Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол — меньший 90 градусов.
Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол A обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
sin A
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
cos A
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
tg A
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
tg A
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
ctg A
Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
sin | sincos | |
cos | 1+tg | cos = sin |
tg | 1+ctg | sin = cos |
ctg | tg = ctg |
Давайте докажем некоторые из них.
- Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
- С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим. Получаем, что . Иными словами, .
- Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на получаем то есть
Мы получили основное тригонометрическое тождество. - Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
0 | |||||
sin | 0 | ||||
cos | 0 | ||||
tg | 0 | − | |||
ctg | − | 0 |
Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Докажем теорему:
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
В самом деле, пусть АВС и — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и и равными острыми углами А и
Треугольники АВС и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому
Из этих равенств следует, что т. е. sin А = sin
Аналогично, т. е. cos А = cos и т. е. tg A = tg
Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен , sin A = 0,1. Найдите cos B.
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку , sin A = cos B = 0,1.
Задача 2. В треугольнике угол равен , , .
Найдите .
Решение:
Отсюда
Найдем AC по теореме Пифагора.
Ответ: 4,8.
Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.
Решение:
Для угла А противолежащий катет – это ВС,
АВ является гипотенузой треугольника, лежит против Значит, sin A
Катет, прилежащий к – это катет АС, следовательно, cos А
Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:
Тогда
cos А
tg A
Ответ: 0,92; 0,42.
Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.
Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен AC = 2, sin A=
Найдите BC.
Решение:
AC = b = 2, BC = a, AB = c.
Так как sin A
По теореме Пифагора получим
Ответ: 0,5.
Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен tg A = Найдите AB.
Решение:
AC = b = 4, tg A
Ответ: 7.
Задача 6.
В треугольнике АВС угол С равен CH – высота, AB = 13, tg A = Найдите AH.
Решение:
AВ = с = 13, tg A = тогда b = 5a.
По теореме Пифагора ABC:
тогда
(по двум углам), следовательно откуда
Ответ: 12,5.
Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен
CH – высота, BC = 3, sin A =
Найдите AH.
Решение:
Так как sin A = тогда c = АВ = 18.
sin A = = cos B =
Рассмотрим BHC:
= получим
тогда BH = = 0,5,
AH = AB – BH = 18 – 0,5 = 17,5.
Ответ: 17,5.
Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BC = 3, cos A =
Найдите АH.
Решение:
Так как для АВС: A = sin В =
а для ВНС: sin В = = , откуда СН =
По теореме Пифагора найдем ВН:
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для АВС получим:
тогда
Ответ: 17,5.
Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.
Решение:
По определению sin A= = =
Рассмотрим BHC :
ВС найдем по теореме Пифагора:
ВС=
тогда а значит и sin A = = 0,28.
Ответ: 0,28.
Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.
Решение:
По определению sin A = = = cos A = = =
тогда tg A = который найдем из BHC:
Ответ: 0,5.
Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, tg A = Найдите АН.
Решение:
По определению tg A=
Для BHC: , значит СН =
Для АHC: tg A= то AH =
Ответ: 27.
Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, sin A = Найдите АВ.
Решение:
Так как cos В = = sin A =
Из СВН имеем cos В = = тогда ВС =
В АВС имеем sinA = = тогда AВ =
Ответ: 27.
Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90 из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.
Решение:
Найдем НВ по теореме Пифагора из ВСН:
sin В = =
Для АВС: cos A = получили cos A = 0,6.
Найдем АС и АВ несколькими способами.
1-й способ.
Так как cos A = то пусть АС = 3х, АВ = 5х,
тогда по теореме Пифагора получим
х = 5 ( так как х0). Значит,
2-й способ.
(по двум углам), значит или
k = тогда АС = ; АВ =
3-й способ.
(высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда АН = 144:16 = 9.
АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.
По теореме Пифагора найдем АС:
=
Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.
Задача 14.
Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.
Найдите АВ и cos А.
Решение:
Из прямоугольного ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:
ВС = =
cos C =
Для АВС: sin А = = cos C =
Для АНВ: sin А = = то = АВ =
Из основного тригонометрического тождества найдем
cos A =
Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.
Задача 15.
Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А =
Найдите площадь треугольника.
Решение:
В прямоугольном АСЕ sin А =
значит = 14.
Второй катет найдем, используя теорему Пифагора:
Площадь прямоугольного треугольника равна S =
поэтому
Ответ: 336.
Задача 16.
В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.
Найдите sin Результат округлите до сотых.
Решение:
A-общий, ),
значит sin
Найдем АС по теореме Пифагора из САВ:
Тогда sin
Ответ: 0,38.
Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = Найдите высоту СН.
Решение:
Так как АС = ВС, то АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда
высота СН является медианой, то есть АН = НВ =
Поскольку АСН — прямоугольный,
cos A = то есть АС =
По теореме Пифагора тогда
Ответ: 15.
Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90 sin A = AC = 10 Найдите АВ.
Решение:
1-й способ.
Поскольку sin A = то можно обозначить
ВС = 11х, АВ = 14х.
