Как найти угол где есть биссектриса

Треугольник – это форма многоугольника, которая имеет три угла, образованных тремя сторонами. Каждая
из трех точек, в которых пересекаются стороны треугольника, называется его вершиной и образует
определенный угол. Стороны треугольника иногда еще называют линейными длинами, а углы – угловыми.
Сторону, противоположную определенному углу, обозначают той же буквой, что характеризует угол как
прилегающий. Стороны обозначаются латинскими буквами a, b, c, а углы – греческими α, β, γ. Зная
определенные параметры треугольника, можно найти его стороны и углы. При этом можно использовать как
линейные формулы, так и обращаться к различным теоремам, например, теореме синусов и косинусов.

Угол треугольника через три стороны

Для того, чтобы найти угол по трем сторонам, нужно вычислить косинус определенного угла. Согласно
теореме косинусов, «квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов двух других длин его
сторон, минус удвоенное произведение этих длин сторон на косинус угла между ними». Если взять за
предмет вычисления угол β, соответственно, получаем формулу: a² = b² + c² — 2 · b · c · cos (β).
Из полученного равенства можно вычислить

cos(α) = (a² + c² — b²) / 2ac
cos(β) = (a² + b² — c²) /
2ab
cos(γ) = (b² + c² — a²) / 2cb

где a, b, c — стороны треугольника.

Пример. Пусть a = 3, b = 7, c = 6. Cos (β) = (7² + 6² — 3²) : (2 · 7 · 6) = 19/21.
Зная косинус, нужно воспользоваться таблицей Брадиса и по ней найти угол. По таблице Брадиса, если
Cos (β) = 19/21, то β = 58,4°.

Угол прямоугольного треугольника через две стороны

Если известен катет и гипотенуза, угол вычисляется через синус. Если известны катеты и нужно найти
один из острых углов, то можно сделать это через вычисление тангенса.

sin(α) = cos (β) = a / c
sin(β) = cos (α) = b / c
tg(α) = ctg(β) = a
/ b
tg(β) = ctg(α) = b / a

где a, b — катеты, c — гипотенуза.

Пример. В прямоугольном треугольнике есть два катета a = 12, b = 9 и гипотенуза c =
15. Если известны катеты и нужно найти один из острых углов, то можно сделать это через вычисление
тангенса: tg(α) = a / b, то есть tg(α) = 12 / 9. По таблице Брадиса, угол
α = 53, 13°. Если известен катет и гипотенуза, угол вычисляется через синус sin(α) = a / c = 12 / 15 = 0,8. В
этом случае по таблице Брадиса для синусов и косинусов, значение угла – 36, 87°.

Острый угол прямоугольного треугольника через катет и площадь

Для того, чтобы вычислить размер острого угла, нужно образовать обратную формулу от площади
прямоугольного треугольника, которая вычисляется через катет и острый угол. Выглядит она следующим
образом: S = (a² * tg β) / 2. Из этих показателей известный площадь S и катет a. Отсюда формула для
нахождения угла будет следующая:

tg(α) = a² / 2S

где a — катет, S — площадь прямоугольного треугольника.

Пример. Пусть S = 34, a = 8. Получается следующее уравнение: tg(α) = a² / 2S = 8² + 2 * 34 = 132.
Таким образом выходит, что по таблице Брадиса, угол с таким тангенсом равен 43°.

Угол треугольника через высоту и катет

В некоторых прямоугольных треугольниках, в основании которых один острый угол, а второй 90°, один из
катетов (вертикальная прямая, образующая прямой угол) называется также высотой и обозначается как h.
Второй катет a остается со своим обычным названием.

sin α = h / a

где h — высота, a — катет.

