Как найти угол между проекциями векторов

Как найти угол между проекциями векторов

Угол между векторами. Ортогональные проекции векторов

Угол между векторами

Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между равными им векторами, имеющими общее начало, не превосходящий по величине числа pi.

Угол между векторами

Пусть в пространстве даны два ненулевых вектора vec{a} и vec{b} (рис.1.22). Построим равные им векторы overrightarrow{OA} и overrightarrow{OB}. На плоскости, содержащей лучи OA и OB, получим два угла angle AOB. Меньший из них, величина varphi которого не превосходит pi~(0leqslantvarphileqslantpi), принимается за угол между векторами vec{a} и vec{b}.

Поскольку направление нулевого вектора не определено, то не определен и угол между двумя векторами, если хотя бы один из них нулевой. Из определения следует, например, что угол между ненулевыми коллинеарными векторами либо равен нулю (если векторы одинаково направлены), либо равен pi (если векторы противоположно направлены).

Ортогональные проекции векторов

Движение по любой прямой может быть в двух направлениях. Ориентированной прямой называется прямая, на которой выбрано направление, т.е. одно из направлений считается положительным, а противоположное — отрицательным. Для измерения длин отрезков на прямой задается масштабный отрезок, который принимается за единицу.

Ориентированная прямая с заданным масштабным отрезком называется осью.

Любой ненулевой вектор vec{e}, принадлежащий прямой, называется направляющим вектором для данной прямой, поскольку задает на ней ориентацию. Направление вектора vec{e} принимается за положительное, а направление противоположного вектора (-vec{e}) — за отрицательное. Кроме того, длину вектора vec{e}nevec{o} — можно принять за величину масштабного отрезка на этой прямой. Поэтому можно сказать, что любой ненулевой вектор определяет ось — прямую, содержащую этот вектор, задавая на ней направление и масштабный отрезок.

Ортогональной проекцией вектора vec{a} на ось, задаваемую вектором vec{e}nevec{o}, называется его проекция на ось вдоль прямой (или вдоль плоскости), перпендикулярной данной оси. Ортогональную проекцию вектора vec{a} на ось, задаваемую вектором vec{e}nevec{o}, будем обозначать overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a}.

Ортогональную проекцию вектора vec{a} на прямую l (см. разд. 1.2.2 и рис. 1.13) будем обозначать overrightarrow{operatorname{pr}}_{l}vec{a}.

Ортогональную проекцию вектора а на плоскость rho (см. разд. 1.2.2 и рис. 1.14) будем обозначать overrightarrow{operatorname{pr}}_{rho}vec{a}.

Разность между вектором vec{a} и его ортогональной проекцией называют ортогональной составляющей:

— vec{a}_{perpvec{e}}-overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a} — ортогональная составляющая вектора vec{a} относительно вектора vec{e};

— vec{a}_{perp l}-overrightarrow{operatorname{pr}}_{l}vec{a} — ортогональная составляющая вектора vec{a} относительно прямой l;

— vec{a}_{perprho}-overrightarrow{operatorname{pr}}_{rho}vec{a} — ортогональная составляющая вектора vec{a} относительно плоскости rho.

Ортогональные проекции векторов на прямую и на плоскость

На рис. 1.23 изображены ортогональные проекции вектора vec{a}=overrightarrow{AB}:

— на прямую l (или на ось l, задаваемую вектором vec{e}) вдоль прямой mcolonoverrightarrow{A_lB_l}=overrightarrow{operatorname{pr}}_{l}vec{a}=overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a} (рис.1.23,а);

— на прямую l (или на ось l, задаваемую вектором vec{e}) вдоль плоскости alphacolonoverrightarrow{A_lB_l}=overrightarrow{operatorname{pr}}_{l}vec{a}=overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a} (рис.1.23,б);

— на плоскость rho вдоль прямой mcolonoverrightarrow{A_{rho}B_{rho}}=overrightarrow{operatorname{pr}}_{rho}vec{a} (рис.1.23,в).

На рис. 1.23 изображены ортогональные составляющие вектора vec{a}:

— относительно оси l (вектора vec{e}): vec{a}_{perp l}=vec{a}_{perpvec{e}} (рис.1.23,а);

— относительно плоскости rhocolonvec{a}_{perprho} (рис.1.23,в).