По теореме Пифагора
(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 100;
учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,
следовательно, АВ = 14 2 = 28.
2-й способ.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством
cos A =
По определению cos A = значит
Так как АС=10 то откуда АВ = = 28.
Ответ: 28.
Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4 и 4.
Решение:
Пусть ВАО =
Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, =
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = а катет ВО =
Поэтому tg откуда
Ответ:
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.
Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
Задача 20.
В треугольнике АВС угол С равен 90 угол А равен 30 АВ = 2
Найдите высоту CH.
Решение:
Рассмотрим АВС:
По свойству катета, лежащего против угла имеем ВС = АВ =
В BHC: то следовательно, ВН = BC =
По теореме Пифагора найдем НС:
Ответ: 1,5.
Задача 21.
В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, АВ = 2, Найдите АH.
Решение:
Из АВС найдем ВС = АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30),
то
Из ВСН: то следовательно,
ВН = ВС =
АН = АВ — НВ = 2 – = 1,5.
Ответ: 1,5.
Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.
Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.
Если вам понравился разбор данной темы – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Как найти угол имея цифровое значение синуса, косинуса, тангенса,котангенса? например есть значение sin a=0,3452 какой угол этому соответствует? Функции: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg), называются тригонометрическими. Они выражают зависимости длин сторон от углов треугольника при гипотенузе. Определяются отношением какой-либо из сторон треугольника к другой. То есть, показывают, насколько одна сторона больше другой. Это отношение может быть характерно только для строго определенного угла. Выражаются тригонометрические функции в безразмерных единицах. Если известно значение какой-либо тригонометрической функции (в данном случае, синуса – sin), а требуется найти соответствующий ему угол в градусах, то нужно:
Определение значения arcsin угла (в радианах) и значения в градусах – с помощью функций Excel Итак, ответ получен: Синусу угла альфа со значением 0,3452 соответствует угол 20,194 градуса. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим RIOLIt 6 лет назад Данному значению синуса соответствует угол- немногим более 20 градусов, это- по таблице, а если есть значение гипотенузы, то- по отношению- можно найти катет и другие элементы треугольника и- возможно- все улы, здесь- главное- зацепка- кончик ниточки, чтобы размотать весь клубочек,( а имея в хозяйстве инженерный калькулятор, можно сразу- по функции найти угол с точностью до н- ого знака после запятой…) Можно без компьютера, без калькулятора, без таблиц Брадиса найти этот угол. Для этого нужен такой инструмент, как транспортир. Можно воспользоваться угломером. Если есть чертежный прибор, который еще называют кульман, то и им. Но сначала высисляют катет и гипотенузу. Чем больше длина, тем точгее. Допустим, гипотенуза 100 мм, тогда противолежащий катет будет равен 100*0,3452=34,52мм. Берем клетчатую бумагу, по вертикали откладываем 35 мм от горизонтальной линии вверх. Из верхней точки циркулем с разведенными ножками на 100 мм делаем засечку на глризонтальной линии. Соединяем три точки линиями и измеряем угол. Если честно, то в повседневной жизни не припомню, чтобы приходилось определять углы по синусу или тагенсу. Вот строить углы приходится постоянно. Например, нужно обрезать плинтуса под углом 45 градусов. Никакой транспортир или угломер не нужен. На заводе плинтус обрезан под прямым углом, тогда просто отмеряешь два одинаковых катета и проводишь гипотенузу, угол получантся сам собой. Так же легко строить углы 30 и 60 градусов, так как гипотенуза равна двум противолежащим катетам. Еще углы можно измерять смартфоном илитпланшетом, если в нем установлено приложение по измерению углов, очень удобная штука, не надо покупать строительный уровень. bezdelnik 6 лет назад Найти угол имея цифровое значение синуса, косинуса, тангенса можно по таблицам Брадиса, на логарифмической линейке или на калькуляторе. Если sin a=0,3452, то a=20,194… градуса. Можно найти приближенное значение тригонометрических функций по их графикам, для синуса и косинуса это графики синусоиды и косинусоиды. Найдя значения синуса и косинуса значения тангенса и котангенса можно вычислить по формулам tg a = Sin a /Cos a, ctg a = Cos a/Sin a DartFallen 6 лет назад Я открою Вам одну старую и великую тайну! Все эти величины давно вычислены и сведены в таблицу. Носит она название таблицы Браддиса. Когда я учился в старших классах у каждого ученика была желтенькая такая брошюрка, в которой и представлены многие данные и не только для градусной меры углов. Величины эти постоянные и периодического пересчета не требуют. Вот как-то так… Blockphild 8 месяцев назад Зачем так все сложно и это в век компьютеров? Иди сюда -> https://allcalc.ru/node/1039 вставляй величины катетов и гипотенуз –> жми на кнопку -> ВЫЧИСЛИТЬ и вот тебе результат в градусах и радианах. Недостаток: нужно иметь интернет Не надо никаких там EXCEL, таблиц Брадисов и прочей ерунды, мы в 21 веке живем, все делается очень быстро. Успехов! bezdelnik 5 лет назад Для некоторых значений тригонометрических функций соответствующие углы общеизвестны из учебников по математике. Например,для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° синус равен 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 ,соответственно, а косинус такие же значения в обратном порядке. Это должны знать все получившие среднее школьное образование. Знаете ответ? |
Смотрите также: В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ=10, АС=√51. Как найти sin A? Как вычислить площадь параллелограма по формуле S=a·b·sin A с след.данными? В треугольнике ABC угол C = 90°, sin A = 4/5, AC=9. Найти AB. Как решить? Как доказать теорему о равенстве синусов острых углов? Как построить угол, если известен синус? Если синус X равен 1, чему равен косинус X(см)? Как найти котангенс, тангенс, синус, косинус? Как выучить таблицу значений синуса, косинуса, тангенса разных углов? Перечислите все формулы, объединяющие синус, косинус, тангенс и котангенс? Как записать две различные функции для синуса и косинуса? |
Содержание:
Пусть в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, один из острых углов равен
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла
Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему:
Пример:
Угол К в равен 90° (рис. 7).
