8. Геометрия в пространстве (стереометрия)
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Нахождение угла между плоскостями (двугранный угол)
(blacktriangleright) Двугранный угол – угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой (a), которая является их общей границей.
(blacktriangleright) Чтобы найти угол между плоскостями (xi) и (pi), нужно найти линейный угол (причем острый или прямой) двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi):
Шаг 1: пусть (xicappi=a) (линия пересечения плоскостей). В плоскости (xi) отметим произвольную точку (F) и проведем (FAperp
a);
Шаг 2: проведем (FGperp pi);
Шаг 3: по ТТП ((FG) – перпендикуляр, (FA) –наклонная, (AG) – проекция) имеем: (AGperp a);
Шаг 4: угол (angle FAG) называется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi).
Заметим, что треугольник (AG) – прямоугольный.
Заметим также, что плоскость (AFG), построенная таким образом, перпендикулярна обеим плоскостям (xi) и (pi). Следовательно, можно сказать по-другому: угол между плоскостями (xi) и (pi) — это угол между двумя пересекающимися прямыми (cin xi) и (binpi), образующими плоскость, перпендикулярную и (xi), и (pi).
Задание
1
#2875
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом. Найдите (6cos alpha), где (alpha) – угол между ее смежными боковыми гранями.
Пусть (SABCD) – данная пирамида ((S) – вершина), ребра которой равны (a). Следовательно, все боковые грани представляют собой равные равносторонние треугольники. Найдем угол между гранями (SAD) и (SCD).
Проведем (CHperp SD). Так как (triangle SAD=triangle SCD), то (AH) также будет высотой в (triangle SAD). Следовательно, по определению (angle AHC=alpha) – линейный угол двугранного угла между гранями (SAD) и (SCD).
Так как в основании лежит квадрат, то (AC=asqrt2). Заметим также, что (CH=AH) – высота равностороннего треугольника со стороной (a), следовательно, (CH=AH=frac{sqrt3}2a).
Тогда по теореме косинусов из (triangle AHC): [cos alpha=dfrac{CH^2+AH^2-AC^2}{2CHcdot AH}=-dfrac13 quadRightarrowquad
6cosalpha=-2.]
Ответ: -2
Задание
2
#2876
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются под углом, косинус которого равен (0,2). Плоскости (pi_2) и (pi_3) пересекаются под прямым углом, причем линия пересечения плоскостей (pi_1) и (pi_2) параллельна линии пересечения плоскостей (pi_2) и (pi_3). Найдите синус угла между плоскостями (pi_1) и (pi_3).
Пусть линия пересечения (pi_1) и (pi_2) – прямая (a), линия пересечения (pi_2) и (pi_3) – прямая (b), а линия пересечения (pi_3) и (pi_1) – прямая (c). Так как (aparallel b), то (cparallel aparallel b) (по теореме из раздела теоретической справки “Геометрия в пространстве” (rightarrow) “Введение в стереометрию, параллельность”).
Отметим точки (Ain a, Bin b) так, чтобы (ABperp a, ABperp b) (это возможно, так как (aparallel b)). Отметим (Cin c) так, чтобы (BCperp c), следовательно, (BCperp b). Тогда (ACperp c) и (ACperp a).
Действительно, так как (ABperp b, BCperp b), то (b) перпендикулярна плоскости (ABC). Так как (cparallel aparallel b), то прямые (a) и (c) тоже перпендикулярны плоскости (ABC), а значит и любой прямой из этой плоскости, в частности, прямой (AC).
Отсюда следует, что (angle BAC=angle (pi_1, pi_2)), (angle
ABC=angle (pi_2, pi_3)=90^circ), (angle BCA=angle (pi_3,
pi_1)). Получается, что (triangle ABC) прямоугольный, а значит [sin angle BCA=cos angle BAC=0,2.]
Ответ: 0,2
Задание
3
#2877
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Даны прямые (a, b, c), пересекающиеся в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен (60^circ). Найдите (cos^{-1}alpha), где (alpha) – угол между плоскостью, образованной прямыми (a) и (c), и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c). Ответ дайте в градусах.
Пусть прямые пересекаются в точке (O). Так как угол между любыми двумя их них равен (60^circ), то все три прямые не могут лежать в одной плоскости. Отметим на прямой (a) точку (A) и проведем (ABperp
b) и (ACperp c). Тогда (triangle AOB=triangle AOC) как прямоугольные по гипотенузе и острому углу. Следовательно, (OB=OC) и (AB=AC).
