Радиус и угол сектора круга
Свойства
Сектор круга является его частью, ограниченной двумя радиусами. Поскольку радиус является неизменным показателем для круга и его сектора, то сам сектор будет зависеть от длины дуги или центрального угла сектора, измеренного в градусах. Зная радиус и угол сектора круга, вычислить площадь сектора круга представляется возможным, разделив площадь самого круга на 360 градусов и умножив на данный угол. S=πr^2 α/〖360〗^° =(r^2 α)/2
Теперь через площадь сектора круга можно найти и длину дуги, разделив удвоенное значение на радиус. После подстановки приведенной для площади формулы сокращается радиус и число π, и остается произведение радиуса на угол сектора круга. p=2S/r=2πr α/〖360〗^° =rα
Центральный угол сектора круга. Калькулятор и формулы
Этот калькулятор позволит быстро найти центральный угол сектора круга! Для того чтобы им воспользоваться, вначале нужно заполнить любую ячейку первого калькулятора – калькулятора окружности. После этого ввести любое известное значение из следующих: периметр, длина дуги, площадь сектора круга в слот калькулятора сектора окружности и нажать на кнопку расчета.
Также калькулятор рассчитывает величины сегмента, если известно какое-либо одно значение из следующих: угол сегмента, длина дуги, длина хорды или высота сегмента, а также радиус окружности.
Калькулятор окружности:
Достаточно заполнить только одну ячейку — остальное калькулятор посчитает сам.
Центральные и вписанные углы
О чем эта статья:
Центральный угол и вписанный угол
Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.
Определение центрального угла:
Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF
Определение вписанного угла:
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC
Свойства центральных и вписанных углов
Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
- Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:
Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.
- Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
- Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
- Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.
Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.
Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
- Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.
AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.
- Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
- Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.
ㄥBAC + ㄥBDC = 180°
Примеры решения задач
Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?
Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°
Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°
Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?
СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°
[spoiler title=”источники:”]
http://skysmart.ru/articles/mathematic/centralnye-i-vpisannye-ugly
[/spoiler]
Информация по назначению калькулятора
Сектор круга – это часть окружности внутри круга, состоящая из дуги вместе с ее двумя радиусами. Часть окружности (также известная как дуга) и 2 радиуса окружности встречаются в обеих конечных точках дуги, образуя сектор. Форма сектора круга выглядит как кусочек пиццы или пирога. В геометрии круг – одна из самых совершенных фигур. Форма сектора окружности – самая простая форма в геометрии. У него есть свои собственные различные части. Например, диаметр, радиус, окружность, сегмент, сектор.
Круг разделен на два сектора, и разделенные части известны как второстепенные сектора и главные сектора.
Большая часть круга является основным сектором, в то время как меньшая часть является второстепенным сектором.
В случае полукругов окружность делится на два сектора одинакового размера.
2 радиуса встречаются в части окружности круга, известной как дуга, образуя сектор окружности.
Онлайн калькулятор предназначен для нахождения параметров сектора круга, таких как:
- Площадь сектора
- Длина дуги
- Радиус
- Периметр сектора
- Центральный угол сектора в градусах и радианах
– это объем пространства, занимаемого в пределах границы сектора круга. Сектор всегда начинается с центра круга. Полукруг также является сектором круга, в данном случае круг имеет два сектора одинакового размера.
Можно найти зная радиус и центральный угол в градусах (Ssek = ( α / 360° ) * πr2)
– находится путем умножения радиуса на центральный угол сектора в радианах (L = r * α)
– равен сумме длины дуги и двум радиусам (Psek = L + r + r)
Здесь вы можете рассчитать площадь сектора круга с помощью удобного онлайн калькулятора по двум формулам. Для этого необходимо ввести известные вам параметры фигуры:
- радиус круга и угол,
- длину дуги и радиус.
Сектор круга или окружности – это его(её) часть, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга (окружности).