Тогда:
Для угла N катет МК — противолежащий, а катет NK — прилежащий (см. рис. 7, с. 11). Поэтому согласно определениям получаем:
Можно заметить, что синус острого угла а прямоугольного треугольника и косинус другого острого угла этого треугольника, содержащего равны, т. е. . Так же Например,
А теперь выполните Тест 1 и Тест 2.
Значение синуса острого угла, а также косинуса, тангенса и котангенса зависит только от величины угла и не зависит от размеров и расположения прямоугольного треугольника с указанным острым углом.
Это следует из того, что прямоугольные треугольники с равным острым углом подобны, а у подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны. Так, в (рис. 8)
Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30°, 45°, 60°
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого (рис. 9). Так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то АВ = 2. По теореме Пифагора
Тогда:
Так как (см. рис. 9), то
Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, у которого (рис. 10). По теореме Пифагора
Тогда:
Составим таблицу значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 30°, 45° и 60°.
Нахождение значений тригонометрических функций
Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла можно приближенно находить при помощи специальных тригонометрических таблиц* либо калькулятора.
Например, с помощью калькулятора, компьютера или мобильного телефона (смартфона) находим: sin45° = 0,707106… . Приближенное значение тригонометрических функций при решении задач будем брать с округлением до четырех знаков после запятой: sin45° = 0,7071.
Итак, точное значение sin 45° равно . а приближенное — 0,7071.
Таблицы и калькулятор также позволяют находить величину острого угла по значению синуса, косинуса или тангенса. Например, найдем острый угол, синус которого равен 0,4175. Выбрав на компьютере вид калькулятора «инженерный», далее «градусы», нужно ввести последовательно . На экране появится ответ: 24,676… . Округлим его до десятых долей градуса и получим 24,7°. Учитывая, что 1° содержит 60 угловых минут, получим: 0,7° = 0,7 • 60′ = 42′. Искомый угол, синус которого 0,4175, приближенно равен 24°42′.
А теперь выполните Тест 3.
Тригонометрические функции острого угла
Синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла, так как каждому острому углу соответствует единственное значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Они называются тригонометрическими функциями и записываются так:
Поскольку в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы, то для острого угла справедливо: следовательно синус и косинус острого угла положительны и меньше 1.
Тангенс и котангенс острого угла могут принимать любое положительное значение. Например, tg85° ~ 11,4.
С увеличением острого угла синус и тангенс возрастают, а косинус и котангенс убывают (рис. 11), то есть если то
но (cm. c. 28, задачу 2*). Это гарантирует, что синус (косинус, тангенс и котангенс) острого угла определяют этот угол однозначно.
Пример №1
В прямоугольном треугольнике АВС, где , катет ВС равен 8 см, гипотенуза АВ равна 17 см. Найти косинус угла А (рис. 12).
Решение:
По теореме Пифагора найдем катет (см). Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен от ношению прилежащего катета к гипотенузе. Тогда
Ответ:
Пример №2
Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 20 см, (рис. 13). Найти площадь треугольника.
Решение:
Так как Обозначим По теореме Пифагора Тогда ВС = 4 • 4 = 16(см),
Ответ: 96
Пример №3
При помощи циркуля и линейки построить угол, синус которого равен
Решение:
Идея решения. Построим прямоугольный треугольник с катетом, равным 4 единицы, и гипотенузой, равной 5 единиц. Синус угла, противолежащего указанному катету, будет равен
Построение. 1) Строим прямой угол С (рис. 14), для чего проводим произвольную прямую отмечаем на ней точку С и строим прямую проходящую через точку С перпендикулярно прямой (вспомните по рисунку алгоритм построения). 2) На прямой от точки С откладываем последовательно четыре равных отрезка. Получаем отрезок ВС, который содержит 4 единицы. 3) Строим окружность с центром в точке В радиусом, равным пяти единицам. В пересечении этой окружности и прямой получаем точку А.
