Как найти угол между боковыми гранями пирамиды

Спрятать решение

Спрятать критерии

Типичными линейными параметрами любой пирамиды являются длины сторон ее основания, высота, боковые ребра и апофемы. Тем не менее существует еще одна характеристика, которая связана с отмеченными параметрами, – это двугранный угол. Рассмотрим в статье, что он собой представляет и как его находить.

Пространственная фигура пирамида

Каждый школьник хорошо представляет, о чем идет речь, когда слышит слово “пирамида”. Геометрически построить ее можно так: выбрать некоторый многоугольник, затем зафиксировать точку в пространстве и соединить ее с каждым углом многоугольника. Получившаяся объемная фигура будет пирамидой произвольного типа. Многоугольник, который ее образует, называется основанием, а точка, с которой соединены все его углы, является вершиной фигуры. Ниже на рисунке схематически показана пятиугольная пирамида.

Видно, что ее поверхность образована не только пятиугольником, но и пятью треугольниками. В общем случае число этих треугольников будет равно количеству сторон многоугольного основания.

Двугранные углы фигуры

Когда рассматриваются геометрические задачи на плоскости, то любой угол образован двумя пересекающимися прямыми, или отрезками. В пространстве же к этим линейным углам добавляются двугранные, образованные пересечением двух плоскостей.

Если отмеченное определение угла в пространстве применить к рассматриваемой фигуре, то можно сказать, что существует два вида двугранных углов:

• При основании пирамиды. Он образован плоскостью основания и любой из боковых граней (треугольником). Это означает, что углов при основании у пирамиды n, где n – число сторон многоугольника.
• Между боковыми сторонами (треугольниками). Количество этих двугранных углов также составляет n штук.

Заметим, что первый тип рассматриваемых углов строится на ребрах основания, второй тип – на боковых ребрах.

Как рассчитать углы пирамиды?

Линейный угол двугранного угла является мерой последнего. Вычислить его непросто, поскольку грани пирамиды, в отличие от граней призмы, пересекаются не под прямыми углами в общем случае. Надежнее всего проводить расчет значений двугранных углов с использованием уравнений плоскости в общем виде.

В трехмерном пространстве плоскость задается следующим выражением:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Где A, B, C, D – это некоторые действительные числа. Удобством этого уравнения является то, что первые три отмеченных числа являются координатами вектора, который перпендикулярен заданной плоскости, то есть:

n¯ = [A; B; C]

Если известны координаты трех точек, принадлежащих плоскости, то, взяв векторное произведение двух векторов, построенных на этих точках, можно получить координаты n¯. Вектор n¯ называется направляющим для плоскости.

Согласно определению, двугранный угол, образованный пересечением двух плоскостей, равен линейному углу между их направляющими векторами. Предположим, что мы имеем две плоскости, нормальные векторы которых равны:

n₁¯ = [A₁; B₁; C₁];

n₂¯ = [A₂; B₂; C₂]

Для вычисления угла φ между ними можно воспользоваться свойством произведения скалярного, тогда соответствующая формула принимает вид:

φ = arccos(|(n₁¯*n₂¯)|/(|n₁¯|*|n₂¯|))

Или в координатной форме:

φ = arccos(|A₁*A₂ + B₁*B₂ + C₁*C₂|/(√(A₁² + B₁²+C₁²)*√(A₂² + B₂² + C₂²)))

Покажем, как использовать изложенную методику расчета двугранных углов при решении геометрических задач.

Углы правильной пирамиды четырехугольной

Предположим, что имеется правильная пирамида, в основании которой находится квадрат со стороной 10 см. Высота фигуры равна 12 см. Необходимо вычислить, чему равны двугранные углы при основании пирамиды и для ее боковых сторон.

Поскольку заданная в условии задачи фигура является правильной, то есть обладает высокой симметрией, то все углы при основании равны друг другу. Также являются одинаковыми углы, образованные боковыми гранями. Чтобы вычислить необходимые двугранные углы, найдем направляющие векторы для основания и двух боковых плоскостей. Обозначим длину стороны основания буквой a, а высоту h.

