Центральные и вписанные углы
О чем эта статья:
Центральный угол и вписанный угол
Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.
Определение центрального угла:
Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF
Определение вписанного угла:
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC
Свойства центральных и вписанных углов
Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
- Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:
Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.
- Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
- Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
- Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.
Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.
Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
- Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.
AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.
- Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
- Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.
ㄥBAC + ㄥBDC = 180°
Примеры решения задач
Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?
Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°
Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°
Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?
СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°
Как найти угол через дуги окружности
Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?
Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Основные термины.
Хорошо ли ты помнишь все названия, связанные с окружностью? На всякий случай напомним – смотри на картинки – освежай знания.
Ну, во-первых – центр окружности – такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.
Во-вторых – радиус – отрезок, соединяющий центр и точку на окружности.
Радиусов очень много (столько же, сколько и точек на окружности), но длина у всех радиусов – одинаковая.
Иногда для краткости радиусом называют именно длину отрезка «центр – точка на окружности», а не сам отрезок.
А вот что получится, если соединить две точки на окружности? Тоже отрезок?
Так вот, этот отрезок называется «хорда».
Тут есть ещё одно принятое выражение: «хорда стягивает дугу». Вот, здесь на рисунке, например, хорда стягивает дугу . А если хорда вдруг проходит через центр, то у неё есть специальное название: «диаметр».
Так же, как и в случае с радиусом, диаметром часто называют длину отрезка, соединяющего две точки на окружности и проходящего через центр. Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же, радиус равен половине диаметра.
Кроме хорд бывают еще и секущие.
Вспомнили самое простое?
А теперь – названия для углов.
Центральный угол – угол между двумя радиусами.
Естественно, не правда ли? Стороны угла выходят из центра – значит, угол – центральный.
А теперь – вписанный угол
Вписанный угол – угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности.
При этом говорят, что вписанный угол опирается на дугу (или на хорду) .
Вот здесь иногда возникают сложности. Обрати внимание – НЕ ЛЮБОЙ угол внутри окружности – вписанный, а только такой, у которого вершина «сидит» на самой окружности.
Смотри на картинку:
Измерения дуг и углов.
Длина окружности. Дуги и углы измеряются в градусах и радианах. Сперва о градусах. Для углов проблем нет – нужно научиться измерить дугу в градусах.
Градусная мера (величина дуги) – это величина (в градусах) соответствующего центрального угла
Что здесь значит слово «соответствующего»? Смотрим внимательно:
Видишь две дуги и два центральных угла? Ну вот, большей дуге соответствует больший угол (и ничего страшного, что он больше ), а меньшей дуге соответствует меньший угол.
Итак, договорились: в дуге содержится столько же градусов, сколько в соответствующем центральном угле.
А теперь о страшном – о радианах!
Что же это за зверь такой «радиан»?
Представь себе: радианы – это способ измерения угла … в радиусах!
Угол величиной радиан – такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.
Тогда возникает вопрос – а сколько же радиан в развёрнутом угле?
Иными словами: сколько радиусов «помещается» в половине окружности? Или ещё по-другому: во сколько раз длина половины окружности больше радиуса?
Этим вопросом задавались учёные ещё в Древней Греции.
И вот, после долгих поисков они обнаружили, что отношение длины окружности к радиусу никак не хочет выражаться «человеческими» числами вроде и т.п.
И даже не получается выразить это отношение через корни. То есть, оказывается, нельзя сказать, что половина окружности в раза или в раз больше радиуса! Представляешь, как удивительно это было обнаружить людям впервые?! Для отношения длины половины окружности к радиусу на хватило «нормальных» чисел. Пришлось вводить букву .
Итак, – это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.
Теперь мы можем ответить на вопрос: сколько радиан в развёрнутом угле? В нём радиан. Именно оттого, что половина окружности в раз больше радиуса.
Древние (и не очень) люди на протяжении веков (!) попытались поточнее подсчитать это загадочное число , получше выразить его (хоть приблизительно) через «обыкновенные» числа. А мы сейчас до невозможности ленивы – нам достаточно двух знаков после занятой, мы привыкли, что
Задумайся, это значит, например, что y окружности с радиусом единица длина приблизительно равна , а точно эту длину просто невозможно записать «человеческим» числом – нужна буква . И тогда эта длина окружности окажется равной . И конечно, длина окружности радиуса равна .
Вернёмся к радианам.
Мы выяснили уже, что в развёрнутом угле содержится радиан.
Исходя из этого, можно пересчитать любые углы «в градусах» на углы «в радианах». Для этого нужно просто решить пропорцию! Давай попробуем. Возьмём угол в .
Значит, рад., то есть рад. Таким же образом получается табличка с наиболее популярными углами.
Итак, осознай и не бойся: если ты видишь букву или выражение и т.п., то речь идёт об угле и, по сути, запись через букву всегда выражает, какую часть от развёрнутого угла составляет тот угол, о котором идёт речь. А для убедительности ещё раз взгляни на табличку
| от , то есть от |
| от , то есть от |
| от , то есть от |
| это и есть |
| в раза больше, чем |
| А это раза по , то есть |
Соотношение между величинами вписанного и центрального углов.
Имеет место удивительный факт:
Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла.
Посмотри, как это утверждение выглядит на картинке. «Соответствующий» центральный угол такой, у которого концы совпадают с концами вписанного угла, а вершина в центре. И при этом «соответствующий» центральный угол должен «смотреть» на ту же хорду ( ), что и вписанный угол.
Почему же так? Давай разберёмся сначала на простом случае. Пусть одна из хорд проходит через центр. Ведь бывает же так иногда, верно?
Что же тут получается? Рассмотрим . Он равнобедренный – ведь и – радиусы. Значит, (обозначили их ).
Теперь посмотрим на . Это же внешний угол для ! Вспоминаем, что внешний угол равен сумм двух внутренних, не смежных с ним, и записываем:
То есть ! Неожиданный эффект. Но и есть центральный угол для вписанного .
Значит, для этого случая доказали, что центральный угол вдвое больше вписанного. Но уж больно частный случай: правда ведь, далеко не всегда хорда проходит прямиком через центр? Но ничего, сейчас этот частный случай нам здорово поможет. Смотри: второй случай: пусть центр лежит внутри .
Давай сделаем вот что: проведём диаметр . И тогда … видим две картинки, которые уже разбирали в первом случае. Поэтому уже имеем, что
Значит, (на чертеже , а )
Ну вот, и остался последний случай: центр вне угла .
Делаем то же самое: проводим диаметр через точку . Все то же самое, но вместо суммы – разность.
Давай теперь сформируем два главных и очень важных следствия из утверждения о том, что вписанный угол вдвое меньше центрального.
Следствие 1
Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.
Вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу (у нас эта дуга ) – бесчисленное множество, они могут выглядеть совсем по-разному, но у них у всех один и тот же центральный угол ( ), а значит, все эти вписанные углы равны между собой.
Следствие 2
Угол, опирающийся на диаметр – прямой.
Смотри: какой угол является центральным для ?
Конечно, . Но он равен ! Ну вот, поэтому (а так же ещё множество вписанных углов, опирающихся на ) и равен .
Угол между двумя хордами и секущими
А что, если интересующий нас угол НЕ вписанный и НЕ центральный, а, например, такой:
Можно ли его как-то выразить всё-таки через какие-то центральные углы? Оказывается, можно. Смотри: нас интересует .
a) ( как внешний угол для ). Но — вписанный, опирается на дугу — . – вписанный, опирается на дугу — .
Для красоты говорят:
Угол между хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключённых в этот угол.
– так пишут для краткости, но конечно, при использовании этой формулы нужно иметь в виду центральные углы
b) А теперь — «снаружи»! Как же быть? Да почти так же! Только теперь (снова применяем свойство внешнего угла для ). То есть теперь .
И значит, . Наведём красоту и краткость в записях и формулировках:
Угол между секущими равен полуразности угловых величин дуг, заключённых в этот угол.
Ну вот, теперь ты вооружён всеми основными знаниями об углах, связанных с окружностью. Вперёд, на штурм задач!
P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это — не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время.
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник “YouClever” (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки “100gia”.
Условия их приобретения изложены здесь. Кликните по этой ссылке, приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!
И в заключение.
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Комментарии
Очень полезная информация. Доступные объяснения. Здорово! Спасибо!
Спасибо, Елена! Попробуйте так же наш пробные ОГЭ и ЕГЭ. Он так же хорош.
В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.
Количество источников, использованных в этой статье: 5. Вы найдете их список внизу страницы.
Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.
Дуга – это некоторая часть окружности. [1] Длина дуги равна расстоянию между двумя точками, которые лежат на окружности. Чтобы вычислить длину дуги, необходимо иметь некоторое представление о геометрии окружности. Так как дуга представляет собой часть окружности, нужно найти величину центрального угла (в градусах или радианах), а затем вычислить длину дуги.
Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.
На рисунке — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.
Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается.
Значит, центральный угол величиной в градусов будет опираться на дугу, равную , то есть круга. Центральный угол, равный , опирается на дугу в градусов, то есть на шестую часть круга.
Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.
Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».
Равные центральные углы опираются на равные хорды.
1 . Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
2 . Центральный угол на больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Пусть центральный угол равен , а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен .
Мы знаем, что .
Отсюда ,
.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
3 . Радиус окружности равен . Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.
Пусть хорда равна . Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим .
В треугольнике стороны и равны , сторона равна . Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол равен .
Тогда дуга равна , а дуга равна .
Вписанный угол опирается на дугу и равен половине угловой величины этой дуги, то есть .
4 . Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как . Под каким углом видна эта хорда из точки , принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки ?»
Представьте, что вы сидите в точке и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде . Так, как будто хорда — это экран в кинотеатре 🙂
Очевидно, что найти нужно угол .
Сумма двух дуг, на которые хорда делит окружность, равна , то есть
Отсюда , и тогда вписанный угол опирается на дугу, равную .
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол равен .
Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
Обучающее видео
БЕСПЛАТНО
Техническая поддержка:
help@ege-study.ru (круглосуточно)
Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!
Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.
Все поля обязательны для заполнения
Премиум
Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.
Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса — от 3,5 до 4,5 часов.
- Уравнения (задача 13)
- Стереометрия (задача 14)
- Неравенства (задача 15)
- Геометрия (задача 16)
- Финансовая математика (задача 17)
- Параметры (задача 18)
- Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).
Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.
Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум — репетитор-профессионал Анна Малкова.
Получи пятерку
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.
Задачи комплекта «Математические тренинги — 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.
Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.
Как пользоваться?
- Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
- Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
- Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
- Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
- Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.
Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» — всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.
Геометрия
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Центральный угол и градусная мера дуги
Любые две точки на окружности разбивают ее на две дуги. Чтобы отличать эти дуги, на каждой из них ставят точку, которую и указывают в обозначении дуги:
Здесь красным цветом показана⋃АСВ, а синим – ⋃ADB. Однако иногда для простоты указывают только концы дуги, то есть используют обозначение ⋃AВ. Это делается тогда, когда ясно, о какой дуге окружности идет речь. Обычно всегда подразумевается та дуга, которая меньше.
Можно заметить, что дуги отличаются по размеру, поэтому возникает потребность их измерения. Для этого используют такое понятие, как градусная мера дуги.
Для ее определения необходимо соединить концы дуги с центром окруж-ти. В результате получаются радиусы, которые пересекаются в центре окружности. Угол между ними именуется центральным углом окруж-ти.
Для каждой дуги можно построить единственный центральный угол, поэтому логично измерять дугу с помощью такого угла. Правда, обратное неверно. На рисунке видно, что центральному углу ∠АОВ соответствует сразу две дуги: ⋃АСВ и ⋃АDB:
Поэтому условно считают, градусная мера той из двух дуг, которая меньше, как раз и равна центральному углу:
Дуги, также как отрезки или углы, можно складывать или вычитать. Например, пусть есть две дуги, ⋃AВ и ⋃ВС, чьи градусные меры составляют 40° и 30°.
Как найти ⋃АС? Ей соответствует центральный угол ∠АОС, который в свою очередь равен сумме ∠АОВ и ∠ВОС:
Диаметр делит окруж-ть на две равные друг другу дуги, которые называются полуокружностями. При этом диаметр окружности можно рассматривать как угол между двумя радиусами, равный 180°. Получается, что градусная мера полуокружности составляет 180°:
Вместе две полуокружности образуют полную окруж-ть. Получается, что градусная мера всей окруж-ти составляет 180° + 180° = 360°.
Этот факт известен и из жизни – когда кто-то делает полный оборот вокруг своей оси, говорят, что он повернулся на 360°. Теперь мы можем вернуться к случаю, когда две точки делят окруж-ть на две неравные друг другу дуги. Градусная мера меньшей из них будет равна величине соответствующего центрального угла (обозначим его как α). В сумме две дуги должны дать 360°. Значит, градусная мера большей дуги будет составлять 360° – α:
Задание. Точки А, В, С и D лежат на одной окруж-ти. Известно, что ⋃АСВ составляет 107°. Какова величина ⋃ADB?
