В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.
Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.
Трапеция и все-все-все
Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.
Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.
В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.
Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.
Свойства диагоналей трапеции
Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.
- Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2.
- Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k2. - Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
- Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т. - Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
- А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b).
Свойства средней линии трапеции
Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.
- Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2.
- Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.
Свойство биссектрисы трапеции
Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.
Свойства углов трапеции
- Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 1800: α + β = 1800 и γ + δ = 1800.
- Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 900 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2.
- Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.
Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции
- В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
- Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
- Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
- Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 1800 – обязательное условие для этого.
- Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
- Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2.
- Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
- На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2. Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2.
Свойства трапеции, вписанной в окружность
Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.
- Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
- Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
- Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
- Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ.
- Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
- Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*SАМЕ.
Свойства трапеции, описанной около окружности
Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.
- Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2.
- У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ.
- Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
- Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab.
- И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.
Свойства прямоугольной трапеции
Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.
- У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
- Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
- Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.
Доказательства некоторых свойств трапеции
Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:
- Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).
Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.
АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.
Откуда АКМ = 1800 – МЕТ = 1800 – КАЕ = КМЕ.
Что и требовалось доказать.
Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной:
- Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).
∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.
МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.
У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.
Задача для повторения
Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 1500 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.
Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.
Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 1800. Поэтому КАН = 300 (на основании свойства углов трапеции).
Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 300. Поэтому КН = ½АВ = 4 см.
Площадь трапеции находим по формуле: SАКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см2.
Послесловие
Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.
Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.
Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Признаки и свойства равнобедренной трапеции
(blacktriangleright) Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.
Свойства равнобедренной трапеции:
(blacktriangleright) Углы при каждом основании равны;
(blacktriangleright) Диагонали равны;
(blacktriangleright) Два треугольника, образованные диагоналями и одним из оснований, являются равнобедренными;
(blacktriangleright) Два треугольника, образованные диагоналями и боковой стороной, равны.
Задание
1
#296
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В трапеции (ABCD): (AB = CD), (angle C – angle A = 80^{circ}). Найдите (angle D + angle B – angle C). Ответ дайте в градусах.
У равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, тогда (angle B = angle C) и, следовательно, (angle D + angle B – angle C = angle D = angle A).
У равнобедренной трапеции сумма противоположных углов равна (180^{circ}) (так как (angle C = angle B), а (angle A + angle B = 180^{circ}), как сумма односторонних при параллельных прямых и секущей).
(angle A + angle C = 180^{circ}),
(angle C – angle A = 80^{circ})
тогда, вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем (2cdot angle A = 100^{circ}). В итоге имеем: (angle D + angle B – angle C = angle A = 50^{circ}).
Ответ: 50
Задание
2
#1699
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Диагонали в равнобедренной трапеции (ABCD) перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если диагональ (AC) равна (2).
В равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому (AC = BD = 2). Пускай (O) – точка пересечения диагоналей.
[begin{gathered}
S_{ABCD} = S_{triangle ABC} + S_{triangle CDA} = frac{1}{2}cdot AC cdot BO + frac{1}{2}cdot AC cdot OD =\ =frac{1}{2}cdot AC cdot(BO + OD) = frac{1}{2}cdot AC cdot BD = frac{1}{2} cdot 2 cdot 2 = 2end{gathered}]
Ответ: 2
Задание
3
#1789
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите диагонали равнобедренной трапеции, если они перпендикулярны, а площадь трапеции равна (8).
Пусть (ABCD) — трапеция с диагоналями (AC) и (BD), (O) – точка их пересечения, тогда
(S_{ABCD} = S_{triangle ABC} + S_{triangle CDA} = frac{1}{2}cdot AC cdot BO + frac{1}{2}cdot AC cdot OD = )
(frac{1}{2}cdot AC cdot(BO + OD) = frac{1}{2}cdot AC cdot BD =
frac{1}{2}cdot AC^2 = 8) (Rightarrow) (AC = 4).
Ответ: 4
Задание
4
#1704
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В равнобедренной трапеции (ABCD) основание (AD) вдвое длиннее основания (BC) и боковой стороны. Найдите острый угол трапеции.
Если опустить высоты (BH) и (CK) на основание (AD), то они отсекут равные отрезки (AH) и (KD), причем (AB = BC = HK) (Rightarrow) (AH = frac{AD – HK}{2} = frac{HK}{2} = frac{AB}{2}) (Rightarrow) (angle ABH = 30^circ), как угол в прямоугольном треугольнике, противолежащий катету, равному половине гипотенузы (Rightarrow) (angle BAK = 90^circ – 30^circ = 60^circ).
