Как найти угол между прямыми векторно

Определение угла между прямыми

Угол между прямыми на плоскости

Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом

Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых

Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых

Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Угол между прямыми в пространстве

({color{red}{textbf{Факт 1. Про векторы}}})
(bullet) Если в пространстве заданы две точки (A(x_1;y_1;z_1)) и (B(x_2;y_2;z_2)), то вектор (overrightarrow{AB}) имеет координаты [overrightarrow{AB} = {x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1}]
(bullet) Если в пространстве заданы два вектора (vec{a}
={x_1;y_1;z_1}) и (vec{b}=
{x_2;y_2;z_2}), то:

(qquad blacktriangleright) сумма этих векторов (vec{a}+vec{b}={x_1+x_2;y_1+y_2;z_1+z_2})

(qquad blacktriangleright) разность этих векторов (vec{a}-vec{b}={x_1-x_2;y_1-y_2;z_1-z_2})

(qquad blacktriangleright) произведение вектора на число (lambda
vec{a}={lambda x_1;lambda
y_1;lambda z_1})
 
(bullet) Если в пространстве заданы две точки (A(x_1;y_1;z_1)) и (B(x_2;y_2;z_2)), а точка (O) — середина отрезка (AB), то (O) имеет координаты [Oleft(dfrac{x_1+x_2}2;dfrac{y_1+y_2}2;dfrac{z_1+z_2}2right)]
(bullet) Длина вектора (vec{a}={x;y;z}) обозначается (|vec{a}|) и вычисляется по формуле [|vec{a}|=sqrt{x^2+y^2+z^2}]
(bullet) Заметим, что расстояние между двумя точками есть не что иное, как длина вектора с началом и концом в этих точках.
 

I. Скалярное произведение ненулевых векторов (их длины не равны нулю) равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны: [(vec{a}, vec{b})=0 quadLeftrightarrowquad
vec{a}perp vec{b}]

II. Длина вектора равна квадратному корню из скалярного произведения вектора на себя: [|vec{a}|=sqrt{(vec{a},
vec{a})}]

III. Переместительный закон: [(vec{a}, vec{b})=(vec{b},
vec{a})]

IV. Распределительный закон: [(vec{a}+vec{b},
vec{c})=(vec{a}, vec{c})+(vec{b}, vec{c})]

V. Сочетательный закон ((lambda) – число): [lambda(vec{a}, vec{b})=(lambda
vec{a}, vec{b})]
(bullet) Скалярное произведение двух векторов (vec{a}
={x_1;y_1;z_1}) и (vec{b}= {x_2;y_2;z_2}) можно вычислить с помощью координат этих векторов: [{large{(vec{a},
vec{b})=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}}]
(bullet) Косинус угла между векторами (vec{a} ={x_1;y_1;z_1}) и (vec{b}= {x_2;y_2;z_2}) вычисляется по формуле: [{large{cosangle(vec{a}, vec{b})=dfrac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}
{sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}cdot
sqrt{x^2_2+y^2_2+z^2_2}}}}]
 

({color{red}{textbf{Факт 3. Про уравнение плоскости}}})
(bullet) Если (vec{n}={a;b;c}) – нормаль к плоскости, то уравнение плоскости имеет вид [ax+by+cz+d=0] Для того, чтобы найти (d), нужно подставить в уравнение плоскости вместо (x, y, z) координаты любой точки, лежащей в этой плоскости.
 
Пример: если (vec{n}={1;2;3}) – нормаль к плоскости, (O(4;5;6)) – точка из плоскости, то справедливо: (1cdot 4+2cdot 5+3cdot
6+d=0), откуда (d=-32), следовательно, уравнение плоскости имеет вид (x+2y+3z-32=0).
 
(bullet) Уравнение плоскости можно составить, используя три точки из плоскости, не лежащие на одной прямой.
Пусть (A(1;0;0),
B(0;3;4), C(2;0;5)) – точки из плоскости. Тогда уравнение плоскости можно найти, решив систему: [begin{cases}
1cdot a+0cdot b+0cdot c+d=0\
0cdot a+3cdot b+4cdot c+d=0\
2cdot a+0cdot b+5cdot c+d=0end{cases} quadRightarrowquad
begin{cases}
d=-a\
3b+4c-a=0\
a+5c=0end{cases}quadRightarrowquad begin{cases} d=-a\
a=-5c\
b=-3cend{cases}quadRightarrowquadbegin{cases}a=-5c\
b=-3c\
d=5cend{cases}] Следовательно, уравнение плоскости имеет вид: [-5ccdot x-3ccdot y+ccdot z+5c=0] Можно разделить обе части на (c), так как (cne 0) (иначе (a=b=c=d=0)), следовательно, уравнение плоскости имеет вид [-5x-3y+z+5=0]
 