Решение. Вместе дуги ⋃АСВ и ⋃АDВ образуют полную окруж-ть, поэтому их сумма равна 360°. Это позволяет составить уравнение и найти из него ⋃АDB:
Задание. Найдите величину ∠АОС на рисунке, если известны ⋃AВ и ⋃ВС:
Решение. Сначала найдем ⋃АС, учтя, что все три дуги, показанные на рисунке, в сумме составляют 360°:
Для доказательства построим две одинаковые хорды AВ и СD в окруж-ти и соединим их концы с центром:
В результате получились ∆АОВ и ∆ОСD. У них равны все три стороны, значит, сами эти треугольники равны. Тогда
∠COD = ∠AOB
Но эти углы – центральные для дуг ⋃AВ и ⋃CD. Получается, что у этих дуг одинаковы их градусные меры, поэтому они также равны, ч. т. д.
Примечание. Всякая хорда окружности разбивает ее на две дуги – большую и меньшую. В данном правиле говорится именно равенстве меньших дуг.
Задание. На окруж-ти отмечены точки А, В и С так, что хорды AВ, ВС и АС равны. Найдите угол между радиусами окружности АО и ВО.
Дуги ⋃AВ, ⋃ВС и ⋃АС стянуты равными хордами AВ, ВС и АС. Значит, они одинаковы. Но в сумме эти три дуги образуют окруж-ть величиной в 360°. Значит, каждая из этих дуг втрое меньше:
⋃AВ = ⋃BC = ⋃AC = 360°:3 = 120°
∠АОВ – центральный для ⋃AВ, значит, он равен ее градусной мере, то есть он составляет 120°.
Вписанный угол
В окруж-ти можно построить ещё один угол, который именуют вписанным углом. Его отличие от центрального заключается в том, что его вершина лежит на окруж-ти, а не в ее центре. Сторонами же вписанного угла являются хорды окруж-ти.
Здесь дуга ⋃ВС находится внутри угла, а ее концы лежат на его сторонах. В таких случаях говорят, что ∠ВАС опирается на дугу ВС. Оказывается, что между величиной вписанного угла и дугой, на которую он опирается, есть взаимосвязь.
Обозначим вписанный угол ∠СAВ буквой α. Так как радиусы АО и ОС одинаковы, то ∆АОС – равнобедренный, и тогда углы при его основании будут одинаковы:
∠СОВ – внешний для ∆АОС. Напомним, что такой угол равен сумме тех 2 углов треуг-ка, которые с ним не смежны. В частности, в данном случае можно записать
∠СОВ = ∠OCA = ∠OAC = α + α = 2α
Но этот же угол – центральный, и его величина равна ⋃ВС:
Получается, что дуга вдвое больше вписанного угла.
Далее рассмотрим случай, когда диаметр, проведенный из вершины вписанного угла, делит его на две части:
В этом случае вписанный угол ∠СAВ можно представить как сумму углов ∠САD (обозначен как α)и ∠ВАD (обозначен как β). Мы уже доказали, что дуги, на которые опираются эти углы, вдвое больше самих углов:
Осталось рассмотреть третий случай, при котором обе стороны вписанного угла ∠ВАС лежат по одну сторону от диаметра:
Если здесь обозначить ∠САD как α, а ∠ВАD как β, то интересующий нас ∠СAВ можно представить как их разность:
Итак, во всех трех возможных случаях вписанный угол оказывается вдвое меньше дуги, на которую он опирается.
Задание. Найдите ∠ВАС на рисунке:
Задание. Найдите вписанный ∠AВС, сели прилегающие к нему дуги ⋃AВ и ⋃ВС равны 100° и 128°.
Решение. В сумме дуги ⋃АС, ⋃ВС и ⋃AВ образуют окруж-ть, поэтому их сумма составляет 360°. Тогда можно найти ⋃АС:
Задание. Найдите дугу ⋃SM на рисунке:
Решение. Сначала найдем дугу ⋃MN, она вдвое больше соответствующего ей вписанного угла:
⋃NM = 2*∠NSM = 2*35° = 70°
Заметим, что ⋃SN– это полуокружность, то есть она составляет 180°. При этом ⋃SM и ⋃MN вместе как раз образуют эту полуокружность, то есть их сумма также составляет 180°. Значит, ⋃МS можно найти, вычтя из полуокружности ⋃MN:
⋃MS = ⋃SN – ⋃MN = 180° – 70° = 110°
Заметим, что для одной дуги можно построить несколько вписанных углов. Каждый из них будет равен половине дуги, то есть все эти углы окажутся одинаковыми.
Задание. Найдите ∠АСD на рисунке:
Решение. Так как ∠ACD и ∠ABD опираются на одну дугу ⋃AD, то они должны быть одинаковыми:
∠ACD = ∠ABD = 63°
Задание. Докажите, что две дуги, находящиеся между двумя параллельными секущими окруж-ти, равны друг другу.
Нам надо доказать, что ⋃AВ и ⋃CD равны, если АС||BD. Проведем секущую ВС:
∠СВD и ∠АСВ равны, ведь они накрест лежащие. Получается, что ⋃AВ и ⋃CD являются основаниями равных вписанных углов. Отсюда вытекает, что эти дуги должны быть равными.
Напомним, что диаметр разбивает окруж-ть на две дуги по 180°. Отсюда можно сделать вывод – любой угол, опирающийся на полуокружность, должен составлять 180°:2 = 90°:
Задание. Диаметр окруж-ти AВ равен 17. Хорда ВС имеет длину 8. Какова длина хорды АС?
Так как ∠АСВ опирается на диаметр AВ, то он прямой. Значит, и ∆АСВ – прямоугольный, причем диаметр AВ в нем – гипотенуза. Неизвестный катет можно найти по теореме Пифагора:
Задание. Окруж-ть разбита на две дуги, ⋃AВС и ⋃СDA. Известно, что ∠AВС = 72°. Найдите ∠ADC.
Зная ∠AВС, мы легко найдем дугу ⋃ADC, она вдвое больше опирающегося на нее вписанного угла:
Углы между хордами и секущими
До этого мы рассматривали простые углы в окруж-ти, вершины которых лежали либо на самой окруж-ти, либо в ее центре. Однако иногда хорды и секущие пересекаются в другой точке, либо внутри, либо вне окруж-ти. Рассмотрим подобные задачи.
Более прост случай, когда необходимо найти угол между двумя пересекающимися хордами. Пусть хорды при пересечении образовали дуги ⋃AВ и ⋃СD величиной α и β. Каков угол между ними?