Ответ: 60
Задание
5
#295
Уровень задания: Равен ЕГЭ
(ABCD) – трапеция с основаниями (AD) и (BC). При этом (AB = CD = 6), (BC = 4), один из углов трапеции (ABCD) равен (60^{circ}). Найдите (AD).
Пусть (angle A = 60^{circ}), (BE) – высота в треугольнике (ABD). (angle ABE = 90^{circ} – 60^{circ} = 30^{circ}). Катет, лежащий против угла в (30^{circ}), равен половине гипотенузы, тогда (AE = 0,5cdot 6 = 3).
У равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, тогда (angle D = 60^{circ}). Пусть (CF) – высота в треугольнике (ACD), тогда аналогично тому, как находили (AE), находим, что (FD = 3). (EF = BC), так как (BCFE) – прямоугольник. Тогда (AD = AE + EF + FD = 3 + 4 + 3 = 10).
Ответ: 10
Задание
6
#1700
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Диагонали в равнобедренной трапеции (ABCD) перпендикулярны. (O) – точка пересечения диагоналей, причем (AO:OC = 7:1). Найдите периметр трапеции, если меньшее основание равно (1).
(BC) – меньшее основание, треугольники (triangle BOC) и (triangle AOD) подобны и их стороны относятся как (1:7) (Rightarrow) (BC:AD = 1:7) (Rightarrow) (AD = 7); (OB = OC), (OB^2 + OC^2 = 1^2) (Rightarrow) (OB = OC = frac{1}{sqrt2}) (Rightarrow) (AO = frac{7}{sqrt2}). В (triangle ABO): (AO^2 + OB^2 = AB^2) (Rightarrow) (AB = 5). Тогда (P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 1 + 7 + 5 + 5 = 18).
Ответ: 18
Задание
7
#1702
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В равнобедренной трапеции (ABCD) биссектриса (angle ABC) параллельна боковой стороне (CD) и пересекает основание (AD) в точке (K), которая делит (AD) в отношении (AK:KD = 1:2). Найдите периметр трапеции, если меньшее основание равно (4).
(BCDK) – параллелограмм, т.к. противоположные стороны попарно параллельны; (angle AKB = angle KBC), т.к. накрест лежащие при параллельных (BC) и (AD); (angle BAK = angle CDK = angle KBC) (Rightarrow) (triangle ABK) – равносторонний треугольник. (BC = KD = 4) (Rightarrow) (AK = 2 = AB = CD) (Rightarrow) (P_{ABCD} = AB + BC + CD + KD + AK = 2 + 4 + 2 + 4 + 2 = 14).
Ответ: 14
Учащимся старших классов, которые готовятся сдавать ЕГЭ по математике, в обязательном порядке стоит повторить тему «Равнобедренная трапеция» и освежить в памяти ее основные свойства и признаки. Многолетняя практика показывает, что подобные задания ежегодно встречаются в программе аттестационного испытания. Поэтому, если вы хотите успешно решить задачи ЕГЭ на применение основных свойств диагоналей или углов равнобедренной трапеции, вам непременно стоит разобраться в этой теме.
Образовательный портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к аттестационному испытанию. Наш ресурс позволяет учащимся определить наиболее сложные темы и ликвидировать имеющиеся пробелы в знаниях. Специалисты «Школково» подготовили и изложили весь материал в максимально доступной форме.
Чтобы выпускники могли успешно справляться с геометрическими задачами, мы рекомендуем вспомнить определение равнобедренной трапеции, свойства ее сторон, углов и диагоналей, а также формулу для вычисления площади. Эта информация представлена в разделе «Теоретическая справка».
Вспомнив основные свойства углов, диагоналей и сторон равнобедренной трапеции, учащиеся имеют возможность закрепить усвоенный материал, выполнив практические задания. Упражнения различного уровня сложности представлены в разделе «Каталог». В каждом из них вы найдете подробный алгоритм решения и правильный ответ.
Практиковаться в выполнении заданий по теме «Трапеция» при подготовке к ЕГЭ выпускники могут в режиме онлайн, находясь не только в Москве, но и в любом другом городе России. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.
УСТАЛ? Просто отдохни
Трапеция и ее свойства
Т. А. Унегова
Определения:
Трапеция — это называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.
Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные — боковыми сторонами трапеции.
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.
Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований трапеции к прямой, содержащей другое основание.