Угол ВАС — искомый.
Доказательство:
Из находим
Алгоритм решения прямоугольного треугольника
Под решением прямоугольного треугольника понимают нахождение его неизвестных сторон и углов по некоторым элементам, определяющим этот треугольник. Рассмотрим три задачи:
- нахождение катета по гипотенузе и острому углу;
- нахождение катета по другому катету и острому углу;
- нахождение гипотенузы по катету и острому углу.
Пример №4
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 6, острый угол равен 32° (рис. 23). Найти катет, прилежащий к данному углу. Ответ округлить до 0,1.
Решение:
Примем длину искомого катета за
Ответ: 5,1.
Пример №5
Катет прямоугольного треугольника равен 2,5, а прилежащий к нему угол равен 68° (рис. 24). Найти другой катет. Ответ округлить до 0,1.
Решение:
Примем длину неизвестного катета за
Ответ: 6,2.
Пример №6
Катет прямоугольного треугольника равен 4,2, противолежащий ему угол равен 29° (рис. 25). Найти гипотенузу треугольника. Ответ округлить до 0,1.
Решение:
Примем длину гипотенузы за
Ответ: 8,7.
Правила решения прямоугольного треугольника
Преобразуем формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса и запишем результаты для треугольника на рисунке 26:
Удобно пользоваться следующими правилами:
- Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего или на косинус прилежащего угла (рис. 27, а).
- Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего или на косинус прилежащего угла (рис. 27, б).
- Катет равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или на котангенс прилежащего к первому катету угла (рис. 27, в).
Пример №7
В известно: (рис. 28).
Полезно запомнить!
Если в прямоугольном треугольнике с углом 30° (или 60°) дан меньший катет а, то больший
катет (рис. 29, а). А если дан больший катет то меньший катет (рис. 29, б).
Если в прямоугольном треугольнике с углом 45° дан катет а,
то гипотенуза (рис. 30, а), а если дана гипотенуза с, то катет (рис. 30, б).
Пример №8
В прямоугольном треугольнике АВС известно: — высота, проведенная к гипотенузе (рис. 31). Найти проекцию НВ катета ВС на гипотенузу.
Решение:
Заметим, что так как эти углы дополняют Из Из
Ответ:
Пример №9
В равнобедренной трапеции ABCD меньшее основание ВС равно 7, боковая сторона АВ равна 10, sinA = 0,8. Найти площадь трапеции.
Решение:
Площадь трапеции находится по формуле Найдем большее основание и высоту трапеции. Проведем в трапеции высоты ВН и СК (рис. 32). Так как НВСК — прямоугольник (все углы — прямые), то НК = ВС = 7. Из равенства прямоугольных треугольников АНВ и DKC (по катету и гипотенузе) АН = KD. Из прямоугольного треугольника АНВ находим: откуда АН = 6 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Тогда
Ответ: 104.
Тригонометрические формулы
Используя формулы где и — катеты, с — гипотенуза прямоугольного треугольника, можно получить формулы, связывающие значения тригонометрических функций острого угла.
1. Основное тригонометрическое тождество
Доказательство:
По теореме Пифагора
Тогда
Следствие:
Так как синус и косинус острого угла а положительны, то
2. Выражение тангенса и котангенса через синус и косинус
Доказательство:
a) б)
Следствие:
Проверим справедливость основного тригонометрического тождества.
Верно ли, например, что Да, это верно, так как
3. Основная задача
Дано: — острый угол.
Найти:
Решение:
Способ 1. Используем основное тригонометрическое тождество: Так как косинус острого угла больше нуля, то откуда
Способ 2. Изобразим прямоугольный треугольник с катетом 5 и гипотенузой 13 (рис. 41). Синус угла, противолежащего данному катету, равен Поэтому этот угол равен По теореме Пифагора другой катет равен Тогда
Способ 3. Пусть катет, противолежащий углу равен 5х, тогда гипотенуза равна По теореме Пифагора прилежащий катет равен Отсюда
Ответ:
Пример №10
В параллелограмме ABCD (рис. 42) сторона ВС = 50 см, высота ВК = 30 см, . Найти периметр параллелограмма.
Решение:
Из треугольника АВК находим: Из основного тригонометрического тождества следует: (так как угол А — острый, то sinA > 0). Тогда (см )
Ответ: 168 см.
Пример №11
Доказать, что при увеличении угла от 0° до 90°:
а) синус угла увеличивается от 0 до 1, а косинус — уменьшается от 1 до 0;
б) тангенс угла увеличивается от О до бесконечности.
Решение:
а) Рассмотрим прямоугольные треугольники с гипотенузой, равной 1. Для этого опишем радиусом ОМ, равным 1, четверть окружности — дугу МК (рис. 43). Пусть Опустим из точки А перпендикуляр АВ на ОМ. Тогда При повороте радиуса ОМ вокруг центра О против часовой стрелки, начиная от ОМ и заканчивая ОК, угол будет увеличиваться от 0° до 90° (образуя указанные на чертеже углы: и т. д.). Величина катета АВ, противолежащего углу будет увеличиваться от 0 до 1. А величина катета ОВ, наоборот, будет уменьшаться от 1 до 0. Таким образом, при увеличении угла от 0° до 90° его синус увеличивается от 0 до 1, а косинус уменьшается от 1 до 0.