Проведем (AHperp (BOC)). Тогда по теореме о трех перпендикулярах (HCperp c), (HBperp b). Так как (AB=AC), то (triangle
AHB=triangle AHC) как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, (HB=HC). Значит, (OH) – биссектриса угла (BOC) (так как точка (H) равноудалена от сторон угла).
Заметим, что таким образом мы к тому же построили линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью, образованной прямыми (a) и (c), и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c). Это угол (ACH).
Найдем этот угол. Так как точку (A) мы выбирали произвольно, то пусть мы выбрали ее так, что (OA=2). Тогда в прямоугольном (triangle AOC): [sin 60^circ=dfrac{AC}{OA}
quadRightarrowquad AC=sqrt3 quadRightarrowquad
OC=sqrt{OA^2-AC^2}=1.] Так как (OH) – биссектриса, то (angle
HOC=30^circ), следовательно, в прямоугольном (triangle HOC): [mathrm{tg},30^circ=dfrac{HC}{OC}quadRightarrowquad HC=dfrac1{sqrt3}.] Тогда из прямоугольного (triangle ACH): [cosangle alpha=cosangle ACH=dfrac{HC}{AC}=dfrac13 quadRightarrowquad
cos^{-1}alpha=3.]
Ответ: 3
Задание
4
#2910
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются по прямой (l), на которой лежат точки (M) и (N). Отрезки (MA) и (MB) перпендикулярны прямой (l) и лежат в плоскостях (pi_1) и (pi_2) соответственно, причем (MN = 15), (AN = 39), (BN = 17), (AB = 40). Найдите (3cosalpha), где (alpha) – угол между плоскостями (pi_1) и (pi_2).
Треугольник (AMN) прямоугольный, (AN^2 = AM^2 + MN^2), откуда [AM^2 = 39^2 – 15^2 = 36^2.] Треугольник (BMN) прямоугольный, (BN^2 = BM^2 + MN^2), откуда [BM^2 = 17^2 – 15^2 = 8^2.] Запишем для треугольника (AMB) теорему косинусов: [AB^2 = AM^2 + MB^2 – 2cdot AMcdot MBcdotcosangle AMB.] Тогда [40^2 = 36^2 + 8^2 – 2cdot 36cdot 8cdotcosangle AMBqquadLeftrightarrowqquad cosangle AMB = -dfrac{5}{12}] Так как угол (alpha) между плоскостями – это острый угол, а (angle AMB) получился тупым, то (cosalpha=dfrac5{12}). Тогда [3cosalpha = dfrac54=1,25.]
Ответ: 1,25
Задание
5
#2911
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
(ABCDA_1B_1C_1D_1) – параллелепипед, (ABCD) – квадрат со стороной (a), точка (M) – основание перпендикуляра, опущенного из точки (A_1) на плоскость ((ABCD)), кроме того (M) – точка пересечения диагоналей квадрата (ABCD). Известно, что (A_1M = dfrac{sqrt{3}}{2}a). Найдите угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)). Ответ дайте в градусах.
Построим (MN) перпендикулярно (AB) как показано на рисунке.
Так как (ABCD) – квадрат со стороной (a) и (MNperp AB) и (BCperp AB), то (MNparallel BC). Так как (M) – точка пересечения диагоналей квадрата, то (M) – середина (AC), следовательно, (MN) – средняя линия и (MN =frac12BC= frac{1}{2}a).
(MN) – проекция (A_1N) на плоскость ((ABCD)), причем (MN) перпендикулярен (AB), тогда по теореме о трех перпендикулярах (A_1N) перпендикулярен (AB) и угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)) есть (angle A_1NM).
[mathrm{tg}, angle A_1NM = dfrac{A_1M}{NM} = dfrac{frac{sqrt{3}}{2}a}{frac{1}{2}a} = sqrt{3}qquadRightarrowqquadangle A_1NM = 60^{circ}]
Ответ: 60
Задание
6
#1854
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В квадрате (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC). Найдите угол между плоскостями (ASD) и (ABC), если (SO = 5), а (AB = 10).
Прямоугольные треугольники (triangle SAO) и (triangle SDO) равны по двум сторонам и углу между ними ((SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = 90^circ); (AO = DO), т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = SD) (Rightarrow) (triangle ASD) – равнобедренный. Точка (K) – середина (AD), тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD), а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскостям (ASD) и (ABC) (Rightarrow) (angle SKO) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.