Трапеция называется вписанной в окружность, если каждая ее вершина принадлежит окружности.
Трапеция называется описанной вокруг окружности, если каждая ее сторона касается окружности.
Трапеция называется равнобедренной (равнобокой, равнобочной), если ее боковые стороны равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
Теоремы о средней линии и диагоналях трапеции
Теорема 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: 
.
Теорема 2. Диагонали трапеции делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Средний из них равен полуразности оснований, а два крайних равны между собой: 
.
Теорема 3. Средняя линия треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований трапеции, равна средней линии трапеции: 
.
Теорема 4. Четыре точки: середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений ее боковых сторон — лежат на одной прямой.
Эта теорема называется также «Замечательное свойство трапеции».
Теорема 5. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Два из них, содержащие боковые стороны, равновелики (имеют равные площади), а два других, содержащие основания, подобны.
Теоремы о площади трапеции
Теорема 6. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: 
.
Теорема 7. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту: 
.
Теорема 8. Площадь трапеции (как и всякого выпуклого четырехугольника) равна половине произведения ее диагоналей на синус угла между ними: 
, где 
(Вместо 
можно брать 
Теорема 9. Если в трапецию можно вписать окружность, то (как и для всякого описанного многоугольника) площадь трапеции равна произведению ее полупериметра на радиус вписанной окружности: 
. Таким образом, 
.
Теорема 10. Площадь трапеции равна площади треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований этой трапеции. (Сравни эту теорему и теорему 3.)
Теоремы о вписанных и описанных трапециях
Теорема 11. Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. И наоборот, если трапеция равнобедренная, то около нее можно описать окружность.
Теорема 12. Если трапеция описана около окружности, то сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.
Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Трапеция
Задача 1.
Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны 
.
Решение:
Высота трапеции— это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины 
. Так как сторона квадратной клетки равна , то по теореме Пифагора получаем, что 
.
Ответ: 2.
Задача 2.
Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 
. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Углы 
ABC и BAH — односторонние, их сумма равна 
, и тогда BAH 
Из 
ABH найдем высоту BH. Катет, лежащий против угла в 
, равен половине гипотенузы. Получаем, что BH = 3,5.
Площадь трапеции равна 
.
Ответ: 42.
Задача 3.
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции ее диагональ.
Решение:
Что можно увидеть на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция ABCD, и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, ABC и ACD, в которых проведены средние линии.
Напомним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны. Из ACD находим, что 
Ответ: 5.
Задача 4.
Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Решение:
Проведем PQ — среднюю линию трапеции, PQ = 2,5 и 
. Отсюда получаем, что 
середина отрезка AC, то есть PM — средняя линия треугольника ABC и PM = 1. Аналогично, NQ = 1.
Ответ: 0,5.
Задача 5.
Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.
Решение:
Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть 
Периметр трапеции равен
Ответ: 23.
Задача 6.
В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC является биссектрисой острого угла трапеции и образует со стороной CD угол 
. Найдите углы трапеции.
Решение:
Пусть CAD 
, тогда CAB и BAD 
, так как трапеция равнобедренная.
Сумма углов 
, откуда
Итак, 
, а
.
Ответ: 
.
Задача 7.
В равнобедренной трапеции основания равны 10 м и 24 м, боковая сторона 25 м. Найдите высоту трапеции.
Решение:
В равнобедренной трапеции проведем высоты. Получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Тогда основание каждого треугольника равно 7 и 
Отсюда, 
Ответ: 24.
Задача 8.
Тупой угол равнобедренной трапеции равен 
, а высота, проведенная из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Проведем две высоты. Они разделят трапецию на три части: прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника с острым углом 
.
Каждый треугольник равнобедренный, поэтому h = 1,4.
Нетрудно видеть, что верхнее основание трапеции равно 2, а нижнее — 4,8. Отсюда площадь трапеции равна 
.
Ответ: 4,76.
Задача 9.
Площадь трапеции равна 60м
а основания 8 м и 12 м. Найдите высоту трапеции.
Решение:
Так как площадь трапеции 
, то 
, откуда h = 6.
Ответ: 6.
Задача 10.
В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны и равны 
Найдите площадь трапеции.
Решение:
Проведем CE 
BD и DE — продолжение AD.
Так как BCDE — параллелограмм, то CE = a.
По теореме 10 получим, что 
.
Ответ: 
Задач 11.
В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD и является биссектрисой угла A.
