точка А, которая будет первой вершиной шестиугольника. Из нее проводится ещё одна окружность радиусом а₆. Точки, где она пересечет описанную окружность (В и F), будут двумя другими вершинами шестиугольника. Наконец, и из точек B и F проводим ещё две окружности, которые пересекутся с исходной окружностью в точках С и F. Наконец, из С (можно и из F)провести последнюю окружность и получить точку D. Осталось лишь соединить все точки на окружности (А, В, С, D, Еи F):

Данное построение довольно просто. Однако для пятиугольника построение несколько более сложное, а для семиугольника и девятиугольника вообще невозможно осуществить точное построение. Этот факт был доказан только в 1836 г. Пьером Ванцелем.

Если удалось возможно построить правильный n-угольник, вписанный в окружность, то несложно на его основе построить многоуг-к, у которого будет в два раза больше сторон (его можно назвать 2n-угольником) и который будет вписан в ту же окружность. Рассмотрим это построение на примере квадрата и восьмиугольника.

Изначально дан квадрат, вписанный в окружность. Надо построить восьмиугольник, вписанный в ту же окружность. Обозначим любые две вершины квадрата буквами А и В. Для начала нам надо разбить дугу ⋃АВ на две равные дуги. Для этого мы проводим из А и В окружности радиусом АВ. Они пересекутся в некоторых точках С и D. Соединяем их отрезком, который в свою очередь пересечется с исходной окружностью в точке Е.

Е – это середина дуги ⋃АВ. Точки А, В и Е как раз являются тремя первыми точками восьмиугольника. Для получения остальных точек необходимо из вершин квадрата строить окружности радиусом АЕ. Точки, где эти окружности пересекутся с исходной окружностью, и будут вершинами восьмиугольника. Также его вершинами являются вершины самого квадрата:

Аналогичным образом можно из шестиугольника получить 12-угольник, из восьмиугольника – 16-угольник, из 16-угольника – 32-угольник. То есть можно удвоить число сторон многоуг-ка.

Древние греки умели строить правильные многоуг-ки с 3, 4, 5, 6 и 15 сторонами, а также умели на их основе строить многоуг-ки с вдвое большим числом сторон. Лишь в 1796 г. Карл Гаусс смог построить 17-угольник. Также удалось найти способ построения 257-угольника и 65537-угольника, причем описание построения 65537-угольника занимает более 200 страниц.

В этом уроке мы узнали о правильных многоуг-ках и их свойствах. Особенно важно то, что для каждого такого многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность, причем их центры совпадают. Это позволяет использовать правильные многоуг-ки для более глубокого исследования свойств окружности.

Источник

Углы правильного многоугольника делятся на :

центральный угол;
внутренний угол;
внешний угол.

Углы многоугольника

Сумма внутреннего и внешнего угла равна (180°).

Сумма внутренних углов правильного многоугольника с (n) сторонами равна:

((n – 2)180°)

Для нахождения внутреннего угла используют формулу:

(alpha = frac{{{{180}^o}(n – 2)}}{n})

(n)– число сторон

Для нахождения внешнего угла используют формулу:

(varphi = frac{{{{360}^o}}}{n})

(n)– число сторон

Для нахождения центрального угла используют формулу:

(beta = frac{{{{360}^o}}}{n})

(n)– число сторон

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Источник

Правильный многоугольник. Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Определение. Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.

Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.

Признаки правильного многоугольника

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие:

Все стороны и углы одинаковы:

a₁ = a₂ = a₃ = … = a_n-1 = a_n

α₁ = α₂ = α₃ = … = α_n-1 = α_n

Основные свойства правильного многоугольника

1. Все стороны равны:

a₁ = a₂ = a₃ = … = a_n-1 = a_n

2. Все углы равны:

α₁ = α₂ = α₃ = … = α_n-1 = α_n

3. Центр вписанной окружности O_в совпадает з центром описанной окружности O_о, что и образуют центр многоугольника O

4. Сумма всех углов n-угольника равна:

180° · (n – 2)

5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:

β₁ + β₂ + β₃ + … + β_n-1 + β_n = 360°

6. Количество диагоналей (D_n) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:

7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:

8. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O

Правильный n-угольник – формулы

Формулы длины стороны правильного n-угольника

1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:

Формулы площади правильного n-угольника

1. Формула площади n-угольника через длину стороны:

2. Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:

3. Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула периметра правильного многоугольника:

Формула периметра правильного n-угольника:

P = na

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:

Формула угла между сторонами правильного n-угольника:

Изображение правильного треугольника с обозначениями

Рис.3

Правильный треугольник

Формулы правильного треугольника:

1. Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r √3

2. Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности:

a = R√3

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

5. Формула площади правильного треугольника через длину стороны:

6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

S = r² 3√3

7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:

8. Угол между сторонами правильного треугольника:

α = 60°

Изображение правильного четырехугольнику с обозначениями

Рис.4

Правильный четырехугольник

Правильный четырехугольнику – квадрат.