({color{red}{textbf{Факт 4. Про углы между прямыми, плоскостями}}})
(bullet) Если векторы (vec{a} ={x_1;y_1;z_1}) и (vec{b}=
{x_2;y_2;z_2}) являются направляющими прямых (p) и (q), то косинус угла между этими прямыми равен: [cos phi=dfrac{|x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2|}
{sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}cdot sqrt{x^2_2+y^2_2+z^2_2}}]
(bullet) Если (vec{a}) — направляющий вектор прямой (p), а (vec{n}) — нормаль к плоскости (phi) (перпендикуляр к плоскости), то синус угла между прямой (p) и плоскостью (phi) равен модулю косинуса угла между векторами (vec{a}) и (vec{n}): [sin
angle(p, phi)=|cos angle(vec{a}, vec{n})|]
 
(bullet) Если две плоскости заданы уравнениями (a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0) и (a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0), то косинус угла между плоскостями ищется по формуле: [{large{cos phi=left| dfrac{a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2}
{sqrt{a^2_1+b^2_1+c^2_1}cdot
sqrt{a^2_2+b^2_2+c^2_2}}right|}}]
 

({color{red}{textbf{Факт 5. Про расстояния от точки до плоскости,
между скрещивающимися прямыми}}})
(bullet) Если (M(x_0;y_0;z_0)) — некоторая точка вне плоскости (phi), (ax+by+cz+d=0) — уравнение плоскости (phi), то расстояние от точки (M) до плоскости (phi) ищется по формуле: [rho(M, phi)=dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{sqrt{a^2+b^2+c^2}}]
(bullet) Для того, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно
— построить плоскость, проходящую через одну из них и параллельную другой;
— найти уравнение этой плоскости;
— найти расстояние от любой точки первой прямой до этой плоскости.

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a→ и b→ , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы OA→=b→ и OB→=b→

Углом между векторами a→ и b→ называется угол между лучами ОА и ОВ.

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a→,b→^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a→,b→^=0, когда векторы являются сонаправленными и a→,b→^=π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a→,b→^ не определен.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a→, b→=a→·b→·cosa→,b→^.

Если заданные векторы a→ и b→ ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cosa→,b→^=a→,b→a→·b→

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a→=(ax, ay), b→=(bx, by) выглядит так:

cosa→,b→^=ax·bx+ay·byax2+ay2·bx2+by2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a→=(ax, ay, az), b→=(bx, by, bz) будет иметь вид: cosa→,b→^=ax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы OA→=a→ и OB→=b→ , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике ОАВ, будет верным равенство:

AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos(∠AOB) ,

что равносильно:

b→-a→2=a→+b→-2·a→·b→·cos(a→, b→)^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos(a→, b→)^=12·a→2+b→2-b→-a→2a→·b→

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

cos(a→, b→)^=a→, b→a→·b→

Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку “Решить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

и

где q₁=(m₁, p₁) направляющий вектор прямой L₁, а q₂=(m₂, p₂) направляющий вектор прямой L₂.

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ (рис.1).

Из определения скалярного произведения:

где |q₁| и |q₂| модули направляющих векторов q₁ и q₂ соответственно, φ -угол между векторами q₁ и q₂.

Из выражения (1.3) получим:

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ₁. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

и

Решение. Прямая (1.5) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 4), а прямая (1.6) − q₂=(m₂, p₂)=(− 3, 1). Для определения угла между прямыми (1.5) и (1.6) подставим значения m₁, p₁, m₂, p₂ в (1.4):

Упростим и решим:

Найдем угол φ

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Ответ.

Угол между прямыми равен:

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

Таким образом условие параллельности прямых L₁ и L₂ имеет вид (1.8). Если m₂≠0 и p₂≠0, то (1.8) можно записать так:

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.10) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 3), а прямая (1.11) − q₂=(m₂, p₂)=(−2, −2). Тогда

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.14) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 1), а прямая (1.15) − q₂=(m₂, p₂)=(−2, 6). Тогда

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

и

Так как нормальным вектором прямой L₁ является n₁=(A₁, B₁), а нормальным вектором прямой L₂ является n₂=(A₂, B₂), то задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла φ между векторами n₁ и n₂ (Рис.2).

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

где |n₁| и |n₂| модули нормальных векторов n₁ и n₂ соответственно, φ -угол между векторами n₁ и n₂.