Найдите AD, если периметр трапеции равен 20, а угол D равен 
.
Решение:
По условию задачи в прямоугольном ACD
D 
, следовательно, CAD 
.
Так как AC — биссектриса, то CAB 
, откуда DAB , то есть, трапеция равнобедренная. BCA 
CAD как накрест лежащие, поэтому ABC — равнобедренный.
Обозначим длины боковых сторон ABC буквой x.
Тогда AB = BC = CD = x, и AD = 2x, так как в прямоугольном ACD против угла в 
лежит катет, равный половине гипотенузы.
Таким образом, периметр трапеции, равный 20, составляет 5x, отсюда
x = 4 и AD = 8.
Ответ: 8.
Задача 12.
В равнобедренной трапеции ABCD с острым углом меньшее основание BC равно 2, а боковая сторона AB равна 10. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке M. Во сколько раз площадь трапеции больше площади треугольника BCM?
Решение:
Нетрудно видеть, что BCM равносторонний и BM = 2, тогда AM = 12 и BCM подобен ADM c коэффициентом 
.
Пусть
, 
, тогда
Площадь трапеции будет равна
Ответ: 35.
Задача 13.
Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 
. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований, если основания равны 6 и 10.
Решение:
Продолжим боковые стороны до пересечения в точке E и отметим точки F и G — середины оснований трапеции.
Так как сумма углов при основании трапеции равна , то 
, поэтому EF и EG — медианы в прямоугольных треугольниках BEC и AED соответственно.
Известно, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, значит 
Ответ: 2.
Задача 14.
Найдите радиус окружности, вписанной в равнобочную трапецию, если средняя линия трапеции равна 10, а ее площадь 24.
Решение:
Так как площадь трапеции равна , а высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть 
то 
, откуда 
.
Ответ: 1,2.
Задача 15.
Периметр прямоугольной трапеции равен 32, а большая боковая сторона равна 10. Найдите радиус r вписанной в трапецию окружности.
Решение:
По свойствам описанной трапеции сумма ее боковых сторон равна сумме оснований, поэтому
откуда 
Сторона AB равна диаметру окружности, поэтому 
.
Ответ: 3.
Задача 16.
Около окружности описана трапеция, сумма боковых сторон которой равна 40. Найдите длину ее средней линии.
Решение:
Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований. Если трапеция описана вокруг окружности, то в ней сумма оснований равна сумме боковых сторон, поэтому
Ответ: 20.
Задача 17.
В окружность вписана трапеция так, что диаметр окружности служит основанием трапеции, а вершины другого основания делят полуокружность на три равные части. Найдите тупые углы трапеции. Ответ выразите в градусах.
Решение:
Так как AD — диаметр окружности, то дуга ABCD равна 
. Она делится на три равные части по 
Вписанный угол D опирается на дугу ABC, которая равна 
, отсюда 
и, стало быть, 
Ответ: 120.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Трапеция и ее свойства» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Трапеция — четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.
При этом трапеция обладает всеми свойствами четырехугольника. Поэтому запоминать надо свойства, которые характерны для трапеции.
Определения для трапеции:
Параллельные стороны называются основаниями трапеции (BC и AD), непараллельные – боковыми сторонами (AB и CD).
Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.
Средняя линия трапеции — отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции (на рис. MN). Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме. Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: MN=(AD+BC)/2
M – середина AB, N – середина CD,
AD||BC, MN||AD, MN||BC,
Равнобедренная (равнобокая) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны (AB=CD).
В равнобедренной трапеции:
— углы при основании равны,
— проекции боковых сторон на основание равны: AE=FD,
— диагонали равны.
Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.
Свойства углов трапеции
- Свойства углов четырехугольника
- Сумма углов трапеции равна 360°
- Сумма внешних углов трапеции , взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
- Каждый угол трапеции всегда меньше суммы трёх остальных углов.
- Свойства углов трапеции
1. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°: ∠A+∠B=180°, ∠C+∠D=180°
2. Каждая диагональ трапеции образует с её основаниями равные углы.
3. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на ее основании отрезок, равный боковой стороне: AB=BE.
4. Биссектрисы смежных углов трапеции пересекаются под прямым углом.
Свойства сторон трапеции
- Свойства сторон трапеции (как у четырехугольника)
- Каждая сторона четырехугольника меньше суммы всех его других сторон.
- Сумма диагоналей меньше его периметра.
- Диагонали трапеции (как у четырехугольника)
- Диагонали пересекаются в одной точке.
- Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
- Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
- Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
При пересечении диагоналей трапеции и продолжений её боковых сторон образуются подобные треугольники, прилежащие к основаниям. 
Трапеция и окружность
В трапецию можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон (a+b=c+d). Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.
Радиус вписанной окружности: 
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной. Центр описанной около трапеции окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон.
AB=CD ⇒ ∠ABC=∠DCB, ∠BAD=∠CDA;
AB=CD ⇒ AC=BD;
AB=CD ⇒ ABCD вписанная
Основные формулы:
Периметр трапеции равен сумме длин всех его сторон:
Площадь трапеции можно найти по двум формулам:
1. Половине произведения суммы её оснований на высоту трапеции.
2. Половине произведения её диагоналей на синус угла между ними.
Стороны и диагональ равнобокой трапеции: 
Расшифровка:
a,b — основания,
c,d — боковые стороны (с – боковые стороны в случае, если трапеция равнобокая),
d1, d2 –диагонали,
P-периметр,
S-площадь,
h -высота, проведенная к противоположной стороне
Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции
Определение.
Равнобедренная трапеция — это трапеция у котрой боковые стороны равны.
На этой странице представленны формулы характерные равнобедренной трапеции. Не забывайте, что для равнобедренной трапеции выполняются все формулы и свойства трапеции.
 |
| Рис.1 |
Признаки равнобедренной трапеции
Трапеция будет равнобедренной если выполняется одно из этих условий:
1. Углы при основе равны:
∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC
2. Диагонали равны:
AC = BD
3. Одинаковые углы между диагоналями и основаниями:
∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC
4. Сумма противоположных углов равна 180°:
∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°
5. Вокруг трапеции можно описати окружность
Основные свойства равнобедренной трапеции
1. Сумма углов прилегающих к боковой стороне равнобедренной трапеции равна 180°:
∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°
2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней лини трапеции:
AB = CD = m
3. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность
4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований (средней лини):
h = m
5. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты:
SABCD = h2
6. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению основ трапеции:
h2 = BC · AD
7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенному произведению основ трапеции:
AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC · AD
8. Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции:
HF ┴ BC, HF ┴ AD
9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) – равен полуразности оснований:
Стороны равнобедренной трапеции
Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:
1. Формулы длины сторон через другие стороны, высоту и угол:
a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α
b = a – 2h ctg α = a – 2c cos α
| c = | h | = | a – b |
| sin α | 2 cos α |
2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:
| a = | d12 – c2 | b = | d12 – c2 | c = √d12 – ab |
| b | a |
3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:
| a = | 2S | – b b = | 2S | – a |
| h | h |
4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:
5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:
Средняя линия равнобедренной трапеции
Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:
1. Формула определения длины средней линии через основания, высоту и угол при основании:
m = a – h ctg α = b + h ctg α = a – √c2 – h2 = b + √c2 – h2
2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:
Высота равнобедренной трапеции
Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:
1. Формула высоты через стороны:
2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:
| h = | a – b | tg β | = c sin β |
| 2 |
Диагонали равнобедренной трапеции
Диагонали равнобедренной трапеции равны:
d1 = d2
Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:
1. Формула длины диагонали через стороны:
d1 = √с2 + ab
2. Формулы длины диагонали по теореме косинусов:
d1 = √a2 + c2 – 2ac cos α
d1 = √b2 + c2 – 2bc cos β
3. Формула длины диагонали через высоту и среднюю линию:
d1 = √h2 + m2
4. Формула длины диагонали через высоту и основания:
Площадь равнобедренной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции:
1. Формула площади через стороны:
| S = | a + b | √4c2 – (a – b)2 |
| 4 |
2. Формула площади через стороны и угол:
S = (b + c cos α) c sin α = (a – c cos α) c sin α
3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:
| S = | 4 r 2 | = | 4 r 2 |
| sin α | sin β |
4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:
5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:
S = (a + b) · r = √ab·c = √ab·m
6. Формула площади через диагонали и угол между ними:
| S = | d12 | · sin γ | = | d12 | · sin δ |
| 2 | 2 |
7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:
S = mc sin α = mc sin β
8. Формула площади через основания и высоту:
Окружность описанная вокруг трапеции
Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!
Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
1. Формула радиуса через стороны и диагональ:
| R = | a·c·d1 |
| 4√p(p – a)(p – c)(p – d1) |
где
a – большее основание
