Как найти угол диагонального сечения

Канал видеоролика: Савченко Елена

Диагональные сечения куба. Угол между плоскостями

Смотреть видео:

#математикаогэ #гвэ #егэответы #репетиторпоматематике #репетитор_по_математике #огэматематика #огэответы #репетиторство #подготовкакэкзамену

Свежая информация для ЕГЭ и ОГЭ по Математике (листай):

С этим видео ученики смотрят следующие ролики:

Пирамида. Угол между плоскостями и площадь сечения. Задание 14

Пирамида. Угол между плоскостями и площадь сечения. Задание 14

Inna Feldman

Классика для начинающих ★ Найдите угол между двумя диагоналями граней куба на рисунке

Классика для начинающих ★ Найдите угол между двумя диагоналями граней куба на рисунке

Valery Volkov

Площадь сечения куба плоскостью. Задание 14 (42)

Площадь сечения куба плоскостью. Задание 14 (42)

Inna Feldman

GetAClass - ЕГЭ по математике - Угол между плоскостями (Часть 1)

GetAClass – ЕГЭ по математике – Угол между плоскостями (Часть 1)

GetAClass – Просто математика

Облегчи жизнь другим ученикам – поделись! (плюс тебе в карму):

23.11.2022

Если бы вы взяли квадрат и нарисовали две диагональные линии, они пересеклись бы в центре и образовали четыре прямоугольных треугольника. Две диагонали пересекаются под углом 90 градусов. Вы можете интуитивно догадаться, что две диагонали куба, каждая из которых проходит от одного угла куба к противоположному углу и пересекается в центре, также пересекаются под прямым углом. Вы бы ошиблись. Определить угол, под которым две диагонали в кубе пересекают друг друга, немного сложнее, чем это может показаться на первый взгляд, но это действительно хорошая практика для понимания принципов геометрии и тригонометрии.

    Определите длину ребра как одну единицу. По определению каждое ребро куба имеет одинаковую длину в одну единицу.

    Используйте теорему Пифагора, чтобы определить длину диагонали, бегущей от одного угла до противоположного угла на той же грани. Назовите это «короткой диагональю» для ясности. Каждая сторона сформированного прямоугольного треугольника составляет одну единицу, поэтому диагональ должна быть равна √2.

    Используйте теорему Пифагора, чтобы определить длину диагонали, бегущей от одного угла до противоположного угла противоположной грани. Назовите это «длинной диагональю». У вас есть прямоугольный треугольник с одной стороной, равной 1 единице, и одной стороной, равной «короткой диагонали», √2 единиц. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов сторон, поэтому гипотенуза должна быть √3. Каждая диагональ, идущая от одного угла куба к противоположному углу, имеет длину √3 единиц.

    Нарисуйте прямоугольник, чтобы представить две длинные диагонали, пересекающиеся в центре куба. Вы хотите найти угол их пересечения. Этот прямоугольник будет иметь высоту 1 единицу и ширину √2 единицы. Длинные диагонали делят пополам друг друга в центре этого прямоугольника и образуют два разных типа треугольника. Один из этих треугольников имеет одну сторону, равную одной единице, а две другие стороны равны √3 / 2 (одна половина длины длинной диагонали). Другая также имеет две стороны, равные √3 / 2, но другая ее сторона равна √2. Вам нужно только проанализировать один из треугольников, поэтому возьмите первый и найдите неизвестный угол.

    Используйте тригонометрическую формулу c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 – 2ab cos C, чтобы найти неизвестный угол этого треугольника. C = 1, а a и b равны √3 / 2. Подставляя эти значения в уравнение, вы определите, что косинус вашего неизвестного угла равен 1/3. Взятие обратного косинуса 1/3 дает угол 70, 5 градусов.

По какой формуле найти угол наклона диагонали к плоскости основания в прямоугольном параллипипеде?

Вы открыли страницу вопроса По какой формуле найти угол наклона диагонали к плоскости основания в прямоугольном параллипипеде?. Он относится к категории
Геометрия. Уровень сложности вопроса – для учащихся 10 – 11 классов.
Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие
ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ,
можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Геометрия,
воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других
пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя
ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

Прямоугольный параллелепипед показан на рисунке.

текст при наведении

Имеем b = 6 м, а = 8 м и с = 10м. Найти угол между диагональю параллелепипеда d =AG и плоскостью его основания ABCD, то есть угол между диагоналями AG и АС. (На рисунке диагональ АС не нарисована). Вначале найдем длину диагонали АС = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(8^2 + 6^2) = sqrt(64 + 36) = sqrt(100) = 10 м. (На рисунке диагональ АС не прочерчена, на своем рисунке прочертите ее для наглядности). Значок sqrt означает квадратный корень (от английских слов square root). Математический знак корня БВ не понимает, поэтому ставит вместо него знак вопроса ?). БВ не понимает ни греческие буквы, ни математические знаки, которых нет на клавиатуре. Итак, АС = 10 м. Имеем прямоугольный треугольник АСG. Теперь легко найти угол CAG в этом треугольнике CAG. Угол GCA будет прямоугольным (90°), так как ребро GC в параллелепипеде перпендикулярно основанию ADCB. Из прямоугольного треугольника AGC находим тангенс угла GAC. При этом заметим, GC = с = 10 м, так как оба эти катета – высота параллелепипеда. Имеем tg(GAC) = GC/AC = 10/10 = 1. А если тангенс равен 1, то это угол в 45°. Ответ 45°.

План урока:

Понятие двугранного угла и угла между плоскостями

Перпендикулярность плоскостей

Прямоугольный параллелепипед

Трехгранный угол

Многогранный угол

Типичные задачи на углы между плоскостями

Понятие двугранного угла и угла между плоскостями

Напомним, что в планиметрии углом называют фигуру, состоящую из точки и двух лучей, выходящих из нее. Сама точка именуется вершиной угла, а лучи – сторонами угла.

По аналогии в стереометрии рассматривается схожая фигура – двугранный угол. Он состоит из двух полуплоскостей, которые исходят из одной прямой. Каждая из этих полуплоскостей именуется гранью двугранного угла, а их общая прямая – это ребро двугранного угла.

1 dvugrannii ugol

Для обозначения двугранного угла достаточно указать две точки на его ребре, а также ещё по одной точке на каждой грани. Например, на следующем рисунке показан угол САВD:

2 dvugrannii ugol

Двугранные углы часто встречаются в обычной жизни. Например, его образуют двухскатные крыши домов. В стереометрии двугранные угла можно найти в любом многограннике.

Двугранные углы можно измерять. Для этого надо выбрать произвольную точку на ребре угла и на каждой грани построить перпендикуляр, проходящий через эту точку. Через эти два перпендикуляра можно построить единственную плоскость. Угол между двумя перпендикулярами и принимается за величину двугранного угла.

3 dvugrannii ugol

Отдельно отметим, что плоскость, проходящая через перпендикуляры (на рисунке выше это γ) перпендикулярна ребру угла АВ. Это вытекает из признака перпендикулярности прямой и плоскости. Действительно, АВ⊥ВС и АВ⊥BD, поэтому и АВ⊥γ. Построенный угол ∠СBD называют линейным углом двугранного угла.

Понятно, что в каждом двугранном угле можно построить сколько угодно линейных углов:

4 dvugrannii ugol

Здесь помимо ∠ВСD построены линейные углы ∠В’С’D’ и ∠В’’С’’D’’. Однако все эти углы имеют одинаковую градусную меру. Сравним, например, ∠ВСD и ∠В’С’D’. Так как BD⊥AB и B’D’⊥АВ, то BD||B’D’. Аналогично можно прийти к выводу, что ВС||B’C’. Получаем, что стороны углов ∠ВСD и ∠В’С’D’ – это сонаправленные лучи, а потому ∠ВСD и ∠В’С’D’ одинаковы.

Двугранные углы, как и обычные углы, можно разделить на острые (их градусная мера меньше 90°), прямые (они в точности равны 90°) и тупые (которые больше 90°).

5 dvugrannii ugol

Если две плоскости пересекаются, то они образуют сразу 4 двугранных угла. Если среди них есть острый угол, то его величина считается углом между плоскостями. Если же все образуется 4 прямых двугранных угла, то угол между плоскостями принимается равным 90°.

6 dvugrannii ugol

Перпендикулярность плоскостей

В частном случае, когда угол составляет 90°, говорят, что пересекающиеся плоскости перпендикулярны.

7 dvugrannii ugol

Перпендикулярны друг другу пол и стены в доме, смежные грани кубика, стенки коробки. Существует особый признак перпендикулярности плоскостей.

8 dvugrannii ugol

Действительно, пусть плоскости α и β пересекаются по линии n, и в β есть такая прямая m, что m⊥α. Тогда m и n должны пересекаться в какой-нибудь точке К. Проведем в плоскости α через К прямую р, перпендикулярную n. Ясно, что m⊥р, ведь m⊥α. Получается, угол между m и р как раз и является углом между плоскостями α и β, ведь m⊥n и р⊥n. И этот угол равен 90°, ведь m⊥p, ч т. д.

Из доказанного признака вытекает следующее утверждение:

9 dvugrannii ugol

Прямоугольный параллелепипед

Ранее мы уже узнали про параллелепипед. Это фигура с 6 гранями, каждая из которых представляет собой параллелограмм. Особый интерес представляет его частный случай – прямоугольный параллелепипед.

10 dvugrannii ugol

Такую форму имеют многие шкафы, другие предметы мебели, коробки для обуви, небоскребы. Изображают прямоугольный параллелепипед так:

11 dvugrannii ugol

Для обозначения вершин параллелепипеда применяют латинские буквы. Очень часто для вершин одной грани используют 4 буквы без индекса (на рисунке выше это А, В, С, D), а другие 4 вершины обозначают такими же буквами, но с нижним индексом 1: А1, B1, C1 и D1. При этом одноименные вершины (например, А и А1) находятся на одном ребре, которое располагается на рисунке вертикально.

Докажем некоторые свойства прямоугольного параллелепипеда.

12 dvugrannii ugol

Например, ребро АD пересекается с гранями АВВ1А1 и CDD1C1. Значит, оно перпендикулярно этим граням (точнее говоря, оно перпендикулярно плоскостям, проходящим через эти грани). Действительно, AD⊥DC, ведь ∠ADC является углом в прямоугольнике АВСD и потому он прямой. Аналогично и AD⊥DD1, ведь и ADD1A1 – прямоугольник. Получается, что ребро AD перпендикулярно 2 прямым в грани CDD1C1 (которые при этом пересекаются), и потому оно перпендикулярно и всей грани. То же самое можно продемонстрировать для любого ребра прямоугольного параллелепипеда и любой грани, которую она пересекает.

13 dvugrannii ugol

13 2 u prjamougolnogo parallelepipeda

Эти грани пересекаются по ребру А1D1. Этому ребру в свою очередь перпендикулярны ребра АА1 и А1В1, лежащие в гранях ADD1A1 и A1D1C1B1. Значит, ∠АА1В1 и будет углом между этими гранями. Но он составляет 90°, то есть грани перпендикулярны, ч. т. д.

Хотя у прямоугольного параллелепипеда есть 12 граней, многие из них имеют одинаковую длину. Поэтому для описания размеров этой фигуры достаточно указать только три параметра. Обычно их называют длиной, шириной и высотой:

14 dvugrannii ugol

Эти параметры также называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Зная их, можно вычислить длину диагонали прямоугольного параллелепипеда. Для этого используется следующая теорема:

15 dvugrannii ugol

Действительно, пусть есть прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1. Назовем ребро AD его длиной, АВ – шириной, а ВВ1 – высотой. Пусть необходимо найти длину диагонали В1D:

16 dvugrannii ugol

Сначала построим отрезок BD и рассмотрим ∆ABD. Он прямоугольный, и потому для него верна теорема Пифагора:

17 dvugrannii ugol

Теперь перейдем к ∆В1ВD. Так как ребро BB1 перпендикулярно грани ABCD, то ∠В1ВD – прямой. Тогда и ∆В1ВD – прямоугольный, а потому и для него можно записать теорему Пифагора:

18 dvugrannii ugol

Дополнительно отметим уже известный нам факт, что тот прямоугольный параллелепипед, у которого все стороны одинаковы, именуется кубом. Можно дать и такое определение куба:

19 dvugrannii ugol

Трехгранный угол

Выберем в пространстве произвольную точку K. Далее из нее проведем три луча КА, КВ и КС так, чтобы они не находились в одной плоскости:

20 dvugrannii ugol

В результате мы получили фигуру, которую именуют трехгранным углом. Она состоит их трех плоских углов: ∠АКС, ∠АКВ и ∠ВКС. Эти углы так и называются – плоские углы трехгранного угла. Сам же трехгранный угол обозначают четырьмя буквами: КАВС. Обратите внимание, что через каждую пару лучей КА, КВ и КС можно провести плоскость. Таким образом, название «трехгранный» угол показывает, что в точке К сходятся три грани. Чаще всего в стереометрии такой угол возникает при рассмотрении вершин тетраэдра, в котором есть сразу четыре трехгранных угла:

21 dvugrannii ugol

Доказательство. Пусть в пространстве из точки D выходят лучи AD, BD и CD. Важно понимать, что мы можем свободно «передвигать» точки А, В и С по лучам, и величина плоских углов при этом меняться не будет. Если среди плоских углов нет наибольшего, то теорема очевидно выполняется. Поэтому надо рассмотреть лишь случай, когда один из углов – наибольший. Пусть им будет ∠BDC:

22 dvugrannii ugol

Это возможно сделать, ведь ∠BDC > AD, поэтому внутри ∠BDC можно провести луч DK. Далее «сместим» точку А на луче АD так, чтобы DK = AD. Естественно, что при этом плоские углы трехгранного угла никак не изменятся, также как останется верным равенство

23 dvugrannii ugol

Сравним ∆ADC и ∆DKC. У них есть общая сторона DC, одинаковы стороны DK и AD, а также совпадают углы между ними. Значит, эти треугольники равны, и тогда можно записать, что:

24 dvugrannii ugol

Теперь сравним ∆ABD и ∆DBK. У них BD – общая сторона, а DK = AD. При этом BK < AB. В таком случае против меньшей стороны будет лежать меньший угол (смотри примечание после доказательства), то есть

25 dvugrannii ugol

Именно это неравенство и необходимо было доказать.

Примечание. В ходе доказательства было использовано утверждение, что если у двух треугольников две стороны одинаковы, в третьи стороны отличаются, то против меньшей третьей стороны будет располагаться меньший угол:

26 dvugrannii ugol

Это утверждение часто не рассматривается в курсе планиметрии, поэтому есть смысл доказать его отдельно. Действительно, пусть есть ∆АВС и ∆А’B’C’, АС = А’C’ и АВ = A’B’, а СВ < C’B’. Надо показать, что ∠А <∠A’. Для этого выразим стороны СВ и C’B’ (а точнее говоря, их квадраты) с помощью теоремы косинусов:

27 dvugrannii ugol

Из последнего неравенства на основе определения косинуса для углов из интервала от 0° до 180° вытекает, что и

28 dvugrannii ugol

Многогранный угол

Возможен случай, когда из одной точки в пространстве выходят не три, а большее количество лучей, причем образуемые ими углы не располагаются в единой плоскости. Такая фигура именуется многогранным углом. Трехгранный угол можно считать его частным случаем. Также его частными случаями будут четырехгранный угол, пятигранный угол, шестигранный угол и т. д.

Более наглядна следующая демонстрация многогранного угла. Построим на плоскости α произвольный многоугольник. Далее выберем какую-нибудь точку вне плоскости α и соединим ее с вершинами многоугольника с помощью лучей. При этом у нас как раз получится многогранный угол. Если, например, в качестве многоугольника мы использовали пятиугольник, то и получим мы пятигранный угол:

29 dvugrannii ugol

Важно отметить, что в данном случае состоит многогранный угол именно из лучей КА1, КА2, КА3…, а не из одноименных отрезков. То есть многогранный угол – это ни в коем случае не многогранник КА1А2А3А4А5, у него есть только одна вершина – точка К. Многогранник КА1А2А3А4А5 – это пирамида, такая фигура изучается в курсе стереометрии чуть позже. Многоугольник А1А2А3А4А5 – это сечение многогранного угла. Углы ∠А1КА2, ∠А2КА3, ∠А3КА4… – это плоские углы многогранного угла.

Заметим, что на исходный многоугольник на плоскости может быть как выпуклым, так и невыпуклым. Соответственно и многогранный угол может быть как выпуклым, так и невыпуклым:

30 dvugrannii ugol

Так как любой треугольник – это выпуклый многоугольник, то и любой трехгранный угол является выпуклым. В выпуклом угле все его точки лежат по одну сторону от любой плоскости, проходящей, через какие-нибудь два смежных луча угла. Вообще любое сечение многогранного угла представляет собой выпуклый многоугольник.

Докажем важное утверждение:

31 dvugrannii ugol

Для доказательства возьмем произвольный многогранный угол и проведем в нем сечение А1А2А3…Аn, которое будет являться выпуклым многоугольником:

32 dvugrannii ugol

32 2 postroenie piramidy edited

33 dvugrannii ugol

В последнем равенстве в каждой скобке стоят по два плоских угла в тех трехгранных углах, вершины которых совпадают с вершинами многоугольника А1А2А3…Аn. В предыдущей теореме мы выяснили, что эта сумма меньше третьего плоского угла, то есть

34 dvugrannii ugol

В правой части в скобках стоит сумма углов выпуклого n-угольника А1А2А3…Аn. Она, как мы знаем, составляет 180°•(n – 2), то есть

35 dvugrannii ugol

Последнее неравенство и необходимо было доказать.

Типичные задачи на углы между плоскостями

В школьной практике почти не встречаются задачи с многогранными углами, поэтому достаточно понимания и двугранного угла.

Задание. У тетраэдра ABCD все ребра одинаковы. Найдите величину двугранного угла между плоскостями АВС и АСD.

Решение. Отметим на ребре АС точку М, которая является его серединой:

36 dvugrannii ugol

Заметим, что плоскости АВС и АСD пересекаются по прямой АС. Раз все ребра тетраэдра одинаковы, то ∆АВС и ∆АСD – равносторонние. DM и BM – это медианы в ∆АВС и ∆АСD соответственно, ведь M – середина АС. Но раз треугольники равносторонние, то они одновременно являются и высотами, то есть BM⊥AC и DM⊥АС. Тогда ∠DMB как раз и представляет собой линейный угол двугранного угла BАСD. То есть именно его значение нам и надо вычислить (если, конечно, он окажется не больше 90°).

Пусть ребра тетраэдра имеют длину а. Тогда АМ вдвое короче. Найдем из прямоугольного ∆АМD длину MD:

37 dvugrannii ugol

38 dvugrannii ugol

Задание. Двугранный угол равен φ, меньший 90°. На одной из его граней отмечена точка К, которая находится на расстоянии d от другой грани. Каково расстояние между точкой К и ребром двугранного угла?

Решение. Пусть угол образован плоскостями α и β. Опустим из K два перпендикуляра – один на плоскость β в точку Н, а другой на линию пересечения плоскостей в точку Р:

39 dvugrannii ugol

По условию задачи ∠НРК = φ, а HK = d. Нам же надо найти РК. Это можно сделать, применив определение синуса к ∆РНК:

40 dvugrannii ugol

Задание. Верно ли, что плоскость, пересекающая две параллельные плоскости, образует с ними одинаковые углы?

Решение. Пусть есть параллельные друг другу плоскости α и β, а пересекает их плоскость γ. Линию пересечения α и γ обозначим как n, и такую же линию для β и γ обозначим как m:

41 dvugrannii ugol

Заметим, что m и n располагаются в одной плоскости γ и при этом не пересекаются, в противном случае у α и β нашлась бы общая точка, которой быть не должно. Значит, m||n.

Далее проведем в γ прямую р, перпендикулярную n. Раз m||n и р⊥n, то и р⊥m. То есть р – общий перпендикуляр для m и n.

Далее в α через точку пересечения n и p проведем прямую k, перпендикулярную n. Ясно, что k||β. После уже через точку пересечения m и p построим такую прямую k’, что k||k’:

42 dvugrannii ugol

Так как k||β и k||k’, то прямая k’ будет принадлежать плоскости β (по теореме 6 из этого урока). Так как k||k’, m||n и n⊥k, то по теореме о сонаправленных лучах можно утверждать, что и m⊥k’. Тогда углы, отмеченные на рисунке синим цветом – это и есть линейные углы двугранных углов. Они одинаковы, так как являются соответственными при секущей р и параллельных прямых k и k’. Если же двугранные углы равны, то одинаковы и углы между плоскостями, ч. т. д.

Примечание. Доказанный факт можно сформулировать в виде теоремы:

43 dvugrannii ugol

Она может быть использована при решении некоторых сложных задач.

Задание. В прямоугольном ∆АВС АВ и АС – катеты с длиной 7 и 24 соответственно. Через гипотенузу проведена плоскость β, образующая с плоскостью АВС угол 30°. Каково расстояние между точкой А и плоскостью β?

Решение.

44 dvugrannii ugol

Опустим из А перпендикуляр АН на β. Это и будет искомое нами расстояние. Также в ∆АВС построим высоту AD. Заметим, что раз АН⊥β, то по определению и АН⊥HD. Можно сказать, что HD – это проекция AD на β. Раз прямая ВС перпендикулярна наклонной AD, то она одновременно будет перпендикулярна и наклонной HD по обратной теореме о трех перпендикулярах.

Плоскости АВС и β пересекаются по прямой ВС, АD⊥ВС и HD⊥BC. Получается, что ADH – это как раз угол между АВС и β, и по условию он составляет 30°.

По теореме Пифагора вычислим гипотенузу ВС:

45 dvugrannii ugol

Теперь перейдем к ∆AHD. Он также прямоугольный (∠Н = 90°). Используем для него тригонометрию:

46 dvugrannii ugol

Задание. Известны измерения прямоугольного параллелепипеда. Его длина составляет 90 см, ширина – 20 см, а высота – 60 см. Какова длина диагонали такого параллелепипеда?

Решение. Обозначим измерения буквами а, b, с, а диагональ буквой d. Достаточно просто воспользоваться формулой:

47 dvugrannii ugol

Далее рассмотрим несколько задач, в которых надо найти угол между плоскостями, находящимися в кубе с ребром, чья длина составляет единицу.

Задание. Вычислите угол между гранью ADHЕ и сечением АBGН:

48 dvugrannii ugol

Решение. Заметим, что сечение АВGH содержит прямую АВ. Но АВ – это перпендикуляр к АЕНD. Если АВGH содержит перпендикуляр к ADH, то эти две плоскости перпендикулярны, и угол между ними составляет 90°.

Ответ: 90°.

Задание. Определите угол между гранью ADHE и сечением ADGF:

49 dvugrannii ugol

Решение. Две рассматриваемые плоскости пересекаются по ребру AD. Ребра DH и AD перпендикулярны как стороны квадрата. Так как AD – это перпендикуляр к грани СDHG, то AD⊥DG. Получается, что ∠HDG – это и есть искомый угол. Его величина равна 45°, ведь это угол между диагональю квадрата и его стороной.

Ответ: 45°.

Задание. Вычислите угол между сечениями АВGH и EFCD:

50 dvugrannii ugol

Решение. Пересекаются эти две плоскости по прямой KP, где K и P – точки пересечения диагоналей квадратов BFGH и AEHD. Докажем, что отрезки KG и KC перпендикулярны KP.

Действительно, рассмотрим четырехугольник АВGH. Ребра АВ и GH перпендикулярны граням AEHD и BFGH, поэтому все углы в АВGH – прямые, то есть это прямоугольник и BG||AH. Теперь рассмотрим четырехугольник АВKP. Стороны BK и AP параллельны и равны как половины равных отрезков BG и AH. Значит, BKAP – параллелограмм. Но в нем есть прямые углы ∠В и ∠А, поэтому BKAP – прямоугольник. Аналогично можно показать, что и KGHP – прямоугольник. Это и приводит к выводу о том, что KG⊥KP и PH⊥KP. Поэтому ∠СKG и является искомым углом между сечениями. Он является углом между диагоналями квадрата, то есть равен 90°.

Ответ: 90°.

Задание. Найдите угол между сечением AFH и гранью AEHD:

51 dvugrannii ugol

Решение. Обозначим середину диагонали AH буквой K. Докажем ∠EKF – искомый нами угол:

52 dvugrannii ugol

Действительно, плоскости AHD и AFH пересекаются по прямой AH. EK – медиана в равнобедренном ∆AEH с основанием AH, поэтому она также является и высотой, то есть EK⊥AH. AF и FH – диагонали в равных квадратах ABFE и EFGH, поэтому эти диагонали одинаковы. Значит, ∆AFH – равнобедренный, и поэтому его медиана FK также перпендикулярна основанию AH. Получается, что ∠EKF и является искомым. Вычислить его можно из ∆EKF.

Сначала найдем длину EK. В прямоугольном ∆AEK ∠KAE составляет 45° (угол между диагональю и стороной квадрата), поэтому

53 dvugrannii ugol

Задание. Вычислите угол между гранью BCGF и сечением AFH:

54 dvugrannii ugol

Решение. Вспомним, что в предыдущей задаче мы уже вычислили угол между гранью АЕHD и тем же сечением АFH. Но грани AEHD и BCFG параллельны, поэтому АFH должна пересекаться их под одним и тем же углом. Поэтому ответ этой задачи совпадает с ответом к предыдущей задаче.

