Как найти угол через синус другого угла

Как узнать синус угла в треугольнике если известны синусы остальных углов? DenisKoro [3K] 6 лет назад  Дан треугольник. Известны синусы двух других, как найти третий? Mefod­y66 [35K] 6 лет назад  Если известны только углы, то C=180-arcsin(sin A)-arcsin(sin B) Если известна хоть одна сторона, то есть теорема синусов. a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R Зная одну сторону и два синуса, можно найти и третий синус, и остальные две стороны. И заодно радиус описанной окружности, но это уже другая задача. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим комментировать в избранное ссылка отблагодарить Влади­мирЪ [94K] 6 лет назад  По синусу угла в треугольнике можно определить сам угол. Например, согласно таблицам Брадиса. Дальше известно, что сумма углов треугольника равняется 180 градусов и известно два угла. Исходя из этого, находим третий угол. И определяем его синус. комментировать в избранное ссылка отблагодарить Дмитр­ий Подко­паев [95] 2 года назад  Если известны только синусы двух углов то задача решаема при помощи известной из тригонометрии формулы синуса суммы двух углов. Но есть одна маленькая проблемка… Дело в том что синусы как острого так и тупого угла имеют положительное значение и если не оговорено заранее какой угол острый, какой тупой или они оба острые то задача может иметь два решения. комментировать в избранное ссылка отблагодарить Знаете ответ?

Смотрите также: В треугольнике ABC AB=BC, AC=14, CH=7. Как найти синус угла ACB? Как найти синус и косинус через тангенс? В прямоугольной трапеции основания равны 10 см и 13 см, а… Как решить? Что такое равновеликие фигуры (куб, квадрат, многоугольник)? Для чего нужна математика, геометрия, физика в программировании? Как строить графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса? Как выразить синус через косинус? Что такое тангенс, катангенс, синус, косинус, секанс, касеканс? Перечислите все формулы, объединяющие синус, косинус, тангенс и котангенс? Как калькулятор считает синус и другие тригонометрические функции?

Как найти угол, если известен синус

Синус и косинус – пара основных тригонометрических функций, которые косвенно выражают величину угла в градусах. Всего таких функций существует больше десятка и среди них есть те, что позволяют по значению, например, синуса восстановить величину угла в градусах. Для практической работы с ними можно использовать программный калькулятор или сетевые сервисы.

Инструкция

Используйте функцию арксинус для вычисления величины угла в градусах, если известно значение синуса этого угла. Если угол обозначить буквой α, в общем виде такое решение можно записать так: α = arcsin(sin(α)).

Если у вас есть возможность пользоваться компьютером, для практических расчетов проще всего использовать встроенный калькулятор операционной системы. В последних двух версиях ОС Windows его можно запустить так: нажмите клавишу Win, наберите буквы «ка» и надавите Enter. В более ранних выпусках этой ОС ссылку «Калькулятор» ищите в подразделе «Стандартные» раздела «Все программы» главного меню системы.

После запуска приложения переключите его в режим, позволяющий работать с тригонометрическими функциями. Сделать это можно выбором строки «Инженерный» в разделе «Вид» меню калькулятора или нажатием клавиш Alt + 2.

Введите значение синуса. По умолчанию в интерфейсе калькулятора нет кнопки для вычисления арксинуса. Чтобы получить возможность использовать эту функцию, вам нужно инвертировать значения кнопок по умолчанию – кликните по клавише Inv в окне программы. В более ранних версиях эту кнопку заменяет чекбокс с таким же обозначением – поставьте в нем отметку.

Кликните по кнопке вычисления синуса – после инвертирования функций ее обозначение сменится на sin⁻¹. Калькулятор рассчитает угол и отобразит его величину.

Можно использовать в расчетах и различные онлайн-сервисы, которых более чем достаточно в интернете. Например, перейдите на страницу http://planetcalc.com/326/, прокрутите ее немного вниз и в поле Input введите значение синуса. Для запуска процедуры вычисления здесь предназначена оранжевая кнопка с надписью Calculate – кликните по ней. Результат вычислений вы найдете в первой строке таблицы под этой кнопкой. Кроме арксинуса в ней отображаются и величины арккосинуса, арктангенса и арккотангенса введенного значения.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Теорема синусов

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:

bc sinα = ca sinβ

Из этих двух соотношений получаем:

Теорема синусов для треугольника доказана.

Эта теорема пригодится, чтобы найти:

• Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
• Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Доказательство следствия из теоремы синусов

У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

где R — радиус описанной около треугольника окружности.

Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

BA1 = 2R, где R — радиус окружности

Следовательно: R = α/2 sinα

Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

Следовательно, ∠А1 = 180° – α.

Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

Также известно, что sin(180° – α) = sinα.

В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

α = 2R sin (180° – α) = 2R sinα

Следовательно: R = α/2 sinα

Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Часто используемые тупые углы:

• sin120° = sin(180° – 60°) = sin60° = 3/√2;
• sin150° = sin(180° – 30°) = sin30° = 1/2;
• sin135° = sin(180° – 45°) = sin45° = 2/√2.