Формулы правильного четырехугольника:

1. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r

2. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

5. Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны:

S = a²

6. Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

S = 4 r²

7. Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

S = 2 R²

8. Угол между сторонами правильного четырехугольника:

α = 90°

Правильный шестиугольник

Формулы правильного шестиугольника:

1. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

a = R

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

R = a

5. Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:

6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r² 2√3

7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

8. Угол между сторонами правильного шестиугольника:

α = 120°

Правильный восьмиугольник

Формулы правильного восьмиугольника:

1. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r · (√2 – 1)

2. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2 – √2

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

5. Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны:

S = a² 2(√2 + 1)

6. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r² 8(√2 – 1)

7. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

S = R² 2√2

8. Угол между сторонами правильного восьмиугольника:

α = 135°

Источник

Правильный многоугольник

формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
формулы правильного n-угольника
правильный треугольник
правильный четырехугольник
правильный шестиугольник
правильный восьмиугольник

Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.

Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Признаки правильного многоугольника

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: все стороны и углы одинаковы.

a1=a2=a3=…=an-1=an

α1=α2=α3=…=αn-1=αn

где a₁…a_n — длины сторон правильного многоугольника,
α₁…α_n — внутренние углы между стронами правильного многоугольника.

Основные свойства правильного многоугольника

Все стороны равны:
a1=a2=a3=…=an-1=an
Все углы равны:
α1=α2=α3=…=αn-1=αn
Центр вписанной окружности O_в совпадает с центром описанной окружности O_о, что и образуют центр многоугольника O.
Сумма всех углов n-угольника равна:180°·n-2
Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°: β1+β2+β3+…+βn-1+βn=360°
Количество диагоналей (D_n) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: Dn = n·n-32
В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг; при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника: S = π4·a2
Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O.

Формулы правильного n-угольника

Формулы длины стороны правильного n-угольника

Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности

a = 2·r·tg180°n

(через градусы),

a = 2·r·tgπn

(через радианы)

Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности

a = 2·R·sin180°n

(через градусы),

a = 2·R·sinπn

(через радианы)

Формулы радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны

r = a:2·tg180°n

(через градусы),

r = a:2·tgπn

(через радианы)

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны

R = a:2·sin180°n

(через градусы),

R = a:2·sinπn

(через радианы)

Формулы площади правильного n-угольника

Формула площади n-угольника через длину стороны

S = n·a24·ctg180°n

Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности

S = n·r2·tg180°n

Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности

S = n·R22·sin360°n

Формула периметра правильного многоугольника

Формула периметра правильного n-угольника

Периметр правильного n-угольника равен произведению длины одной стороны правильного n-угольника на количество его сторон.

P = n·a

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника

Формула угла между сторонами правильного n-угольника

αn = n-2n·180°

Правильный треугольник

Правильный треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°.

Формулы правильного треугольника

Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности

Сторона правильного треугольника равна удвоенному произведению радиуса вписанной окружности на корень из трёх.

a = 2·r·3

Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности

Сторона правильного треугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из трёх.

a = R·3

r = a·36

R = a·33

Формула площади правильного треугольника через длину стороны

S = a2·34

Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности

S = r2·3·3

Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности

S = R2·3·34

Углы между сторонами правильного треугольника

α1=α2=α3=60°

Правильный четырехугольник

Правильный четырехугольник — это квадрат.

Формулы правильного четырехугольника

Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

Сторона правильного четырехугольника равна двум радиусам вписанной окружности.

a = 2·r

Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

Сторона правильного четырехугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из двух.

a = R·2

Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

Радиус вписанной окружности правильного четырехугольника равен половине стороны четырехугольника.

r = a2

Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

Радиус описанной окружности правильного четырехугольника равен половине произведения стороны четырехугольника на корень из двух.