Проведем ещё одну хорду АD. В результате получим вписанные ∠САD и ∠ADB, которые будут равны половинам от соответствующих дуг, то есть α/2 и β/2. Интересующий нас ∠СPD оказывается внешним для ∆APD, и потому равен сумме двух углов в ∆APD (тех, которые с ним не смежны), то есть он составляет величину α/2 + β/2:
Величину α/2 + β/2 можно записать и иначе, вынеся множитель 1/2 за скобки:
Эту величину можно назвать полусуммой дуг, на которые опирается интересующий нас угол.
Задание. Найдите ∠МКВ на рисунке:
Решение. Интересующий нас угол опирается на хорды величиной 38° и 42°. Значит, он равен половине от их суммы:
∠MKB = (42° + 38°)/2 = 80°/2 = 40°
В более сложном случае необходимо найти угол между секущими, которые пересекаются вне окруж-ти. При этом известны дуги, образованные этими секущими:
Снова проведем хорду АD, чтобы у нас получились два вписанных угла, ∠ADB и ∠СAD, которые соответственно будут иметь величину β/2 и α/2:
Теперь уже ∠САD оказывается внешним для ∆ADK, а потому он является суммой двух других углов:
В итоге получили, что угол между секущими составляет половину от разности дуг, которые они отсекают от окруж-ти.
Задание. Найдите на рисунке величину∠К, если ⋃AВ и ⋃СD соответственно равны 42° и 130°:
Решение. В этой задаче просто используем доказанную теорему об углах между секущими. Искомый угол составляет половину от разности дуг, заключенных между секущими:
∠K = (130° – 42°):2 = 88°/2 = 44°
Теорема о произведении отрезков хорд
Можно заметить, что при пересечении двух хорд образуется пара подобных треугольников. Пусть хорды ADи ВС пересекаются в точке K. Добавим хорды AВ и СD и получим ∆AВК и ∆КСD:
На дугу ⋃BD опираются вписанные углы∠А и ∠С, значит, они одинаковы. Также на одну дугу АС опираются ∠D и∠В, поэтому и они одинаково. Равенство двух углов уже означает, что треугольники подобны по первому признаку подобия (дополнительно можно заметить, что ∠АКВ и ∠СКD равны как вертикальные углы).
Из подобия ∆AВК и ∆СКD вытекает пропорция между их сторонами:
Перемножив члены пропорции крест накрест, получим соотношение:
В результате нам удалось доказать следующее утверждение:
Задание. Хорды AВ и CD пересекаются в точке М. Известны, что АМ = 9, МВ = 3, МС = 2. Какова длина отрезка МD?
Хорда AВ разбивается на отрезки АМ и МВ, а хорда CD – на отрезки СМ и МD. Произведения этих отрезков одинаковы:
Подставим в это равенство известные величины
Рассмотрим ещё одну геометрическую конструкцию. Пусть из некоторой точки А к окруж-ти проведена как касательная к окружности АК, так и секущая, пересекающая окруж-ть в точках В и С:
Какие здесь есть взаимосвязи между углами и длинами отрезков? Для начала проведем хорды ВК и СК, а также радиусы ОК и ОВ. Обозначим буквой α угол ∠ВСК. Он вписанный, поэтому дуга, на которую он опирается (это ⋃ВК), вдвое больше и равна 2α. Тогда и центральный угол ∠ВОК также составляет 2α:
Теперь исследуем ∆ВОК. Он равнобедренный (ВО и ОК – одинаковые радиусы), поэтому углы при его основании совпадают:
Итак, углы при основании ∆ОВК, в частности ∠ОКВ, равны 90° – α. Заметим, что ∠ОКА – прямой, так как образован радиусом ОК и касательной АК, при этом он состоит из двух углов, ∠АКВ и ∠ВКО. Это позволяет найти ∠АКВ:
В результате мы получили важный промежуточный результат – угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, вдвое меньше образующейся при этом дуги.
Вернемся к картинке с секущей. Изначально как α мы обозначили ∠ВСК, но в результате получили, что и ∠АКВ = α.
Рассмотрим ∆AВК и ∆САК. У них есть общий∠А, а также одинаковые ∠AКВ и ∠ВСК, которые отмечены буквой α. Значит, ∆AВК и ∆САК подобны, поэтому мы имеем право записать пропорцию между его сторонами:
Здесь отрезок АС можно назвать секущей, а AВ – ее внешней частью. Тогда выведенное отношение можно сформулировать так:
Решение. Сначала находим длину всей секущей, пользуясь доказанной теоремой:
Решение. Проведем из точки А ещё и касательную АК к окруж-ти:
Величину квадрата касательной АК можно найти, используя секущую АС. Сначала вычислим длину АС:
Задачи на квадратной решетке
Рассмотрим несколько несложных задач, часто встречающихся на экзаменах.
Задание. Найдите ∠AВС на рисунке:
Решение. Здесь следует заметить, что расстояние между А и С составляет 8 клеток, при этом в окруж-ть как раз можно вписать квадрат со стороной 8.
Такой квадрат разобьет окруж-ть на 4 дуги, причем так как эти дуги опираются на хорды одинаковой длины, то они и сами равны. Вся окруж-ть составляет 360°, значит, каждая из этих дуг составляет 360°:4 = 90°. ∠AВС – вписанный, то есть он составляет половину дуги, на которую он опирается, а это⋃АС, равная 90°. Тогда
Задание. Найдите ∠AВС, используя рисунок:
Решение. Используя рассуждения из предыдущей задачи, легко определить, что∠А составляет 45°.При этом ∆AВС – равнобедренный, и ВС – его основание. Это следует хотя бы из того факта, что высота АН делит сторону ВН пополам.
Углы∠В и ∠С одинаковы, так как лежат при основании равнобедренного треуг-ка. Найдем их, используя тот факт, что все 3 угла в ∆AВС составляют в сумме 180°:
Задание. Вычислите ∠AВС:
Решение. Снова в окруж-ть можно вписать квадрат со стороной 8 клеток. Из этого следует что ⋃АВС составляет 90° (показана фиолетовым цветом):
Но ∠АВС опирается на синюю дугу. Так как вместе фиолетовая и синяя дуга составляют окружность, равную 360°, то синяя дуга должна быть равна 360° – 90° = 270°. ∠АВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 270°:2 = 135°.
Задание. Чему равен ∠AВС на рисунке?
Если вписать в окруж-ть квадрат то он разобьет окруж-ти на дуги по 90°. В свою очередь точка А является серединой такой дуги, то есть она разбивает ее на две дуги по 45°.