Рисунок выше показывает четырехугольную правильную пирамиду. Выпишем координаты точек A, B, C и D в соответствии с введенной системой координат:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

Теперь найдем направляющие векторы для плоскостей основания ABC и двух боковых сторон ABD и BCD в соответствии с изложенной в пункте выше методикой:

Для ABC:

AB¯ = (0; a; 0); AC¯ = (-a; a; 0); n₁¯ = [AB¯*AC¯] = (0; 0; a²)

Для ABD:

AB¯ = (0; a; 0); AD¯ = (-a/2; a/2; h); n₂¯ = [AB¯*AD¯] = (a*h; 0; a²/2)

Для BCD:

BC¯ = (-a; 0; 0); BD¯ = (-a/2; -a/2; h); n₃¯ = [BC¯*BD¯] = (0; a*h; a²/2)

Теперь остается применить соответствующую формулу для угла φ и подставить значения стороны и высоты из условия задачи:

Угол между ABC и ABD:

(n₁¯*n₂¯) = a⁴/2; |n₁¯| = a²; |n₂¯| = a*√(h² + a²/4);

φ = arccos(a⁴/2/(a²*a*√(h² + a²/4))) = arccos(a/(2*√(h² + a²/4))) = 67,38^o

Угол между ABD и BDC:

(n₂¯*n₃¯) = a⁴/4; |n₂¯| = a*√(h² + a²/4) ; |n₃¯| = a*√(h² + a²/4);

φ = arccos(a⁴/(4*a²*(h²+a²/4)) = arccos(a²/(4*(h²+a²/4))) = 81,49^o

Мы вычислили значения углов, которые требовалось найти по условию задачи. Полученные при решении задачи формулы можно использовать для определения двугранных углов четырехугольных правильных пирамид с любыми значениями a и h.

Углы треугольной правильной пирамиды

На рисунке ниже дана пирамида, основанием которой является правильный треугольник. Известно, что двугранный угол между боковыми сторонами является прямым. Необходимо вычислить площадь основания, если известно, что высота фигуры равна 15 см.

Двугранный угол, равный 90^o, на рисунке обозначен как ABC. Решить задачу можно, применяя изложенную методику, однако в данном случае поступим проще. Обозначим сторону треугольника a, высоту фигуры – h, апофему – h_b и боковое ребро – b. Теперь можно записать следующие формулы:

S = 1/2*a*h_b;

b² = h_b² + a²/4;

b² = h² + a²/3

Поскольку два боковых треугольника в пирамиде являются одинаковыми, то стороны AB и CB равны и являются катетами треугольника ABC. Обозначим их длину x, тогда:

x = a/√2;

S = 1/2*b*a/√2

Приравнивая площади боковых треугольников и подставляя апофему в соответствующее выражение, имеем:

1/2*a*h_b = 1/2*b*a/√2 =>

h_b = b/√2;

b² = b ²/2 + a²/4 =>

b = a/√2;

a²/2 = h² + a²/3 =>

a = h*√6

Площадь равностороннего треугольника рассчитывается так:

S = √3/4*a² = 3*√3/2*h²

Подставляем значение высоты из условия задачи, получаем ответ: S = 584,567 см².

2.5. Пирамида. Правильная пирамида

Одним из важнейших видов многогранников являются пирамиды, с которыми вы уже неоднократно встречались. Любой школьник наверняка сможет отличить пирамиду от многогранника иного вида. Но лишь в этом параграфе даётся формальное определение понятия «пирамида».

Определение 18

n-Угольной пирамидой называется многогранник, имеющий n + 1 грань (т. е. n + 1-гранник), причём одна грань у него — n-угольник, а n оставшихся граней — треугольники с общей вершиной.

n-Угольная грань n-угольной пирамиды называется основанием, а все прочие треугольные грани называются боковыми гранями. Общую для боковых граней вершину называют вершиной пирамиды. Рёбра пирамиды, выходящие из вершины, называют боковыми рёбрами пирамиды.

Простейший многогранник — четырёхгранник или тетраэдр — это также и простейшая пирамида — треугольная. Особенность треугольной пирамиды состоит в том, что любую грань можно рассматривать как основание. (Три другие грани являются соответственно боковыми гранями.) Именно разумный выбор основания может быть залогом успеха решения некоторых задач.