Пример. Если высота h = 8, а катет a = 10, то угол α находится по формуле sin α = h / a = 8 / 10 = 0.8 то по таблице Брадиса составляет 53°

Угол при основании равнобедренного треугольника через биссектрису и основание

Равнобедренный треугольник ABC с основанием AC имеет биссектрису L (она же CK, делящая основание AC
на два отрезка AK и KB). Также биссектриса L делит угол BCA (он же γ) пополам (каждый из этих
половинок угла γ обозначается как x). То есть γ = 2х. Угол BAC (он же α) = BCA (он же γ), то есть α
= γ. При этом биссектриса L (она же CK) образовала в равнобедренном треугольнике ABC новый
равнобедренный треугольник AKC, в котором AK – это основание, а углы KAC и AKC равны между собой и
равны значению угла γ. Учитывая то, что угол γ равен 2х (то есть двум половинкам угла), то для
треугольника AKC, чтобы вычислить углы при основании, формула будет следующая:

tg α = L / (a/2)

где L — биссектриса, a — основание.

Пример. Пусть биссектриса L равна 15, основание а равно 45, подставив в формулу
получим tg α = L / (a/2) = 15 / (45/2) = 33.69º

Угол при основании равнобедренного треугольника через биссектрису и боковую сторону

Допустим, что у равнобедренного треугольника ABC углы при основании A (α) и C (γ) равны. Также AB =
BC. Биссектриса L берет начало из вершины А и пересекается с основанием АС, образуя точку
пересечения K, поэтому биссектрису L также можно называть АK. L разделила угол А пополам и основание
поделила на два отрезка: BK и KC. Образовался угол AKC = α (внешний угол для треугольника ABK).
Согласно свойствам внешнего угла:

sin α = L / b

где L — биссектриса, b — боковая сторона.

Пример. Пусть биссектриса L равна 15, боковая сторона b равна 30, подставив в
формулу получим sin α = L / b = 15/30 = 30º.

Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника через биссектрису и боковую сторону

В равнобедренном треугольнике угол ABC (он же β) – это вершина треугольника. Стороны AB и BC равны, и
углы у основания BAC (α) и BCA (γ) тоже равны между собой. Биссектриса L берет начало из вершины B и
пересекается с основанием AC в точке K. Биссектриса BK разделила угол β пополам. Кроме того,
биссектриса разделила треугольник ABC на два прямоугольных треугольника ABK и CBK, так как углы BKA
и BKC – прямые и оба по 90°. Так как треугольники ABK и CBK зеркально одинаковые, для определения
угла β можно взять любой из них. В свою очередь биссектриса BK разделила угол β пополам, например,
на два равных угла х. Оба треугольника, образовавшихся внутри равнобедренного из-за биссектрисы,
прямоугольные, поэтому, чтобы вычислить угол β (он же 2х), нужно взять за правило вычисление угла
через высоту (она в данном случая является также биссектрисой) и катет (это отрезок AK или KC,
которые также равны между собой, так как биссектриса и основание равнобедренного треугольника также
поделила пополам).

2cos(β) = L / b

где L — биссектриса, b — боковая сторона.

Пример. В треугольнике BKC известна биссектриса L = 47 см и боковая сторона b = 64
см. Подставив значения в формулу получим: 2cos(β) = L / b = 47 / 64 = 85.49º

Острый угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника через площадь и боковую
сторону

Формула площади равнобедренного треугольника S = 1/2 * bh, где b – это
основание треугольника, а h – это медиана, которая разделила равнобедренный треугольника на два
прямоугольных. Формула для нахождения угла между боковыми сторонами через площадь и боковую сторону
будет следующая:

sin(α) = 2S / b²

где b — боковая сторона равнобедренного треугольника, S — площадь.

Пример. Если площадь равна 48, а сторона 10, то угол между боковыми сторонами можно
вычислить следующим образом: sin(α) = 2S / b² = 2 * 48 / 10² = 73.7º

Вне зависимости от условия задачи, известно, что сумма всех углов треугольника составляет 180°.
Поэтому, элементарно вычислить один из углов можно, когда известны два других. Но для вычисления
углов могут быть использованы и другие показатели. Например, для того, чтобы находить стороны и углы
треугольников, в них можно проводить дополнительные меридианы, биссектрисы, чертить окружности и
использовать эти фигуры как дополнительные вводные, через которые по формулам находятся
неизвестные.

