Как найти угол между градиентами функции в точках
        Вариант 1     Вариант 2     Вариант 3     Вариант 4     Вариант 5     Вариант 6
        Вариант 7     Вариант 8     Вариант 9     Вариант 10     Вариант 11     Вариант 12
    Вариант 13     Вариант 14     Вариант 15     Вариант 16     Вариант 17     Вариант 18
    Вариант 19     Вариант 20     Вариант 21     Вариант 22     Вариант 23     Вариант 24
    Вариант 25     Вариант 26     Вариант 27     Вариант 28     Вариант 29     Вариант 30
        2.29 Найти угол между градиентами скалярных полей U(x,y,z) и V(x,y,z) в точке M.
Задачка по математике
Найти угол между градиентами в двух точках.
функция z=arcsin(x/(x+y))
Точки: (1,1) и (3,4).
Проверьте пожалуйста решение. В нем явно есть ошибка. Или предложите другой ход решения.
Частные производные и градиенты получились такие: 
Повторно перерешал и нашел частные производные. Сам ошибок не нашел — примелькались уже. Вот подробный ход решения: 
Высшая математика и экономика
Задача 1.
Найти производную скалярного поля 
в точке 
по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности 
, образующей острый угол с положительным направлением оси 
. 
Задача 2.
Найти угол между градиентами скалярных полей 
и 
в точке М. 
— искомый угол. 
Найдём градиент скалярного поля [math]U[/math] в точке [math]M[/math] и модуль:
[math]mathbf{grad}U=frac{partial{U}}{partial{x}},mathbf{i}+frac{partial{U}}{partial{y}},mathbf{j}+frac{partial{U}}{partial{y}},mathbf{k}=frac{3}{2}x^2,mathbf{i}+18y^2,mathbf{j}+9sqrt{6},z^2,mathbf{k}[/math]
[math]left.{mathbf{grad}U}right|_M=frac{3}{2}{!left(sqrt2right)!}^2,mathbf{i}+18{!left(frac{1}{sqrt2}right)!}^2,mathbf{j}+9sqrt6{left(frac{1}{sqrt3}right)!}^2,mathbf{k}=3,mathbf{i}+9,mathbf{j}+3sqrt6,mathbf{k}[/math]
[math]left|left.{mathbf{grad}U}right|_Mright|=sqrt{3^2+9^2+{!left({3sqrt6}right)!}^2}=sqrt{9+81+54}=sqrt{144}=12[/math]
Найдём градиент скалярного поля [math]V[/math] в точке [math]M[/math] и модуль:
[math]mathbf{grad}V=frac{partial{V}}{partial{x}},mathbf{i}+frac{partial{V}}{partial{y}},mathbf{j}+frac{partial{V}}{partial{y}},mathbf{k}=frac{2x}{yz^2},mathbf{i}-frac{x^2}{y^2z^2},mathbf{j}-frac{2x^2}{yz^3},mathbf{k}[/math]
[math]left.{mathbf{grad}V}right|_M=frac{2sqrt2}{frac{1}{sqrt2}left(frac{1}{sqrt3}right)^2},mathbf{i}-frac{left(sqrt2right)^2}{left(frac{1}{sqrt2}right)^2left(frac{1}{sqrt3}right)^2},mathbf{j}-frac{2left(sqrt2right)^2}{frac{1}{sqrt2}left(frac{1}{sqrt3}right)^3},mathbf{k}=12,mathbf{i}-12,mathbf{j}-12sqrt6,mathbf{k}[/math]
[math]left|left.{mathbf{grad}V}right|_Mright|=sqrt{12^2+{!left(-12right)!}^2+{!left(-12sqrt6right)!}^2}=sqrt{12^2cdot8}=24sqrt2[/math]
Вычислим скалярное произведение градиентов полей [math]U[/math] и [math]V[/math] в точке [math]M[/math]
[math]leftlangle{left.{mathbf{grad}U}right|_M,,left.{mathbf{grad}V}right|_M}rightrangle=3cdot12+9cdot(-12)+3sqrt6cdotleft(-12sqrt6right)=36-108-216=-288[/math]
Вычислим значение косинуса угла между градиентами
[math]cosalpha=frac{leftlangle{left.{mathbf{grad}U}right|_M,,left.{mathbf{grad}V}right|_M}rightrangle}{left|left.{mathbf{grad}U}right|_Mright|cdotleft|left.{mathbf{grad}V}right|_Mright|}=frac{-288}{12cdot24sqrt2}=-frac{1}{sqrt2}[/math]
Следовательно, искомый угол [math]alpha[/math] есть
[math]alpha=arccos!left(-frac{1}{sqrt2}right)=pi-arccosfrac{1}{sqrt2}=pi-frac{pi}{4}=frac{3pi}{4}=135^circ[/math]
Также смотрите ещё примеры
viewtopic.php?f=35&t=313
viewtopic.php?f=35&t=3289
Задачка по математике
Никита Ершов
Профи
(709),
на голосовании
13 лет назад
Найти угол между градиентами в двух точках.
функция z=arcsin(x/(x+y))
Точки: (1,1) и (3,4).
Проверьте пожалуйста решение. В нем явно есть ошибка. Или предложите другой ход решения.
Частные производные и градиенты получились такие:
Дополнен 13 лет назад
Повторно перерешал и нашел частные производные. Сам ошибок не нашел – примелькались уже. Вот подробный ход решения:
Дополнен 13 лет назад
Добавляю итоговый ответ. Вновь прошу проверить. 
Голосование за лучший ответ