Приведём две полезные теоремы.

Теорема 2.4 (свойство пирамиды с равными боковыми рёбрами)

Если боковые рёбра пирамиды равны между собой, то в основании этой пирамиды лежит многоугольник, около которого можно описать окружность. При этом вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности.

Доказательство. Утверждение теоремы следует из того, что равные наклонные имеют равные проекции. Пусть S — вершина пирамиды, A и B — две какие-то вершины основания, O — проекция S на плоскость основания (рис. 58). Треугольники SAO и SBO — прямоугольные (∠ SOA = ∠ SBO = 90°) с общим катетом SO и равными по условию гипотенузами: SA = SB. Значит , OA = OB. Таким образом, точка O равноудалена от всех вершин основания.

Теорема доказана. ▼

Теорема 2.5 (свойство пирамиды с равными углами между основанием и боковыми гранями)

Если все углы между плоскостями боковых граней и плоскостью основания равны между собой (иными словами, боковые грани наклонены к плоскости основания под равными углами), то все прямые, на которых лежат стороны основания, касаются одной окружности, а вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности.

Доказательство. Пусть S — вершина пирамиды, O — проекция S на плоскость основания, AB — какая-то сторона основания, K — проекция S на прямую AB, a — угол между плоскостью основания и плоскостями боковых граней. По определению a ⩽ 90° (в данном случае a ≠ 90°, рис. 59, а); ∠ SKO = a — линейный угол соответствующего двугранного угла. Если SO = h, то OK = SO ctg ∠ SKO = h ctg a. Таким же будет расстояние от O до всех сторон основания. ▼

Замечание. Обратите внимание на то, что в условии теоремы говорится об углах между парами плоскостей — плоскостью основания и плоскостями боковых граней. Утверждение теоремы будет тем более верным, если равны двугранные углы при основании, т. е. двугранные углы, рёбрами которых служат стороны основания и одна из граней которых — полуплоскость, содержащая боковую грань, а другая — полуплоскость, содержащая основание пирамиды. В этом случае вершина проектируется непременно внутрь основания (в случае равенства двугранных углов при основании все эти углы непременно острые), в то время как при условиях, сформулированных в теореме, проекция вершины может оказаться и вне основания (рис. 59, б). Итак, мы можем уточнить утверждение теоремы 2.5.

Если в основании пирамиды лежит выпуклый многоугольник и все двугранные углы при основании равны, то основанием является описанный многоугольник, а вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности.

Отрезок SO (S — вершина, O — проекция S на плоскость основания) называется высотой пирамиды, O — основание высоты. Нетрудно теперь переформулировать теоремы 2.3 и 2.4 с использованием терминов «высота пирамиды» и «основание высоты».

В следующей теореме формулируется общее свойство произвольных пирамид.

Теорема 2.6 (свойство параллельных сечений пирамиды)

Сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию, является многоугольник, подобный основанию.

Доказательство. Докажем, что все углы в сечении равны соответствующим углам  основания,  а  стороны сечения  пропорциональны соответствующим сторонам основания. Заметим, что достаточно это сделать для двух соседних сторон основания и соответствующих им сторон сечения.

Пусть A, B, C — три последовательные вершины основания, S — вершина пирамиды, A1, B1, C1 — точки, в которых плоскость, параллельная основанию, пересекает рёбра SA, SB и SC соответственно (рис. 60). Так как A1B1 ‖ AB и B1C1 ‖ BC, то ∠ A1B1C1 = ∠ ABC (см. теорему 1.8). Кроме того, из подобия пар треугольников SA1B1 и SAB, SB1C1 и SBC получаем: A1B1 : AB = SB1 : SB = B1C1 : BC. ▼

Среди множества пирамид выделяется один важный тип пирамид: правильные пирамиды.

Определение 19

Пирамида называется правильной, если в основании её лежит правильный многоугольник, а все боковые рёбра равны между собой.

Приведём определение правильного тетраэдра.

Правильным называется тетраэдр (т. е. треугольная пирамида), у которого все рёбра равны между собой.

Понятно, что правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр — это не одно и то же.