Углы очень удобно вычислять через синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы, после чего сопоставлять
данные с таблицей Брадиса, в которой эти величины можно сконвертировать в градусы.

Элементы треугольника. Биссектриса

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.

Свойства биссектрисы

1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.

2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон ()

3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.

4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.

Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника

(доказательство формулы – здесь)
, где
— длина биссектрисы, проведённой к стороне ,
— стороны треугольника против вершин соответственно,
— длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,

Приглашаю посмотреть видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.

Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1

Возможно, вам будет интересен и этот небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Вычисление биссектрисы треугольника с известными свойствами

Математика, как известно, царица наук. Неслучайно это выражение так любят учителя, особенно старой формации. Математика открывается исключительно тем, кто умеет, во-первых, логически мыслить, а во-вторых, тем, кто любит всегда добиваться ответа, оперируя изначальными условиями, не жульничая, а основывая решения на анализе, построение опять-таки логических связей. Эти качества, вынесенные со школьной скамьи, способны модулироваться и к взрослой серьезной жизни как в рабочих, так и в иных сложных моментах.

• Свойства
• Свойства в равнобедренных треугольниках
• Определение биссектрисы треугольника
• Определение длины
• Нахождение величины угла

Сегодня многие сталкиваются с проблемами при решении математических задач еще в начальной школе.

Однако даже те школьники, которые успешно осваивают первичную математическую программу, переходя на новый школьный и жизненный этап, где алгебра отделяется от геометрии, бывает, сталкиваются с серьезными затруднениями. Между тем, один раз выучив и, главное, поняв, как найти биссектрису треугольника, ученик навсегда запомнит эту формулу. Рассмотрим треугольник ABC с тремя проведенными биссектрисами. Как видно из рисунка, все они сходятся в одной точке.

Во-первых, определим, что биссектриса треугольника, и это одно из важнейших ее свойств, делит угол, из которого такой отрезок исходит, пополам. То есть в приведенном примере угол BAD равен углу DAC.

Это интересно: Как найти периметр треугольника.

Свойства

1. Биссектриса треугольника разделяет сторону, к которой она проведена на два отрезка, обладающие свойствами пропорциональности к сторонам, которые прилегают к каждому отрезку, соответственно. Таким образом, BD/CD = AB/AC.
2. Каждый треугольник способен обладать тремя данными отрезками. Другие значимые свойства касаются как частных, так и общих случаев конкретных рассматриваемых треугольников.

Свойства в равнобедренных треугольниках

1. Первое свойство биссектрис равнобедренного треугольника формулируется в том, что равенство двух биссектрис свидетельствует о равнобедренности этого треугольника. Третья же его биссектриса медиана, а также высота его угла.
2. Разумеется, что будет верным и обратное свойство. То есть в равнобедренном треугольнике неизменно наблюдается равенство двух его биссектрис.
3. Из сказанного ранее вытекает вывод о том, что биссектриса, исходящая из противоположного основанию, служит также медианой и высотой.
4. Все биссектрисы равностороннего треугольника обладают равенством.

Определение биссектрисы треугольника

Допустим, что в рассматриваемом треугольнике ABC сторона AB = 5 cm, AC = 4 cm. Отрезок CD = 3 cm.

Определение длины

Определить длину можно по следующей формуле. AD = квадратный корень из разности произведения сторон и произведения пропорциональный отрезков.

Найдем длину стороны BC.

• Из свойств известно, что BD/CD = AB/AC.
• Значит, BD/CD = 5/4 = 1,25.
• BD/3 = 5/4.
• Значит, BD = 3,75.
• ABxAC = 54=20.
• CDxBD = 33,75 = 11,25.

Так, для того чтобы рассчитать длину, требуется вычесть из 20 11,25 и извлечь квадратный корень из получившегося 8,75. Результат с учетом тысячных долей получится 2,958.

Данный пример призван также эксплицитно указать на ситуацию, когда значения длины биссектрисы, как и все другие значения в математике, будут выражены не в натуральных числах, однако бояться этого не стоит.