Из формулы также следует (учитывая положительность синуса и косинуса острого угла), что с увеличением синуса от 0 до 1 косинус уменьшается от 1 до 0.
б) Для определения изменения тангенса угла удобно рассматривать треугольники, у которых прилежащий катет не изменяется и остается равным 1, а противолежащий катет изменяется. Рассмотрим прямоугольный треугольник АОМ, у которого отрезок ОМ = 1, (рис. 44). По определению Угол станем изменять, перемещая точку А по прямой MN, начиная от точки М и проходя через точки и т. д. При этом угол и его тангенс начнут возрастать. Таким образом, когда угол при движении точки А вверх будет стремиться к углу КОМ, равному 90°, то тангенс этого угла будет неограниченно возрастать.
К такому же выводу можно прийти, рассматривая формулу При увеличении угла от 0° до 90° числитель дроби будет увеличиваться от 0 до 1, а знаменатель — уменьшаться от 1 до 0, значит, вся дробь будет увеличиваться от 0 до бесконечности. Таким образом, при увеличении угла от 0° до 90° его тангенс увеличивается от 0 до бесконечности.
Пример №12
В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат, диагональ которого см. Диагональ боковой грани составляет с ребром основания угол (рис. 46). Найдите объем параллелепипеда.
Решение:
Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле , где а, b и с — его измерения. Так как ABCD — квадрат, то . Из прямоугольного треугольника находим . Искомый объем .
Ответ: 576 см3.
Синус, косинус, тангенс и котангенс тупого угла
1. Определение значений для любого угла а от 0° до 180°
Ранее мы дали определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла через отношение сторон прямоугольного треугольника. Сделаем теперь это для углов от 0° до 180°.
Рассмотрим полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (рис. 48). От положительной полуоси против часовой стрелки отложим острый угол сторона которого пересекает полуокружность в точке . Из прямоугольного треугольника OMN, где ОМ = 1, ON = х, MN = у, получаем: то есть синус, косинус,
тангенс и котангенс острого угла а выражаются через координаты точки Точно так же определяются значения и для любого угла а из промежутка Таким образом, синусом угла а называется ордината косинусом — абсцисса тангенсом — отношение ординаты к абсциссе а котангенсом — отношение абсциссы к ординате точки М единичной полуокружности.
Например, для тупого (рис. 48), где получим:
Для любого положения точки на единичной полуокружности верно равенство (докажите самостоятельно). Поэтому для углов где верно основное тригонометрическое тождество
Также верны тождества:
Нахождение синуса, косинуса, тангенса и котангенса тупых углов
Пусть откуда (рис. 49). Так как по гипотенузе и острому углу, то Точки имеют координаты: и Тогда то есть для углов от 0° до 180° справедливы равенства:
Можно пользоваться следующим правилом:
Синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого угла.
Косинус тупого угла равен косинусу смежного с ним острого угла, взятому со знаком «минус».
Пример 1.
Разделив почленно равенство на равенство а затем наоборот, получим равенства:
Можно пользоваться следующим правилом:
Тангенс (котангенс) тупого угла равен тангенсу (котангенсу) смежного с ним острого угла, взятому со знаком «минус».
Пример 2.
Указанные формулы и правила позволяют находить значения тригонометрических функций тупого угла через значения тригонометрических функций острого угла, который дополняет данный тупой угол до 180°: синусы углов, дополняющих друг друга до 180°, равны между собой, а косинусы, тангенсы и котангенсы — противоположны. Так как синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла положительные, то синус тупого угла положительный, а косинус, тангенс и котангенс — отрицательные.
Значения тригонометрических функций для углов 0°, 90°, 180°
Если луч ОМ совпадет с лучом (рис. 50), то будем считать, что Тогда:
а) значение не определено, так как деление на нуль невозможно;
б) значение не определено, так как деление на нуль невозможно; в) значение не определено, так как деление на нуль невозможно.
Поскольку проекции радиуса, равного 1, на оси координат меньше либо равны 1, то для углов справедливы неравенства:
Пример №13
Найти если – тупой угол.
Решение:
Способ 1. Так как то Поскольку угол — тупой, то его косинус отрицательный. Поэтому Тогда
Способ 2. Синус острого угла смежного с данным тупым углом равен также Построим прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (рис. 52). В нем Так как косинусы смежных углов противоположны, то . Аналогично,
Ответ:
Формулы площади треугольника и площади параллелограмма
Тригонометрические функции позволяют получить формулы для вычисления площади треугольника и площади параллелограмма. Сформулируем их в виде двух теорем.
Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, т. е.
Доказательство:
Пусть в треугольнике — острый, — высота (рис. 56, а).