Для ортогональных проекций справедлива следующая теорема (см. теорему 1.1 в разд. 1.5).

Теорема 1.2 (об ортогональных проекциях вектора).

1. Если на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные прямые l_1 и l_2, то любой вектор vec{a} на плоскости можно однозначно представить в виде суммы своих ортогональных проекций на эти прямые, т.е. vec{a}=overrightarrow{operatorname{pr}}_{l_1}vec{a}+overrightarrow{operatorname{pr}}_{l_2}vec{a} (рис. 1.24,а).

2. Если в пространстве заданы три попарно перпендикулярные прямые l_1,~l_2 и l_3, пересекающиеся в одной точке, то любой вектор vec{a} в пространстве можно однозначно представить в виде суммы своих ортогональных проекций на эти прямые, т.е. vec{a}=overrightarrow{operatorname{pr}}_{l_1}vec{a}+overrightarrow{operatorname{pr}}_{l_2}vec{a}+overrightarrow{operatorname{pr}}_{l_3}vec{a} (рис. 1.24,6).

3. Квадрат длины вектора на плоскости или в пространстве равен сумме квадратов длин своих ортогональных проекций, т.е.

vline,vec{a},,vline,^2=,,vlineoverrightarrow{operatorname{pr}}_{l_1}vec{a},vline,^2+,,vlineoverrightarrow{operatorname{pr}}_{l_2}vec{a},vline,^2;~~~~~vline,vec{a},,vline,^2=,,vlineoverrightarrow{operatorname{pr}}_{l_1}vec{a},vline,^2+,,vlineoverrightarrow{operatorname{pr}}_{l_2}vec{a},vline,^2+,,vlineoverrightarrow{operatorname{pr}}_{l_3}vec{a},vline,^2.

Первые два утверждения представляют собой частные случаи теоремы 1.1. Третье утверждение следует из теоремы Пифагора (для треугольника OA_1A (рис. 1.24,а) или треугольников OA_1A_2 и OA_2A (рис. 1.24,6)).

В формулировке теоремы 1.2 прямые можно заменить осями, задаваемыми попарно ортогональными векторами.

Ортогональные проекции вектора

На рис.1.24,а проекции вектора vec{a} на оси одновременно являются ортогональными составляющими: overrightarrow{operatorname{pr}}_{l_1}vec{a}=vec{a}_{perp l_2} и overrightarrow{operatorname{pr}}_{l_2}vec{a}=vec{a}_{perp l_1}. На рис. 1.24,6 вектор overrightarrow{OA_2} является проекцией вектора vec{a} на плоскость rho, содержащую прямые l_1 и l_2: overrightarrow{OA_2}=overrightarrow{operatorname{pr}}_{rho}vec{a}, а вектор overrightarrow{A_2A} является ортогональной составляющей вектора vec{a} относительно плоскости rhocolonoverrightarrow{A_2A}=vec{a}_{perprho}.

Алгебраическое значение длины проекции

Пусть varphi – угол между ненулевым вектором vec{a} и осью, задаваемой вектором vec{e}nevec{o}, т.е. угол между ненулевыми векторами vec{a} и vec{e}.

Алгебраическим значением длины ортогональной проекции вектора vec{a} на ось, задаваемую вектором vec{e}nevec{o}, называется длина его ортогональной проекции overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a}, взятая с положительным знаком, если угол varphi не превышает frac{pi}{2}, и с отрицательным знаком, если угол varphi больше frac{pi}{2}, т.е.:

operatorname{pr}_{vec{e}}vec{a}=left{!!begin{aligned}bigl|,overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a},bigl|,quad&0leqslantvarphileqslantdfrac{pi}{2},\[2pt]-bigl|,overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a},bigl|,quad&dfrac{pi}{2}leqslantvarphileqslantpi.end{aligned}right.

Например, для проекций, изображенных на рис. 1.25, operatorname{pr}_{vec{e}}vec{a}>0, поскольку угол varphi между векторами vec{a} и vec{e} острый, a operatorname{pr}_{vec{e}}vec{a}<0, так как угол psi между векторами vec{b} и vec{e} тупой.