В (triangle SKO): (OK = frac{1}{2}cdot AB = frac{1}{2}cdot 10 = 5 = SO) (Rightarrow) (triangle SOK) – равнобедренный прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle SKO = 45^circ).
Ответ: 45
Задание
7
#1855
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В квадрате (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC). Найдите угол между плоскостями (ASD) и (BSC), если (SO = 5), а (AB = 10).
Прямоугольные треугольники (triangle SAO), (triangle SDO), (triangle SOB) и (triangle SOC) равны по двум сторонам и углу между ними ((SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = angle SOB = angle SOC = 90^circ); (AO = OD = OB = OC), т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = DS = BS = CS) (Rightarrow) (triangle ASD) и (triangle BSC) – равнобедренные. Точка (K) – середина (AD), тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD), а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскости (ASD). Точка (L) – середина (BC), тогда (SL) – высота в треугольнике (triangle BSC), а (OL) – высота в треугольнике (BOC) (Rightarrow) плоскость (SOL) (она же плоскость (SOK)) перпендикулярна плоскости (BSC). Таким образом получаем, что (angle KSL) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.
(KL = KO + OL = 2cdot OL = AB = 10) (Rightarrow) (OL = 5); (SK = SL) – высоты в равных равнобедренных треугольниках, которые можно найти по теореме Пифагора: (SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50). Можно заметить, что (SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2) (Rightarrow) для треугольника (triangle KSL) выполняется обратная теорема Пифагора (Rightarrow) (triangle KSL) – прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle KSL = 90^circ).
Ответ: 90
Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения основных формул, в том числе и тех, которые позволяют определить угол между плоскостями. Несмотря на то, что этот раздел геометрии достаточно подробно освещается в рамках школьной программы, многие выпускники нуждаются в повторении базового материала. Понимая, как найти угол между плоскостями, старшеклассники смогут оперативно вычислить правильный ответ в ходе решения задачи и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.
Основные нюансы
-
Чтобы вопрос, как найти двугранный угол, не вызывал затруднений, рекомендуем следовать алгоритму решения, который поможет справиться с заданиями ЕГЭ.
-
Вначале необходимо определить прямую, по которой пересекаются плоскости.
-
Затем на этой прямой нужно выбрать точку и провести к ней два перпендикуляра.
-
Следующий шаг — нахождение тригонометрической функции двугранного угла, который образован перпендикулярами. Делать это удобнее всего при помощи получившегося треугольника, частью которого является угол.
-
Ответом будет значение угла или его тригонометрической функции.
Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха
В процессе занятий накануне сдачи ЕГЭ многие школьники сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют вычислить угол между 2 плоскостями. Школьный учебник не всегда есть под рукой именно тогда, когда это необходимо. А чтобы найти нужные формулы и примеры их правильного применения, в том числе и для нахождения угла между плоскостями в Интернете в режиме онлайн, порой требуется потратить немало времени.
Математический портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к госэкзамену. Занятия на нашем сайте помогут ученикам определить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.
Мы подготовили и понятно изложили весь необходимый материал. Базовые определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».
Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач различной степени сложности, например, на нахождение угла между прямой и плоскостью, представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. Перечень упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.
Практикуясь в решении задач, в которых требуется найти угол между двумя плоскостями, учащиеся имеют возможность в онлайн-режиме сохранить любое задание в «Избранное». Благодаря этому они смогут вернуться к нему необходимое количество раз и обсудить ход его решения со школьным учителем или репетитором.
УСТАЛ? Просто отдохни
На этой странице вы узнаете
- Как мы сталкиваемся с двугранными углами, когда читаем книгу?
- Где в комнате можно найти перпендикулярные плоскости?
- Как с помощью линейки и листа воспроизвести в жизни теорему о трех перпендикулярах?
Стереометрия — это не просто раздел математики, который нужно долго и нудно учить. На самом деле стереометрия описывает всю нашу жизнь. Стало интересно? Давайте разбираться.
Углы между плоскостями
Мы точно знаем, что угол между стеной и полом равен 90°. Также, как и угол между стеной и потолком, или полом и любым предметом мебели.
Но чему равен угол между двумя открытыми страницами тетради? Или угол между стеной и полуоткрытой дверью? Угол между перилами и плоскостью пола? Все эти углы достаточно легко найти. И ответы на все эти вопросы нам дает именно стереометрия.