Содержание:
- калькулятор площади сектора круга
- формула площади сектора круга через радиус и угол
- формула площади сектора круга через радиус и длину дуги
- примеры задач
Формула площади сектора круга через радиус и угол
S = pi R^2 dfrac{alpha °}{360°}
S = dfrac{alpha}{2} R^2
R – радиус сектора
α° – угол сектора (в градусах)
α – угол сектора (в радианах)
Формула площади сектора круга через радиус и длину дуги
S = dfrac{1}{2}LR
L – длина дуги сектора
R – радиус сектора
Примеры задач на нахождение площади сектора круга
Задача 1
Найдите площадь сектора круга радиуса 1 длина дуги которого равна 2.
Решение
Для решения задачи нам подойдет вторая формула.
S = dfrac{1}{2}LR = dfrac{1}{2} cdot 2 cdot 1 = dfrac{1}{2} cdot 2 = 1 : см^2
Ответ: 1 : см^2
Давайте проверим ответ с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите площадь сектора круга радиуса 24 длина дуги которого равна 3.
Решение
Задача аналогична предыдущей.
S = dfrac{1}{2}LR = dfrac{1}{2} cdot 3 cdot 24 = dfrac{1}{2} cdot 72 = 36 : см^2
Ответ: 36 : см^2
Проверка .
Задача 3
Найдите площадь кругового сектора если радиус круга равен 3, а угол сектора равен 120°.
Решение
Для решения этой задачи нам потребуется первая формула, в которой угол указывается в градусах.
S = pi R^2 dfrac{alpha °}{360°} = pi cdot 3^2 cdot dfrac{120°}{360°} = pi cdot 9 cdot dfrac{1}{3} = 3 pi : см^2 approx 9.42478 : см^2
Ответ: 3 pi : см^2 approx 9.42478 : см^2
Проверка .
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их практического применения.
-
Определение сектора круга
-
Формулы нахождения площади сектора круга
- Через длину дуги и радиус круга
- Через угол сектора (в градусах) и радиус круга
- Через угол сектора (в радианах) и радиус круга
- Примеры задач
Определение сектора круга
Сектор круга – это часть круга, образованная двумя его радиусами и дугой между ними. На рисунке ниже сектор закрашен зеленым цветом.
- AB – дуга сектора;
- R (или r) – радиус круга;
- α – это угол сектора, т.е. угол между двумя радиусами. Также его иногда называют центральным углом.
Формулы нахождения площади сектора круга
Через длину дуги и радиус круга
Площадь (S) сектора круга равняется одной второй произведения длины дуги сектора (L) и радиуса круга (r).
Через угол сектора (в градусах) и радиус круга
Площадь (S) сектора круга равняется площади круга, умноженной на угол сектора в градусах (α°) и деленной на 360°.
Через угол сектора (в радианах) и радиус круга
Площадь (S) сектора круга равняется половине произведения угла сектора в радианах (aрад) и квадрата радиуса круга.
Примеры задач
Задание 1
Дан круг радиусом 6 см. Найдите площадь сектора, если известно, что длина его дуги составляет 15 см.
Решение
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее заданные значения:
Задание 2
Найдите угол сектора, если известно, что его площадь равна 78 см2, а радиус круга – 8 см.
Решение
Выведем формулу для нахождения центрального угла из второй формулы, рассмотренной выше:
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Определение окружности
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Эта точка называется центром окружности.
Отрезки в окружности
Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).
O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.
Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.
Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.
Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).
Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Дуга в окружности
Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности.
Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .
Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.
Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D
Углы в окружности
В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
∠ A O B – центральный.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. ∪ A B = ∠ A O B = α
Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.
Градусная мара всей окружности равна 360 ° .
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
∠ A C B – вписанный.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α
Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2
Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .
M N – диаметр.
∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °
Длина окружности, длина дуги
Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .
Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .
∪ A B = ∪ C D = α
Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.
Длина окружности находится по формуле:
l = 2 π R
Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол α равна:
l α = π R 180 ∘ ⋅ α
Площадь круга и его частей
Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.
Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.
Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.
Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.
Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.
Площадь круга находится по формуле: S = π R 2
Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.
Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.
Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.
Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.
S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α
Теорема синусов
Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.