Это интересно: в чем выражается эволюционный характер развития общества?

Нахождение величины угла

Для нахождения углов, образующихся биссектрисой, важно, прежде всего, помнить о сумме углов, неизменно составляющей 180 градусов. Предположим, что угол ABC равен 70 градусам, а угол BCA 50 градусам. Значит, путем простейших вычислений получим, что CAB = 180 (70+50) = 60 градусов.

Если использовать главное свойство, в соответствии с которым угол, из которого она исходит, делится пополам, получим равные значения углов BAD и CAD, каждый из которых будет 60/2 = 30 градусов.

Если требуется дополнительный наглядный пример, рассмотрим ситуацию, когда известен лишь угол BAD равный 28 градусам, а также угол ABC равный 70 градусам. Используя свойство биссектрисы, сразу найдем угол CAB путем умножения значения угла BAD на два. CAB = 282 =56. Значит, BAC = 180 (70+56) или 180 (70+282)= 180 126 = 54 градуса.

Специально не рассматривалась ситуация, когда данный отрезок выступает в качестве медианы или высоты, оставив для этого другие специализированные статьи.

Таким образом, мы рассмотрели такое понятие, как биссектриса треугольника, формула для нахождения длины и углов которой заложена и реализована в приведенных примерах, имеющих целью наглядно показать, каким образом можно использовать для решения тех или иных задач в геометрии. Также к данной теме относятся такие понятия, как медиана и высота. Если данный вопрос прояснился, следует обращаться к дальнейшему изучению различных других свойств треугольника, без которых немыслимо дальнейшее изучение геометрии.

Биссектриса треугольника

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

• CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
• CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
• ∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

[spoiler title=”источники:”]

http://tvercult.ru/nauka/vyichislenie-bissektrisyi-treugolnika-s-izvestnyimi-svoystvami

[/spoiler]

Биссектриса угла

Когда-то древние астрономы и математики открыли очень много интересных свойств биссектрисы угла треугольников и других фигур.

Эти знания сильно упростили жизнь людей. Стало легче строить, считать расстояния, даже корректировать стрельбу из пушек… 

Нам же знание этих свойств поможет решить некоторые задания ЕГЭ!

Приступим!

Биссектриса угла — коротко о главном

Биссектриса угла — это линия, делящая угол пополам.

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленых от сторон угла.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Теорема 1. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной в треугольник окружности.

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

Теорема 3. Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

Теорема 4. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

Теорема 5. Биссектрисы односторонних углов параллелограмма и трапеции пересекаются под прямым углом.

Теорема 6. Отношение отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону, такое же, как и отношение двух сторон, между которыми эта биссектриса прошла.

( displaystyle frac{x}{y}=frac{a}{b})

А теперь подробнее…

Определение биссектрисы угла

Помнишь шутку: «Биссектриса это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам»?

Так вот, настоящее определение биссектрисы угла очень похоже на эту шутку — биссектриса действительно делит пополам угол (а не отрезок, например):

Биссектриса угла – это линия, делящая угол пополам.

Или еще вот такое определение биссектрисы:

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленых от сторон угла.

А вот определение биссектрисы треугольника:

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Тебе встретилась в задаче биссектриса? Постарайся применить одно (а иногда можешь и несколько) из следующих потрясающих свойств.

Биссектриса равнобедренного треугольника

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.

Но представляешь, это ещё не всё. Верна ещё и обратная теорема:

Если в треугольнике биссектриса, проведённая из какого-то угла, совпадает с медианой или с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Мы скоро докажем обе этих теоремы, а пока твердо запомни:

Биссектриса совпадает с высотой и медианой только в равнобедренном треугольнике!

Зачем же это твердо запоминать? Как это может помочь?

А вот представь, что у тебя задача:

Дано: ( AB=5,~angle ~ABD=~angle DBC,~AD=DC. )

Найти: ( displaystyle BC. )

Ты тут же соображаешь, (displaystyle BD ) биссектриса и, о чудо, она разделила сторону ( displaystyle AC ) пополам! (по условию…).