Начнем разбирать в углах между плоскостями с того, что введем понятие двугранного угла.
Двугранный угол — это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими общую границу.
Если мы откроем книгу не полностью и посмотрим на пространство между двумя страницами, это пространство и будет двугранным углом.
На рисунке:
АВ — общая прямая для плоскостей, ее называют ребром двугранного угла;
a, b — плоскости, которые образуют двугранный угол, они называются гранями двугранного угла.
Если раскрыть книгу не полностью, то ее страницы будут образовывать двугранный угол, то есть часть пространства, заключенную между двумя страницами.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей обычно образуется четыре двугранных угла. Нас интересует меньший из них.
Настало время ввести понятие угла между двумя плоскостями. Но для этого нам нужно провести перпендикуляры к ребру двугранного угла в каждой плоскости. Важно, чтобы перпендикуляры пересекались в одной точке.
Проведенные перпендикуляры образовали четыре угла. Меньший из них и будет называться углом между плоскостями.
Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей. Перпендикуляры должны лежать в данных плоскостях.
Обозначим нужный нам угол на рисунке как угол COD. Он и будет являться углом между данными плоскостями.
Угол COD также будет называться линейным углом двугранного угла.
Линейный угол двугранного угла показывает градусную меру двугранного угла. Поскольку двугранный угол — это часть пространства, то в этом пространстве можно провести множество линейных углов, которые будут равны между собой.
Как и обычные углы, углы между плоскостями бывают трех видов:
- Острые, то есть меньше 900
- Прямые, равные 900
- Тупые, которые больше 90и меньше 1800
Как уже было сказано выше, за угол между плоскостями всегда принимается острый угол, образованный этими плоскостями.
А что будет, если между плоскостями получится прямой угол?
Такие плоскости называются перпендикулярными.
Достаточно посмотреть на стены и пол, или стены и потолок. А еще на углы потолка — в них будет три перпендикулярные плоскости.
У перпендикулярных плоскостей есть одна очень интересная особенность: все углы, образованные ими, равны между собой и равняются 90° градусам.
Чтобы найти угол между плоскостями, необходимо следовать следующему алгоритму.
1 шаг. Найти линию пересечения плоскостей.
2 шаг. Достроить к этой линии перпендикуляр в каждой плоскости.
3 шаг. Найти острый угол между построенными перпендикулярами.
Углы между прямой и плоскостью
Если нарисовать две прямые на листе бумаги, мы с легкостью можем измерить угол между ними с помощью транспортира. А если провести прямую к плоскости, как точно измерить угол между ними?
И в этом вопросе к нам снова на помощь приходит стереометрия. Но для начала рассмотрим, что такое угол между прямой и плоскостью.
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Что такое проекция? Предположим, мы проткнем лист бумаги (плоскость) очень длинной иглой.
А теперь сделаем этот рисунок ближе к чертежу. Пусть плоскость а пересекает прямая а в точке О.
Начнем строить проекцию. Прежде чем разобраться, что такое проекция прямой на плоскость, найдем проекцию точки на плоскость.
Возьмем на нашей прямой а точку А и опустим из нее перпендикуляр к плоскости а. Точка, в которой перпендикуляр пересечет плоскость, будет называться проекцией точки на плоскость. На рисунке обозначим ее как А1.
Проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Теперь, если мы будем брать каждую точку на прямой и проектировать ее на плоскость а, то получим проекцию этой прямой на плоскость. Но поскольку на прямой бесконечное множество точек, достаточно соединить точки А1 и О, получаем, что А1О — проекция прямой а на плоскость а.
Заметим, что если мы проведем из любой точки прямой проекцию к плоскости, то попадем на прямую А1О.
Проекция прямой а на плоскость — это прямая а1, образованная проекциями всех точек прямой а на плоскость.
Таким образом можно построить проекции не только прямой, но и любой фигуры.
Мы построили угол из определения. Тогда углом между прямой а и плоскость а будет угол А1ОА.
В этом случае мы также берем острый угол, образованный прямой и плоскостью.
Шаг 1. Построить проекцию прямой на плоскость.
Шаг 2. Найти угол между прямой и построенной проекцией.
Если прямая параллельна плоскости угол будет равен 0.
Проекция прямой на плоскость будет этой же прямой, просто лежащей в плоскости.
