Угол между касательными.
В этой статье мы рассмотрим, как решать задачи на нахождение угла между касательными.
Угол между касательными.
Пусть дана функция 
и через точку 
к графику этой функции проведены две касательные. Найти тангенс угла между прямыми:
Угол между прямыми – это меньший из двух углов, образованных этими прямыми. В нашем случае это угол 
.
Чтобы найти угол рассмотрим треугольник 
:
В треугольнике угол 
– внешний угол треугольника, он равен сумме двух углов, не смежных с ним: 
. Отсюда 
Но угол – это угол между касательной 
и положительным направлением оси 
, следовательно, 
:
Угол 
– это угол между касательной 
и положительным направлением оси , следовательно, 
:
Итак, 
Мы помним, что угол между прямыми всегда острый, и его тангенс должен быть больше нуля. В общем случае 
вполне может быть отрицательным, поэтому
формула для нахождения тангенса угла между касательными 
и 
выглядит так
Решим задачу:
Найти тангенс большего угла между касательными, проведенными из точки 
к параболе 
.
Заметим, что в этой задаче нужно найти тангенс большего угла между касательными, то есть тангенс тупого угла. Тангенсы смежных углов равны по модулю, но противоположны по знаку. Следовательно, нам нужно найти тангенс угла между касательными, и в ответе записать это значение со знаком “-“.
Нужно найти коэффициенты наклона касательных, проведенных к параболе из точки . Но сначала найдем абсциссы точек касания 
и 
.
Вспомним, как находить уравнение касательной, проведенной к графику функции из данной точки, не принадлежащей графику.
Пусть 
– абсцисса точки касания.
Уравнение касательной, проведенной из точки имеет вид:
Подставим выражения для 
и 
в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :
Решим это уравнение. Упростим правую часть:
Итак, мы нашли абсциссы точек касания:
Найдем коэффициенты наклона касательных, проведенных к параболе . Для этого найдем, чему равны значения производной функции в точках касания.
Тангенс большего угла между касательными равен 
Ответ: -4
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Задание. Найти тангенс угла между кривыми $y=x^2-1$ и
$y=x^3-1$ в точке их пересечения, которая имеет большую абсциссу.
Решение. Вначале найдем точки пересечения графиков заданных функций, для этого совместно разрешим уравнение заданных кривых:
$$begin{array}{c}
left{begin{array}{l}
y_{1}=x^{2}-1 \
y_{2}=x^{3}-1
end{array} Rightarrow x^{2}-1=x^{3}-1 Rightarrow x^{3}-x^{2}=0 Rightarrowright. \
Rightarrow x_{1,2}=0, x_{3}=1
end{array}$$
Таким образом, искомая точка $x=1$.
Далее находим производные заданных функций в найденной точке:
$$begin{array}{c}
y_{1}^{prime}=left(x^{2}-1right)^{prime}=left(x^{2}right)^{prime}-(1)^{prime}=2 x-0=2 x, y_{1}^{prime}(1)=2 \
y_{2}^{prime}=left(x^{3}-1right)^{prime}=left(x^{3}right)^{prime}-(1)^{prime}=3 x^{2}-0=3 x^{2}, y_{2}^{prime}(1)=3
end{array}$$
Итак, искомый тангенс:
$$operatorname{tg} phi=frac{3-2}{1+2 cdot 3}=frac{1}{7}$$
Ответ. $operatorname{tg} phi=frac{1}{7}$
Тема: Уравнение касательной к графику.
Цель урока: повторить теоретические
знания по данной теме, закрепить их при решении
задач.
Ход урока
1. Устная работа
1) Геометрический смысл производной.
– Если к графику функции у = f(x) в точке с
абсциссой х0 можно провести касательную не
параллельную оси Оу, то производная данной
функции в точке х0 выражает угловой
коэффициент касательной.
2) Записать формулу уравнения касательной.
у = 
3) Известно, что угловой коэффициент
касательной к графику функции в точке с
абсциссой х0 равен 0,6. Чему равно значение
производной в этой точке?
– геометрический
смысл.
4) Касательная к графику функции f(x) в точке с
абсциссой х0 образует с положительным
направлением оси Ох угол 450. Найдите
значение производной в точке касания.
, т.к. 
5) В каких точках кривой у = 2 – х2
касательная к ней параллельна оси Ох.
(0; 2)
6) Какой угол (острый или тупой ) образует с
положительным направлением оси Ох касательная к
графику функции в точке с абсциссой х0.
а) 
– острый.
б) 
– тупой.
2. Проверка домашней работы.
Двое работают у доски во время устной работы.
3. Работа в группах.
Учитель выступает в роли консультанта. Порядок
выполнения заданий не играет роли.
Задача 1. Найти угол между касательными к
графику функции 
,
проведенными в точках с абсциссами 1 и 2.
Решение: 
. Найдем
тангенсы углов наклона касательных к
положительному направлению оси Ох.
– угол между
касательными;
;
;
.
Задача 2. Является ли прямая у=х-1 касательной
к кривой у=х3-2х+1?
Решение: Найдем общие точки графиков.
х3-2х+1=х-1.
х3-3х+2=0.
х=1 – корень.
Воспользуемся схемой Горнера.
|
1 |
0 |
-3 |
2 |
|
|
1 |
1 |
1 |
-2 |
0 |
х2 + х – 2 = 0.
х1= 1, х2 = -2.
у(1) = 0; у(-2) = – 3.
(1;0), (-2;-3) – общие точки.
Найдем угловые коэффициенты касательных в этих
точках:
.
k1=
k2=
, т.к. угловой коэффициент
прямой у=х-2 равен 1, то в точке (-2;-3) она не может
быть касательной.
Найдем уравнение касательной в точке (1;0)
у=1(х-1); у=х-1.
Ответ: у=х-1 – касательная в точке (1;0) к графику
функции у= х3-2х+1.
Задача 3. На параболе у=х2 взяты две
точки с абсциссами 1 и 3. Через эти точки проведена
прямая. В какой точке параболы касательная будет
параллельна проведенной прямой?
Решение: у=х2 , (1;1), (3;9).
Найдем уравнение прямой 
.
4х – 4=у – 1.
у = 4х – 3.
Прямые параллельны, если их угловые
коэффициенты равны.
– угловой коэффициент
касательной в точке с абсциссой х0.
2х0 = 4.
х0 = 2.
у(2) = 4.
Ответ: в точке (2;4) касательная параллельна
заданной прямой.
Задача 4. Составить уравнение касательной к
графику функции у=х3, х>0, отсекающей от
осей координат треугольник, площадь которого
равна 
.
Решение: Пусть (х0; у(х0)) – точка
касания . Составим уравнение касательной у=х03+3х02(х-х0).
Найдем точки пересечения этой прямой с осями
координат:
с Оу х=0. у= х03+3х03=-2х03
. В(0; – 2х03).
с Ох у=0. х03+3х02(х-х0)
=0.
х03+3х02х-3х03 =0.
3х02х= 2х03
.
А(
; 0).
ОВ = 2х03; ОА = 
.
Sтреуг = 
ОВ*ОА.
х04 = 1.
х0 = 1 или х0 = – 1.
По условию х0 > 0 
х0 = 1 – абсцисса точки касания.
Уравнение касательной у = 13 + 3*13(х –
1).
у = 3х – 2.
Ответ: у = 3х – 2.
4. Итог урока.
Тестовые задания:
В – I.
1. Найдите уравнение касательной к графику
функции 
в точке с
абсциссой х0 = – 1.
А) у=-2х-3; Б) у= 2х-1; В) у= -2х+3; Г) у= 2х+3.
2. К графику функции у=3(х+2) проведены две
параллельные касательные, одна из которых
проходит через точку графика с абсциссой х0=
– 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая
касательная касается графика данной функции.
А) – 2; Б) 2; В) 1; Г) – 3.
3. Напишите уравнение касательной к графику
функции f(x) = x2 – 4x + 5, если эта касательная
проходит через точку (0; 4) и абсцисса точки
касания положительна.
А) у = 2х+4; Б) у = -2х+4; В) у = -4х+4; Г) у = 4х-3.
В – II.
1. Найдите уравнение касательной к графику
функции 
в точке с
абсциссой х0 = – 2.
А) у =2х-6; Б) у = 10х+12; В) у= 4х+8; Г) у= -10х+8.
2. К графику функции у=-4(х-3) проведены две
параллельные касательные, одна из которых
проходит через точку графика с абсциссой х0=
1. Найдите абсциссу точки, в которой другая
касательная касается графика данной функции.
А) – 1; Б) 5; В) 2; Г) – 3.
3. Напишите уравнение касательной к графику
функции f(x) = x2 + 3x + 5, если эта касательная
проходит через точку (0; 1) и абсцисса точки
касания отрицательна.
А) у = 2х+1; Б) у = х+1; В) у = -х+1; Г) у = -2х-5.
Ключ:
I
II
5. Подведение итогов.
6. Домашнее задание:
- Найдите уравнение параболы f(x)=ax2 + bx + 1
касающейся прямой у=7х + 2 в точке М (1; 5). Ответ: f(x)=3x2
+ x + 1 - Вычислите координаты точек пересечения с осью У
тех касательных к графику
, которые образуют угол 1350 с
осью Х. Ответ: (0; 12); (0; 0)
, которые образуют угол 1350 с
При этом следует понимать, что дифференцируя внешнюю функцию (степенную или косинус), нельзя менять ее сложный аргумент. Используя таблицу производных, получим
y′ = 12 cos−12 (3x − 2) (−sin(3x − 2)) 3 .
|
Упростим полученное для производной выражение |
|||||
|
y |
′ |
3sin(3x −2) |
|||
|
= − 2 cos(3x −2) . |
|||||
ЗАМЕЧАНИЕ
Производная степенной функции y = 
x очень часто встречается в задачах. Рекомендуем ее запомнить (
x )′ = 2 1 x .
Производная степенной функции y = 1x очень часто встречается в задачах. Рекомендуем ее
|
1 |
′ |
1 |
|||
|
запомнить |
= − |
. |
|||
|
x2 |
|||||
|
x |
|
Вычислить производную функции y = |
x |
ctg x |
||
|
. |
||||
|
arcsin 2x |
Решение
Заданная функция называется показательно-степенной. Прежде чем вычислять ее производную, запишем эту функцию, используя основное логарифмическое тождество y = eln y . Получим
|
x ctg x |
|||
|
ln |
|||
|
y = e arcsin 2x |
. |
Вынося показатель степени за знак логарифма, и раскрывая логарифм частного, полученное выражение можно записать в виде: y = ectg x (ln x−ln arcsin x).
Тогда, дифференцируя его по правилу дифференцирования сложной функции, получим
y′ = ectg x (ln x−ln arcsin x) (ctg x (ln x −ln arcsin x))′ =
|
= ectg x (ln x−ln arcsin x) |
|||||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
||||||
|
− |
(ln x −ln arcsin x)+ ctg x |
− |
. |
||||||
|
sin 2 x |
arcsin x |
||||||||
|
x |
1 − x |
2 |
|||||||
3.1.6. Уравнение касательной к кривой. Угол между кривыми.
Уравнение касательной
Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x0 , то уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x0 имеет вид
y = f ′(x0 ) (x − x0 )+ f (x0 ).
16
Доказательство
Было доказано, что производная дифференцируемой в точке x0 функции y = f (x) равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с
|
абсциссой |
x0 . Следовательно, если записать уравнение касательной в виде |
y = kx +b , |
|||||||||||||||||||||||
|
то k = f ′(x0 ). Тогда уравнение примет вид |
|||||||||||||||||||||||||
|
y = f ′(x0 ) x +b . |
(x0 , f (x0 )). |
||||||||||||||||||||||||
|
Параметр |
b определим, |
учитывая, что касательная проходит через точку |
|||||||||||||||||||||||
|
Подставив в уравнение касательной x = x0 , y = f (x0 ), получим |
|||||||||||||||||||||||||
|
f (x0 )= f ′(x0 ) x0 +b . |
|||||||||||||||||||||||||
|
Из этого соотношения |
следует, что b = f (x0 )− f ′(x0 ) x0 |
и уравнение |
касательной |
||||||||||||||||||||||
|
примет вид: |
y = f ′(x0 ) (x − x0 )+ f (x0 ). |
||||||||||||||||||||||||
Задача 3.1.4 |
|||||||||||||||||||||||||
|
Напишите уравнение касательной к графику функции |
y = ex в точке с абсциссой |
||||||||||||||||||||||||
|
x0 = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||
Решение |
|||||||||||||||||||||||||
|
Уравнение касательной запишем в виде: |
|||||||||||||||||||||||||
|
f ′(x)= (ex )′ = ex , |
y = f ′(x0 ) (x − x0 )+ f (x0 ). |
||||||||||||||||||||||||
|
Поскольку |
f ′(x0 )= e0 =1, |
f (x0 )= e0 =1 , |
то касательная |
к графику |
|||||||||||||||||||||
|
заданной функции в точке x0 = 0 задается уравнением y = x +1. |
|||||||||||||||||||||||||
Задача 3.1.5 |
|||||||||||||||||||||||||
|
Найдите угол между кривыми y = |
1 |
и y = x |
в точке их пересечения. |
||||||||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||||||||
Решение |
|||||||||||||||||||||||||
|
Углом между кривыми, пересекающимися в точке с абсциссой x0 , |
называется угол |
||||||||||||||||||||||||
|
между их касательными, |
проведенными в этой точке. Поскольку уравнение |
1 |
= |
x |
|||||||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||||||||
|
имеет один корень x0 =1 , то кривые пересекаются в точке с абсциссой x0 =1. |
|||||||||||||||||||||||||
|
Напомним, |
что |
угол |
между прямыми, |
заданными уравнениями |
y = k1x + b1 |
и |
|||||||||||||||||||
|
y = k2 x + b2 , определяется по формуле |
|||||||||||||||||||||||||
|
tg ϕ = |
k2 −k1 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
+ k |
k |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
′ |
1 |
|||||||||||||||||||||||
|
Так как |
= − |
, то угловой коэффициент k1 касательной к графику функции |
|||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||||||||
|
y = |
1 |
в точке абсциссой |
x |
0 |
=1 равен: k = −1 . |
||||||||||||||||||||
|
x |
1 |
17
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Геометрический смысл производной
Если плохо разбираешься в производной, то вот тебе полноценный гид по ней, с текстом, примерами и вебинарами: «Производная функции – геометрический смысл и правила дифференцирования»!
Рассмотрим график какой-то функции ( y=fleft( x right)):
Выберем на линии графика некую точку ( A). Пусть ее абсцисса ( {{x}_{0}}), тогда ордината равна ( fleft( {{x}_{0}} right)).
Затем выберем близкую к точке ( A) точку ( B) с абсциссой ( {{x}_{0}}+Delta x); ее ордината – это ( fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)):
Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии).
Обозначим угол наклона прямой к оси ( Ox) как ( alpha ).
Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.
Какие значения может принимать угол ( alpha )?
Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – ( 180{}^circ ), а минимально возможный – ( 0{}^circ ).
Значит, ( alpha in left[ 0{}^circ ;180{}^circ right)). Угол ( 180{}^circ ) не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с ( 0{}^circ ), а логичнее выбирать меньший угол.
Возьмем на рисунке такую точку ( C), чтобы прямая ( AC) была параллельна оси абсцисс, а ( BC) – ординат:
По рисунку видно, что ( AC=Delta x), а ( BC=Delta f).
Тогда отношение приращений:
( frac{Delta f}{Delta x}=frac{BC}{AC}={tg}alpha )
(так как ( angle C=90{}^circ ), то ( triangle ABC) – прямоугольный).
Давай теперь уменьшать ( Delta x).
Тогда точка ( B) будет приближаться к точке ( A). Когда ( Delta x) станет бесконечно малым ( left( Delta xto 0 right)), отношение ( frac{Delta f}{Delta x}) станет равно производной функции в точке ( {{x}_{0}}).
Что же при этом станет с секущей?
Точка ( B) будет бесконечно близка к точке ( A), так что их можно будет считать одной и той же точкой.
Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки ( A), но этого достаточно).
Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.
Угол наклона секущей к оси ( displaystyle Ox) назовем ( varphi ). Тогда получится, что производная
( {f}’left( {{x}_{0}} right)underset{Delta xto 0}{mathop{=}},frac{Delta f}{Delta x}= {tg}varphi ),
то есть
Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке
Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:
( y=kx+b).
За что отвечает коэффициент ( displaystyle k)? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент.
Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью ( displaystyle Ox)!
То есть вот что получается:
( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}varphi =k).
Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей?
Посмотрим: Теперь углы ( alpha ) и ( displaystyle varphi ) тупые. А приращение функции ( Delta f) – отрицательное.
Снова рассмотрим ( triangle ABC): ( angle B=180{}^circ -alpha text{ }Rightarrow text{ } {tg}angle B=- {tg}alpha ).
С другой стороны, ( {tg}angle B=frac{AC}{BC}=frac{-Delta f}{Delta x}).
Получаем: ( frac{-Delta f}{Delta x}=- {tg}alpha text{ }Rightarrow text{ }frac{Delta f}{Delta x}= {tg}alpha ), то есть все, как и в прошлый раз.
Снова устремим точку ( displaystyle B) к точке ( displaystyle A), и секущая ( displaystyle AB) примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке ( displaystyle A).
Итак, сформулируем окончательно полученное правило:
Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:
( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}varphi =k)
Это и есть геометрический смысл производной.
Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:
На рисунке изображен график функции ( displaystyle y=mathsf{f}left( x right)) и касательная к нему в точке с абсциссой ( {{x}_{0}}).
Найдите значение производной функции ( displaystyle mathsf{f}left( x right)) в точке ( {{x}_{0}}).
Решение.
Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:
( displaystyle f’left( x right)=k= {tg}varphi).
Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной.
На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!
Угол наклона касательной к оси ( displaystyle Ox) – это ( displaystyle angle BAC). Найдем тангенс этого угла:
( displaystyle {tg}angle BAC=frac{BC}{AC}=frac{6}{5}=1,2).
Таким образом, производная функции ( displaystyle mathsf{f}left( x right)) в точке ( {{x}_{0}}) равна ( displaystyle 1,2).
Ответ: ( displaystyle 1,2).
Теперь попробуй сам.
Уравнение касательной к графику функций
А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных.
Предположим, у нас есть какая-то функция, например, ( fleft( x right)=left( {{x}^{2}}+2 right)). Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке ( {{x}_{0}}). Например, в точке ( {{x}_{0}}=2).
Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:
Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости?
Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты ( k) и ( b) в уравнении
( y=kx+b).
Но ведь ( k) мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:
( k={f}’left( {{x}_{0}} right)).
В нашем примере будет так:
( {f}’left( x right)={{left( {{x}^{2}}+2 right)}^{prime }}=2x;)
( k={f}’left( {{x}_{0}} right)={f}’left( 2 right)=2cdot 2=4.)
Теперь остается найти ( b) . Это проще простого: ведь ( b) – значение ( y) при ( displaystyle x=0).
Графически ( b) – это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь ( displaystyle x=0) во всех точках оси ( displaystyle Oy)):
Проведём ( BCparallel Ox) (так, что ( triangle ABC) – прямоугольный).
Тогда ( angle ABC=alpha )(тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны ( displaystyle AC) и ( displaystyle BC)?
По рисунку явно видно, что ( BC={{x}_{0}}), а ( AC=fleft( {{x}_{0}} right)-b). Тогда получаем:
( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}alpha =frac{AC}{BC}=frac{fleft( {{x}_{0}} right)-b}{{{x}_{0}}}text{ }Rightarrow text{ }b=fleft( {{x}_{0}} right)-{{x}_{0}}cdot {f}’left( {{x}_{0}} right)).
Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:
( y=kx+b={f}’left( {{x}_{0}} right)cdot x+fleft( {{x}_{0}} right)-{{x}_{0}}cdot {f}’left( {{x}_{0}} right);)
( y={f}’left( {{x}_{0}} right)cdot left( x-{{x}_{0}} right)+fleft( {{x}_{0}} right))
Это и есть уравнение касательной к графику функции ( fleft( x right)) в точке ( {{x}_{0}}).
Пример:
Найди уравнение касательной к графику функции ( fleft( x right)={{x}^{2}}-2x+3) в точке ( {{x}_{0}}=3).
Решение:
На этом примере выработаем простой…
Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике
ЕГЭ №7. Производная функции — геометрический смысл, дифференцирование
На этом видео мы вспомним, что такое функция и её график, научимся искать производную некоторых функций, например, такой: y = 2×3 – 3×2 + x + 5.
Мы разберём от А до Я все 7 типов задач, которые могут попасться в задаче №7 из ЕГЭ. Узнаем, на какие 3 фразы в условии задачи нужно обратить особое внимание, чтобы с лёгкостью решить задачу и не потерять баллы на ровном месте.
Разберём все возможные ошибки, которые можно допустить в этих задачах. Мы поймём, что многие из этих задач решаются обычным подсчётом клеточек на графике! Главное – не перепутать, что нужно считать.
P.S. Не забудьте потом посмотреть родственную тему: «Интегралы на ЕГЭ. Первообразные элементарных функций».