Из прямоугольного треугольника Тогда
Если угол тупой (рис. 56, то — острый. Из прямоугольного треугольника АКС следует, что Так как то
Если то — прямоугольный с катетами Учитывая, что получим:
Теорема доказана.
Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними, т. е.
Используя рисунок 57, докажите эту теорему самостоятельно.
Замечание. Если то параллелограмм является прямоугольником. Его площадь так как Таким образом, формула площади прямоугольника — частный случай формулы площади параллелограмма
Известно, что слово «синус» в переводе с латинского имеет множество значений: изгиб, дуга, пазуха, бухта, впадина, залив, хорда, забота и нежная любовь. При помощи Интернета выясните:
а) какое из значений подходит к математическому понятию «синуса»;
б) какие из значений относятся к медицине и почему насморк врачи иногда называют синуситом.
Пример №14
Дан параллелограмм ABCD, площадь которого 40 см2, а периметр 36 см. Найти стороны параллелограмма, если его угол D равен 150° (рис. 58).
Решение:
Полупериметр параллелограмма равен 18 см. Если см, то см.
Тогда
Так как то
По условию Составим и решим уравнение: По теореме Виета (обратной) — корни.
Если CD = 8 см, то AD = 10 см, если CD = 10 см, то AD = 8 см.
Ответ: 8 см, 10 см.
Пример №15
Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, т.е.
Доказательство:
Пусть диагонали и четырехугольника ABCD (рис. 59) пересекаются в точке О, Докажем, что
Обозначим Заметим, что как вертикальные, по свойству смежных углов. Поэтому По формуле площади треугольника у получим:
Утверждение доказано
Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) в прямоугольном треугольнике
Если для положительных чисел выполняется пропорция то число называется средним пропорциональным чисел а и с (между числами а и с). Из указанной пропорции откуда В такой форме записи число еще называют средним геометрическим чисел а и с.
Пример №16
Число 4 является средним пропорциональным, или средним геометрическим чисел 2 и 8, так как = или
В прямоугольном треугольнике АВС, где , проведем высоту СК (рис. 61). Отрезок АК является проекцией катета АС на гипотенузу, а отрезок ВК — проекцией катета ВС на гипотенузу. Катеты, гипотенуза, высота и проекции катетов на гипотенузу связаны отношениями, которые мы сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема (о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике).
а) Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, т. е. (см. рис. 61).
б) Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, т. е.
Доказательство:
а)3аметим, что если то (эти углы дополняют до 90°) (рис. 62). Из из Отсюда
б) Из , из откуда
Аналогично доказывается, что Теорема доказана.
Обозначив катеты гипотенузу с, высоту проекции катетов на гипотенузу (рис. 63), получим следующие формулы:
Пример №17
Найти площадь прямоугольного треугольника, если проекции катетов на гипотенузу равны 2 см и 8 см.
Решение:
Пусть СН — высота прямоугольного треугольника АВС АН = 2 см — проекция катета АС на гипотенузу, НВ = 8 см —
проекция катета СВ на гипотенузу (рис. 64). Так как высота СН есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу, то
Ответ: 20 см2.
Пример №18
В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена высота см, АК = 12 см (рис. 65). Найти гипотенузу АВ.
Решение:
Пусть см, тогда см.
Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу. Поэтому т. е. По теореме Виета (обратной) По смыслу задачи Значит, КВ = 3 см, АВ = 15 см.
Ответ: 15 см.
Пример №19
При помощи циркуля и линейки построить отрезок, равный среднему геометрическому отрезков т и п .
Решение:
Пусть даны отрезки т и п . Необходимо построить отрезок
Построение.
1) На произвольной прямой откладываем данные отрезки:
2) На отрезке АВ как на диаметре строим полуокружность, для чего находим середину О отрезка АВ, откуда ОА — радиус данной окружности.
3) Из точки К восстанавливаем перпендикуляр к прямой АВ до пересечения с полуокружностью в точке М (рис. 66).
Отрезок — среднее пропорциональное отрезков
Доказательство:
— прямой как вписанный угол, опирающийся на диаметр. В прямоугольном треугольнике АМВ высота МК является средним пропорциональным проекций катетов AM и МВ на гипотенузу
Повторение*
В 8-м классе мы доказали следующую теорему:
Теорема (о касательной и секущей). Если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной, соединяющего данную точку и точку касания, равен произведению отрезков се кущей, соединяющих данную точку и точки пересечения секущей с окружностью, т. е. (рис. 70).
Как видим, отрезок является средним пропорциональным между отрезками секущей. Глядя на рисунок 70, вспомните идею доказательства теоремы.
Теорема о площадях треугольников с общим (равным) углом
Площади треугольников, имеющих общий угол (или равный угол), относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (рис. 75),
т.е.
Доказательство:
Следствие: Верно:
Пример №20
Площадь треугольника АВС равна 16, АК : КС = 3 :1 , AM : МВ = 1 :2 (рис. 76). Найти
Решение:
Способ 1. По следствию из теоремы о площадях треугольников с общим углом получаем:
Способ 2.
Ответ: 4.
Теорема Менелая
Если дан треугольник АВС и прямая пересекает стороны ВС, АВ и продолжение стороны АС в точках соответственно (рис. 79), то
Доказательство:
Проведем отрезок Так как и (по двум углам), то и Перемножив почленно указанные пропорции, получим
откуда
Замечание. При составлении произведения трех отношений теоремы Менелая можно начинать с любой из шести точек (трех вершин треугольника и трех точек пересечения прямой с прямыми, содержащими стороны треугольника) и двигаться по контуру либо по часовой, либо против часовой стрелки. При этом вершины треугольника и точки пересечения должны чередоваться.
Пример №21
В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС взяты соответственно точки М и К, такие, что AM : МВ = 2 :1 , АК : КС = 3 :2 . Отрезки СМ и ВК пересекаются в точке О. Найти ВО : ОК.
Решение:
Способ 1 (теорема Менелая). Рассмотрим (рис. 80). Прямая пересекает две его стороны АВ и ВК соответственно в точках М и О и продолжение третьей стороны АК в точке С. По теореме Менелая откуда
Способ 2 (теорема Фалеса обобщенная). Проведем (рис. 81). По теореме Фалеса Тогда АЕ — три части, ЕМ — две части, AM — пять частей, откуда
Но Отсюда Для
по теореме Фалеса
Ответ:
Пример №22
Дан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС), площадь которого равна 80. Точка К делит высоту ВН в отношении 1 : 3, считая от основания. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке М. Найти площадь четырехугольника НКМС (рис. 82).
Решение:
1) (ВН — высота и медиана треугольника АВС).
2) Применим теорему Менелая к треугольнику НВС.
Прямая AM пересекает его стороны ВН и ВС соответственно в точках К и М и продолжение стороны НС в точке Тогда Откуда
3)
4)
Ответ: 22.
Неравенство Коши
Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел больше либо равно их среднему геометрическому, т. е.
Например, Действительно,
Алгебраическое доказательство указанного неравенства таково. Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства Получим: Так как при всех допустимых , то Следовательно, неравенство верно.
Неравенство где называется неравенством Коши по имени известного французского математика и часто используется при решении олимпиадных задач.
Приведем геометрическое доказательство указанного неравенства. Изобразим окружность с диаметром АВ и центром в точке О (рис. 87). На диаметре возьмем точку К (для определенности левее центра О). Пусть Из точки К восстановим перпендикуляр КС, где точка С принадлежит окружности. Проведем радиус ОС. Так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, то прямоугольный, СК — его высота, проведенная к гипотенузе. По теореме о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике . Но радиус ОС равен половине диаметра АВ, т. е. . В катет меньше гипотенузы, т. е. так как катет меньше гипотенузы. Отсюда
Равенство левой и правой частей неравенства достигается, когда точка К совпадает с точкой О и становится равнобедренным и прямоугольным. Поэтому справедливо неравенство т. е
ЗАПОМИНАЕМ
2. Значения тригонометрических функций углов 30 45°, 60°:
3. Тригонометрические формулы (тождества):
Примеры:
4. Формулы площади треугольника и параллелограмма:
5. Среднее пропорциональное в прямоугольном треугольнике:
- Сумма углов треугольника
- Внешний угол треугольника
- Свойство точек биссектрисы угла
- Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
- Угол – определение, виды, как обозначают с примерами
- Перпендикулярные прямые в геометрии
- Признаки равенства треугольников
- Признаки равенства прямоугольных треугольников
Математика, вычисления угла через тригонометрические функции (например, синус)
Владислав Чикуров
Знаток
(310),
закрыт
3 года назад
Как найти угол через синус угла или косинус (тангенс, котангенс)? Есть ли какая-нибудь ФОРМУЛА для этого вычисления? Таблицу Брадиса и калькулятор не предлагать.
Дополнен 3 года назад
Причём косинус может быть равен 0,005 или что-нибудь в этом роде.
user49912
Оракул
(51142)
3 года назад
Арктангенс, арккосинус…
Формула такая же, как и с синусами-косинусами: её нет. Можно только приближенно найти в общем случае.
Владислав ЧикуровЗнаток (310)
3 года назад
Нет, это понятно. А можно ли точную градусную меру вычислить?
user49912
Оракул
(51142)
В общем случае – нет, только приближенно.
А зачем тебе?
Данная статья посвящена разбору такой темы, как универсальная тригонометрическая подстановка. Суть данного термина состоит в том, что мы находим значение любой тригонометрической функции (sin α, cos α, tg α, ctg α) через формулу тангенса половинного угла. Этот вариант намного проще и рациональнее, так как выполнять дальнейшие вычисления легче без корней, а с целыми числами.
Мы подробно рассмотрим этот раздел. Для начала мы расскажем вам о формулах тангенса половинного угла, которой мы будем часто пользоваться. После мы перейдем к практическому применении формул, рассмотрим несколько примеров использования универсальной тригонометрической подстановки.