Когда прямая перпендикулярна плоскости, проекцией прямой на плоскость будет точка пересечения прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью будет равен 90°.
Чуть подробнее остановимся на случае, когда прямая перпендикулярна плоскости.
Прямая, перпендикулярная плоскости — прямая, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей в этой плоскости.
А что делать, если прямая будет перпендикулярна только одной прямой из плоскости? По определению обязательно, чтобы она была перпендикулярна всем прямым из плоскости. Как тогда проверить перпендикулярность?
Для этого существует признак перпендикулярности прямой и плоскости:
- Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она будет перпендикулярна этой плоскости.
Следовательно, если необходимо в задаче доказать перпендикулярность прямой и плоскости, достаточно доказать, что прямая будет перпендикулярна всего двум пересекающимся прямым в этой плоскости, а не всему множеству прямых, лежащий в данной плоскости.
Рассмотрим несколько интересных свойств, связанных с прямой, перпендикулярной к плоскости.
Свойство 1. Через любую точку пространства можно провести единственную прямую, перпендикулярную плоскости.
Попробуйте подставить уголок к стене из любой точки. Получится ли у вас сделать так, что из одной и той же точки уголок встанет перпендикулярно стене несколько раз? Нет.
Свойство 2. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то такие прямые параллельны.
Здесь тоже просто все доказать. Достаточно построить в плоскости прямую, которая пересечет две данные прямые и посмотреть на рисунок “сбоку”. Заметим, что соответственные углы равны, а значит, прямые параллельны.
Подробнее про соответственные углы и параллельные прямые можно прочитать в статье “Основы планиметрии”.
Свойство 3. Если к одной прямой перпендикулярны две плоскости, то такие плоскости параллельны.
Тут такие же рассуждения, как и в предыдущем свойстве: достаточно построить прямые, принадлежащие плоскостям, и посмотреть на них “сбоку”.
Свойство 4. Если через перпендикулярную к плоскости прямую проходит плоскость, то данные плоскости будут перпендикулярны.
Это легко проверить, если найти любой двугранный угол между построенными плоскостями.
Теорема о трех перпендикулярах
Разберем еще одну очень интересную теорему, связанную с проекциями прямой на плоскость. А именно мы рассмотрим теорему о трех перпендикулярах.
Для начала попробуем понять ее на реальных предметах.
Как с помощью линейки и листа воспроизвести в жизни теорему о трех перпендикулярах?
Возьмем уголок и зафиксируем его строго вертикально на листе. Для удобства назовем уголок АВС, где С — прямой угол.
Сразу заметим, что прямая АС будет перпендикулярна плоскости листа (поскольку уголок стоит строго вертикально, а лист лежит строго горизонтально).
Дальше заметим, что прямые АС и ВС также перпендикулярны, поскольку в уголке угол С равен 90°.
Посмотрим чуть-чуть внимательнее и обратим внимание, что прямая ВС при этом будет проекцией на плоскость листа прямой АВ.
Немного достроим наш рисунок и через точку В проведем прямую, перпендикулярную ВС. Назовем эту прямую КМ.
Сразу отмечаем, что прямая КМ перпендикулярна ВС по построению, а также перпендикулярна прямой АС (поскольку АС — перпендикуляр к плоскости листа).
Можем ли мы что-то еще сказать про нашу ситуацию? Оказывается, прямая АВ также будет перпендикулярна прямой КМ.
Возникнет вопрос, почему?
1. Вспомним признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она будет перпендикулярна этой плоскости.
Теперь узнаем, как этот признак выполняется в данной ситуации.
2. Посмотрим на ситуацию немного под другим углом и в этот раз возьмем за плоскость не лист, а нашу линейку.
3. Тогда две пересекающиеся прямые в плоскости линейки будут перпендикулярны прямой КМ: BCKM по построению, а ACKM как прямая, перпендикулярная к плоскости листа, а значит, и перпендикулярная всем прямым в этой плоскости.
4. Получается, что прямая КМ перпендикулярна плоскости АВС, следовательно, перпендикулярна и всем прямым в этой плоскости, в том числе прямой АВ.
Таким образом, длинная сторона линейки будет наклонной прямой, основание — ее проекцией, а начерченная линия — перпендикуляром к проекции.
Мы рассмотрели теорему о трех перпендикулярах. Осталось ее только сформулировать математическим языком.