R = a·22

Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны

Площадь правильного четырехугольника равна квадрату стороны четырехугольника.

S = a2

Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного четырехугольника равна четырем радиусам вписанной окружности четырехугольника.

S = 4·r2

Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

Площадь правильного четырехугольника равна двум квадратам радиуса описанной окружности.

S = 2·R2

Углы между сторонами правильного четырехугольника

α1=α2=α3=α4=90°

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 120°.

Формулы правильного шестиугольник

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

a = 2·r·33

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Длина стороны правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

a = R

Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

r = a·32

Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

R = a

Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

S = a2·3·32

Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

S = r2·2·3

Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

S = R2·3·32

Углы между сторонами правильного шестиугольника

α1=α2=α3=α4=α5=α6=120°

Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного восьмиугольник равны между собой, все углы также равны и составляют 135°.

Формулы правильного восьмиугольника

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности

a = 2·r·2-1

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности

a = R·2-2

Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны

r = a·2+12

Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны

R = a·4+222

Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны

S = a2·2·2+1

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности

S = r2·8·2-1

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности

S = R2·2·2

Углы между сторонами правильного восьмиугольника

α1=α2=α3=α4=α5=α6=α7=α8=135°

Коротко о важном
Таблицы
Формулы
Формулы по геометрии
Теория по математике

Источник

Правильный многоугольник
Правильный восьмиугольник
Тип	Многоугольник
Символ Шлефли
Вид симметрии	Диэдрическая группа ${displaystyle (mathrm {D} _{5})}$
Площадь	${displaystyle S={frac {n}{4}} a^{2}operatorname {ctg} {frac {pi }{n}}}$
Внутренний угол	${displaystyle (n-2)*180^{circ }}$
Свойства
выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный^[en], изотоксальный
Медиафайлы на Викискладе

Пра́вильный многоуго́льник — выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы между смежными сторонами.

Определение правильного многоугольника может зависеть от определения многоугольника: если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугольника как невыпуклого многоугольника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Связанные определения[править | править код]

Центром правильного многоугольника называется его центр масс, совпадающий с центрами его вписанной и описанной окружностей.

Свойства[править | править код]

Координаты[править | править код]

Пусть $x_{C}$ и $y_{C}$ — координаты центра, а — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, ${phi }_{0}$ — угловая координата первой вершины относительно центра, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:

$x_{i}=x_{C}+Rcos left({phi }_{0}+{frac {2pi i}{n}}right)$

$y_{i}=y_{C}+Rsin left({phi }_{0}+{frac {2pi i}{n}}right)$

где принимает значения от до n-1 .

Размеры[править | править код]

Правильный многоугольник, вписанный и описанный около окружности

Пусть — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

$r=Rcos {frac {pi }{n}}$

а длина стороны многоугольника равна

$a=2Rsin {frac {pi }{n}}=2r{mathop {{mathrm {tg}}}},{frac {pi }{n}}$

Площадь[править | править код]

Площадь правильного многоугольника с числом сторон и длиной стороны составляет:

$S={frac {n}{4}} a^{2}{mathop {{mathrm {}}}},operatorname {ctg}{frac {pi }{n}}$

Площадь правильного многоугольника с числом сторон , вписанного в окружность радиуса , составляет:

$S={frac {n}{2}}R^{2}sin {frac {2pi }{n}}$

Площадь правильного многоугольника с числом сторон , описанного вокруг окружности радиуса , составляет:

$S=nr^{2}{mathop {{mathrm {tg}}}},{frac {pi }{n}}$

Площадь правильного многоугольника с числом сторон равна

${displaystyle S={frac {nra}{2}}={frac {1}{2}}Pr}$

где — радиус вписанной окружности многоугольника, — длина его стороны, а – его периметр.

Периметр[править | править код]

Если нужно вычислить длину стороны a_n правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности можно вычислить длину одной стороны многоугольника:

— длина стороны правильного n-угольника.

${displaystyle a_{n}=sin {Big (}{frac {pi }{n}}{Big )}cdot {frac {L}{pi }}}$

Периметр $P_{n}$ равен

$P_{n}=a_{n}cdot n$

где — число сторон многоугольника.

Свойства диагоналей правильных многоугольников[править | править код]

Максимальное количество диагоналей правильного -угольника, пересекающихся в одной точке, не являющейся его вершиной или центром, равно:

Существуют лишь три исключения: данное число равно

в треугольнике,

в шестиугольнике и

в двенадцатиугольнике.^[3].