3. Угол ∠А = 90°.

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Теорема о вписанном в окружность угле

Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

Формула теоремы о вписанном угле:

Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

Следовательно: α + γ = 180°.

Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

sinγ = sin(180° – α)

Так как sin(180° – α) = sinα, то sinγ = sin(180° – α) = sinα

Примеры решения задач

Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

Согласно теореме о сумме углов треугольника:

∠B = 180° – 45° – 15° = 120°

Сторону AC найдем по теореме синусов:

Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

Запоминаем

Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

>

Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

1. Три стороны треугольника.
2. Две стороны треугольника и угол между ними.
3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

(1)

(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

.

.

Далее, из формулы

.

.

(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

,

Из формулы (3) найдем cosA:

.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Таблица синусов, найти угол синуса

Тригонометрические функции: синус угла

Зачем надо знать значение синуса? Представим ситуацию: известен один из углов (А=60⁰), вписанный в прямоугольный треугольник, и длина гипотенузы. Больше нет никакой информации. Надо узнать вычислить дальний к углу (А) катет. Как поступить?

Ситуация очень простая: смотрим таблицы Брадиса, находим значение sin(60⁰)=0,866, подставляем данные в формулу тригонометрической функции и решаем линейное уравнение. Из школьного курса известно, что sin угла – это отношение дальнего к углу, в данном случае А=60⁰, катета к гипотенузе.

Произвести все расчеты проще, если воспользоваться онлайн калькулятором на сайте. Таким образом можно вычислить длину любой из сторон прямоугольного треугольника. Знаем угол – значит, знаем sin этого угла. И наоборот, знаем sin – найти угол не составит проблемы.

[spoiler title=”источники:”]

http://matworld.ru/geometry/reshenie-treugolnikov.php

http://allcalc.ru/node/751

[/spoiler]

Что такое обратные коэффициенты триггера и почему меня это волнует?

Purplemath

Вы узнали, как использовать коэффициенты триггера для решения прямоугольных треугольников, находя длины сторон треугольников. Но что, если у вас есть стороны, и нужно найти углы?

Вы знаете, что можете взять длины сторон и найти коэффициенты триггера, и вы знаете, что можете найти коэффициенты триггера (в своем калькуляторе) для углов.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Задачи синуса, косинуса и тангенса

Чего не хватает, так это способа вернуться от соотношений к исходным углам. И это то, что касается значений «обратного триггера».

Что такое обратные коэффициенты срабатывания?

Обратные тригонометрические соотношения — это обратные функции для синуса, косинуса и тангенса. Пока вы подставляете меры угла к синусу, косинусу и тангенсу, чтобы найти длины сторон; Вы подставляете длины сторон к арксинусу, арккосинусу и арктангенсу, чтобы найти меры угла.

Может ли мой калькулятор выполнять обратные коэффициенты запуска?

Любой калькулятор, который может работать с синусами, косинусами и тангенсами, также сможет работать с их обратными значениями, обычно в качестве «второй функции» обычных кнопок запуска.

Если вы посмотрите на свой калькулятор, вы должны увидеть прямо над кнопками sin, cos, tan обозначения вдоль линий sin ⁻¹ , cos ⁻¹ и tan ⁻¹ или, возможно, asin , акос и атан. Это то, что вы будете использовать, чтобы найти углы из соотношений.

Что означает буква а в словах асин, акос и атан?

Буква a в словах asin, acos и atan означает «дуга»; в этом контексте дуга является частью окружности круга.

Итак, арксинус, например, — это функция, в которую вы подставляете меру вытянутой дуги (то есть меру угла, стороны которого пересекают концы дуги окружности) и получаете числовой ответ. Дуговые функции отменяют триггерные функции (то есть дуговые функции являются обратными функциями), поэтому, например, atan указывает на функцию арктангенса, tan ⁻¹ ().

Первый набор обозначений с показателем степени «минус один» содержит арксинус, арккосинус и арктангенс. Второй набор обозначений, с a перед каждым именем, перечисляет арксинус, арккосинус и арктангенс. Другими словами, это два обозначения одного и того же.

Вы можете увидеть, как работают эти обратные триггерные функции: возьмите свой калькулятор и вычислите синус некоторого значения угла в диапазоне от нуля до девяноста градусов. Какой бы результат вы не получили, сделайте обратный синус (то есть используйте sin

−1 ) или арксинус (то есть используйте кнопку asin) этого значения, и вы должны получить значение, с которого вы начали.

Вот что делают обратные коэффициенты триггера: они дают вам угол, соответствующий этому коэффициенту триггера.

---

• Для приведенного ниже треугольника найдите угол m α с точностью до градуса.

Мне дали длину стороны, противоположной углу α , и длину гипотенузы. Из «противоположный» и «гипотенуза» я могу составить отношение синусов:

9/10 = SIN ( α ) = 0,9

Подключение 0,9 в SIN ⁻¹ В моем калькуляторе I GET:

α = 64.15806724 …

Decking. Мне напомнили, что есть единица измерения градусов, которую мне нужно учитывать, наряду с округлением числового результата до ближайших целых чисел. Итак, мой ответ:

м ( α ) = 64°

Примечание. Существуют и другие единицы измерения углов. Здесь я буду использовать только градусы, но вам также может понадобиться использовать радианы. Если это так, вам необходимо правильно установить единицы измерения вашего калькулятора. Если вы находитесь в режиме градусов, вы получите значения в градусах, а не в радианах, и наоборот. Убедитесь, что вы правильно настроены.

---

• Найдите величину угла β в градусах с точностью до одного десятичного знака.

Мне дали длины стороны, противоположной β  (равной 8), и стороны, прилегающей к β  (равной 9).

Поскольку тангенс противоположен соседнему, я могу составить отношение тангенса с тем, что они мне дали:

8/9 = tan( β )

Я не буду использовать десятичную дробь для 8/ 9, потому что это может привести к ошибке округления. Вместо этого я буду работать с точной дробью и подставлю загар ⁻¹

(8/9) прямо в мой калькулятор. Результат: β = 41,63353934….

Округляя до одного десятичного знака и не забывая добавлять единицы к моему ответу, я получаю:

m( β ) = 41,6°

---

• Найдите длину стороны p и меру угла m, как показано на схеме. Дайте каждому ответу правильный ответ до ближайшего целого числа или степени.

Как же мне найти угол m и длину стороны p , когда у меня есть только одно число для этого треугольника? У меня есть только гипотенуза! О, подождите.

..

Я могу использовать угол и гипотенузу левого треугольника, чтобы найти высоту p для обоих треугольников, и это даст мне два числа для правого треугольника. С этим я могу найти меру m.

Левый треугольник имеет противоположную сторону, гипотенузу и угол, поэтому я буду работать с отношением синусов:0052 = 15×sin(47°) = 10,97030552…

Теперь, когда я знаю, что p  = 11 (округлив до ближайшего целого числа), я могу найти меру угла m:

11/18 = sin(m°)

sin ⁻¹ (11/18) = m° = 37,66988696…

Я должен округлить этот угол до ближайшего целого градуса, поэтому мой ответ:

p = 11

м° = 38°

---

• 5-метровая лестница прислонена к зданию, основание которой находится в двух метрах от стены здания. Какой угол образует лестница с землей? Округлите ответ до одного десятичного знака.

Как обычно, начну с картинки. Это не должно быть «точно» или «в масштабе»; Мне просто нужно достаточное количество изображений, чтобы иметь возможность следить за тем, что я делаю.

Что касается угла, который они хотят, чтобы я нашел (который я указал на рисунке выше дугой, проведенной в нижней левой вершине), у меня есть смежный и гипотенуза, поэтому я буду использовать отношение косинуса .

2/5 = cos(θ)

cos ⁻¹ (2/5) = θ = 66,42182152…

Это моя мера в градусах угла, который образует основание лестницы с землей, на которой она стоит. Не забывая округлить свой ответ до одного десятичного знака и добавить соответствующие единицы измерения, мой ответ таков: лестница и земля образуют угол примерно: угол, определите коэффициент триггера, который использует эти две стороны, и используйте соответствующую кнопку инверсии, чтобы найти угол, соответствующий этому коэффициенту. И не забудьте поставить знак «градус» на свой ответ.

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/invratio.htm

Использование закона синусов для нахождения неизвестного угла

Главная > Математика > Математика >Использование закона синусов для нахождения неизвестного угла

Закон синусов гласит:

a означает сторону, противоположную углу A, b — сторону, лежащую против угла B, а c — сторону, противоположную углу C.

Этот закон чрезвычайно полезен, потому что он работает для любого треугольника,4 не просто прямоугольный треугольник. В частности, его часто можно использовать для нахождения неизвестного угла или неизвестной стороны треугольника.

Чтобы найти неизвестный угол по закону синусов:

1. Подставляем известные значения в формулу.
2. Удалите бесполезную фракцию.
3. Решите оставшееся уравнение.

Примеры:

1. Найдите градусную меру угла B.

Сначала мы подставим всю известную нам информацию в закон синусов:

Теперь мы удалим дробь, которая нам не нужна. Третья фракция содержит обе части информации, а вторая фракция содержит угол, который мы ищем. Но первая фракция не помогает. Перепишем закон без него:

Теперь перемножим и решим уравнение:

Внимательно введите это в свой калькулятор. Помните, что на вашем калькуляторе кнопка арксинуса может выглядеть как
.
вот так:

2. Найдите величину угла A.

Сначала подставим всю известную нам информацию в закон синусов:

Теперь мы удалим дробь, которая нам не нужна. Фракция 1 ^st содержит угол, который мы ищем, а фракция 2 ^nd содержит обе части информации. Однако дробь 3^/ совершенно бесполезна. Перепишем закон без него»

Теперь умножим крест и решим уравнение:

Внимательно введите это в свой калькулятор.

Примечание: Мы пока не рассматриваем неоднозначный случай. Мы изучим эту особую ситуацию на следующем уроке.

Практика: Используйте закон синусов, чтобы найти заданный угол для каждого треугольника. Округлите ответ до десятых, если необходимо.