Теорема о трех перпендикулярах
Если наклонная прямая АВ к плоскости а перпендикулярна прямой КМ в этой плоскости, то и проекция прямой АВ на плоскость а перпендикулярна к прямой КМ.
Для построения чертежа заменим линейку на несколько отрезков. Тогда АВ — наклонная, ВС — проекция, КМ — прямая в плоскости.
Для этого нужно взять лист бумаги и треугольную линейку. На листе бумаги построить произвольную прямую, а после поставить линейку строго вертикально так, чтобы основание линейки на листе было перпендикулярно начерченной прямой.
Таким образом, длинная сторона линейки будет наклонной прямой, основание — ее проекцией, а начерченная линия — перпендикуляром к проекции.
Вот и все, ничего сложного. А называется теорема так потому, что в построении действительно присутствуют три перпендикуляра, которые отлично видно на рисунке.
Теорему о трех перпендикулярах можно активно использовать для доказательства и решении задач.
Фактчек
- Двугранный угол — это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими общую границу. Градусной мерой двугранного угла будет линейный угол двугранного угла или, другими словами, угол между плоскостями.
- Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей. Перпендикуляры должны лежать в данных плоскостях. За угол между плоскостями принимают острый угол, образованный этими плоскостями. Если угол между плоскостями равен 90°, то такие плоскости перпендикулярны.
- Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, необходимо построить проекцию прямой на плоскость и найти угол между прямой и ее проекцией. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними будет равен 0°. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними будет равен 90°.
- Прямая, перпендикулярная плоскости — прямая, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы доказать, что прямая перпендикулярна плоскости, достаточно доказать, что эта прямая перпендикулярна двум пересекающимся в плоскости прямым.
- Теорема о трех перпендикулярах гласит, что если наклонная прямая а к плоскости а перпендикулярна прямой b в этой плоскости, то и проекция прямой а на плоскость а перпендикулярна к прямой b.
Проверь себя
Задание 1.
Выберите верное утверждение.
- Градусной мерой двугранного угла будет линейный угол двугранного угла. При этом все линейные углы двугранного угла равны между собой;
- Градусной мерой двугранного угла будет линейный угол двугранного угла. При этом линейные углы двугранного угла не равны между собой;
- Грань двугранного угла — это общая прямая плоскостей, которые его образуют;
- Ребра двугранного угла — это плоскости, которые его образуют.
Задание 2.
Угол между плоскостями — это…
- Тупой угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей;
- Острый или прямой угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей;
- Тупой угол между двумя произвольными линиями, проведенными к линии пересечения плоскостей;
- Острый или прямой угол между двумя произвольными линиями, проведенными к линии пересечения плоскостей.
Задание 3.
Что такое проекция прямой на плоскость?
- Это любая прямая, проведенная из точки пересечения прямой и плоскости;
- Это перпендикуляр, опущенный из любой точки на плоскость;
- Это всегда точка пересечения прямой и плоскости;
- Это прямая, образованная проекциями всех точек прямой на плоскость.
Задание 4.
Какой будет проекция прямой, перпендикулярной к плоскости, на эту плоскость?
- Проекция будет равна этой прямой и параллельна ей;
- Проекция будет меньше прямой и образовывать с ней угол;
- Проекция будет точкой пересечения прямой и плоскости;
- Проекция будет больше прямой и образовывать с ней угол.
Задание 5.
Как доказать, что прямая перпендикулярна плоскости?
- Достаточно доказать, что прямая перпендикулярна одной любой прямой в плоскости;
- Достаточно доказать, что прямая перпендикулярна двум параллельным прямым в плоскости;
- Достаточно доказать, что угол между прямой и любой прямой в плоскости равен 90°;
- Достаточно доказать, что прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в этой плоскости.
Ответы: 1. — 1 2. — 2 3. — 4 4. — 3 5. — 4
Определение угла между плоскостями
Наиболее эффективным методом определения угла между двумя плоскостями является метод дополнительного угла. Дополнительным углом называется угол между двумя перпендикулярами, опущенными из любой точки на обе плоскости. Искомый и дополнительный углы связаны формулой, которая реализуется графически.
Требуется определить угол между двумя плоскостями. Из любой точки между плоскостями, например В, опустим перпендикуляры на заданные плоскости. Проекции перпендикуляров проводим согласно алгоритму перпендикулярности. Между проекциями перпендикуляров образуются проекции дополнительного угла.