Некоторые свойства проекций векторов переносятся на алгебраические значения их длин, в частности:

1. overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}bigl(vec{a}+vec{b}bigl)=overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a}+overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{b} — алгебраическое значение длины ортогональной проекции суммы векторов равно сумме алгебраических значений длин ортогональных проекций слагаемых;

2. overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}bigl(lambdacdotvec{a}bigl)=lambdacdotoverrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a} — алгебраическое значение длины ортогональной проекции произведения вектора на число равно произведению этого числа на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора

Ортогональная проекция вектора на ось

Замечания 1.4.

1. Из определения алгебраического значения длины ортогональной проекции следует (см. также рис.1.25), что operatorname{pr}_{vec{e}}vec{a}=|vec{a}|cosvarphi, т.е. алгебраическое значение длины ортогональной проекции ненулевого вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью.

Ортогональную проекцию вектора vec{a} на ось, задаваемую вектором vec{e}nevec{o}, можно представить в виде

overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a}=operatorname{pr}_{vec{e}}vec{a}cdotfrac{1}{|vec{e}|}cdotvec{e}=frac{|vec{a}|cosvarphi}{|vec{e}|}cdotvec{e}.

Если vec{e} — единичный вектор, то overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a}=operatorname{pr}_{vec{e}}vec{a}cdotvec{e}=|vec{a}|cosvarphicdotvec{e}.

2. Равенство operatorname{pr}_{vec{e}}vec{a}= |vec{a}|cosvarphi можно использовать как определение косинуса угла между ненулевыми векторами vec{a} и vec{b} (или, что то же самое, косинуса угла между осями, заданными ненулевыми векторами vec{a} и vec{b} (рис. 1.26)).

cosvarphi=frac{operatorname{pr}_{vec{b}}vec{a}}{|vec{a}|}=frac{operatorname{pr}_{vec{a}}vec{b}}{|vec{b}|}.

Косинус угла между ненулевыми векторами

3. Углом между ненулевым вектором vec{a} и прямой l называется угол varphi между вектором vec{a} и его ортогональной проекцией overrightarrow{operatorname{pr}}_{l}vec{a} на прямую l. Величина угла varphi~!left(0leqslantvarphileqslantfrac{pi}{2}right) может быть найдена по формуле

cosvarphi=frac{bigl|overrightarrow{operatorname{pr}}_{l}vec{a}bigl|}{|vec{a}|}

4. Углом между ненулевым вектором vec{a} и плоскостью alpha называется угол psi между вектором vec{a} и его ортогональной проекцией overrightarrow{operatorname{pr}}_{alpha}vec{a} на плоскость alpha. Величина угла psi~!left(0leqslantpsileqslantfrac{pi}{2}right) может быть найдена по формуле

cospsi=frac{bigl|overrightarrow{operatorname{pr}}_{alpha}vec{a}bigl|}{|vec{a}|}

Пример 1.7. Основания AB и CD равнобокой трапеции ABCD равны A и B соответственно; точка m — середина стороны BC (рис. 1.27). Найти алгебраические значения длин ортогональных проекций векторов overrightarrow{AM} и MD на ось, задаваемую вектором overrightarrow{AB}.

Решение. Пусть DL — высота трапеции, N — точка пересечения прямых AB и DM. По свойству равнобокой трапеции AL=frac{a-b}{2}; из равенства треугольников CDM и BNMcolon BN=CD=b.

Равнобокая трапеция

Обозначим через x=operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}overrightarrow{AM},~y=operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}overrightarrow{MD} искомые алгебраические значения длин ортогональных проекций.Тогда из равенств

overrightarrow{AM}+overrightarrow{MD}=overrightarrow{AD}, overrightarrow{AM}-overrightarrow{MD}= overrightarrow{AM}+ overrightarrow{MN}= overrightarrow{AN}

и свойства 1 алгебраических значений длин проекций следует:

begin{aligned} operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}Bigl(overrightarrow{AM}+overrightarrow{MD}Bigl)&= operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}overrightarrow{AM}+operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}overrightarrow{MD}= operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}overrightarrow{AD}~Leftrightarrow~x+y=frac{a-b}{2};\[3pt] operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}Bigl(overrightarrow{AM}-overrightarrow{MD}Bigl)&= operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}overrightarrow{AM}-operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}overrightarrow{MD}= operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}overrightarrow{AN}~Leftrightarrow~x-y=a+b. end{aligned}

Решая систему begin{cases}x+y=dfrac{a-b}{2},\[4pt]x-y=a+b,end{cases} находим begin{cases}x=dfrac{3a+b}{4},\[7pt]y=-dfrac{a+3b}{4},end{cases}, т.е. operatorname{pr}_{{}_{overrightarrow{AB}}}overrightarrow{AM}=dfrac{3a+b}{4},~operatorname{pr}_{{}_{overrightarrow{AB}}}overrightarrow{MD}=-dfrac{a+3b}{4}.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Угол между векторами на плоскости и в пространстве

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве заданы два ненулевых вектора Определение. и O . Отложим от произвольной точки O векторы Определение. и Определение. . Тогда справедливо следующее определение.

Определение.

Углом между векторами Угол между векторами и будем обозначать как . и OA называется угол между лучами OA и OB.

Угол между векторами и будем обозначать как .

Угол между векторами может принимать значения от

Угол между векторами может принимать значения от до когда векторы и сонаправленные, когда векторы или, что то же самое, от когда векторы и сонаправленные, когда векторы до когда векторы и сонаправленные, когда векторы .

Определение. когда векторы Определение. и Определение. сонаправленные, Определение. когда векторы Определение. и Определение. противоположно направленные.

Определение.

Векторы Если хотя бы один из векторов и нулевой, то угол и перпендикулярными называются перпендикулярными, если угол между ними равен Если хотя бы один из векторов и нулевой, то угол ( Если хотя бы один из векторов и нулевой, то угол радиан).

Если хотя бы один из векторов Нахождение угла между векторами, примеры и решения и Нахождение угла между векторами, примеры и решения нулевой, то угол Нахождение угла между векторами, примеры и решения не определен.

Нахождение угла между векторами, примеры и решения

Косинус угла между векторами Разберем эти случаи. и Разберем эти случаи. , а значит и сам угол, в общем случае может быть найден либо с использованием скалярного произведения векторов, либо с использованием теоремы косинусов для треугольника, построенного на векторах Разберем эти случаи. и Разберем эти случаи. .

Разберем эти случаи.

По определению скалярное произведение векторов есть Пример. . Если векторы Пример. и Пример. ненулевые, то можно разделить обе части последнего равенства на произведение длин векторов Пример. и формулу для нахождения косинуса угла между ненулев , и мы получим формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами: Пример. . Эту формулу можно использовать, если известны длины векторов и их скалярное произведение.

Пример.

Вычислите косинус угла между векторами Решение. и Решение. , а также найдите сам угол, если длины векторов Решение. и 3 равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно -9.

Решение.

В условии задачи даны все величины необходимые для применения формулы Теперь находим угол между векторами: .. Вычисляем косинус угла между векторами Теперь находим угол между векторами: . и Теперь находим угол между векторами: . : Теперь находим угол между векторами: . .

Теперь находим угол между векторами: Ответ: .

Ответ:

Существуют задачи, где векторы заданы координатами .

Существуют задачи, где векторы заданы координатами в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве. В этих случаях для нахождения косинуса угла между векторами можно использовать все ту же формулу Длина вектора есть корень квадратный из суммы квад , но в координатной форме. Получим ее.

Длина вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его координат, скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Следовательно, формула для вычисления косинуса угла между векторами Пример. на плоскости имеет вид Пример., а для векторов Пример. в трехмерном пространстве — Пример. .

Пример.

Найдите угол между векторами Решение. , заданными в прямоугольной системе координат.

Решение.

Можно сразу воспользоваться формулой : А можно для нахождения косинуса угла между вектора

А можно для нахождения косинуса угла между векторами использовать формулу , предварительно вычислив длины векторов и скалярное произведение по координатам: Ответ:

Ответ:

К предыдущему случаю сводится задача, когда даны к .

К предыдущему случаю сводится задача, когда даны координаты трех точек (например А, В и С) в прямоугольной системе координат и требуется найти какой-нибудь угол (например, ).

Действительно, угол Пример. равен углу между векторами Пример. и разность соответствующих координат точек конца и н. Координаты этих векторов вычисляются как разность соответствующих координат точек конца и начала вектора.

Пример.

На плоскости в декартовой системе координат заданы координаты трех точек Решение.. Найдите косинус угла между векторами Решение. и Решение. .

Решение.

Определим координаты векторов Теперь воспользуемся формулой для нахождения косин и по координатам заданных точек: Теперь воспользуемся формулой для нахождения косин

Теперь воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: Ответ:

Ответ:

Угол между векторами и также можно вычислить по .

Угол между векторами Вычисление ортогональной проекции(сво-во проекции) и теореме косинусов также можно вычислить по теореме косинусов. Если отложить от точки O векторы Вычисление ортогональной проекции(сво-во проекции) и ОАВ, то по теореме косинусов в треугольнике ОАВ мы можем записать Вычисление ортогональной проекции(сво-во проекции), что эквивалентно равенству Вычисление ортогональной проекции(сво-во проекции), откуда находим косинус угла между векторами Вычисление ортогональной проекции(сво-во проекции). Для применения полученной формулы нам нужны лишь длины векторов Вычисление ортогональной проекции(сво-во проекции) и Вычисление ортогональной проекции(сво-во проекции), которые легко находятся по координатам векторов Вычисление ортогональной проекции(сво-во проекции) и Вычисление ортогональной проекции(сво-во проекции). Однако, этот метод практически не используется, так как косинус угла между векторами проще найти по формуле Вычисление ортогональной проекции(сво-во проекции) .

Вычисление ортогональной проекции(сво-во проекции):

Проекция вектора Док-во: Если φ= < , то прl =+ = *cos & на ось l равна произведению модуля вектора Док-во: Если φ= < , то прl =+ = *cos & на косинус угла φ между вектором и осью, т.е. пр Док-во: Если φ= < , то прl =+ = *cos & cosφ.

Док-во: Если φ= Если φ> (φ≤ ), то прl =- =- * c < l , то прl Если φ> (φ≤ ), то прl =- =- * c =+ Если φ> (φ≤ ), то прl =- =- * c = Если φ> (φ≤ ), то прl =- =- * c *cos φ.

Если φ> Если φ= , то прl = 0 = соs φ. (φ≤ l ), то прl Если φ= , то прl = 0 = соs φ. =- Если φ= , то прl = 0 = соs φ. =- Если φ= , то прl = 0 = соs φ. * cos( Если φ= , то прl = 0 = соs φ. –φ) = Если φ= , то прl = 0 = соs φ. cosφ (см.рис10)

Если φ= l , то прl Следствие: Проекция вектора на ось положительна (о = 0 = Следствие: Проекция вектора на ось положительна (о соs φ.

Следствие: Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нуле, если этот угол – прямой.

Следствие: Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Вычисление ортогональной проекции суммы векторов (сво-во проекции):

Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

Док-во: Пусть, например, = + + l . Имеем прl =+ =+ + — l , т.е. прl( + + l ) = прl l + прl l + прl (см.рис11)

РИС. 11

Вычисление произведения вектора на число:

При умножеии вектора l на число λ его проекция на ось так же умножается на это число, т.е. прl (λ* l )= λ* прl Док-во: При λ > 0 имеем прl (λ* .

Док-во: При λ > 0 имеем прl (λ* При λl (λ* )= *cos( –φ) )= При λl (λ* )= *cos( –φ) *cos φ = λ* l φ = λ*прl При λl (λ* )= *cos( –φ)

При λl (λ* Свойство справедливо и при )= Свойство справедливо и при *cos( Свойство справедливо и при –φ)=- Свойство справедливо и при * (-cosφ) = l * cosφ= λ *прl Свойство справедливо и при .

Свойство справедливо и при Таким образом, линейные операции над векторами при

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

Нахождение угла между векторами

Как правило, угол между ( overrightarrow a) и (overrightarrow b) можно найти с помощью скалярного произведения или теоремы косинусов для треугольника, который был построен на основе двух этих направляющих.

Определение

Скалярное произведение — это число, которое равно произведению двух направляющих на косинус угла между ними.

Формула скалярного произведения:

(left(overrightarrow a;overrightarrow bright)=left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|timescosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right))

  1. Если α — острый, то СП (скалярное произведение) будет положительным числом (cos острого угла — положительное число).
  2. Если векторы имеют общую направленность, то есть угол между ними равен (0^circ), а косинус — 1, то СП будет тоже положительным.
  3. Если α — тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (cos тупого угла — отрицательное число).
  4. Если α равен (180^circ), то есть векторы противоположно направлены, то СП тоже отрицательно, потому что cos данного угла равен 1.
  5. Если α — прямой, то СП равно 0, так как косинус (90^circ) равен 0.

В случае, если overrightarrow a и overrightarrow b не нулевые, можно найти косинус α между ними, опираясь на формулу:

(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|})

Видео

Примеры решений

Пример 1
Найти угол между векторами $ overline{a} = (2;4) $ и $ overline{b} = (3;1) $
Решение

Сначала находим косинус угла между векторами по формуле:

$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{2cdot 3 + 4 cdot 1}{sqrt{2^2 + 4^2} cdot sqrt{3^2 + 1^2} } = frac{10}{sqrt{20} cdot sqrt{10}} = $$

$$ = frac{10}{sqrt{200}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} $$

Теперь искомый угол $ phi $ находим по другой формуле:

$$ phi = arccos (cos phi) = arccos (cos frac{sqrt{2}}{2}) = 45^0 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
Угол между двумя векторами равен $ phi = 45^0 $
Пример 2
Найти угол $ phi $ между двумя векторами $ overline{a} = (8;-11;7) $ и $ overline{b} = (-2;-7;8) $
Решение

Подставляем координаты в формулу и вычисляем:

$$ cos phi = frac{8cdot (-2) + (-11)cdot (-7) + 7cdot 8}{sqrt{8^2+(-11)^2+7^2} cdot sqrt{(-2)^2+(-7)^2+8^2} } = $$

$$ = frac{-16+77+56}{sqrt{234} cdot sqrt{117}} = frac{117}{sqrt{234} cdot sqrt{117}} = $$

$$ = frac{sqrt{117}}{sqrt{234}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} $$

Далее находим сам угол $ phi $ с помощью арккосинуса:

$$ phi = arccos frac{sqrt{2}}{2} = 45^0 $$
Ответ
Угол $ phi = 45^0 $

Теги

Источник

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a→ и b→ , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы OA→=b→ и OB→=b→

Определение 1

Углом между векторами a→ и b→ называется угол между лучами ОА и ОВ.

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a→,b→^

Нахождение угла между векторами

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a→,b→^=0, когда векторы являются сонаправленными и a→,b→^=π , когда векторы противоположнонаправлены.

Определение 2

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a→,b→^ не определен.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a→, b→=a→·b→·cosa→,b→^.

Если заданные векторы a→ и b→ ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cosa→,b→^=a→,b→a→·b→

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Пример 1

Исходные данные: векторы a→ и b→ . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно -9. Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cosa→,b→^=-93·6=-12 , 

Теперь определим угол между векторами: a→,b→^=arccos (-12)=3π4

Ответ: cosa→,b→^=-12, a→,b→^=3π4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a→=(ax, ay), b→=(bx, by) выглядит так:

cosa→,b→^=ax·bx+ay·byax2+ay2·bx2+by2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a→=(ax, ay, az), b→=(bx, by, bz) будет иметь вид: cosa→,b→^=ax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2

Пример 2

Исходные данные: векторы a→=(2, 0, -1), b→=(1, 2, 3) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

  1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cosa→,b→^=2·1+0·2+(-1)·322+02+(-1)2·12+22+32=-170⇒a→,b→^=arccos(-170)=-arccos170

  1. Также можно определить угол по формуле:

cosa→,b→^=(a→, b→)a→·b→,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a→=22+02+(-1)2=5b→=12+22+32=14a→,b→^=2·1+0·2+(-1)·3=-1cosa→,b→^=a→,b→^a→·b→=-15·14=-170⇒a→,b→^=-arccos170

Ответ: a→,b→^=-arccos170

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Пример 3

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A(2, -1), B(3, 2), C(7, -2). Необходимо определить косинус угла между векторами AC→ и BC→.

Решение 

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек AC→=(7-2, -2-(-1))=(5, -1)BC→=(7-3, -2-2)=(4, -4)

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cosAC→, BC→^=(AC→, BC→)AC→·BC→=5·4+(-1)·(-4)52+(-1)2·42+(-4)2=2426·32=313

Ответ: cosAC→, BC→^=313

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы OA→=a→ и OB→=b→ , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике ОАВ, будет верным равенство:

AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos(∠AOB) ,

что равносильно:

b→-a→2=a→+b→-2·a→·b→·cos(a→, b→)^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos(a→, b→)^=12·a→2+b→2-b→-a→2a→·b→

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

cos(a→, b→)^=a→, b→a→·b→

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Угол между векторами

Иногда студенты при решении задач аналитической геометрии сталкиваются с вопросом: «Как найти угол между векторами?». Чтобы решить такую задачу нужно сначала найти косинус угла между ними, а затем и сам угол. Для этого применяется такая формула: $$ phi = arccos(cos phi) $$

Если воспользоваться данной формулой, то сначала нужно найти угол между векторами $ cos phi $. Затем находим арккосинус от косинуса угла $ phi $. А чему равен $ cos phi $? Для его нахождения необходимо воспользоваться следующими формулами.

Формула

Если векторы расположены на плоскости и координаты их заданы в виде: $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $, то найти угол между ними можно так:

$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{a_xcdot b_x + a_y cdot b_y}{sqrt{a_x ^2 + a_y ^2}cdot sqrt{b_x ^2 + b_y ^2}} $$

Если вектора находятся в пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: $ overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y; b_z) $, то вычислить косинус угла следует по формуле:

$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{a_xcdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z}{sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2}cdot sqrt{b_x ^2 + b_y ^2 + b_z ^2}} $$

Пояснение. В числителе расположено скалярное произведение векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $. Оно равно сумме произведений соответствующих координат. В знаменателе перемножаются модули (длины) векторов.

Примеры решений

Пример 1
Найти угол между векторами $ overline{a} = (2;4) $ и $ overline{b} = (3;1) $
Решение

Сначала находим косинус угла между векторами по формуле:

$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{2cdot 3 + 4 cdot 1}{sqrt{2^2 + 4^2} cdot sqrt{3^2 + 1^2} } = frac{10}{sqrt{20} cdot sqrt{10}} = $$

$$ = frac{10}{sqrt{200}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} $$

Теперь искомый угол $ phi $ находим по другой формуле:

$$ phi = arccos (cos phi) = arccos (cos frac{sqrt{2}}{2}) = 45^0 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
Угол между двумя векторами равен $ phi = 45^0 $
Пример 2
Найти угол $ phi $ между двумя векторами $ overline{a} = (8;-11;7) $ и $ overline{b} = (-2;-7;8) $
Решение

Подставляем координаты в формулу и вычисляем:

$$ cos phi = frac{8cdot (-2) + (-11)cdot (-7) + 7cdot 8}{sqrt{8^2+(-11)^2+7^2} cdot sqrt{(-2)^2+(-7)^2+8^2} } = $$

$$ = frac{-16+77+56}{sqrt{234} cdot sqrt{117}} = frac{117}{sqrt{234} cdot sqrt{117}} = $$

$$ = frac{sqrt{117}}{sqrt{234}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} $$

Далее находим сам угол $ phi $ с помощью арккосинуса:

$$ phi = arccos frac{sqrt{2}}{2} = 45^0 $$
Ответ
Угол $ phi = 45^0 $
Источник

Определение. Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Пример 1. Найти угол между векторами a = {3; 4} и b = {4; 3}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

|a| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √42 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5

Найдем угол между векторами:

cos α =  a · b  =  24  =  24  = 0.96
|a| · |b| 5 · 5 25

Пример 2. Найти угол между векторами a = {7; 1} и b = {5; 5}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

|a| = √72 + 12 = √49 + 1 = √50 = 5√2
|b| = √52 + 52 = √25 + 25 = √50 = 5√2

Найдем угол между векторами:

cos α =  a · b  =  40  =  40  =  4  = 0.8
|a| · |b| 5√2 · 5√2 50 5

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Пример 3. Найти угол между векторами a = {3; 4; 0} и b = {4; 4; 2}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

|a| = √32 + 42 + 02 = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √42 + 42 + 22 = √16 + 16 + 4 = √36 = 6

Найдем угол между векторами:

cos α =  a · b  =  28  =  14
|a| · |b| 5 · 6 15

Пример 4. Найти угол между векторами a = {1; 0; 3} и b = {5; 5; 0}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

|a| = √12 + 02 + 32 = √1 + 9 = √10
|b| = √52 + 52 + 02 = √25 + 25 = √50 = 5√2

Найдем угол между векторами:

cos α =

a · b|a| · |b|

=

5√10 · 5√2

=

12√5

=

√510

= 0.1√5

Источник

Добавить комментарий