Из уравнения (19) получим

Пример 4. Найти угол между прямыми

и

Решение. Прямая (1.21) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(5, −2), а прямая (1.22) − n₂=(A₂, B₂)=(1, 3). Задача определения угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла между векторами n₁ и n₂. Из определения скалярного произведения векторов имеем: (n₁,n₂)=|n₁||n₂|cosφ. Тогда

Подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (1.23), получим:

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

С другой стороны условие параллельности прямых L₁ и L₂ эквивалентно условию коллинеарности векторов n₁ и n₂ и можно представить так:

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A₂≠0 и B₂≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.26) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(4, 2), а прямая (1.27) − n₂=(A₂, B₂)=(2, 1). Тогда подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (1.24), получим

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n₁,n₂)=0. Откуда

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.29) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(4, −1), а прямая (1.30) − n₂=(A₂, B₂)=(2, 8). Тогда подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (28), получим

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

и

где q₁=(m₁, p₁, l₁) направляющий вектор прямой L₁, а q₂=(m₂, p₂, l₂) направляющий вектор прямой L₂.

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ .

Из определения скалярного произведения:

где |q₁| и |q₂| модули направляющих векторов q₁ и q₂ соответственно, φ -угол между векторами q₁ и q₂.

Из выражения (2.3) получим:

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

и

Решение. Прямая (2.5) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(1, 1, 3), а прямая (2.6) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(− 3, 1, 2). Для определения угла между прямыми (2.5) и (2.6) подставим значения m₁, p₁, l₁, m₂, p₂, l₂ в (2.4):

Упростим и решим:

Найдем угол φ

Ответ.

Угол между прямыми равен:

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q₁ и q₂, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q₁ и q₂ пропорциональны, и, следовательно прямые L₁ и L₂ параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

Отметим, что любую пропорцию нужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(3, 2, 4), а прямая (2.10) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(6, 4, 8). Тогда

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(1, 2, 0), а прямая (2.10) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(2, 4, 0). Подставляя значения m₁, p₁, l₁, m₂, p₂, l₂ в (2.8), получим

Выражение (2.13) нужно понимать так:

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.16) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(3, 2, 1), а прямая (2.17) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(4, −6, 0). Тогда

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Нахождение угла между векторами с помощью скалярного произведения

Косинус угла между векторами a⃗=(a1;a2)vec{a}=(a_{1};a_{2}) и b⃗=(b1;b2)vec{b}=(b_{1};b_{2}) может быть вычислен по формуле

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=a1⋅b1+a2⋅b2a12+a22⋅b12+b22.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}= frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}.

Следовательно, угол между векторами a⃗=(a1;a2)vec{a}=(a_{1};a_{2}) и b⃗=(b1;b2)vec{b}=(b_{1};b_{2}) может быть вычислен по формуле

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)=arccos⁡(a1⋅b1+a2⋅b2a12+a22⋅b12+b22).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft(frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}right)=arccosleft(frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}right).

Пример 1

Найти угол между векторами a⃗=(1;−1)vec{a}=(1; -1) и b⃗=(1;2).vec{b}=(1; 2).

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=1⋅1+(−1)⋅212+(−1)2⋅12+22=1−22⋅5=−110.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{1cdot1+(-1)cdot2}{sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}cdot sqrt{1^{2}+2^{2}}}=frac{1-2}{sqrt{2}cdotsqrt{5}}=frac{-1}{sqrt{10}}.

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(−110)=arccos⁡(−1010).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{-1}{sqrt{10}} right )=arccosleft ( frac{-sqrt{10}}{10} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos⁡(−1010).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{-sqrt{10}}{10} right).

Пример 2

Найти угол между векторами a⃗=(2;3)vec{a}=(2; 3) и b⃗=(3;1).vec{b}=(3; 1).

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=2⋅3+3⋅122+32⋅32+12=6+313⋅10=9130=9130130.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{2cdot3+3cdot1}{sqrt{2^{2}+3^{2}}cdot sqrt{3^{2}+1^{2}}}=frac{6+3}{sqrt{13}cdotsqrt{10}}=frac{9}{sqrt{130}}=frac{9sqrt{130}}{130}.

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(9130130).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{9sqrt{130}}{130} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos⁡(9130130).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccos left ( frac{9sqrt{130}}{130} right ).

Косинус угла между векторами a⃗=(a1;a2;a3)vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3}) и b⃗=(b1;b2;b3)vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3}) может быть вычислен по формуле

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3a12+a22+a32⋅b12+b22+b32.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}= frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}+a_{3}cdot b_{3}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}.

Следовательно, угол между векторами a⃗=(a1;a2;a3)vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3}) и b⃗=(b1;b2;b3)vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3}) может быть вычислен по формуле

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)=arccos⁡(a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3a12+a22+a32⋅b12+b22+b32).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft(frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}right)=arccosleft(frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}+a_{3}cdot b_{3}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+ a_{3}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+ b_{3}^{2}}}right).