Определим натуральную величину дополнительного угла методом вращения вокруг горизонтали. Объектом вращения будет вершина В угла. Проводим через В/ плоскость вращения, находим центр вращенияО, определяем натуральную величину радиуса вращения Rв и откладываем его вдоль плоскости вращения. Графически находим искомый угол.
45
Методы построения сечений многогранников
Разработано два метода построения сечений многогранников – метод ребер и метод граней. В методе ребер находят точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, т.е. несколько раз решают типовую задачу о пересечении прямой с плоскостью. В методе граней находят линии пересечения граней многогранника с плоскостью, т.е. решают типовую задачу о -пере сечении плоскостей.
Рассмотрим пересечение пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью. Решаем задачу методом ребер. Так как секущая плоскость фрон- тально-проецирующая, то на фронтальной проекции точки пересечения определяются без построений. По линиям связи находим горизонтальные проекции точек, соединив которые получим сечение.
Если секущая плоскость является плоскостью общего положения,то задача усложняется. При построении точек сечения проводим через ребра вспомогательные плоскости частного положения, находим линии пересечения заданной и вспомогательной плоскостей и на пересечении ребер с линиями пересечения находим искомые точки.
46
Построение разверток многогранников
При построении разверток многогранников используют два метода: метод раскатки и метод нормального сечения. Наиболее распространен первый метод. Метод раскатки заключается в том, что многогранник условно разрезают по ребрам и «раскатывают» грани в одну плоскость.
Рассмотрим построение развертки пирамиды.
Требуется построить развертку и указать на ней точкиК и М, лежащие на поверхности пирамиды. Сначала определяем натуральную величину ребер методом вращения вокруг оси i. Проекции точки К находим с помощью вспомогательной прямой.
Далее на свободном поле чертежа строим основание пирамиды. К основанию пристраиваем боковые грани пирамиды. Точку К на развертке строим с помощью вспомогательной прямой. Все построения проводятся с помощью циркуля.
47
Построение проекций особых точек на поверхности
Особые (характерные) точки – это точки, лежащие на образующих поверхности, основаниях, и точки, совпадающие с осями. При построении проекций характерных точек исполь-
зуется одно из свойств эпюра Монжа : АХА/ = AZA///.
Построение промежуточных точек на поверхности
|
Промежуточные |
точки |
занимают |
общее |
положение |
на |
|
|
поверхности. Их построение связано с определенными трудностями. |
||||||
|
Имеется два способа построения проекций промежуточных точек: |
||||||
|
способ образующих и метод секущих вспомогательных плоскостей. |
||||||
|
Первый метод заключается в том, что через проекцию точки проводят |
||||||
|
образующую линию (прямую), строят ее проекции и на них находят |
||||||
|
проекции точки. |
||||||
|
По второму способу через точку проводят вспомогательную |
||||||
|
плоскость, строят сечение поверхности вспомогательной плоскостью |
||||||
|
и на контуре сечения находят проекцию промежуточной точки. |
||||||
|
Третью проекцию строят с помощью упомянутого свойства эпюра |
||||||
|
Монжа. В качестве вспомогательных плоскостей применяют плос- |
||||||
|
кости, которые образуют простые сечения поверхностей. |
48
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Угол между плоскостями.
Стереометрия
Пусть
плоскости α и β пересекаются по прямой с.
Угол между
плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения,
проведенными в этих плоскостях.
Другими словами, в плоскости
α мы провели прямую а, перпендикулярную с. В плоскости
β — прямую b, также перпендикулярную с. Угол между плоскостями
α и β равен углу между прямыми а и b.
Заметим, что при пересечении двух
плоскостей вообще-то образуются четыре угла. В качестве угла между
плоскостями мы берем острый угол.
Метод координат
Угол между плоскостями равен углу,
образованному нормальными векторами этих плоскостей.
Если векторы n1 и n2 – нормальные векторы данных плоскостей, то угол между плоскостями
вычисляется по формуле
cosγ = 
Если заданы уравнения
плоскостей A1x + B1y + C1z + D1 = 0
и A2x + B2y + C2z + D2 = 0,
то 
и 
– нормальные векторы этих плоскостей.
Тогда угол между плоскостями
можно найти, используя следующую формулу
cos γ=
,
Задача. В
правильной четырехугольной призме со стороной основания 12 и
высотой 21 на ребре АА1 взята
точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ1 взята точка K так, что В1К = 8. Найдите угол между плоскостьюD1MK и
плоскостью CC1D1.
Решение.
АD1 ⊥( CC1D1), значит АD1 = n1
Найдем n2 
⊥(D1MK).
n2⊥D1M, А1М=21-8=13, М(0;0;13), D1(
, значит
D1M
n2⊥ MK,
М(0;0;13),К(12;0;8), значит MK
n2•D1M=0 -12у+13z=0 y=
n2• MK=0 12x-5z=0 x=
Примем z=12, тогда х=5,у=13 , тогда n2
.
cosγ = 
cosγ =
=
=
=
=
, откуда
γ=450.
Ответ: 450.
Использование
теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.
Угол между
плоскостями α и β можно вычислить, используя формулу
cosγ =
Три
способа решения одной задачи.
Задача. 
На
ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
взята точка E так, что A1E : EA =
4 : 3. Точка T — середина ребра B1C1.
Известно, что AB = 5, AD = 8, AA1 =
14.
а) В
каком отношении плоскость ETD1 делит ребро BB1?
б)
Найдите угол между плоскостью ETD1 и
плоскостью AA1B1.
Решение.
1 способ – геометрический
а) Так
как 
и 
то 
и 
Плоскость
сечения пересекает параллельные плоскости 
и 
по
параллельным прямым, поэтому 
∥ 
Значит, треугольники 
и 
подобны(
по углам с соответственно параллельными сторонами).
= 
, откуда 
=
= 
=4
Значит, QB= BB1– QB1= 14-4=10 и QB:QB1=10:4=5:2.
б) Так как прямая 
⊥ 
опустим проведём
⊥
– линии пересечения
плоскостей. ETD1 и AA1B1.
По теореме о трех перпендикулярах так как ⊥,то
и D1H⊥
.
Угол 
будет
искомым.
Найдём 
Для
этого проведём в трапеции 
высоту
= А1В1.
По теореме Пифагора 
=
= 
.
Теперь,
вычисляя двумя способами площадь треугольника 
найдём
S =
то есть А1H= 
= 
Тогда из треугольника А1HD, где угол А1 прямой, найдем тангенс искомого угла
равен tg H = 8: 
= 
.
Ответ: а) 
б) arctg
Решение.
2 способ – метод координат
б) Введем прямоугольную
систему координат с началом в точке А. Угол между ЕТD1 и AA1B1 будем искать по
формуле
cosγ = 
АD ⊥( AA1B1), значит АD = n1
Найдем n2 ⊥( ЕТD1).
n2⊥EQ, Е(0;0;6), Q(
, значит
EQ
n2⊥ED1, Е(0;0;6), D1 (8;0;14), значит ED1
n2• EQ =0 5у+4z=0 y=
n2• ED1=0 8x+8z=0 x= – z
Примем z=5, тогда х= – 5,у=- 4 , тогда n2
.
cosγ = 
cosγ =
=
=
Ответ:б) arccos
Решение.
3 способ – метод проекций
Угол между
плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1
можно вычислить, используя формулу
cosγ =
– площадь
трапеции EQTD1, 
– площадь
трапеции А1В1QE.
=
=
(В1Q +
А1E)• А1В1= 
(4+8)•5= 30
=
= 
(QT+ ED1)•QР, где QР – высота.
Из треугольника A1D1E D1E=
=8
Из треугольника B1QT QT
=4
Из треугольника LQE QE=
=
Из треугольника C1D1T D1T ==
Трапеция EQTD1 – равнобедренная. РЕ = (8 – 4):2=2
Из треугольника РQE QР= 
=
== (QT+ ED1)•QР=(8
4
• :2= 6
cosγ == 
=
Ответ: б) arccos
Здравствуйте, дорогие подписчики и гости канала. Сегодня разбираем 13 задачу с сайта РЕШУ ЕГЭ
Вот условие задачи
Первое легко доказывается с помощью теоремы о трех перпендикулярах:
Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной
Теперь зная, что А1Н перпендикурно BD легко найти угол между плоскостями – это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей, то есть угол между А1Н и АН
Рассмотрим прямоугольный треугольник АА1Н
Найдем тангенс угла А1АН:
Спасибо за внимание
Буду рада вашим лайкам, комментариям и вашей подписке
Также приглашаю на канал в
Телеграм и в группу Вконтакте
До новых встреч на канале Простаяматематика.рф