Ответ: ≈ 54,74°.

Задание. Чему равен угол между сечениями АСH и AFGH?

55 dvugrannii ugol

Решение. Пусть диагонали СН и DG пересекаются в точке К. Точка K будет принадлежать обоим сечениям, как и точка А. Значит, сечения пересекаются по линии АК. Проведем в сечении AFGH через точку K прямую, перпендикулярны АК и пересекающую FG в какой-то точке Р (позже мы убедимся, что прямая действительно должна пересекать отрезок FG):

56 dvugrannii ugol

Докажем, что ∠CPK и является углом между сечениями. Мы специально провели РК так, что РК⊥АК. Теперь посмотрим на ∆АСН. Он равносторонний, ведь его стороны АС, СН и DH – это диагонали равных квадратов (граней куба). Прямая АК – медиана, ведь K – точка пересечения диагоналей квадрата СDHG, которая делит диагонали пополам. Но раз ∆АСН равносторонний, то его медиана – это ещё и высота, то есть АК⊥РК. Итак, АК⊥СК и АК⊥РК, поэтому ∠CPK – это угол между сечениями. Для его вычисления необходимо найти все стороны в ∆РСК и далее применить теорему косинусов.

Проще всего найти СК. ∆СKD – прямоугольный (∠К = 90°), а ∠СDK составляет 45° (угол между стороной и диагональю в квадрате). Тогда можно записать, что

57 dvugrannii ugol

Отдельно отметим, что отрезки GK и KD имеют такую же длину, ведь диагонали в квадрате (а значит и их половины) одинаковы.

Для нахождения РК покажем отдельно плоскость AFG, то есть красное сечение:

58 dvugrannii ugol

Обозначим ∠KAD как φ. Тогда ∠АКD будет составлять 90 – φ. Углы ∠АКD, ∠АKP и ∠PKG в сумме дают 180°, что позволяет найти ∠PKG:

59 dvugrannii ugol

Получилось, что у ∆АКD и ∆PKG есть по два одинаковых угла (φ и 90°). Значит, они подобны. Составим такую пропорцию:

60 dvugrannii ugol

Теперь можно вернуться ко всему кубу и найти отрезок РС. Здесь снова можно применить теорему Пифагора, но уже к ∆PCG:

61 dvugrannii ugol

Теперь для ∆PCK мы можем записать теорему косинусов

62 dvugrannii ugol

Неожиданно мы доказали, что два построенных сечения перпендикулярны друг другу. Прийти к этому выводу можно было и иначе. Достаточно было бы показать, что прямая CH – это перпендикуляр к сечению AFGD. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Ответ: 90°.

Задание. Вычислите угол между сечениями BDHF и ADGF:

63 dvugrannii ugol

Решение. У сечений общими являются точки F и D. Значит, именно по прямой FD они пересекаются.

Опустим в синей сечении BDHF перпендикуляр на FD, который упадет в некоторую точку K:

64 dvugrannii ugol

Докажем, что отрезок GK также перпендикулярен FD. Действительно, BK – это высота в ∆BDF. Но ∆BDF и ∆GDF равны, ведь они одинаковы все три стороны (FD – общая сторона, BF и FG – ребра куба, BD и DG – диагонали на гранях куба). В равных треугольниках высоты должны делить стороны на равные отрезки, поэтому высота, опущенная из G на FD, также разделит FD на отрезки FK и KD. То есть она просто упадет в точку K. Это и значит, что KG – высота. Получается, что нам надо вычислить ∠BKG.

Сначала найдем длину диагоналей BD и BG. Можно применить теорему Пифагора для ∆BFG:

65 dvugrannii ugol

KG имеет ту же длину, ведь KG и BK – одинаковые высоты в равных треугольниках ∆BDF и ∆GDF.

Теперь используем теорему косинусов для ∆BKG:

66 dvugrannii ugol

Мы вычислили двугранный угол, но он оказался больше 90°. Это значит, угол между плоскостями равен не 120°, а 180° – 120°, то есть 60°.

Ответ: 60°.

Сегодня мы познакомились с понятием двугранного угла, научились вычислять углы между плоскостями. В частном случае вместо вычисления угла можно просто доказать перпендикулярность плоскостей.

Добавить комментарий