∠AВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 22,5°.
[spoiler title=”источники:”]
http://hd01.ru/info/kak-najti-ugol-cherez-dugi-okruzhnosti/
http://100urokov.ru/predmety/urok-10-ugly-v-okruzhnosti
[/spoiler]
Угол дуги окружности с учетом длины дуги и окружности Решение
ШАГ 0: Сводка предварительного расчета
ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок
Длина дуги окружности: 4 метр –> 4 метр Конверсия не требуется
Окружность окружности дуги окружности: 30 метр –> 30 метр Конверсия не требуется
ШАГ 2: Оцените формулу
ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода
0.837758040957278 Радиан –>48.000000000009 степень (Проверьте преобразование здесь)
4 Угол дуги окружности Калькуляторы
Угол дуги окружности с учетом длины дуги и окружности формула
Угол дуги окружности = (2*pi*Длина дуги окружности)/Окружность окружности дуги окружности
∠Arc = (2*pi*lArc)/CCircle
Что такое дуга окружности?
Дуга окружности — это, по сути, часть окружности круга. В частности, это кривая, отрезанная от границы круга под определенным центральным углом, который представляет собой угол, образуемый конечными точками кривой по отношению к центру круга. Любые две точки на окружности дадут пару дополнительных дуг. Из них большая дуга называется большой дугой, а меньшая дуга называется малой дугой.
Что такое Круг?
Окружность — это базовая двумерная геометрическая фигура, которая определяется как совокупность всех точек на плоскости, находящихся на фиксированном расстоянии от фиксированной точки. Фиксированная точка называется центром круга, а фиксированное расстояние называется радиусом круга. Когда два радиуса становятся коллинеарными, эта общая длина называется диаметром круга. То есть диаметр — это длина отрезка внутри круга, проходящего через центр, и он будет в два раза больше радиуса.
Что такое центральный угол?
Центральный угол окружности образуется двумя радиусами. Окружность состоит из дуг и центральных углов. Центральный угол измеряется с помощью длины дуги и радиуса. Задачи центрального угла могут быть решены с помощью формулы центрального угла.
На рисунке ниже, центральный угол окружности, угол (θ), образованный между двумя радиусами:
Мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
(∠ MON =MN)
Формула для центрального угла в градусах окружности вычисляетяс следующим образом, если известна длина дуги в метрах, сантиметрах и др.
( a=frac{L*360}{2*π×r})
(L-)длина дуги
Пример 1. Найдите Центральный угол, если длина радиуса (11) см, а длина дуги около (14) см?
Решение:
Найдем Центральный угол окружности по формуле:
(θ =frac{ 14 × 360}{2 × 3.14 × 11}=frac{5040}{69,08}=72,95)
Центральный угол равен (72,95) градуса
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Вписанный и центральный угол окружности — коротко о главном
Центр окружности – такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.
Радиус – отрезок, соединяющий центр и точку на окружности.
Радиусов очень много (столько же, сколько и точек на окружности), но длина у всех радиусов – одинаковая.
Иногда для краткости радиусом называют именно длину отрезка «центр – точка на окружности», а не сам отрезок.
А вот что получится, если соединить две точки на окружности? Тоже отрезок? Так вот, этот отрезок называется «хорда».
Тут есть ещё одно принятое выражение: «хорда стягивает дугу». Вот, здесь на рисунке, например, хорда ( displaystyle AB) стягивает дугу ( displaystyle AB).
А если хорда вдруг проходит через центр, то у неё есть специальное название: «диаметр».
Так же, как и в случае с радиусом, диаметром часто называют длину отрезка, соединяющего две точки на окружности и проходящего через центр. Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же,
Радиус равен половине диаметра.
Кроме хорд бывают еще и секущие.
Вспомнили самое простое?
А теперь – названия для углов.
Центральный угол – угол между двумя радиусами.
Естественно, не правда ли? Стороны угла выходят из центра – значит, угол – центральный.
А теперь – вписанный угол.
Вписанный угол – угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности.
При этом говорят, что вписанный угол ( displaystyle ABC) опирается на дугу (или на хорду) ( displaystyle AC).
Вот здесь иногда возникают сложности. Обрати внимание – НЕ ЛЮБОЙ угол внутри окружности – вписанный, а только такой, у которого вершина «сидит» на самой окружности.
Смотри на картинку:
Измерение дуг и углов окружности
Длина окружности. Дуги и углы измеряются в градусах и радианах.
Сперва о градусах
Для углов проблем нет – нужно научиться измерять дугу в градусах.
Градусная мера (величина дуги) – это величина (в градусах) соответствующего центрального угла
Что здесь значит слово «соответствующего»? Смотрим внимательно:
Видишь две дуги ( displaystyle AB) и два центральных угла?
Ну вот, большей дуге соответствует больший угол (и ничего страшного, что он больше ( displaystyle 180{}^circ )), а меньшей дуге соответствует меньший угол.
Итак, договорились: в дуге содержится столько же градусов, сколько в соответствующем центральном угле.
А теперь о радианах
Что же это за зверь такой «радиан»?
Представь себе: радианы – это способ измерения угла … в радиусах!
Угол величиной ( displaystyle 1) радиан – такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.
Тогда возникает вопрос – а сколько же радиан в развёрнутом угле?
Иными словами: сколько радиусов «помещается» в половине окружности? Или ещё по-другому: во сколько раз длина половины окружности больше радиуса?
Этим вопросом задавались учёные ещё в Древней Греции.
И вот, после долгих поисков они обнаружили, что отношение длины окружности к радиусу никак не хочет выражаться «человеческими» числами вроде ( displaystyle 1,text{ }2,text{ }3,frac{7}{5},frac{2}{239}) и т.п.
И даже не получается выразить это отношение через корни. То есть, оказывается, нельзя сказать, что половина окружности в ( displaystyle 2,5) раза или в ( displaystyle sqrt{17}) раз больше радиуса!
Представляешь, как удивительно это было обнаружить людям впервые?! Для отношения длины половины окружности к радиусу на хватило «нормальных» чисел. Пришлось вводить букву ( displaystyle pi ).
Итак, ( displaystyle pi ) – это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.
Теперь мы можем ответить на вопрос: сколько радиан в развёрнутом угле? В нём ( displaystyle pi ) радиан. Именно оттого, что половина окружности в ( displaystyle pi ) раз больше радиуса.
