Типичными линейными параметрами любой пирамиды являются длины сторон ее основания, высота, боковые ребра и апофемы. Тем не менее существует еще одна характеристика, которая связана с отмеченными параметрами, – это двугранный угол. Рассмотрим в статье, что он собой представляет и как его находить.
Пространственная фигура пирамида
Каждый школьник хорошо представляет, о чем идет речь, когда слышит слово “пирамида”. Геометрически построить ее можно так: выбрать некоторый многоугольник, затем зафиксировать точку в пространстве и соединить ее с каждым углом многоугольника. Получившаяся объемная фигура будет пирамидой произвольного типа. Многоугольник, который ее образует, называется основанием, а точка, с которой соединены все его углы, является вершиной фигуры. Ниже на рисунке схематически показана пятиугольная пирамида.
Видно, что ее поверхность образована не только пятиугольником, но и пятью треугольниками. В общем случае число этих треугольников будет равно количеству сторон многоугольного основания.
Двугранные углы фигуры
Когда рассматриваются геометрические задачи на плоскости, то любой угол образован двумя пересекающимися прямыми, или отрезками. В пространстве же к этим линейным углам добавляются двугранные, образованные пересечением двух плоскостей.
Если отмеченное определение угла в пространстве применить к рассматриваемой фигуре, то можно сказать, что существует два вида двугранных углов:
- При основании пирамиды. Он образован плоскостью основания и любой из боковых граней (треугольником). Это означает, что углов при основании у пирамиды n, где n – число сторон многоугольника.
- Между боковыми сторонами (треугольниками). Количество этих двугранных углов также составляет n штук.
Заметим, что первый тип рассматриваемых углов строится на ребрах основания, второй тип – на боковых ребрах.
Как рассчитать углы пирамиды?
Линейный угол двугранного угла является мерой последнего. Вычислить его непросто, поскольку грани пирамиды, в отличие от граней призмы, пересекаются не под прямыми углами в общем случае. Надежнее всего проводить расчет значений двугранных углов с использованием уравнений плоскости в общем виде.
В трехмерном пространстве плоскость задается следующим выражением:
A*x + B*y + C*z + D = 0
Где A, B, C, D – это некоторые действительные числа. Удобством этого уравнения является то, что первые три отмеченных числа являются координатами вектора, который перпендикулярен заданной плоскости, то есть:
n¯ = [A; B; C]
Если известны координаты трех точек, принадлежащих плоскости, то, взяв векторное произведение двух векторов, построенных на этих точках, можно получить координаты n¯. Вектор n¯ называется направляющим для плоскости.
Согласно определению, двугранный угол, образованный пересечением двух плоскостей, равен линейному углу между их направляющими векторами. Предположим, что мы имеем две плоскости, нормальные векторы которых равны:
n1¯ = [A1; B1; C1];
n2¯ = [A2; B2; C2]
Для вычисления угла φ между ними можно воспользоваться свойством произведения скалярного, тогда соответствующая формула принимает вид:
φ = arccos(|(n1¯*n2¯)|/(|n1¯|*|n2¯|))
Или в координатной форме:
φ = arccos(|A1*A2 + B1*B2 + C1*C2|/(√(A12 + B12+C12)*√(A22 + B22 + C22)))
Покажем, как использовать изложенную методику расчета двугранных углов при решении геометрических задач.
Углы правильной пирамиды четырехугольной
Предположим, что имеется правильная пирамида, в основании которой находится квадрат со стороной 10 см. Высота фигуры равна 12 см. Необходимо вычислить, чему равны двугранные углы при основании пирамиды и для ее боковых сторон.
Поскольку заданная в условии задачи фигура является правильной, то есть обладает высокой симметрией, то все углы при основании равны друг другу. Также являются одинаковыми углы, образованные боковыми гранями. Чтобы вычислить необходимые двугранные углы, найдем направляющие векторы для основания и двух боковых плоскостей. Обозначим длину стороны основания буквой a, а высоту h.
Рисунок выше показывает четырехугольную правильную пирамиду. Выпишем координаты точек A, B, C и D в соответствии с введенной системой координат:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Теперь найдем направляющие векторы для плоскостей основания ABC и двух боковых сторон ABD и BCD в соответствии с изложенной в пункте выше методикой:
Для ABC:
AB¯ = (0; a; 0); AC¯ = (-a; a; 0); n1¯ = [AB¯*AC¯] = (0; 0; a2)
Для ABD:
AB¯ = (0; a; 0); AD¯ = (-a/2; a/2; h); n2¯ = [AB¯*AD¯] = (a*h; 0; a2/2)
Для BCD:
BC¯ = (-a; 0; 0); BD¯ = (-a/2; -a/2; h); n3¯ = [BC¯*BD¯] = (0; a*h; a2/2)
Теперь остается применить соответствующую формулу для угла φ и подставить значения стороны и высоты из условия задачи:
Угол между ABC и ABD:
(n1¯*n2¯) = a4/2; |n1¯| = a2; |n2¯| = a*√(h2 + a2/4);
φ = arccos(a4/2/(a2*a*√(h2 + a2/4))) = arccos(a/(2*√(h2 + a2/4))) = 67,38o
Угол между ABD и BDC:
(n2¯*n3¯) = a4/4; |n2¯| = a*√(h2 + a2/4) ; |n3¯| = a*√(h2 + a2/4);
φ = arccos(a4/(4*a2*(h2+a2/4)) = arccos(a2/(4*(h2+a2/4))) = 81,49o
Мы вычислили значения углов, которые требовалось найти по условию задачи. Полученные при решении задачи формулы можно использовать для определения двугранных углов четырехугольных правильных пирамид с любыми значениями a и h.
Углы треугольной правильной пирамиды
На рисунке ниже дана пирамида, основанием которой является правильный треугольник. Известно, что двугранный угол между боковыми сторонами является прямым. Необходимо вычислить площадь основания, если известно, что высота фигуры равна 15 см.
Двугранный угол, равный 90o, на рисунке обозначен как ABC. Решить задачу можно, применяя изложенную методику, однако в данном случае поступим проще. Обозначим сторону треугольника a, высоту фигуры – h, апофему – hb и боковое ребро – b. Теперь можно записать следующие формулы:
S = 1/2*a*hb;
b2 = hb2 + a2/4;
b2 = h2 + a2/3
Поскольку два боковых треугольника в пирамиде являются одинаковыми, то стороны AB и CB равны и являются катетами треугольника ABC. Обозначим их длину x, тогда:
x = a/√2;
S = 1/2*b*a/√2
Приравнивая площади боковых треугольников и подставляя апофему в соответствующее выражение, имеем:
1/2*a*hb = 1/2*b*a/√2 =>
hb = b/√2;
b2 = b 2/2 + a2/4 =>
b = a/√2;
a2/2 = h2 + a2/3 =>
a = h*√6
Площадь равностороннего треугольника рассчитывается так:
S = √3/4*a2 = 3*√3/2*h2
Подставляем значение высоты из условия задачи, получаем ответ: S = 584,567 см2.
Аналитическая геометрия – задача на расчет пирамиды (тетраэдра)
Краткая теория
Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат.
Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное – разобраться и уделить задаче достаточно времени.
Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.
Пример решения задачи
Задача
Даны координаты
вершин пирамиды
. Найти:
Сделать чертеж.
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Решение
Длина ребра
Длину ребра
найдем по
формуле расстояния между 2-мя точками:
Угол между ребрами
Угол между ребрами
и
найдем как угол
между направляющими векторами
и
:
Косинус угла между
векторами:
Угол между ребром и гранью. Векторное произведение
Вычислим угол между
ребром
и гранью
.
Для этого вычислим
координаты нормального вектора плоскости
–им будет
векторное произведение векторов
и
.
Найдем векторное произведение. Для этого
вычислим определитель:
Нормальный вектор
плоскости:
Синус угла:
Площадь грани
Вычислим площадь
грани
. Она будет численно равна половине модуля векторного
произведения векторов
и
:
Искомая площадь:
Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов
Вычислим объем
пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов
и
:
Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо
найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:
Искомый объем
пирамиды:
Уравнение прямой в пространстве
Вычислим уравнение
прямой
. Направляющим
вектором искомой прямой является вектор
. Кроме того, прямая проходит через точку
Уравнение искомой
прямой:
Уравнение плоскости
Вычислим уравнение
плоскости
. Нормальный вектор плоскости
. кроме того, плоскость проходит через точку
-уравнение
грани
Уравнение высоты, опущенной на грань
Составим уравнение
высоты, опущенной на грань
из вершины
:
Нормальный вектор
является
направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку
Искомое уравнение
высоты:
Сделаем схематический чертеж:
Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин
Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольной пирамиды (тетраэдра):
1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;
2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;
3) площади и уравнения граней;
4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;
5) основания и точка пересечения медиан (центроид);
6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;
7) объём пирамиды;
8) основания, площади и уравнения биссекторов;
9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;
10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;
Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.
Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
Многогранник, одна грань которого является (n)-угольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой, (n)-угольник называется основанием пирамиды, а треугольники — боковыми гранями.
Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.
Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами пирамиды.
В зависимости от количества сторон основания пирамиды могут быть треугольными, четырёхугольными, пятиугольными и т. д.
Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.
Важно знать, где на плоскости основания находится проекция вершины пирамиды, она может быть в центре основания, на стороне основания, за пределами многоугольника основания. Решение задачи в большей степени зависит от расположения этой точки.
Чтобы нарисовать пирамиду, нужно соблюдать определённый порядок:
1. первым рисуется основание,
2. по условию задачи находится проекция вершины на плоскости основания,
3. вертикально проводится высота,
4. проводятся рёбра.
На рисунке изображена четырёхугольная пирамида (SABCD)
(первой пишут букву вершины).
Основание — четырёхугольник (ABCD).
Вершина проецируется в точку пересечения диагоналей (O) — основание высоты или проекция вершины.
(SA), (SB), (SC), (SD) — рёбра пирамиды,
(AB), (BC), (CD), (DA) — стороны основания.
В курсе средней школы в основном есть задачи, в которых даны:
– правильная пирамида (вершина проецируется в центр основания);
– пирамида, вершина которой проецируется в центр описанной окружности;
– пирамида, вершина которой проецируется в центр вписанной окружности;
– пирамида, высота которой совпадает с боковым ребром;
– пирамида, высота которой также является высотой боковой грани.
Углы, которые образованы боковой гранью и основанием пирамиды, называются двугранными углами при основании пирамиды.
Двугранный угол между боковой гранью (SCD) и гранью основания равен линейному углу
∠
(OES). Этот угол образован отрезками (OE) и (SE), лежащими в этих гранях и перпендикулярных их общей прямой (CD). То есть (OE)
⊥CD
и (SE)
⊥CD
.
Чтобы определить этот угол, часто нужно использовать теорему о трёх перпендикулярах.
Углы, которые образованы боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, называются углами между боковым ребром и плоскостью основания.
На рисунке
∠
(OCS).
Угол, который образован двумя боковыми гранями, называется двугранным углом при боковом ребре пирамиды.
Угол, который образован двумя боковыми рёбрами одной грани пирамиды, называется углом при вершине пирамиды.
Основные формулы пирамиды
Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней пирамиды:
S=S1+S2+S3+…
(Некоторые формулы годятся только для определённых видов пирамиды.)
Площадь полной поверхности
Sп.п.=S+Sоснования
.
Объём пирамиды (V =)
13Sоснования
(H), где (H) — высота пирамиды.
Формула объёма используется для пирамид любого вида.
Источники:
Рис. 1. Пирамида, © ЯКласс.
Пример 1:
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти:
1) координаты и модули векторов А1 А2и А1 А4;
2) угол между ребрами А1 А2и А1 А4;
3) площадь грани А1 А2 А3;
4) объем пирамиды;
5) уравнение прямой А1 А2;
6) уравнение плоскости А1 А2 А3;
7) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3.
Сделать чертеж.
А1 (0; 4; -4), А2 (5; 1; -1), А3 (-1; -1; 3), А4 (0; -3; 7).
Решение от преподавателя:
Пример 2:
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти: 1) длину ребра А1 А2;
2) угол между ребрами А1 А2и А1 А4;
3) угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3;
4) площадь грани А1 А2 А3;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой А1 А2;
7) уравнение плоскости А1 А2 А3;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3. Сделать чертеж.
1. А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8), А4 (8; 4; 1).
Решение от преподавателя:
Пример 3:
Решение от преподавателя:
Уравнение плоскости.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
|
= 0 |
Уравнение плоскости A1A2A3
(x-3)(1*2-0*3) – (y-2)((-2)*2-3*3) + (z+2)((-2)*0-3*1) = 2x + 13y – 3z-38 = 0
Угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3.
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле: 
Уравнение плоскости A1A2A3: 2x + 13y – 3z-38 = 0
Уравнение прямой A1A4: 
γ = arcsin(0.267) = 15.486o
Уравнение высоты пирамиды через вершину A4(0,2,2)
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A1A2A3: 2x + 13y – 3z-38 = 0 
Уравнение плоскости через вершину A4(0,2,2)
Плоскость, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Уравнение плоскости A1A2A3: 2x + 13y – 3z-38 = 0
2(x-0)+13(y-2)-3(z-2) = 0
или
2x+13y-3z-20 = 0
Пример 4:
Решение от преподавателя:
Даны координаты пирамиды: A1(0,1,1), A2(3,4,4), A3(-3,9,3), A4(0,5,4)
- Уравнение плоскости.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
|
= 0 |
Уравнение плоскости A1A2A3
(x-0)(3*2-8*3) – (y-1)(3*2-(-3)*3) + (z-1)(3*8-(-3)*3) = -18x – 15y + 33z-18 = 0
Упростим выражение: -6x – 5y + 11z-6 = 0
2) Угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3.