При чётном

в центре многоугольника пересекается n/2

диагонали.

Введём функцию ${displaystyle delta _{m}(n)}$ , равную в случае, если делится на , и равную в противном случае. Тогда:

Количество точек пересечения диагоналей правильного -угольника равно

${displaystyle {begin{array}{l}C_{n}^{4}+left(-5n^{3}+45n^{2}-70n+24right)/24cdot delta _{2}(n)-(3n/2)cdot delta _{4}(n)+\+left(-45n^{2}+262nright)/6cdot delta _{6}(n)+42ncdot delta _{12}(n)+60ncdot delta _{18}(n)+\+35ncdot delta _{24}(n)-38ncdot delta _{30}(n)-82ncdot delta _{42}(n)-330ncdot delta _{60}(n)-\-144ncdot delta _{84}(n)-96ncdot delta _{90}(n)-144ncdot delta _{120}(n)-96ncdot delta _{210}(n)end{array}}}$

Где ${displaystyle C_{n}^{4}}$

– число сочетаний из

по

^[3].

Количество частей, на которые правильный -угольник делят его диагонали, равно

${displaystyle {begin{array}{l}left(n^{4}-6n^{3}+23n^{2}-42n+24right)/24+\+left(-5n^{3}+42n^{2}-40n-48right)/48cdot delta _{2}(n)-(3n/4)cdot delta _{4}(n)+\+left(-53n^{2}+310nright)/12cdot delta _{6}(n)+(49n/2)cdot delta _{12}(n)+32ncdot delta _{18}(n)+\+19ncdot delta _{24}(n)-36ncdot delta _{30}(n)-50ncdot delta _{42}(n)-190ncdot delta _{60}(n)-\-78ncdot delta _{84}(n)-48ncdot delta _{90}(n)-78ncdot delta _{120}(n)-48ncdot delta _{210}(n)end{array}}}$

^[3].

Применение[править | править код]

Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников.

Древнегреческие математики (Антифонт, Брисон Гераклейский, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.^[4]

История[править | править код]

Построение циркулем и линейкой правильного многоугольника с сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на равных частей, так как, соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Евклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для . Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с $2^{m}$ сторонами (при целом m>1 ), имея уже построенный многоугольник с числом сторон ${displaystyle 2^{m-1}}$ : пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Евклид указывает и второй критерий построимости: если известно, как строить многоугольники с и сторонами, и и взаимно простые, то можно построить и многоугольник с сторонами. Это достигается построением многоугольника с сторонами и многоугольника с сторонами так, чтобы они были вписаны в одну окружность и чтобы одна вершина у них была общей – в таком случае некоторые две вершины этих многоугольников будут являться соседними вершинами -угольника. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с ${displaystyle 2^{m}cdot 3}$ , ${displaystyle 2^{m}cdot 5}$ и ${displaystyle 2^{m}cdot 3cdot 5}$ сторонами при любом целом неотрицательном .

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. На сегодняшний день известны следующие простые числа Ферма: . Вопрос о наличии или отсутствии других таких чисел остаётся открытым. Гаусс, в частности, первым смог доказать возможность построения правильного -угольника, а под конец жизни завещал выбить его на своём надгробии, однако скульптор отказался выполнять столь сложную работу.^[5]

Из результата Гаусса мгновенно следовало, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно ${displaystyle 2^{k}{p_{1}}{p_{2}}cdots {p_{s}}}$ , где {k} — целое неотрицательное число, а ${p_{j}}$ — попарно различные простые числа Ферма. Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году. Итоговая теорема, совмещающая оба результата, называется Теоремой Гаусса-Ванцеля.

Последними результатами в области построения правильных многоугольников являются явные построения 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

См. также[править | править код]

Правильный многогранник

Примечания[править | править код]

↑ МАТВОКС
↑ treugolniki.ru. Дата обращения: 12 мая 2020. Архивировано 2 июля 2020 года.
↑ ¹ ² ³ Bjorn Poonen and Michael Rubinstein “The number of intersection points made by thediagonals of a regular polygon”. Дата обращения: 16 июля 2020. Архивировано 17 июля 2020 года.
↑ А. В. Жуков. О числе π. — М.: МЦНМО, 2002. ISBN 5-94057-030-5.
↑ Лабуда

Источник