Древние (и не очень) люди на протяжении веков (!) попытались поточнее подсчитать это загадочное число ( displaystyle pi ), получше выразить его (хоть приблизительно) через «обыкновенные» числа. А мы сейчас до невозможности ленивы – нам достаточно двух знаков после занятой, мы привыкли, что
( displaystyle pi approx 3,14)
Задумайся, это значит, например, что y окружности с радиусом единица длина приблизительно равна ( displaystyle 6,28), а точно эту длину просто невозможно записать «человеческим» числом – нужна буква ( displaystyle pi ).
И тогда эта длина окружности окажется равной ( displaystyle 2pi ). И конечно, длина окружности радиуса ( displaystyle R) равна ( displaystyle 2pi R).
Вернёмся к радианам.
Мы выяснили уже, что в развёрнутом угле содержится ( displaystyle pi ) радиан.
Исходя из этого, можно пересчитать любые углы «в градусах» на углы «в радианах». Для этого нужно просто решить пропорцию! Давай попробуем. Возьмём угол в ( displaystyle 30{}^circ ).
Что имеем:
( displaystyle 180{}^circ -pi ) рад.
( displaystyle 30{}^circ – x) рад.
Значит, ( displaystyle x=frac{30{}^circ text{ }!!pi!!text{ }}{180{}^circ }=frac{text{ }!!pi!!text{ }}{6})рад., то есть ( displaystyle 30{}^circ =frac{pi }{6})рад. Таким же образом получается табличка с наиболее популярными углами.
| ( displaystyle 30{}^circ) | ( displaystyle frac{pi }{6}) |
| ( displaystyle 45{}^circ) | ( displaystyle frac{pi }{4}) |
| ( displaystyle 90{}^circ) | ( displaystyle frac{pi }{2}) |
| ( displaystyle 180{}^circ) | ( displaystyle pi ) |
| ( displaystyle 270{}^circ) | ( displaystyle frac{3pi }{2}) |
| ( displaystyle 360{}^circ) | ( displaystyle 2pi ) |
Итак, осознай и не бойся: если ты видишь букву или выражение ( displaystyle frac{7pi }{2}) и т.п., то речь идёт об угле и, по сути, запись через букву ( displaystyle pi) всегда выражает, какую часть от развёрнутого угла составляет тот угол, о котором идёт речь.
А для убедительности ещё раз взгляни на табличку:
| ( displaystyle 30{}^circ) | ( displaystyle frac{pi }{6}) | ( displaystyle frac{1}{6}) от ( displaystyle 180{}^circ ), то есть от ( displaystyle pi ) |
| ( displaystyle 45{}^circ) | ( displaystyle frac{pi }{4}) | ( displaystyle frac{1}{4}) от ( displaystyle 180{}^circ ), то есть от ( displaystyle pi ) |
| ( displaystyle 90{}^circ) | ( displaystyle frac{pi }{2}) | ( displaystyle frac{1}{2}) от ( displaystyle 180{}^circ ), то есть от ( displaystyle pi ) |
| ( displaystyle 180{}^circ) | ( displaystyle pi ) | это и есть ( displaystyle pi ) |
| ( displaystyle 270{}^circ) | ( displaystyle frac{3pi }{2}) | ( displaystyle 270{}^circ ) в ( displaystyle 1,5) раза больше, чем ( displaystyle 180{}^circ ) |
| ( displaystyle 360{}^circ) | ( displaystyle 2pi ) | А это ( displaystyle 2) раза по ( displaystyle 180{}^circ ), то есть ( displaystyle 2pi ) |
План урока:
Центральный угол и градусная мера дуги
Вписанный угол
Углы между хордами и секущими
Теорема о произведении отрезков хорд
Задачи на квадратной решетке
Центральный угол и градусная мера дуги
Любые две точки на окружности разбивают ее на две дуги. Чтобы отличать эти дуги, на каждой из них ставят точку, которую и указывают в обозначении дуги:
Здесь красным цветом показана⋃АСВ, а синим – ⋃ADB. Однако иногда для простоты указывают только концы дуги, то есть используют обозначение ⋃AВ. Это делается тогда, когда ясно, о какой дуге окружности идет речь. Обычно всегда подразумевается та дуга, которая меньше.
Можно заметить, что дуги отличаются по размеру, поэтому возникает потребность их измерения. Для этого используют такое понятие, как градусная мера дуги.
Для ее определения необходимо соединить концы дуги с центром окруж-ти. В результате получаются радиусы, которые пересекаются в центре окружности. Угол между ними именуется центральным углом окруж-ти.
Для каждой дуги можно построить единственный центральный угол, поэтому логично измерять дугу с помощью такого угла. Правда, обратное неверно. На рисунке видно, что центральному углу ∠АОВ соответствует сразу две дуги: ⋃АСВ и ⋃АDB:
Поэтому условно считают, градусная мера той из двух дуг, которая меньше, как раз и равна центральному углу:
Дуги, также как отрезки или углы, можно складывать или вычитать. Например, пусть есть две дуги, ⋃AВ и ⋃ВС, чьи градусные меры составляют 40° и 30°.
Как найти ⋃АС? Ей соответствует центральный угол ∠АОС, который в свою очередь равен сумме ∠АОВ и ∠ВОС:
Диаметр делит окруж-ть на две равные друг другу дуги, которые называются полуокружностями. При этом диаметр окружности можно рассматривать как угол между двумя радиусами, равный 180°. Получается, что градусная мера полуокружности составляет 180°:
Вместе две полуокружности образуют полную окруж-ть. Получается, что градусная мера всей окруж-ти составляет 180° + 180° = 360°.
Этот факт известен и из жизни – когда кто-то делает полный оборот вокруг своей оси, говорят, что он повернулся на 360°. Теперь мы можем вернуться к случаю, когда две точки делят окруж-ть на две неравные друг другу дуги. Градусная мера меньшей из них будет равна величине соответствующего центрального угла (обозначим его как α). В сумме две дуги должны дать 360°. Значит, градусная мера большей дуги будет составлять 360° – α:
Задание. Точки А, В, С и D лежат на одной окруж-ти. Известно, что ⋃АСВ составляет 107°. Какова величина ⋃ADB?
Решение. Вместе дуги ⋃АСВ и ⋃АDВ образуют полную окруж-ть, поэтому их сумма равна 360°. Это позволяет составить уравнение и найти из него ⋃АDB:
Задание. Найдите величину ∠АОС на рисунке, если известны ⋃AВ и ⋃ВС:
Решение. Сначала найдем ⋃АС, учтя, что все три дуги, показанные на рисунке, в сумме составляют 360°:
Для доказательства построим две одинаковые хорды AВ и СD в окруж-ти и соединим их концы с центром:
В результате получились ∆АОВ и ∆ОСD. У них равны все три стороны, значит, сами эти треугольники равны. Тогда
∠COD = ∠AOB
Но эти углы – центральные для дуг ⋃AВ и ⋃CD. Получается, что у этих дуг одинаковы их градусные меры, поэтому они также равны, ч. т. д.
Примечание. Всякая хорда окружности разбивает ее на две дуги – большую и меньшую. В данном правиле говорится именно равенстве меньших дуг.
Задание. На окруж-ти отмечены точки А, В и С так, что хорды AВ, ВС и АС равны. Найдите угол между радиусами окружности АО и ВО.
Решение.
Дуги ⋃AВ, ⋃ВС и ⋃АС стянуты равными хордами AВ, ВС и АС. Значит, они одинаковы. Но в сумме эти три дуги образуют окруж-ть величиной в 360°. Значит, каждая из этих дуг втрое меньше:
⋃AВ = ⋃BC = ⋃AC = 360°:3 = 120°
∠АОВ – центральный для ⋃AВ, значит, он равен ее градусной мере, то есть он составляет 120°.
Ответ: 120°.
Вписанный угол
В окруж-ти можно построить ещё один угол, который именуют вписанным углом. Его отличие от центрального заключается в том, что его вершина лежит на окруж-ти, а не в ее центре. Сторонами же вписанного угла являются хорды окруж-ти.
Здесь дуга ⋃ВС находится внутри угла, а ее концы лежат на его сторонах. В таких случаях говорят, что ∠ВАС опирается на дугу ВС. Оказывается, что между величиной вписанного угла и дугой, на которую он опирается, есть взаимосвязь.
Обозначим вписанный угол ∠СAВ буквой α. Так как радиусы АО и ОС одинаковы, то ∆АОС – равнобедренный, и тогда углы при его основании будут одинаковы:
∠OCA = ∠OAC = α
∠СОВ – внешний для ∆АОС. Напомним, что такой угол равен сумме тех 2 углов треуг-ка, которые с ним не смежны. В частности, в данном случае можно записать
∠СОВ = ∠OCA = ∠OAC = α + α = 2α
Но этот же угол – центральный, и его величина равна ⋃ВС:
⋃BC = 2α
Получается, что дуга вдвое больше вписанного угла.
Далее рассмотрим случай, когда диаметр, проведенный из вершины вписанного угла, делит его на две части:
В этом случае вписанный угол ∠СAВ можно представить как сумму углов ∠САD (обозначен как α)и ∠ВАD (обозначен как β). Мы уже доказали, что дуги, на которые опираются эти углы, вдвое больше самих углов:
Осталось рассмотреть третий случай, при котором обе стороны вписанного угла ∠ВАС лежат по одну сторону от диаметра:
Если здесь обозначить ∠САD как α, а ∠ВАD как β, то интересующий нас ∠СAВ можно представить как их разность:
Итак, во всех трех возможных случаях вписанный угол оказывается вдвое меньше дуги, на которую он опирается.
Задание. Найдите ∠ВАС на рисунке:
Задание. Найдите вписанный ∠AВС, сели прилегающие к нему дуги ⋃AВ и ⋃ВС равны 100° и 128°.
Решение. В сумме дуги ⋃АС, ⋃ВС и ⋃AВ образуют окруж-ть, поэтому их сумма составляет 360°. Тогда можно найти ⋃АС:
Задание. Найдите дугу ⋃SM на рисунке:
Решение. Сначала найдем дугу ⋃MN, она вдвое больше соответствующего ей вписанного угла:
⋃NM = 2*∠NSM = 2*35° = 70°
Заметим, что ⋃SN– это полуокружность, то есть она составляет 180°. При этом ⋃SM и ⋃MN вместе как раз образуют эту полуокружность, то есть их сумма также составляет 180°. Значит, ⋃МS можно найти, вычтя из полуокружности ⋃MN:
⋃MS = ⋃SN – ⋃MN = 180° – 70° = 110°
Ответ: 110°.
Заметим, что для одной дуги можно построить несколько вписанных углов. Каждый из них будет равен половине дуги, то есть все эти углы окажутся одинаковыми.
Задание. Найдите ∠АСD на рисунке:
Решение. Так как ∠ACD и ∠ABD опираются на одну дугу ⋃AD, то они должны быть одинаковыми:
∠ACD = ∠ABD = 63°
Ответ: 63°.
Задание. Докажите, что две дуги, находящиеся между двумя параллельными секущими окруж-ти, равны друг другу.
Решение.
Нам надо доказать, что ⋃AВ и ⋃CD равны, если АС||BD. Проведем секущую ВС:
∠СВD и ∠АСВ равны, ведь они накрест лежащие. Получается, что ⋃AВ и ⋃CD являются основаниями равных вписанных углов. Отсюда вытекает, что эти дуги должны быть равными.
Напомним, что диаметр разбивает окруж-ть на две дуги по 180°. Отсюда можно сделать вывод – любой угол, опирающийся на полуокружность, должен составлять 180°:2 = 90°:
Задание. Диаметр окруж-ти AВ равен 17. Хорда ВС имеет длину 8. Какова длина хорды АС?
Решение.
Так как ∠АСВ опирается на диаметр AВ, то он прямой. Значит, и ∆АСВ – прямоугольный, причем диаметр AВ в нем – гипотенуза. Неизвестный катет можно найти по теореме Пифагора:
Задание. Окруж-ть разбита на две дуги, ⋃AВС и ⋃СDA. Известно, что ∠AВС = 72°. Найдите ∠ADC.
Решение.
Зная ∠AВС, мы легко найдем дугу ⋃ADC, она вдвое больше опирающегося на нее вписанного угла:
Углы между хордами и секущими
До этого мы рассматривали простые углы в окруж-ти, вершины которых лежали либо на самой окруж-ти, либо в ее центре. Однако иногда хорды и секущие пересекаются в другой точке, либо внутри, либо вне окруж-ти. Рассмотрим подобные задачи.
Более прост случай, когда необходимо найти угол между двумя пересекающимися хордами. Пусть хорды при пересечении образовали дуги ⋃AВ и ⋃СD величиной α и β. Каков угол между ними?
Проведем ещё одну хорду АD. В результате получим вписанные ∠САD и ∠ADB, которые будут равны половинам от соответствующих дуг, то есть α/2 и β/2. Интересующий нас ∠СPD оказывается внешним для ∆APD, и потому равен сумме двух углов в ∆APD (тех, которые с ним не смежны), то есть он составляет величину α/2 + β/2:
Величину α/2 + β/2 можно записать и иначе, вынеся множитель 1/2 за скобки:
α/2 + β/2 = (α + β)/2
Эту величину можно назвать полусуммой дуг, на которые опирается интересующий нас угол.
Задание. Найдите ∠МКВ на рисунке:
Решение. Интересующий нас угол опирается на хорды величиной 38° и 42°. Значит, он равен половине от их суммы:
∠MKB = (42° + 38°)/2 = 80°/2 = 40°
Ответ: 40°.
В более сложном случае необходимо найти угол между секущими, которые пересекаются вне окруж-ти. При этом известны дуги, образованные этими секущими:
Снова проведем хорду АD, чтобы у нас получились два вписанных угла, ∠ADB и ∠СAD, которые соответственно будут иметь величину β/2 и α/2:
Теперь уже ∠САD оказывается внешним для ∆ADK, а потому он является суммой двух других углов:
В итоге получили, что угол между секущими составляет половину от разности дуг, которые они отсекают от окруж-ти.
Задание. Найдите на рисунке величину∠К, если ⋃AВ и ⋃СD соответственно равны 42° и 130°:
Решение. В этой задаче просто используем доказанную теорему об углах между секущими. Искомый угол составляет половину от разности дуг, заключенных между секущими:
∠K = (130° – 42°):2 = 88°/2 = 44°
Ответ: 44°.
Теорема о произведении отрезков хорд
Можно заметить, что при пересечении двух хорд образуется пара подобных треугольников. Пусть хорды ADи ВС пересекаются в точке K. Добавим хорды AВ и СD и получим ∆AВК и ∆КСD:
На дугу ⋃BD опираются вписанные углы∠А и ∠С, значит, они одинаковы. Также на одну дугу АС опираются ∠D и∠В, поэтому и они одинаково. Равенство двух углов уже означает, что треугольники подобны по первому признаку подобия (дополнительно можно заметить, что ∠АКВ и ∠СКD равны как вертикальные углы).
Из подобия ∆AВК и ∆СКD вытекает пропорция между их сторонами:
Перемножив члены пропорции крест накрест, получим соотношение:
AK*KD = CK*BK
В результате нам удалось доказать следующее утверждение:
Задание. Хорды AВ и CD пересекаются в точке М. Известны, что АМ = 9, МВ = 3, МС = 2. Какова длина отрезка МD?
Решение.
Хорда AВ разбивается на отрезки АМ и МВ, а хорда CD – на отрезки СМ и МD. Произведения этих отрезков одинаковы:
AM*MB = CM*MD
Подставим в это равенство известные величины
Рассмотрим ещё одну геометрическую конструкцию. Пусть из некоторой точки А к окруж-ти проведена как касательная к окружности АК, так и секущая, пересекающая окруж-ть в точках В и С:
Какие здесь есть взаимосвязи между углами и длинами отрезков? Для начала проведем хорды ВК и СК, а также радиусы ОК и ОВ. Обозначим буквой α угол ∠ВСК. Он вписанный, поэтому дуга, на которую он опирается (это ⋃ВК), вдвое больше и равна 2α. Тогда и центральный угол ∠ВОК также составляет 2α:
Теперь исследуем ∆ВОК. Он равнобедренный (ВО и ОК – одинаковые радиусы), поэтому углы при его основании совпадают:
Итак, углы при основании ∆ОВК, в частности ∠ОКВ, равны 90° – α. Заметим, что ∠ОКА – прямой, так как образован радиусом ОК и касательной АК, при этом он состоит из двух углов, ∠АКВ и ∠ВКО. Это позволяет найти ∠АКВ:
В результате мы получили важный промежуточный результат – угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, вдвое меньше образующейся при этом дуги.
Вернемся к картинке с секущей. Изначально как α мы обозначили ∠ВСК, но в результате получили, что и ∠АКВ = α.
Рассмотрим ∆AВК и ∆САК. У них есть общий∠А, а также одинаковые ∠AКВ и ∠ВСК, которые отмечены буквой α. Значит, ∆AВК и ∆САК подобны, поэтому мы имеем право записать пропорцию между его сторонами:
Здесь отрезок АС можно назвать секущей, а AВ – ее внешней частью. Тогда выведенное отношение можно сформулировать так:
Решение. Сначала находим длину всей секущей, пользуясь доказанной теоремой:
Решение. Проведем из точки А ещё и касательную АК к окруж-ти:
Величину квадрата касательной АК можно найти, используя секущую АС. Сначала вычислим длину АС:
Ответ: 3,8.
Задачи на квадратной решетке
Рассмотрим несколько несложных задач, часто встречающихся на экзаменах.
Задание. Найдите ∠AВС на рисунке:
Решение. Здесь следует заметить, что расстояние между А и С составляет 8 клеток, при этом в окруж-ть как раз можно вписать квадрат со стороной 8.
Такой квадрат разобьет окруж-ть на 4 дуги, причем так как эти дуги опираются на хорды одинаковой длины, то они и сами равны. Вся окруж-ть составляет 360°, значит, каждая из этих дуг составляет 360°:4 = 90°. ∠AВС – вписанный, то есть он составляет половину дуги, на которую он опирается, а это⋃АС, равная 90°. Тогда
∠ABC = 90°:2 = 45°
Ответ: 45°.
Задание. Найдите ∠AВС, используя рисунок:
Решение. Используя рассуждения из предыдущей задачи, легко определить, что∠А составляет 45°.При этом ∆AВС – равнобедренный, и ВС – его основание. Это следует хотя бы из того факта, что высота АН делит сторону ВН пополам.
Углы∠В и ∠С одинаковы, так как лежат при основании равнобедренного треуг-ка. Найдем их, используя тот факт, что все 3 угла в ∆AВС составляют в сумме 180°:
Задание. Вычислите ∠AВС:
Решение. Снова в окруж-ть можно вписать квадрат со стороной 8 клеток. Из этого следует что ⋃АВС составляет 90° (показана фиолетовым цветом):
Но ∠АВС опирается на синюю дугу. Так как вместе фиолетовая и синяя дуга составляют окружность, равную 360°, то синяя дуга должна быть равна 360° – 90° = 270°. ∠АВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 270°:2 = 135°.
Ответ: 135°.
Задание. Чему равен ∠AВС на рисунке?
Решение.
Если вписать в окруж-ть квадрат то он разобьет окруж-ти на дуги по 90°. В свою очередь точка А является серединой такой дуги, то есть она разбивает ее на две дуги по 45°.
∠AВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 22,5°.