Универсальная тригонометрическая подстановка для sin α, cos α, tg α, ctg α
Во введении мы рассказали, что основной темой этого раздела станет основная тригонометрическая подстановка. Для начала запишем и разберем формулы, с помощью которых можно выразить sin α, cos α, tg α, ctg α через тангенс половинного угла α2 .
sin α=2·tgα21+tg2α2, cos α=1-tg2α21+tg2α2tg α=2·tgα21-tg2α2, ctg=1-tg2α22·tgα2
Указанные формулы будут правильны для всех углов α . Для работы в задаче должен быть определен входящие тангенсы и котангенсы.
Формулы для sin α и cos α, sin α=2·tgα21+tg2α2 и cos α=1-tg2α21+tg2α2 имеют место для a≠π+2π·z , где z – любое целое число, так как при a=π+2π·z, tg α2 не определен.
Формула tg α=2·tgα21-tg2α2 справедлива для α≠π2+π·z и a≠π+2π·z , так как при a=π2+π·z не определен tg αЗнаменатель дроби обращается в нуль, а при α=π+2π·z не определен tg α2 .
Формула ctg=1-tg2α22·tgα2 , выражающая ctg через tg α2 , справедлива для a≠π·z , так как при a=π·z не определен ctg, при a=π+2π·z не определен tg α2, а при α=2π·z знаменатель дроби обращается в нуль.
Вывод формул
Разберем вывод формул, выражающих sin α, cos α, tg α, ctg α через тангенс половинного угла. Начнем с формул для синуса и косинуса. Представим синус и косинус по формулам двойного угла как sin α=2·sin α2·cosα2 и cos α=cos2α2-sin2α2 соответственно. Теперь выражения 2·sinα2·cosα2 и cos2α2-sin2α2 запишем в виде дробей со знаменателем 1 как 2·sinα2·cosα21 и cos2α2-sin2α21 . Воспользуемся основным тождеством из тригонометрии и заменим единицы в знаменателе на сумму квадратов sin и cos, после чего получаем 2·sinα2·cosα2sin2α2+cos2α2 и cos2α2-sin2α2sin2α2+cos2α2
Для решения данного выражения необходимо числитель и знаменатель полученных дробей разделить на cos2α2 (его значение не равно нулю при условии α≠π+2π·z ). Вся формула будет выглядеть так sin α=2·sinα2·cosα2=2·sinα2·cosα2sin2α2+cos2α2=2·sinα2·cosα2cos2α2sin2α2+cos2α2cos2α2=2·sinα2cosα2sin2α2сos2α2+cos2α2сos2α2=2·tgα2tg2α2+1
и cos α=cos2α2-sin2α2=cos2α2-sin2α21=cos2α2-sin2α2sin2α2+cos2α2==cos2α2-sin2α2cos2α2sin2α2+cos2α2cos2α2=cos2α2cos2α2-sin2α2cos2α2sin2α2cos2α2+cos2α2cos2α2=1-tg2α2tg2α2+1
Мы закончили вывод формул для sin и cos, завершив все вычислительные действия.
Следующий шаг – это вывод определенных формул для нахождения tg и ctg.
Взяв за основу описанные выше примеры tg α=sin αcos α и ctg α=cos αsin α , мы сразу получаем формулы, которые выражают тангенс и котангенс через тангенс половинного угла:
tg α=sin αcos α=2·tg α21+tg2 α21-tg2 α21+tg2 α2=2·tg α21-tg2 α2;
ctg α= cos αsin α=1-tg2 α21+tg2 α22·tg α21+tg2 α2=1-tg2 α22·tg α2;
В этом разделе мы нашли все формулы, которые нам потребуются для выражения основных тригонометрических функций.
Примеры использования в задачах и упражнениях
Для начала рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки при преобразовании выражений.
Необходимо привести 2+3·cos 4αsin 4α-5 к примеру, который содержит только одну функцию tg 2α.
В данном упражнении мы также воспользуемся универсальной подстановкой, которая является одним из важных правил тригонометрии. Применим к косинусу и синусу 4α те самые формулировки, которые выражают основные функции через тангенс половинного угла. Получив сложное выражение, нам остается только его упростить.
2+3·cos 4αsin 4α-5=2+tg22αtg22α+12·tg2αtg22α+1-5=2·tg22α+2+3-3·tg22αtg22α+12·tg2α-5·2·tg22α-5tg22α+1=tg22α-55·tg22α-2·tg2α+5
2+3·cos 4αsin 4α-5=tg22α-55·tg22α-2·tg2α+5.
Вспомним, что во введении мы подробно рассказали, как менять sin α, cos α, tg α, ctg α в частных случаях. Она заключается в том, чтобы преобразовать первоначальное рациональное выражение, содержащее sin, cos, tg и ctg, к выражению с одной функцией благодаря формуле. Это намного проще и понятнее. Мы выражаем все формулы через tg половинного угла. Данное преобразование обязательно пригодится при решении разнообразных уравнений и задач, интегрировании основных функций sin α, cos α, tg α, ctg α.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта