Как найти угол между пересечением двух плоскостей

Чтобы находить угол между пересекающимися плоскостями, необходимо понимать основные значения специальных терминов и понятий, которые используются в теме плоскостей и прямых.

Сначала дадим определение того, что называется углом между пересекающимися плоскостями. Если в пространстве две плоскости пересекаются, то между ними образуется угол.

Угол между пересекающейся прямой и плоскостью

Если в пространстве имеются пересекающиеся плоскости Y₁ и Y₂, то точку пересечения обозначим буквой С. Для построения некой плоскости Х, необходимо рассмотреть заданные пересекающиеся плоскости подробнее.

Для более ясного представления того, что означает угол между двумя пересекающимися плоскостями, нужно:

1. Построить перпендикулярную прямую к прямой С, а также лежащую на плоскости Х₁.
2. При пересечении плоскости Y₁ с Y₂ и прямой Х₁ получаем прямые а₁ и b.
3. Если при Х и Х₁, прямые, а и b перпендикулярны к прямой С, то прямые а₁ и b₁ также будут перпендикулярны прямой С.
4. Построение прямых a и а₁, лежащих на плоскости Y₁, будет считаться параллельным.
5. Прямые b и b₁ принадлежат плоскости Y₂, имеющей перпендикуляр, то они параллельны.

Как найти угол между двумя пересекающимися плоскостями

Чтобы найти значение, чему равен угол между пересекающимися плоскостями, необходимо сделать дополнительные построения:

• Перенести параллельно плоскость Х₁ на плоскость Х.
• Получить совпадающие прямые a и а₁, b и b₁.

Дадим определение угла между двумя плоскостями.

Данное понятие можно сформулировать иначе:

• При пересечении Y₁ и Y₂ получаем прямую с точкой М.
• Проводим прямые a и b в данных плоскостях, которые будут перпендикулярны прямой c.
• Полученный между двумя прямыми угол будет называться углом между плоскостями.

Этот метод применяют и для построения заданного угла между двумя плоскостями.

Для этого нужно знать следующие правила:

• Угол между плоскостями всегда меньше 90⁰ С.
• Плоскости являются перпендикулярными только в том случае, если угол между ними прямой.
• Между двумя параллельными плоскостями угол равен 0 градусов С.

Методы вычисления угла между плоскостями

Существует несколько методов, позволяющих вычислить угол с максимальной точностью.

Вычислить угол можно несколькими способами:

• используя признаки равенства;
• с помощью треугольников;
• применяя синусы и косинусы;
• используя систему координат.

Необходимо понимать, как найти угол между пересекающимися плоскостями, применяя различные методы. Тогда решение любой задачи покажется легким для выполнения.

Примеры

Дан один параллелепипед [A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}].
Сторона [A D=3, A B=2, A A_{1}=7].
Точка E делит сторону [АА_{1}] в пропорции 4 : 3.
Задание: необходимо найти угол между плоскостями АВС и [ВED_{1}].
Решение:
Сначала сделаем чертеж исходного задания.

Теперь необходимо обозначить прямую линию пересечения двух плоскостей АВС и [ВED_{1}].
Точка B будет общей, далее необходимо найти еще одну точку пересечения.
Поскольку прямые DA и [D_{1}E] располагаются в плоскости [ADD_{1}] и не могут быть параллельны, значит они пересекаются.
Если прямая DA расположена в плоскости АВС, а [D_{1}E] в BED1, то прямые DA и D1E однозначно пересекаются в общей точке, которая лежит на обеих плоскостях. Обозначим эту точку буквой F.
На рисунке хорошо видно, что прямая BF является общей для двух исходных плоскостей.

Теперь постараемся найти угол между этими плоскостями:

1. Построим прямые в обеих плоскостях, проходящие через общую точку, лежащую на прямой BF и
   перпендикулярные ей.
2. Получился угол между плоскостями.
3. Точка А, лежащая на плоскости АВС, является проекцией точки Е.
4. Проводим перпендикулярную прямую к BF в точке М.
5. Теперь хорошо видно, что ЕМ является проекцией на плоскость АВС в АМ.
6. Применяем теорему о перпендикулярах AM ⊥ BF.

Искомым является ∠AME, который образован пересечением плоскостей АВС и [ВED_{1}]. Из полученного треугольника АЕМ находим тангенс, синус или косинус. Теперь, если известны стороны треугольника, можно вычислить угол между двумя пересекающимися плоскостями.
Для этого выполняем несколько дополнительных действий:
В условии задачи сказано, что АА₁ разделена точкой Е в пропорции 4 : 3. Это значит, что прямая имеет 7 частей, а отрезок АЕ равен 4 частям.

Чтобы определить АМ, нужно рассмотреть треугольник АВF, где угол A прямой, а АМ является его высотой.

Если АВ = 2, то длину AF можно вычислить по принципу подобия треугольников DD₁F и AEF:

[frac{A E}{D D 1}=frac{A F}{D F} Leftrightarrow frac{A E}{D D 1}=frac{A F}{D A+A F} Rightarrow
frac{4}{7}=frac{A F}{3+A F} Leftrightarrow A F=4]
С помощью теоремы Пифагора находим длину BF в треугольнике ABF:
[mathrm{BF}=sqrt{(}left(mathrm{AB}^{2}+mathrm{AF}^{2}right)=sqrt{left(2^{2}+4^{2}right)}=2
sqrt{5}]
Находим длину отрезка АМ через площадь треугольника ABF:
S треугольника [mathrm{ABC}=frac{1}{2} cdot mathrm{AB} cdot mathrm{AF}] или S треугольника
[mathrm{ABC}=frac{1}{2} cdot mathrm{BF} cdot AM]. Тогда [mathrm{AM}=frac{A B cdot A F}{B
F}=frac{2 cdot 4}{2 sqrt{5}}=frac{4 sqrt{5}}{5}].
Находим тангенс угла в треугольнике АЕМ:
[operatorname{tg} angle mathrm{AME}=frac{A E}{A M}=frac{4}{4 sqrt{5}}: 5=sqrt{5}]
В итоге угол между пересекающимися плоскостями arc равен arctg√5. Или [operatorname{arctg} sqrt{5}=arcsin
frac{sqrt{30}}{6}=arccos frac{sqrt{6}}{6}].
Ответ: [operatorname{arctg} sqrt{5}=arccos frac{sqrt{6}}{6}].

---

B единичном кубе [A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}] найдите угол между плоскостями [left(A D_{1}
Eright)] и [left(D_{1} F Cright)], где точки E и F — середины ребер [A_{1} B_{1}] и [B_{1} C_{1}] соответственно.

Решение:
Введем прямоугольную систему координат и определим координаты точек:[A(1 ; 0 ; 0), C(0 ;
1 ; 0), D_{1}(1 ; 1 ; 1), Eleft(frac{1}{2} ; 0 ; 1right), Fleft(0 ; frac{1}{2} ; 1right)]
Составим уравнение плоскости [left(A D_{1} Eright)]:
[2 x-y+z-2=0\overrightarrow{n_{1}}{2 ;-1 ;
1}] — нормальный вектор плоскости [(AD_{1} E)].
Составим уравнение плоскости [left(D_{1} F Cright)]:
[x-2 y-z+2=0\overrightarrow{n_{2}}{1 ;-2
;-1}] — нормальный вектор плоскости [(D_{1}FC)].

---

Отрезок, соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра,
равен стороне основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды.

Решение: [R O=frac{1}{3}; C R=frac{sqrt{3}}{6}; E O=frac{1}{2}]
SO найдем из [triangle O S B]:
[begin{aligned}&S B=2, quad B O=frac{sqrt{3}}{3} \&S O=sqrt{S B^{2}-O B^{2}} \&S
O=sqrt{4-frac{1}{3}}=frac{sqrt{11}}{sqrt{3}} \&Sleft(frac{sqrt{3}}{6} ; frac{1}{2} ;
frac{sqrt{11}}{sqrt{3}}right)end{aligned}]

Статья рассказывает о нахождении угла между плоскостями. После приведения определения зададим графическую иллюстрацию, рассмотрим подробный способ нахождения методом координат. Получим формулу для пересекающихся плоскостей, в которую входят координаты нормальных векторов.

Угол между плоскостями – определение

В материале будут использованы данные и понятия, которые ранее были изучены в статьях про плоскость и прямую в пространстве. Для начала необходимо перейти к рассуждениям, позволяющим иметь определенный подход к определению угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Заданы две пересекающиеся плоскости γ1 и γ2. Их пересечение примет обозначение c. Построение плоскости χ связано с пересечением этих плоскостей. Плоскость χ проходит через точку М  в качестве прямой c. Будет производиться пересечение плоскостей γ1 и γ2 с помощью плоскости χ. Принимаем обозначения прямой, пересекающей γ1 и χ за прямую a, а пересекающую γ2 и χ за прямую b. Получаем, что пересечение прямых a и b дает точку M.

Расположение точки M не влияет на угол между пересекающимися прямыми a и b, а точка M располагается на прямой c, через которую проходит плоскость χ.

Необходимо построить плоскость χ1 с перпендикулярностью к прямой c и отличную от плоскости χ. Пересечение плоскостей γ1 и γ2 с помощью χ1 примет обозначение прямых а1 и b1.

Видно, что при построении χ и χ1 прямые a и b перпендикулярны прямой c, тогда и а1, b1 располагаются перпендикулярно прямой c. Нахождение прямых a и а1 в плоскости γ1 с перпендикулярностью к прямой c, тогда их можно считать параллельными. Таки же образом расположение b и b1  в плоскости γ2 с перпендикулярностью прямой c говорит об их параллельности. Значит, необходимо сделать параллельный перенос плоскости χ1 на χ, где получим две совпадающие прямые a и а1, b и b1. Получаем, что угол между пересекающимися прямыми a и b1 равен углу пересекающихся прямых a и b.

Рассмотрим не рисунке, приведенном ниже.

Данное суждение доказывается тем, что между пересекающимися прямыми a и b имеется угол, который не зависит от расположения точки M, то есть точки пересечения. Эти прямые располагаются в плоскостях γ1 и γ2. Фактически, получившийся угол можно считать углом между двумя пересекающимися плоскостями.

Перейдем к определению угла между имеющимися пересекающимися плоскостями γ1 и γ2.

Углом между двумя пересекающимися плоскостями γ1 и γ2 называют угол, образовавшийся путем пересечения прямых a и b, где плоскости γ1 и γ2 имеют пересечение с плоскостью χ, перпендикулярной прямой c.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Определение может быть подано в другой форме. При пересечении плоскостей γ1 и γ2, где c – прямая, на которой они пересеклись, отметить точку M, через которую провести прямые a и b, перпендикулярные  прямой c и лежащие  в плоскостях γ1 и γ2, тогда угол между прямыми a и b будет являться углом между плоскостями. Практически это применимо для построения угла между плоскостями.

При пересечении образуется угол, который по значению меньше 90 градусов, то есть градусная мера угла действительна на промежутке такого вида (0, 90]. Одновременно данные плоскости называют перпендикулярными в случае, если при пересечении образуется прямой угол. Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.

Нахождение угла между двумя пересекающимися плоскостями

Обычный способ для нахождения угла между пересекающимися плоскостями – это выполнение дополнительных построений. Это способствует определять его с точностью, причем делать это можно с помощью признаков равенства или подобия треугольника, синусов, косинусов угла.

Рассмотрим решение задач на примере из задач ЕГЭ  блока C2.

Некоторые случаи нахождения угла между пересекающимися прямыми задаются при помощи координатной плоскости Охуz и методом координат. Рассмотрим подробней.

Если дана задача, где необходимо найти угол между пересекающимися плоскостями γ1 и γ2, искомый угол обозначим за α.

Тогда заданная система координат показывает, что имеем координаты нормальных векторов пересекающихся плоскостей γ1 и γ2. Тогда обозначим, что n1→=n1x, n1y, n1z является нормальным вектором плоскости γ1, а n2→=(n2x, n2y, n2z) – для плоскости γ2. Рассмотрим подробное нахождение угла, расположенного между этими плоскостями по координатам векторов.

Необходимо обозначить прямую, по которой происходит пересечение плоскостей γ1 и γ2 буквой c. На прямой с имеем точку M, через которую проводим плоскость χ, перпендикулярную c. Плоскость χ по прямым a и b производит пересечение плоскостей γ1 и γ2 в точке M. из определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями γ1 и γ2 равен углу пересекающихся прямых a и b, принадлежащих этим плоскостям соответственно.

В плоскости χ откладываем от точки M нормальные векторы  и обозначаем их n1→ и n2→. Вектор n1→ располагается на прямой, перпендикулярной прямой a, а вектор n2→ на прямой, перпендикулярной прямой b. Отсюда получаем, что заданная плоскость χ имеет нормальный вектор прямой a, равный n1→ и для прямой b, равный n2→. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Отсюда получаем формулу, по которой можем вычислить синус угла пересекающихся прямых при помощи координат векторов. Получили, что косинусом угла между прямыми a и b то же, что и косинус между пересекающимися плоскостями γ1 и γ2 выводится из формулы cos α=cosn1→, n2→^=n1x·n2x+n1y·n2y+n1z·n2zn1x2+n1y2+n1z2·n2x2+n2y2+n2z2, где имеем, что n1→=(n1x, n1y, n1z) и n2→=(n2x, n2y, n2z) являются координатами векторов представленных плоскостей.

Вычисление угла между пересекающимися прямыми производится по формуле

α=arccosn1x·n2x+n1y·n2y+n1z·n2zn1x2+n1y2+n1z2·n2x2+n2y2+n2z2

Завершающая задача рассматривается с целью нахождения угла между пересекающимися плоскостями при имеющихся известных уравнениях плоскостей.

§ 14.Двугранные углы. Угол между двумя плоскостями

14.1. Двугранный угол и его измерение

Рассмотрим два полупространства, образованные непараллельными плоскостями. Пересечение этих полупространств назовём двугранным углом.

Прямую, по которой пересекаются плоскости — границы полупространств, называют ребром двугранного угла, а полуплоскости этих плоскостей, образующие двугранный угол, — гранями двугранного угла.

Двугранный угол с гранями α, β и ребром a обозначают αaβ. Можно использовать и такие обозначения двугранного угла, как K(AB)T; α(AB)β (рис. 94, 95).

Замечание. Иногда говорят, что двугранный угол αaβ образован двумя полуплоскостями α и β, имеющими общую граничную прямую a.

Фигуры, образованные двумя страницами одной книги, двумя соседними гранями куба, — модели двугранного угла.

Для измерения двугранного угла введём понятие его линейного угла. На ребре a двугранного угла αaβ отметим произвольную точку O и в гранях α и β проведём из точки O соответственно лучи OA и OB, перпендикулярные ребру a (рис. 96, а). Угол AOB, образованный этими лучами, называется линейным углом двугранного угла αaβ.

Так как OA ⊥ a и OB ⊥ a, то плоскость AOB перпендикулярна прямой a. Это означает, что линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру.

Вследствие произвольного выбора точки O на ребре двугранного угла заключаем, что двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов. Докажем, что все они равны. Действительно, рассмотрим два линейных угла AOB и A1O1B1 двугранного угла αaβ (рис. 96, б). Лучи OA и O1A1 лежат в одной грани α и перпендикулярны прямой a — ребру двугранного угла, поэтому они сонаправлены. Аналогично получаем, что сонаправлены лучи OB и O1B1. Тогда ∠ AOB = ∠ A1O1B1 (как углы с сонаправленными сторонами).

Таким образом, нами доказана теорема.

Теорема 27. Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.

Иначе говоря, все линейные углы данного двугранного угла равны между собой.

Это позволяет ввести следующее определение.

Определение. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Величина двугранного угла, измеренная в градусах, принадлежит промежутку (0°; 180°).

На рисунке 97 изображён двугранный угол, градусная мера (величина) которого равна 30°. В этом случае также говорят, что двугранный угол равен тридцати градусам.

Двугранный угол является острым (рис. 98, а), прямым (рис. 98, б) или тупым (рис. 98, в), если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой.

Заметим, что аналогично тому, как и на плоскости, в пространстве определяются смежные (рис. 99, а) и вертикальные (рис. 99, б) двугранные углы. При этом справедливы и аналогичные теоремы о величинах этих углов.

Попробуйте доказать самостоятельно следующие два утверждения, важные для решения задач.

 На гранях двугранного угла величины α взяты точки A и B; A1 и B1 — проекции этих точек на ребро двугранного угла; AA1= a; BB1 = b; A1B1 = h. Тогда

AB = .

 Если внутри двугранного угла величины α взята точка на расстояниях a и b от граней двугранного угла, то её расстояние от ребра двугранного угла равно .

14.2. Угол между двумя плоскостями

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 100). Если величина одного из них равна ϕ, то величины трёх остальных равны соответственно 180° – ϕ, ϕ, 180° – ϕ (почему?). Наименьшая из этих величин принимается за величину угла между данными пересекающимися плоскостями.

Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении.

Угол между параллельными или совпадающими плоскостями полагается считать равным нулю.

Если величина угла между плоскостями α и β равна ϕ, то пишут: (α; β) = ϕ.

Так как двугранный угол измеряется своим линейным углом, то из выше приведённого определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями равен углу между пересекающимися прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения (см. рис. 100). Это означает, что величина угла между плоскостями принадлежит промежутку [0°; 90°].

ЗАДаЧа. Отрезок DM длиной 3,2 перпендикулярен плоскости ромба ABCD (∠ ADC — тупой). Диагонали ромба равны 12 и 16. Найти углы между плоскостями:

а) ABC и MBC; б) AMD и CMD.

Решение. а) Пусть DE — высота ромба ABCD (рис. 101). Тогда по теореме о трёх перпендикулярах ME ⊥ BC и ∠ DEM = ϕ — линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и MBC. Найдём величину этого угла.

По условию задачи DM ⊥ (ABC), поэтому ⧌ MDE — прямоугольный, значит, tg ϕ = . Так как DE — высота ромба ABCD, то DE = , где S — площадь этого ромба. Сторона BC ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника BOC, катеты OB и OC которого равны 6 и 8. Значит, BC =  =  = 10.

Учитывая, что S = •AC•BD = •12•16 = 96, находим: DE =  = 9,6. Тогда tg ϕ =  =  = , откуда ϕ = arctg .

б) Так как отрезок DM — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD, то AD ⊥ DM, CD ⊥ DM, значит, ∠ ADC = ψ — линейный угол двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями ADM и CDM. Найдём этот угол.

В треугольнике ACD по теореме косинусов находим

cos ψ =  =  = – ,

откуда ψ = arccos .

Ответ: а) arctg ; б) arccos .