Как найти угол между косательными

Задание. Найти тангенс угла между кривыми $y=x^2-1$ и
$y=x^3-1$ в точке их пересечения, которая имеет большую абсциссу.

Решение. Вначале найдем точки пересечения графиков заданных функций, для этого совместно разрешим уравнение заданных кривых:

$$begin{array}{c}
left{begin{array}{l}
y_{1}=x^{2}-1 \
y_{2}=x^{3}-1
end{array} Rightarrow x^{2}-1=x^{3}-1 Rightarrow x^{3}-x^{2}=0 Rightarrowright. \
Rightarrow x_{1,2}=0, x_{3}=1
end{array}$$

Таким образом, искомая точка $x=1$.

Далее находим производные заданных функций в найденной точке:

$$begin{array}{c}
y_{1}^{prime}=left(x^{2}-1right)^{prime}=left(x^{2}right)^{prime}-(1)^{prime}=2 x-0=2 x, y_{1}^{prime}(1)=2 \
y_{2}^{prime}=left(x^{3}-1right)^{prime}=left(x^{3}right)^{prime}-(1)^{prime}=3 x^{2}-0=3 x^{2}, y_{2}^{prime}(1)=3
end{array}$$

Итак, искомый тангенс:

$$operatorname{tg} phi=frac{3-2}{1+2 cdot 3}=frac{1}{7}$$

Ответ. $operatorname{tg} phi=frac{1}{7}$

Угол между касательными.

В этой статье мы рассмотрим, как решать задачи на нахождение угла между касательными.

Угол между касательными.

Пусть дана функция и через точку к графику этой функции проведены две касательные. Найти тангенс угла между прямыми:

Угол между прямыми – это меньший из двух углов, образованных этими прямыми. В нашем случае это угол .

Чтобы найти угол рассмотрим треугольник :

В треугольнике угол – внешний угол треугольника, он равен сумме двух углов, не смежных с ним: . Отсюда

Но угол – это угол между касательной и положительным направлением оси , следовательно, :

Угол – это угол между касательной и положительным направлением оси , следовательно, :

Итак,

Мы помним, что угол между прямыми всегда острый, и его тангенс должен быть больше нуля. В общем случае вполне может быть отрицательным, поэтому

формула для нахождения тангенса угла между касательными и выглядит так

Решим задачу:

Найти тангенс большего угла между касательными, проведенными из точки  к параболе .

Заметим, что в этой задаче нужно найти тангенс большего угла между касательными, то есть тангенс тупого угла. Тангенсы смежных углов равны по модулю, но противоположны по знаку. Следовательно, нам нужно найти тангенс угла между касательными, и в ответе записать это значение со знаком “-“.

Нужно найти коэффициенты наклона касательных, проведенных к параболе из точки . Но сначала найдем абсциссы точек касания и .

Вспомним, как находить уравнение касательной, проведенной к графику функции из данной точки, не принадлежащей графику.

Пусть – абсцисса точки касания.

Уравнение касательной, проведенной из точки имеет вид:

Подставим выражения для и в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :

Решим это уравнение. Упростим правую часть:

Итак, мы нашли абсциссы точек касания:

Найдем коэффициенты наклона касательных, проведенных к параболе . Для этого найдем, чему равны значения производной функции в точках касания.

Тангенс большего угла между касательными равен

Ответ: -4

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Тема: Уравнение касательной к графику.

Цель урока: повторить теоретические
знания по данной теме, закрепить их при решении
задач.

Ход урока

1. Устная работа

1) Геометрический смысл производной.

– Если к графику функции у = f(x) в точке с
абсциссой х₀ можно провести касательную не
параллельную оси Оу, то производная данной
функции в точке х₀ выражает угловой
коэффициент касательной.

2) Записать формулу уравнения касательной.

у =

3) Известно, что угловой коэффициент
касательной к графику функции в точке с
абсциссой х₀ равен 0,6. Чему равно значение
производной в этой точке?

– геометрический
смысл.

4) Касательная к графику функции f(x) в точке с
абсциссой х₀ образует с положительным
направлением оси Ох угол 45⁰. Найдите
значение производной в точке касания.

, т.к.

5) В каких точках кривой у = 2 – х²
касательная к ней параллельна оси Ох.

(0; 2)

6) Какой угол (острый или тупой ) образует с
положительным направлением оси Ох касательная к
графику функции в точке с абсциссой х₀.

а) – острый.

б) – тупой.

2. Проверка домашней работы.

Двое работают у доски во время устной работы.

3. Работа в группах.

Учитель выступает в роли консультанта. Порядок
выполнения заданий не играет роли.

Задача 1. Найти угол между касательными к
графику функции ,
проведенными в точках с абсциссами 1 и 2.

Решение: . Найдем
тангенсы углов наклона касательных к
положительному направлению оси Ох.

– угол между
касательными;

;

;

.

Задача 2. Является ли прямая у=х-1 касательной
к кривой у=х³-2х+1?

Решение: Найдем общие точки графиков.

х³-2х+1=х-1.

х³-3х+2=0.

х=1 – корень.

Воспользуемся схемой Горнера.

	1	0	-3	2
1	1	1	-2	0

х² + х – 2 = 0.

х₁= 1, х₂ = -2.

у(1) = 0; у(-2) = – 3.

(1;0), (-2;-3) – общие точки.

Найдем угловые коэффициенты касательных в этих
точках:

.

k₁= k₂=, т.к. угловой коэффициент
прямой у=х-2 равен 1, то в точке (-2;-3) она не может
быть касательной.

Найдем уравнение касательной в точке (1;0)

у=1(х-1); у=х-1.

Ответ: у=х-1 – касательная в точке (1;0) к графику
функции у= х³-2х+1.

Задача 3. На параболе у=х² взяты две
точки с абсциссами 1 и 3. Через эти точки проведена
прямая. В какой точке параболы касательная будет
параллельна проведенной прямой?

Решение: у=х² , (1;1), (3;9).

Найдем уравнение прямой .

4х – 4=у – 1.

у = 4х – 3.

Прямые параллельны, если их угловые
коэффициенты равны.

– угловой коэффициент
касательной в точке с абсциссой х₀.

2х₀ = 4.

х₀ = 2.

у(2) = 4.

Ответ: в точке (2;4) касательная параллельна
заданной прямой.

Задача 4. Составить уравнение касательной к
графику функции у=х³, х>0, отсекающей от
осей координат треугольник, площадь которого
равна .

Решение: Пусть (х₀; у(х₀)) – точка
касания . Составим уравнение касательной у=х₀³+3х₀²(х-х₀).

Найдем точки пересечения этой прямой с осями
координат:

с Оу х=0. у= х₀³+3х₀³=-2х₀³
. В(0; – 2х₀³).

с Ох у=0. х₀³+3х₀²(х-х₀)
=0.

х₀³+3х₀²х-3х₀³ =0.

3х₀²х= 2х₀³

.

А(; 0).

ОВ = 2х₀³; ОА = .

Sтреуг = ОВ*ОА.

х₀⁴ = 1.

х₀ = 1 или х₀ = – 1.

По условию х₀ > 0 х₀ = 1 – абсцисса точки касания.

Уравнение касательной у = 1³ + 3*1³(х –
1).

у = 3х – 2.

Ответ: у = 3х – 2.

4. Итог урока.

Тестовые задания:

В – I.

1. Найдите уравнение касательной к графику
функции в точке с
абсциссой х₀ = – 1.

А) у=-2х-3; Б) у= 2х-1; В) у= -2х+3; Г) у= 2х+3.

2. К графику функции у=3(х+2) проведены две
параллельные касательные, одна из которых
проходит через точку графика с абсциссой х₀=
– 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая
касательная касается графика данной функции.

А) – 2; Б) 2; В) 1; Г) – 3.

3. Напишите уравнение касательной к графику
функции f(x) = x² – 4x + 5, если эта касательная
проходит через точку (0; 4) и абсцисса точки
касания положительна.

А) у = 2х+4; Б) у = -2х+4; В) у = -4х+4; Г) у = 4х-3.

В – II.

1. Найдите уравнение касательной к графику
функции в точке с
абсциссой х₀ = – 2.

А) у =2х-6; Б) у = 10х+12; В) у= 4х+8; Г) у= -10х+8.

2. К графику функции у=-4(х-3) проведены две
параллельные касательные, одна из которых
проходит через точку графика с абсциссой х₀=
1. Найдите абсциссу точки, в которой другая
касательная касается графика данной функции.

А) – 1; Б) 5; В) 2; Г) – 3.

3. Напишите уравнение касательной к графику
функции f(x) = x² + 3x + 5, если эта касательная
проходит через точку (0; 1) и абсцисса точки
касания отрицательна.

А) у = 2х+1; Б) у = х+1; В) у = -х+1; Г) у = -2х-5.

Ключ:

I

II

5. Подведение итогов.

6. Домашнее задание:

1. Найдите уравнение параболы f(x)=ax² + bx + 1
   касающейся прямой у=7х + 2 в точке М (1; 5). Ответ: f(x)=3x²
   + x + 1
2. Вычислите координаты точек пересечения с осью У
   тех касательных к графику , которые образуют угол 135⁰ с
   осью Х. Ответ: (0; 12); (0; 0)

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Углы, связанные с окружностью.

Центральный угол — угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её.

Вписанный угол в два раза меньше центрального , опирающегося на ту же дугу.

Все вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Все вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.

Все вписанные углы , опирающиеся на диаметр, прямые.

Любые два вписанных угла , опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.

Угол между пересекающимися хордами измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами.

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Угол между касательной и секущей, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Угол между касательными к окружности измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равняется половине центрального угла, опирающегося на данную хорду:

Касательная к окружности

О чем эта статья:

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

• окружность с центральной точкой А;
• прямая а — касательная к ней;
• радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° – ∠САО – ∠АСО = 180° – 90° – 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° – ∠МКN) : 2 = (180° – 50°) : 2 = 65°

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ – ВС = 16 – 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у – R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° – ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° – ∠КОМ) : 2 = (180° – 168°) : 2 = 6°

[spoiler title=”источники:”]

http://anasta8ia.ru/angles-associated-with-the-circle/

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kasatelnaya-k-okruzhnosti

[/spoiler]

Как найти угол между касательными

Прямая линия, имеющая с окружностью одну общую точку, является касательной к окружности. Другая особенность касательной – она всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть касательная и радиус образуют прямой угол. Если из одной точки А проведены две касательных к окружности АВ и АС, то они всегда равны между собой. Определение угла между касательными (угол АВС) производится с помощью теоремы Пифагора.

Инструкция

Для определения угла необходимо знать радиус окружности ОВ и ОС и расстояние точки начала касательной от центра окружности – О. Итак, углы АВО и АСО равны 90 градусов, радиус ОВ, например 10 см, а расстояние до центра окружности АО равно 15 см. Определите длину касательной по формуле в соответствии с теоремой Пифагора: АВ = квадратный корень из АО2 – ОВ2 или 152 – 102 = 225 – 100 = 125;

Извлеките квадратный корень. Получится 11.18 см. Поскольку угол ВАО представляет собой sin или отношение сторон ВО и АО вычислите его значение: Sin угла ВАО = 10 : 15 = 0.66

Затем, пользуясь таблицей синусов, найдите данное значение, которое соответствует примерно 42 градусам. Таблица синусов используется для решения различных задач – физических, математических или инженерных. Остается выяснить величину угла ВАС, для чего следует величину данного угла удвоить, то есть, получится примерно 84 градусов.

Величина центрального угла соответствует угловой величине дуги, на которую он опирается. Величину угла можно также определить с помощью транспортира, приложив его к чертежу. Так как подобные вычисления относятся к тригонометрии, то можно воспользоваться тригонометрическим кругом. С его помощью можно переводить градусы в радианы и наоборот.

Как известно, полный круг составляет 360 градусов или 2П радиан. На тригонометрическом круге отображены значения синусов и косинусов основных углов. Стоит напомнить, что значение синуса находится на оси Y, а косинуса на оси Х. Значения синуса и косинуса находятся в промежутке от -1 до 1.

Определить значения тангенса и котангенса угла можно поделив синус на косинус, а котангенса наоборот – косинуса на синус. Тригонометрический круг позволяет определить знаки всех тригонометрических функций. Так, синус – это нечетная функция, а косинус – четная. Тригонометрический круг позволяет понять, что синус и косинус – периодические функции. Как известно, период равен 2П.

Видео по теме

Источники:

• угол между двумя касательными

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?