Пример 3

Найти угол между векторами a⃗=(1;2;3)иb⃗=(1;−2;3).vec{a}=(1; 2; 3) и vec{b}=(1; -2; 3).

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=1⋅1+2⋅(−2)+3⋅312+22+32⋅12+(−2)2+32=1−4+914⋅14=614=37.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{1cdot1+2cdot(-2)+3cdot3}{sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}cdot sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}}=frac{1-4+9}{sqrt{14}cdotsqrt{14}}=frac{6}{14}=frac{3}{7}.

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(37).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{3}{7} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos⁡(37).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{3}{7} right ).

Пример 4

Найти угол между векторами a⃗=(2;−1;−2)vec{a}=(2; -1; -2) и b⃗=(1;3;−2).vec{b}=(1; 3; -2).

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=2⋅1+(−1)⋅3+(−2)⋅(−2)22+(−1)2+(−2)2⋅12+32+(−2)2=2−3+49⋅14=33⋅14=114=1414.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{2cdot1+(-1)cdot3+(-2)cdot(-2)}{sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}cdot sqrt{1^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}}=frac{2-3+4}{sqrt{9}cdotsqrt{14}}=frac{3}{3cdotsqrt{14}}=frac{1}{sqrt{14}}=frac{sqrt{14}}{14}.

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(1414).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{sqrt{14}}{14} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos⁡(1414).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{sqrt{14}}{14} right ).

Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения

Синус угла между векторами можно вычислить по формуле: sin⁡(a⃗,b⃗^)=∣a⃗×b⃗∣∣a⃗∣⋅∣b⃗∣.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{left | vec{a}times vec{b} right |}{left | vec{a} right |cdotleft | vec{b} right |}.

Пример 1

Найти угол между векторами a⃗=(2;−1;2)vec{a}=(2;-1;2) и b⃗=(3;0;1).vec{b}=(3;0;1).

a⃗×b⃗=∣ijk2−12301∣=(−1−0)i−(2−6)j+(0+3)k=−i+4j+3k.vec{a}times vec{b}=begin{vmatrix}i&j&k\2&-1&2\3&0&1end{vmatrix}=(-1-0)i-(2-6)j+(0+3)k=-i+4j+3k.

∣a⃗×b⃗∣=(−1)2+42+32=1+16+9=26.left | vec{a}times vec{b} right |=sqrt{(-1)^{2}+4^{2}+3^{2}}=sqrt{1+16+9}=sqrt{26}.

∣a⃗∣=22+(−1)2+22=4+1+4=9=3.left | vec{a} right |=sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=sqrt{4+1+4}=sqrt{9}=3.

∣b⃗∣=32+02+12=9+0+1=10.left | vec{b} right |=sqrt{3^{2}+0^{2}+1^{2}}=sqrt{9+0+1}=sqrt{10}.

sin⁡(a⃗,b⃗^)=26310=132325=1335=6515.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{sqrt{26}}{3sqrt{10}}=frac{sqrt{13}sqrt{2}}{3sqrt{2}sqrt{5}}=frac{sqrt{13}}{3sqrt{5}}=frac{sqrt{65}}{15}.

(a⃗,b⃗^)=arcsin⁡(6515).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{65}}{15} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arcsin⁡(6515).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{65}}{15} right ).

Пример 2

Найти угол между векторами a⃗=(1;1;3)vec{a}=(1;1;3) и b⃗=(0;1;1).vec{b}=(0;1;1).

a⃗×b⃗=∣ijk113011∣=(1−3)i−(1−0)j+(1−0)k=−2i−j+k.vec{a}times vec{b}=begin{vmatrix}i&j&k\1&1&3\0&1&1end{vmatrix}=(1-3)i-(1-0)j+(1-0)k=-2i-j+k.

∣a⃗×b⃗∣=(−2)2+(−1)2+12=4+1+1=6.left | vec{a}times vec{b} right |=sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=sqrt{4+1+1}=sqrt{6}.

∣a⃗∣=12+12+32=1+1+9=11.left | vec{a} right |=sqrt{1^{2}+1^{2}+3^{2}}=sqrt{1+1+9}=sqrt{11}.

∣b⃗∣=02+12+12=0+1+1=2.left | vec{b} right |=sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}=sqrt{0+1+1}=sqrt{2}.

sin⁡(a⃗,b⃗^)=6112=32112=311=3311.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{sqrt{6}}{sqrt{11}sqrt{2}}=frac{sqrt{3}sqrt{2}}{sqrt{11}sqrt{2}}=frac{sqrt{3}}{sqrt{11}}=frac{sqrt{33}}{11}.

(a⃗,b⃗^)=arcsin⁡(3311).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{33}}{11} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arcsin⁡(3311).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{33}}{11} right ).

Тест по теме “Как найти угол между двумя векторами”