Как найти угол между проекциями наклонных

Стереометрия

Глава 9. Прямые и плоскости в пространстве

9.5. Наклонные и их проекции на плоскость. Угол наклонной с плоскостью

Определение 1

Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к этой плоскости.

Определение 2

Точка пересечения перпендикуляра (наклонной) с плоскостью называется основанием перпендикуляра (наклонной).

Определение 3

Отрезок, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра, проведенных к плоскости из одной и той же точки вне ее, называется проекцией наклонной на эту плоскость.

Если из одной и той же точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и наклонные, то:
1) две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
2) из двух наклонных та больше, проекция которой больше;
3) (обратная) равные наклонные имеют равные проекции;
4) (обратная) большей наклонной соответствует большая проекция.

Повернув прямоугольные треугольники вокруг общего их катета (перпендикуляра к плоскости) до совмещения их плоскостей, получим все наклонные (гипотенузы) и их проекции (другие катеты) в одной плоскости, где эти теоремы верны.

Следствие

Перпендикуляр к плоскости меньше всякой наклонной, проведенной к той же плоскости из той же точки вне ее (катет меньше гипотенузы).

Определение 4

Расстоянием точки от плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Определение 5

Углом между наклонной и плоскостью называется острый угол между наклонной и ее проекцией на эту плоскость.

Теорема 5

Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость является наименьшим из всех углов, образуемых данной наклонной с прямыми, лежащими в данной плоскости.

На этой странице вы узнаете

• Как мы сталкиваемся с двугранными углами, когда читаем книгу?
• Где в комнате можно найти перпендикулярные плоскости?
• Как с помощью линейки и листа воспроизвести в жизни теорему о трех перпендикулярах?

Стереометрия — это не просто раздел математики, который нужно долго и нудно учить. На самом деле стереометрия описывает всю нашу жизнь. Стало интересно? Давайте разбираться. 

Углы между плоскостями

Мы точно знаем, что угол между стеной и полом равен 90°. Также, как и угол между стеной и потолком, или полом и любым предметом мебели. 

Но чему равен угол между двумя открытыми страницами тетради? Или угол между стеной и полуоткрытой дверью? Угол между перилами и плоскостью пола? Все эти углы достаточно легко найти. И ответы на все эти вопросы нам дает именно стереометрия. 

Начнем разбирать в углах между плоскостями с того, что введем понятие двугранного угла. 

Двугранный угол — это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими общую границу. 

Если мы откроем книгу не полностью и посмотрим на пространство между двумя страницами, это пространство и будет двугранным углом.

На рисунке: 
АВ — общая прямая для плоскостей, ее называют ребром двугранного угла;
a, b  — плоскости, которые образуют двугранный угол, они называются гранями двугранного угла.  

Заметим, что при пересечении двух плоскостей обычно образуется четыре двугранных угла. Нас интересует меньший из них.

Настало время ввести понятие угла между двумя плоскостями. Но для этого нам нужно провести перпендикуляры к ребру двугранного угла в каждой плоскости. Важно, чтобы перпендикуляры пересекались в одной точке.

Проведенные перпендикуляры образовали четыре угла. Меньший из них и будет называться углом между плоскостями.

Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей. Перпендикуляры должны лежать в данных плоскостях. 

Обозначим нужный нам угол на рисунке как угол COD. Он и будет являться углом между данными плоскостями. 

Угол COD также будет называться линейным углом двугранного угла. 

Линейный угол двугранного угла показывает градусную меру двугранного угла. Поскольку двугранный угол — это часть пространства, то в этом пространстве можно провести множество линейных углов, которые будут равны между собой. 

Как и обычные углы, углы между плоскостями бывают трех видов:

• Острые, то есть меньше 90⁰
• Прямые, равные 90⁰
• Тупые, которые больше 90и меньше 180⁰

Как уже было сказано выше, за угол между плоскостями всегда принимается острый угол, образованный этими плоскостями.

А что будет, если между плоскостями получится прямой угол?

Такие плоскости называются перпендикулярными. 

У перпендикулярных плоскостей есть одна очень интересная особенность: все углы, образованные ими, равны между собой и равняются 90° градусам. 

Чтобы найти угол между плоскостями, необходимо следовать следующему алгоритму. 

Углы между прямой и плоскостью

Если нарисовать две прямые на листе бумаги, мы с легкостью можем измерить угол между ними с помощью транспортира. А если провести прямую к плоскости, как точно измерить угол между ними?

И в этом вопросе к нам снова на помощь приходит стереометрия. Но для начала рассмотрим, что такое угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. 

Что такое проекция? Предположим, мы проткнем лист бумаги (плоскость) очень длинной иглой. 

А теперь сделаем этот рисунок ближе к чертежу. Пусть плоскость а пересекает прямая а в точке О. 

Начнем строить проекцию. Прежде чем разобраться, что такое проекция прямой на плоскость, найдем проекцию точки на плоскость. 

Возьмем на нашей прямой а точку А и опустим из нее перпендикуляр к плоскости а. Точка, в которой перпендикуляр пересечет плоскость, будет называться проекцией точки на плоскость. На рисунке обозначим ее как А₁. 

Проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. 

Теперь, если мы будем брать каждую точку на прямой и проектировать ее на плоскость а, то получим проекцию этой прямой на плоскость. Но поскольку на прямой бесконечное множество точек, достаточно соединить точки А₁ и О, получаем, что А₁О — проекция прямой а на плоскость а. 

Заметим, что если мы проведем из любой точки прямой проекцию к плоскости, то попадем на прямую А₁О. 

Проекция прямой а на плоскость — это прямая а₁, образованная проекциями всех точек прямой а на плоскость. 

Таким образом можно построить проекции не только прямой, но и любой фигуры.

Мы построили угол из определения. Тогда углом между прямой а и плоскость а будет угол А₁ОА. 

В этом случае мы также берем острый угол, образованный прямой и плоскостью. 

Если прямая параллельна плоскости угол будет равен 0. 

Проекция прямой на плоскость будет этой же прямой, просто лежащей в плоскости.  

Когда прямая перпендикулярна плоскости, проекцией прямой на плоскость будет точка пересечения прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью будет равен 90°.

Чуть подробнее остановимся на случае, когда прямая перпендикулярна плоскости. 

Прямая, перпендикулярная плоскости — прямая, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей в этой плоскости. 

А что делать, если прямая будет перпендикулярна только одной прямой из плоскости? По определению обязательно, чтобы она была перпендикулярна всем прямым из плоскости. Как тогда проверить перпендикулярность?

Для этого существует признак перпендикулярности прямой и плоскости:

• Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она будет перпендикулярна этой плоскости. 

Следовательно, если необходимо в задаче доказать перпендикулярность прямой и плоскости, достаточно доказать, что прямая будет перпендикулярна всего двум пересекающимся прямым в этой плоскости, а не всему множеству прямых, лежащий в данной плоскости.

Рассмотрим несколько интересных свойств, связанных с прямой, перпендикулярной к плоскости. 

Свойство 1. Через любую точку пространства можно провести единственную прямую, перпендикулярную плоскости. 

Попробуйте подставить уголок к стене из любой точки. Получится ли у вас сделать так, что из одной и той же точки уголок встанет перпендикулярно стене несколько раз? Нет. 

Свойство 2. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то такие прямые параллельны. 

Здесь тоже просто все доказать. Достаточно построить в плоскости прямую, которая пересечет две данные прямые и посмотреть на рисунок “сбоку”. Заметим, что соответственные углы равны, а значит, прямые параллельны. 

Подробнее про соответственные углы и параллельные прямые можно прочитать в статье “Основы планиметрии”. 

Свойство 3. Если к одной прямой перпендикулярны две плоскости, то такие плоскости параллельны. 

Тут такие же рассуждения, как и в предыдущем свойстве: достаточно построить прямые, принадлежащие плоскостям, и посмотреть на них “сбоку”. 

Свойство 4. Если через перпендикулярную к плоскости прямую проходит плоскость, то данные плоскости будут перпендикулярны. 

Это легко проверить, если найти любой двугранный угол между построенными плоскостями. 

Теорема о трех перпендикулярах

Разберем еще одну очень интересную теорему, связанную с проекциями прямой на плоскость. А именно мы рассмотрим теорему о трех перпендикулярах. 

Для начала попробуем понять ее на реальных предметах. 

Как с помощью линейки и листа воспроизвести в жизни теорему о трех перпендикулярах?

Возьмем уголок и зафиксируем его строго вертикально на листе. Для удобства назовем уголок АВС, где С — прямой угол. 

Сразу заметим, что прямая АС будет перпендикулярна плоскости листа (поскольку уголок стоит строго вертикально, а лист лежит строго горизонтально). 
Дальше заметим, что прямые АС и ВС также перпендикулярны, поскольку в уголке угол С равен 90°. 
Посмотрим чуть-чуть внимательнее и обратим внимание, что прямая ВС при этом будет проекцией на плоскость листа прямой АВ.

Немного достроим наш рисунок и через точку В проведем прямую, перпендикулярную ВС. Назовем эту прямую КМ. 
Сразу отмечаем, что прямая КМ перпендикулярна ВС по построению, а также перпендикулярна прямой АС (поскольку АС — перпендикуляр к плоскости листа).