Если ты твердо помнишь, что так бывает только в равнобедренном треугольнике, то делаешь вывод, что AB=BC и значит, пишешь ответ: BC=5.

Здорово, правда? Конечно, не во всех задачах будет так легко, но знание обязательно поможет!

Доказательство теорем о совпадении биссектрисы с медианой и высотой в равнобедренном треугольнике

Почему в случае с равнобедренным треугольником биссектриса оказывается одновременно и медианой и высотой?

Как это доказать?

Смотри: у ( triangle ABL ) и ( triangle CBL ) равны стороны ( AB ) и ( BC ), сторона ( BL ) у них вообще общая и ( angle 1=angle 2). (( BL ) – биссектриса!)

И вот, получилось, что два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними.

Вспоминаем первый признак равенства треугольников (не помнишь, загляни в тему «Треугольник») и заключаем, что ( triangle ABL=triangle CBL ), а значит ( AL )= ( CL ) и ( angle 3=angle 4 ).

( AL ) = ( CL ) – это уже хорошо – значит, ( BL ) оказалась медианой.

А вот что такое ( angle 3=angle 4 )?

Готов дальше?

Будет немного сложнее, но пока мы отвлечемся на термины — повторим что такое биссектриса, медиана и высота, чем они похожи и чем они отличаются.

Биссектриса, медиана, высота — определения и отличия

Кстати, а помнишь ли ты все эти термины? Чем они отличаются друг от друга?

Если нет, не страшно. Сейчас разберемся.

• Основание равнобедренного треугольника – это та сторона, которая не равна никакой другой. Посмотри на рисунок, как ты думаешь, какая это сторона? Правильно – это сторона ( AC. );
• Медиана – это линия, проведенная из вершины треугольника и делящая противоположную сторону (это снова ( AC ) пополам. Заметь, мы не говорим: «Медиана равнобедренного треугольника». А знаешь почему? Потому что медиана, проведенная из вершины треугольника, делит противоположную сторону пополам в ЛЮБОМ треугольнике.;
• Высота – это линия, проведенная из вершины и перпендикулярная основанию. Ты заметил? Мы опять говорим о любом треугольнике, а не только о равнобедренном. Высота в ЛЮБОМ треугольнике всегда перпендикулярна основанию.

Чем биссектриса, медиана и высота похожи между собой?

Биссектриса, медиана и высота – все они «выходят» из вершины треугольника и упираются в противоположную сторону и «что-то делают» либо с углом из которого выходят, либо с противоположной стороной.

Чем биссектриса, медиана и высота отличаются между собой?

• Биссектриса делит угол, из которого выходит, пополам.
• Медиана делит противоположную сторону пополам.
• Высота всегда перпендикулярна противоположной стороне.

Вернемся к нашим баранам — к свойствам биссектрисы…

Угол между биссектрисами любого треугольника

B ( triangle ABC )проведем две биссектрисы ( AO )и ( OC ). 

Они пересеклись. Какой же угол получился у точки ( O )?

Давай его посчитаем. Ты помнишь, что сумма углов треугольника равна ( 180{}^circ ) ?

Применим этот потрясающий факт. С одной стороны, из ( triangle ABC ):

( angle A+angle B+angle C=180{}^circ ), то есть ( angle B=180{}^circ text{ }-text{ }left( angle A+angle C right) ).

Теперь посмотрим на ( triangle AOC ):

( angle 2+angle 6+angle 3=180{}^circ )

Но биссектрисы, биссектрисы же!

( angle 2=frac{angle A}{2}; angle 3=frac{angle C}{2} )

Значит ( left( triangle AOC right) )

( frac{angle A}{2}+angle 6+frac{angle C}{2}=180{}^circ ), то есть

( angle 6=180{}^circ -frac{angle A}{2}-frac{angle C}{2} );

(  angle 6=180{}^circ -frac{angle A+angle C}{2} )

Вспомним про ( triangle ABC : angle A+angle C=180{}^circ -angle B )

Значит, ( angle 6=180{}^circ -frac{180{}^circ -angle B}{2}=90+frac{angle B}{2} )

Теперь через буквы

(  angle AOC=90{}^circ +frac{angle B}{2} )

Не удивительно ли?

Получилось, что угол между биссектрисами двух углов зависит только от третьего угла!

Ну вот, две биссектрисы мы посмотрели. А что, если их три?! Пересекутся ли они все в одной точке?

Или будет так:

Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла

Ленивые математики как обычно в двух строчках спрятали четыре.

Итак, что же значит, «Биссектриса – геометрическое место точек»? А это значит, что выполняются сразу два утверждения:

1. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.
2. Если у какой-нибудь точки расстояния до сторон угла равны, то эта точка обязательно лежит на биссектрисе.

Видишь разницу между утверждениями 1 и 2? Если не очень, то вспомни Шляпника из «Алисы в стране чудес»: «Так ты еще чего доброго скажешь, будто «Я вижу то, что ем» и «Я ем то, что вижу», — одно и то же!»

Итак, нам нужно доказать утверждения 1 и 2, и тогда утверждение: «биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла» будет доказано!

Почему же верно 1?

Возьмём любую точку на биссектрисе и назовём её ( displaystyle A. )

Опустим из этой точки перпендикуляры ( displaystyle ) AB и ( displaystyle AC ) на стороны угла.

А теперь… Приготовились вспоминать признаки равенства прямоугольных треугольников! Если ты их подзабыл, то загляни в раздел «Прямоугольный треугольник».

Итак… Два прямоугольных треугольника: ( displaystyle AOC ) и ( displaystyle AOB. ) У них:

Почему же верно 2?

Возьмем какую-то точку ( displaystyle E) внутри угла, для которой расстояние до сторон угла равны.

И соединим точки ( displaystyle E) и ( displaystyle O).

Теперь ( displaystyle triangle EOC=triangle EOB) как прямоугольные по катету и гипотенузе.

Значит, ( displaystyle angle 1=angle 2), то есть ( displaystyle E) лежит на биссектрисе!

Вот и всё!

Как же все это применить при решении задач? Вот например, в задачах часто бывает такая фраза: «Окружность касается сторон угла….». Ну, и найти нужно что-то.

То быстро соображаешь, что:

• Окружность касается сторон угла – значит, ( displaystyle AC=AB). (Правда, для этого нужно ещё знать, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной)
• А раз ( displaystyle AC=AB), то ( displaystyle AO) – точно биссектриса!

И можно пользоваться равенством ( displaystyle angle 1=angle 2).

Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке

Из свойства биссектрисы быть геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, вытекает следующее утверждение:

Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной в треугольник окружности.

Как именно вытекает? А вот смотри: две-то биссектрисы точно пересекутся, правда?

А третья биссектриса могла бы пройти так:

Но на самом деле-то всё гораздо лучше!

Давай рассмотрим точку пересечения двух биссектрис. Назовём её ( displaystyle O).

Эта точка лежит на биссектрисе ( displaystyle AD). Что из этого следует? 

Правильно! ( displaystyle OK=OM)!

Точка ( displaystyle O) лежит ещё и на биссектрисе ( displaystyle CE), поэтому ( displaystyle OK=ON).

Что мы тут оба раза применяли?

Да пункт 1, конечно же! Если точка лежит на биссектрисе, то она одинаково удалена от сторон угла.

Вот и получилось ( displaystyle OK=OM) и ( displaystyle OK=ON).

Но посмотри внимательно на эти два равенства! Ведь из них следует, что:

Переходим к следующему свойству… Ух и много же свойств у биссектрисы, правда? И это здорово, потому что, чем больше свойств, тем больше инструментов для решения задач про биссектрису.

Биссектриса и параллельность, биссектрисы смежных углов

Тот факт, что биссектриса делит угол пополам, в каких-то случаях приводит к совершенно неожиданным результатам. Вот, например, некоторые из них:

Случай 1

Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

Здорово, правда? Давай поймём, почему так.

С одной стороны, ( displaystyle angle 1=angle 2) — мы же проводим биссектрису!

Но, с другой стороны, ( displaystyle angle 2=angle 3) — как накрест лежащие углы (вспоминаем тему «Параллельные прямые»).

И теперь выходит, что:

Случай 2

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

Представь треугольник (или посмотри на картинку)

Давай продолжим сторону ( displaystyle AC) за точку ( A). Теперь получилось два угла ( displaystyle A):

• ( displaystyle angle 1) – внутренний угол ( displaystyle triangle ABC)
• ( displaystyle angle 2) – внешний угол ( displaystyle triangle ABC) – он же снаружи, верно?

Так вот, а теперь кому-то захотелось провести не одну, а сразу две биссектрисы: и для ( displaystyle angle 1), и для ( displaystyle angle 2). Что же получится?

А получится прямоугольный ( displaystyle triangle ALK)!

Удивительно, но это именно так.

Разбираемся.

Как ты думаешь, чему равна сумма ( displaystyle angle 1+angle 2+angle 3+angle 4)?

Случай 3

Биссектрисы односторонних углов параллелограмма и трапеции пересекаются под прямым углом.

Видишь, что здесь все так же, как и для внутреннего и внешнего углов?

Или ещё раз подумаем, почему так получается?

Снова, как и для смежных углов,

( angle 1+angle 2+angle 3+angle 4=180{}^circ ) (как соответственные при параллельных основаниях).

И опять, ( angle 2+angle 3 ) составляют ровно половину от суммы ( angle 1+angle 2+angle 3+angle 4=180{}^circ )

Значит, ( angle 2+angle 3=90{}^circ ).

Вывод:

Биссектриса и противоположная сторона

Оказывается, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону не как-нибудь, а специальным и очень интересным образом:

( displaystyle frac{x}{y}=frac{a}{b})

То есть:

Отношение отрезков, на которые биссектриса поделила сторону ( displaystyle AB), такое же, как и отношение двух сторон, между которыми эта биссектриса прошла.

Удивительный факт, не правда ли?

Сейчас мы этот факт докажем, но приготовься: будет немного сложнее, чем раньше.

Снова – выход в «космос» — дополнительное построение!

Проведём прямую ( BKparallel AC).

Зачем? Сейчас увидим.

Продолжим биссектрису ( displaystyle CD) до пересечения с прямой ( displaystyle BK).

Знакомая картинка? Да-да-да, точно так же, как в пункте 4, случай 1 – получается, что ( angle 1=angle 2) (( displaystyle CD) – биссектриса)

( angle 2=angle 3) — как накрест лежащие

( Rightarrow angle 1=angle 3) и ( BC=BL)

Значит, ( BL) – это тоже ( a).

А теперь посмотрим на треугольники ( ACD) и ( BLD).

Что про них можно сказать?

Теперь можешь смело использовать! Разберём ещё одно свойство биссектрис углов треугольника. Самое сложное кончилось – будет проще.

Угол между биссектрисами треугольника

Пусть ( AO) и ( CO) – биссектрисы. 

Найдём ( angle AOC) (помним, что сумма углов треугольника равна ( displaystyle 180{}^circ )).

( angle text{ }!!~!!text{ AOC}=180{}^circ -text{ }!!~!!text{ }frac{angle A}{2}-frac{angle text{C}}{2}=180{}^circ -frac{angle text{A}+angle text{C}}{2}=180{}^circ -frac{180{}^circ -angle text{B}}{2})

Получаем, что 

( angle text{ }!!~!!text{ AOC}=90{}^circ +frac{angle B}{2})

Это знание можно применить в тех задачах, где участвуют две биссектрисы и дан лишь угол ( B), а искомые величины выдерживаются через ( angle AOC) или, наоборот, ( angle AOC) дан, а нужно найти что-то с участием угла ( B).

Основные знания о биссектрисе закончились. Комбинируя эти факты, ты найдёшь ключ к любой задаче о биссектрисе!

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

• тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
• автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• репетиторский стаж — c 2003 года;
• в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
• отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».