Как найти углы выпуклого треугольника

Углы многоугольника

Внутренний угол многоугольника — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например, ∠ABC является внутренним углом.

Внешний угол многоугольника — это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например, ∠LBC является внешним углом.

Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.

где s — это сумма углов, 2d — два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n — количество сторон.

Если мы проведём из вершины A многоугольника ABCDEF все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180° (2d), то сумма углов всех треугольников будет равна произведению 2d на их количество:

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d).

где s — это сумма внешних углов, 4d — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна 180° (2d), так как они являются смежными углами. Например, ∠1 и ∠2:

Следовательно, если многоугольник имеет n сторон (и n вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех n вершинах будет равна 2dn. Чтобы из этой суммы 2dn получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть 2d(n – 2):

Многоугольники

Определение многоугольника

Рассмотрим n отрезков

[A1 A2], [A2 A3], … , [An An +1]

(1)

причём таких, что два любых отрезка, имеющих общий конец, не лежат на одной прямой (рис.1).

Определение 1 . Ломаной линией с n звеньями называют фигуру L , составленную из отрезков (1), то есть фигуру, заданную равенством

В случае, когда точки A₁ и A_{n +1} совпадают, ломаную линию называют замкнутой ломаной линией (рис. 2), в противном случае её называют незамкнутой (рис.1).

Определение 2 . Многоугольником называют часть плоскости, ограниченную замкнутой ломаной линией без самопересечений (рис. 3). Отрезки, составляющие ломаную линию ( звенья ), называют сторонами многоугольника. Концы отрезков называют вершинами многоугольника.

Определение 3 . Многоугольник называют n – угольником , если он имеет n сторон.

Таким образом, многоугольник, имеющий 3 стороны, называют треугольником , многоугольник, имеющий 4 стороны, называют четырёхугольником и т.д.

Определение 4 . Периметром многоугольника называют сумму длин всех сторон многоугольника.

Величину, равную половине периметра, называют полупериметром .

Диагонали n – угольника

Число диагоналей n – угольника равно

Фигура	Рисунок	Описание
Диагональ многоугольника		Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника
Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины		Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника
Все диагонали n – угольника

Диагональ многоугольника

Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника

Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины

Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника

Все диагонали n – угольника

Число диагоналей n – угольника равно

Внешний угол многоугольника

Определение 5 . Два угла называют смежными , если они имеют общую сторону, и их сумма равна 180° (рис.1).

Определение 6 . Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с внутренним углом многоугольника (рис.2).

Свойства углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним

Углы треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним

Свойства углов многоугольника

Сумма углов многоугольника равна

Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°

Углы n – угольника

Сумма углов многоугольника равна

Внешние углы n – угольника

Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°

Свойства углов правильного n – угольника

Все углы правильного n – угольника равны

Все внешние углы правильного
n – угольника равны

Углы правильного n – угольника

Все углы правильного n – угольника равны

Внешние углы правильного n – угольника

Все внешние углы правильного
n – угольника равны

Доказательства свойств углов многоугольника

Теорема 1 . В любом треугольнике сумма углов равна 180° .

Доказательство . Проведем, например, через вершину B произвольного треугольника ABC прямую DE, параллельную прямой AC, и рассмотрим полученные углы с вершиной в точке B (рис. 3).

Углы ABD и BAC равны как внутренние накрест лежащие. По той же причине равны углы ACB и CBE . Поскольку углы ABD , ABC и CBE в сумме составляют развёрнутый угол, то и сумма углов треугольника ABC равна 180° . Теорема доказана.

Теорема 2 . Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство . Проведём через вершину C прямую CE, параллельную прямой AB, и продолжим отрезок AC за точку C (рис.4).

Углы ABC и BCE равны как внутренние накрест лежащие. Углы BAC и ECD равны как соответственные равны как соответственные . Поэтому внешний угол BCD равен сумме углов BAC и ABC . Теорема доказана.

Замечание . Теорема 1 является следствием теоремы 2.

Теорема 3 . Сумма углов n – угольника равна

Доказательство . Выберем внутри n – угольника произвольную точку O и соединим её со всеми вершинами n – угольника (рис. 5).

Получим n треугольников:

Сумма углов всех этих треугольников равна сумме всех внутренних углов n – угольника плюс сумма всех углов с вершиной в точке O . Поэтому сумма всех углов n – угольника равна

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360° .

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

В соответствии рисунком 6 справедливы равенства

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p – a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p – b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p – c ) a + b

где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.resolventa.ru/demo/diaggia8.htm

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

[/spoiler]

Теорема

(о сумме углов выпуклого многоугольника)

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180º(n-2).

(n — количество сторон многоугольника).

Другой вариант формулировки этой теоремы:

Сумма внутренних углов выпуклого n — угольника равна 180º(n-2).

Дано:

   

—  выпуклый n -угольник.

Доказать:

   

   

Доказательство:

1-й способ

Обозначим внутри многоугольника произвольную точку O.

Соединим точку O с вершинами многоугольника.

Получили n треугольников.

   

   

   

Сумма внутренних углов многоугольника равна сумме углов всех треугольников без углов при вершине O.

Так как сумма углов при вершине O составляет 360º

   

то сумма углов многоугольника равна сумме углов n треугольников минус 360º.

Сумма углов каждого треугольника равна 180º.

Таким образом, искомая сумма углов n угольника равна

   

   

Что и требовалось доказать.

2-й способ

Соединим вершину A1 со всеми остальными вершинами многоугольника. Получили n-2 треугольника.

Сумма всех углов этих треугольников равна сумме углов многоугольника.

Сумма углов углов каждого из треугольников равна 180º.

Следовательно, сумма углов многоугольника

   

   

Что и требовалось доказать.

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Четырехугольники
5. Выпуклый многоугольник

Советуем посмотреть:

Многоугольник

Четырехугольник

Параллелограмм

Признаки параллелограмма

Трапеция

Прямоугольник

Ромб и квадрат

Осевая и центральная симметрии

Четырехугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 368,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 369,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 371,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 424,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 4,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 815,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 818,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 860,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1081,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1129,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

Углы многоугольника

• Сумма внутренних углов
• Сумма внешних углов

Внутренний угол многоугольника — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например,  ∠ABC  является внутренним углом.

Внешний угол многоугольника — это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например,  ∠LBC  является внешним углом.

Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению  180°  и количеству сторон без двух.

s = 2d(n – 2),

где  s  — это сумма углов,  2d  — два прямых угла (то есть  2 · 90 = 180°),  а  n  — количество сторон.

Если мы проведём из вершины  A  многоугольника  ABCDEF  все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна  180°  (2d),  то сумма углов всех треугольников будет равна произведению  2d  на их количество:

s = 2d(n – 2) = 180 · 4 = 720°.

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна  360°  (или  4d).

s = 4d,

где  s  — это сумма внешних углов,  4d  — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна  180°  (2d),  так как они являются смежными углами. Например,  ∠1  и  ∠2:

Следовательно, если многоугольник имеет  n  сторон (и  n  вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех  n  вершинах будет равна  2dn.  Чтобы из этой суммы  2dn  получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть  2d(n – 2):

s = 2dn – 2d(n – 2) = 2dn – 2dn + 4d = 4d.