Можем ли мы что-то еще сказать про нашу ситуацию? Оказывается, прямая АВ также будет перпендикулярна прямой КМ. 

Возникнет вопрос, почему? 

1. Вспомним признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она будет перпендикулярна этой плоскости. 

Теперь узнаем, как этот признак выполняется в данной ситуации. 

2. Посмотрим на ситуацию немного под другим углом и в этот раз возьмем за плоскость не лист, а нашу линейку. 

3. Тогда две пересекающиеся прямые в плоскости линейки будут перпендикулярны прямой КМ: BCKM по построению, а ACKM как прямая, перпендикулярная к плоскости листа, а значит, и перпендикулярная всем прямым в этой плоскости. 

4. Получается, что прямая КМ перпендикулярна плоскости АВС, следовательно, перпендикулярна и всем прямым в этой плоскости, в том числе прямой АВ. 

Таким образом, длинная сторона линейки будет наклонной прямой, основание — ее проекцией, а начерченная линия — перпендикуляром к проекции. 

Мы рассмотрели теорему о трех перпендикулярах. Осталось ее только сформулировать математическим языком. 

Теорема о трех перпендикулярах 
Если наклонная прямая АВ к плоскости а перпендикулярна прямой КМ в этой плоскости, то и проекция прямой АВ на плоскость а перпендикулярна к прямой КМ. 

Для построения чертежа заменим линейку на несколько отрезков. Тогда АВ — наклонная, ВС — проекция, КМ — прямая в плоскости. 

Вот и все, ничего сложного. А называется теорема так потому, что в построении действительно присутствуют три перпендикуляра, которые отлично видно на рисунке.

Теорему о трех перпендикулярах можно активно использовать для доказательства и решении задач. 

Фактчек

• Двугранный угол — это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими общую границу. Градусной мерой двугранного угла будет линейный угол двугранного угла или, другими словами, угол между плоскостями. 
• Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей. Перпендикуляры должны лежать в данных плоскостях. За угол между плоскостями принимают острый угол, образованный этими плоскостями. Если угол между плоскостями равен 90°, то такие плоскости перпендикулярны. 
• Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, необходимо построить проекцию прямой на плоскость и найти угол между прямой и ее проекцией. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними будет равен 0°. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними будет равен 90°. 
• Прямая, перпендикулярная плоскости — прямая, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы доказать, что прямая перпендикулярна плоскости, достаточно доказать, что эта прямая перпендикулярна двум пересекающимся в плоскости прямым. 
• Теорема о трех перпендикулярах гласит, что если наклонная прямая а к плоскости а перпендикулярна прямой b в этой плоскости, то и проекция прямой а на плоскость а перпендикулярна к прямой b. 

Проверь себя

Задание 1. 
Выберите верное утверждение. 

1. Градусной мерой двугранного угла будет линейный угол двугранного угла. При этом все линейные углы двугранного угла равны между собой;
2. Градусной мерой двугранного угла будет линейный угол двугранного угла. При этом линейные углы двугранного угла не равны между собой;
3. Грань двугранного угла — это общая прямая плоскостей, которые его образуют;
4. Ребра двугранного угла — это плоскости, которые его образуют. 

Задание 2. 
Угол между плоскостями — это…

1. Тупой угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей;
2. Острый или прямой угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей;
3. Тупой угол между двумя произвольными линиями, проведенными к линии пересечения плоскостей;
4. Острый или прямой угол между двумя произвольными линиями, проведенными к линии пересечения плоскостей.

Задание 3. 
Что такое проекция прямой на плоскость?

1. Это любая прямая, проведенная из точки пересечения прямой и плоскости;
2. Это перпендикуляр, опущенный из любой точки на плоскость;
3. Это всегда точка пересечения прямой и плоскости;
4. Это прямая, образованная проекциями всех точек прямой на плоскость. 

Задание 4. 
Какой будет проекция прямой, перпендикулярной к плоскости, на эту плоскость?

1. Проекция будет равна этой прямой и параллельна ей;
2. Проекция будет меньше прямой и образовывать с ней угол;
3. Проекция будет точкой пересечения прямой и плоскости;
4. Проекция будет больше прямой и образовывать с ней угол.  

Задание 5. 
Как доказать, что прямая перпендикулярна плоскости?

1. Достаточно доказать, что прямая перпендикулярна одной любой прямой в плоскости;
2. Достаточно доказать, что прямая перпендикулярна двум параллельным прямым в плоскости;
3. Достаточно доказать, что угол между прямой и любой прямой в плоскости равен 90°;
4. Достаточно доказать, что прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в этой плоскости.

Ответы: 1. — 1 2. — 2 3. — 4 4. — 3 5. — 4