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле: 
Уравнение плоскости A1A2A3: -6x – 5y + 11z-6 = 0
Уравнение прямой A1A4: 
γ = arcsin(0.193) = 11.128o
3) Уравнение высоты пирамиды через вершину A4(0,5,4)
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A1A2A3: -6x – 5y + 11z-6 = 0
4) Уравнение плоскости через вершину A4(0,5,4)
Плоскость, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и параллельная плоскости
Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Уравнение плоскости A1A2A3: -6x – 5y + 11z-6 = 0
-6(x-0)-5(y-5)+11(z-4) = 0
или
-6x-5y+11z-19 = 0
5) Координаты вектора A1A4(0;4;3)
Уравнение прямой, проходящей через точку А1(0,1,1) параллельно вектору А1А2(0,4,3) имеет вид:
Пример 5:
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти: 1) длину ребра А1 А2;
2) угол между ребрами А1 А2и А1 А4;
3) угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3;
4) площадь грани А1 А2 А3;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой А1 А2;
7) уравнение плоскости А1 А2 А3;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3. Сделать чертеж.
А1 (4; 4; 10), А2 (4; 10; 2), А3 (2; 8; 4), А4 (9; 6; 9).
Решение от преподавателя:
Пример 6:
Решение от преподавателя:
1) Даны координаты вершин пирамиды: A1(0,1,1), A2(3,4,4), A3(-3,9,3), A4(0,5,4)
Координаты векторов.
Координаты векторов: A1A2(3;3;3) A1A4(0;4;3)
Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой: 
Угол между ребрами.
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле: 
, где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами A1A2(3;3;3) и A1A3(0;4;3):
А1 = arccos(0,808)
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
S =
Найдем векторное произведение
=i(3*2-8*3) – j(3*2-(-3)*3) + k(3*8-(-3)*3) = -18i – 15j + 33k
3) Объем пирамиды.
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
|
|
Координатывекторов:A1A2(3;3;3) A1A3(-3;8;2) A1A4(0;4;3) :
|
|
|
где определитель матрицы равен:
∆ = 3*(8*3-4*2)-(-3)*(3*3-4*3)+0*(3*2-8*3) = 39
Пример 7:
Решение от преподавателя:
- Угол между ребрами.
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами A1A2(-2;1;3) и A1A3(3;0;2):
γ = arccos(0) = 90.0030 - Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:
где
Найдем площадь грани A1A2A3
Найдем угол между ребрами A1A2(-2;1;3) и A1A3(3;0;2):
Площадь грани A1A2A3 - Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
|
|
|
|
|
где определитель матрицы равен:
∆ = (-2)*(0*4-0*2)-3*(1*4-0*3)+(-3)*(1*2-0*3) = -18
Пример 8:
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4 . Найти:
1) длину ребра А1А2;
2) угол между рёбрами А1А2 и А1А4 ;
3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
4) площадь грани А1А2А3;
5) объём пирамиды;
6) уравнение прямой А1А2;
7) уравнение плоскости А1А2А3;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3;
Сделать чертёж.
А1(3; 5; 4), А2(8; 7; 4), А3(5; 10; 4), А4(4; 7; 8).
Решение от преподавателя:
1) Длина ребра A1A2;
2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
3) угол между ребрами А1А4 и гранью А1А2А3;
Найдем уравнение стороны А1А4:
Вектор нормали: 
к плоскости А1А2А3. 
4) площадь грани А1А2А3;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой А1А2;
7) уравнение плоскости А1А2А3;
Итак: z=4 – уравнение плоскости А1А2А3.
8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
A4O – высота:
Уравнение A4O:
Т.к. 
, то
В результате получаем уравнение высоты:
Пример 9:
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти: 1) длину ребра А1 А2;
2) угол между ребрами А1 А2и А1 А4;
3) угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3;
4) площадь грани А1 А2 А3;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой А1 А2;
7) уравнение плоскости А1 А2 А3;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3. Сделать чертеж.
А1 (4; 4; 10), А2 (4; 10; 2), А3 (2; 8; 4), А4 (9; 6; 9).
Решение от преподавателя:
